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¿En qué demonios estarán pensando? Bueno, en Matemáticas, la traducción es un tipo de transformación en la que se mueve algo de un lugar a otro sin cambiar su tamaño, rotarlo ni modificar su forma en modo alguno. Así que, mientras tu profesor de matemáticas no te aplaste ni te ponga de cabeza, técnicamente has conseguido lo que pedías.
En este artículo, aprenderemos más sobre las Traducciones.
Definición de Traslación
Latraslación es el desplazamiento de una figura desde su posición original a otra, sin que cambie su tamaño, forma o rotación.
Con la traslación, una figura puede moverse hacia arriba, hacia abajo, a la izquierda o a la derecha, mientras que el tamaño sigue siendo el mismo. Para que esto se haga de forma adecuada y precisa, se realiza en un sistema de coordenadas.
El objeto original que se va a trasladar se denomina imagen previa, mientras que el objeto trasladado se denomina imagen.
Fig. 1. La preimagen es el objeto original, mientras que la imagen es el nuevo objeto después de haber sufrido la traducción.
¿Cuáles son las reglas de la traslación?
Una traslación positiva en el eje x desplazaría la imagen hacia la derecha, mientras que una traslación negativa en el eje x desplazaría la imagen hacia la izquierda.
Una traslación positiva en el eje y desplazaría la imagen hacia arriba, mientras que una traslación negativa en el eje y la desplazaría hacia abajo.
El tamaño y la forma de la imagen previa son los mismos que los de la imagen.
Todos los puntos del sistema de coordenadas se desplazan en la misma cantidad de unidades y dirección.
Dado el triángulo de coordenadas \( A(-5, 7), B(0, 7), C(-5, 4) \).
Traslada el triángulo dado 3 unidades hacia arriba y 2 unidades hacia la derecha.
Solución
Primero, dibuja el triángulo original trazando los 3 puntos de los vértices y uniéndolos con rectas. Así obtendrás el triángulo siguiente.
Fig. 2. Esta es la imagen previa del triángulo.
A continuación, desplaza cada uno de estos puntos hacia arriba en 3. Los tres puntos pasarán a ser:
\A(-5, 7) & A(-5, 7) A(-5, 7) y flecha derecha A'(-5, 10), B(0,7) y flecha derecha B'(0,10), C(-5, 4) y flecha derecha C'(-5,7). \fin \]
Esto te dará el mismo triángulo, sólo que en un lugar distinto. Comprueba que todos los lados y proporciones tienen la misma longitud que antes. El triángulo A'B'C' de abajo representa el triángulo trasladado verticalmente.
Fig. 3. Ésta es la imagen previa (ABC) y la imagen del triángulo trasladado verticalmente (A'B'C').
Por último, desplaza 2 puntos cada uno de los puntos del triángulo hacia la derecha.
\A'(-5,10) A'(-5,10) & \ flechaderecha A''(-3,10), \ flechaderecha B''(0,10) & \ flechaderecha B''(2,10), \ flechaderecha C''(-5,7) & \ flechaderecha C''(-3,7). \fin \]
Así obtendrás el triángulo completamente trasladado que se muestra a continuación.
Fig. 4. El triángulo A''B''C'' anterior es el triángulo final, la imagen de la traslación. El triángulo A'B'C es el triángulo tras la traslación vertical, y el triángulo ABC es la imagen previa.
Fórmula de traslación
La traslación en Geometría depende de si la figura se traslada verticalmente, horizontalmente o ambas cosas. Matemáticamente, la función de traslación viene dada por
\[ g(x) = f(x - k) + C, \]
donde \(k\) indica el número de unidades de traslación en el eje \(x\), y \(C\) indica el número de unidades de traslación en el eje \(y\). Esto significa que \(k\) es cuánto se ha desplazado la figura horizontalmente, y \(C\) es cuánto se ha desplazado la figura verticalmente.
Asegúrate de recordar el signo negativo antes de \(k\) en la fórmula. De lo contrario, acabarás trasladando tu función en la dirección equivocada.
Tipos de traslación
En Geometría, las formas pueden trasladarse tanto horizontal como verticalmente. En ambos casos, pueden moverse en sentido positivo o negativo, y a menudo tendrás que combinar las traslaciones horizontal y vertical en una sola transformación. De ahí que sea importante comprender cómo funcionan ambas.
Recordemos la fórmula general de las traslaciones
\[ g(x) = f(x - k) + C. \]
Traslación horizontal
Para que se produzca la traslación horizontal, la fórmula anterior se sustituye por \[g(x)=f(x-k).\]
En esta fórmula, \(k\) determina la cantidad que se trasladará la función, y en qué dirección se aplicará la transformación.
- Si \(k>0\), la traslación es hacia la derecha (en sentido positivo),
- Si \(k<0\), la traslación es hacia la izquierda (en sentido negativo).
Traslación vertical
La traslación vertical funciona igual que la traslación horizontal, pero ahora nos fijamos en el valor de \(C\) en la fórmula en lugar de en \(k\). La fórmula es
\[ g(x) = f(x) + C. \]
El signo de \(C\) determina el sentido de la traslación de la siguiente manera,
- Si \(C>0\), la traslación es hacia arriba.
- Si \(C<0\), la traslación es hacia abajo.
La fórmula general de traslación antes mencionada \[g(x)=f(x-k)+C,\] combina las traslaciones horizontal y vertical.
El razonamiento para los valores de \(k\) y \(C\) es el mismo que el mencionado en Traslación horizontal y Traslación vertical.
Ejemplos de traslación
Veamos primero un ejemplo de traducción horizontal de una función conocida.
Esboza \(f(x) = x^2, g(x) = (x-2)^2\) y \( h(x) = (x+2)^2\).
Solución
En primer lugar, esboza \(f(x) = x^2.\) Probablemente habrás visto esta función antes, pero si no es así, introduce algunos valores distintos de \(x\) en la fórmula de \(f(x)\) para hacerte una idea aproximada de la forma que tendrá la gráfica. Debería tener este aspecto,
Fig. 5. La gráfica de \(f(x) = x^2\).
A continuación, quieres dibujar \(g(x) = (x-2)^2 \). Recuerda la fórmula de traslación:
\[ g(x) = f(x - k) + C. \]
Si metes \(x-2\) en \(f\), obtendrás \(f(x-2) = (x-2)^2 = g(x)\). Por tanto, \(k=2\) en nuestra fórmula. Como es \(k\) lo que cambia, debe ser una traslación horizontal. Esto significa que la gráfica de \(g(x)\) será la misma que la gráfica de \(f(x)\), pero trasladada hacia la derecha 2 puntos. La traslación se hace hacia la derecha, ya que \(k>0\).
Fig. 6. La gráfica de \(g(x) = (x-2)^2 \) es la misma que la gráfica de \(f(x) = x^2\), pero trasladada 2 unidades a la derecha.
Por último, debes esbozar \(h(x) = (x+2)^2.\) Al igual que con \(g(x)\), se trata de una traslación horizontal de tamaño \(2\), pero como hay un signo más en lugar de un signo menos, debe trasladarse en la otra dirección, hacia la izquierda. De hecho, al identificar \(k\) en \(h(x)=f(x-(-2))^2\), tenemos \(k=-2\), y como \(k<0\), la traslación es hacia la izquierda.
Fig. 7. Si trasladas \(f(x) = x^2\) 2 puntos a la derecha, obtienes \(g(x) = (x-2)^2\). Del mismo modo, si lo trasladas 2 unidades a la izquierda, obtienes \(h(x) = (x+2)^2 \).
Veamos ahora un ejemplo similar, pero esta vez trasladando en sentido vertical.
Esboza \(f(x) = x^3, g(x) = x^3 + 1\) y \( h(x) = x^3 - 1.\)
Solución
Primero, haz un esbozo \( f(x) = x^3.\) Si nunca has visto esta función, empieza por escribir una tabla con los valores correspondientes de \(x\) y \(y\) para hacerte una idea aproximada de cómo debería ser en tu cabeza. \(f(x)\) tendrá este aspecto,
Fig. 8. El esbozo de \(f(x) = x^3.\)
A continuación, esboza \(g(x) = x^3 + 1\). Recuerda la fórmula de traslación,
\[ g(x) = f(x - k) + C. \]
Observa que esta vez, \(g(x) = x^3 + 1 = f(x) + 1.\) Por tanto, el \(C\) de nuestra fórmula es igual a 1 en este caso. Como lo que cambia es el \(C\), se trata de una traslación vertical. Como \(C\) es positivo, la traslación debe ser hacia arriba. Esto significa que la función \(g(x) \) será la misma que \( f(x) \), pero trasladada hacia arriba en 1. Esto se verá así,
Fig. 9. \(g(x) = x^3 + 1\) es la traslación de \(f(x) = x^3\) hacia arriba en 1.
Por último, debes esbozar \(h(x).\) De nuevo, es lo mismo que \(f(x)\) y tiene una traslación de 1, pero esta vez la traslación es hacia abajo.
Fig. 10. \(h(x) = x^3 - 1\) es la traslación de \(f(x) = x^3 \) hacia abajo en uno. Del mismo modo, \(g(x) = x^3 + 1\) es la traslación de \(f(x)\) hacia arriba en 1.
Reglas de traslación
Cuando trabajes con puntos y coordenadas, en lugar de utilizar la Fórmula de Traslación, debes utilizar las siguientes reglas de traslación.
Cuando un punto se desplaza a la derecha en \(k\), sustituye \(x\) por \(x + k\).
Cuando un punto se desplaza a la izquierda por \(k\), sustituye \(x\) por \(x - k\).
Cuando un punto se desplaza hacia arriba en \(C\), sustituye \(y\) por \( y + C\).
Cuando un punto se desplaza hacia abajo en \(C\), sustituye \(y\) por \(y - C\).
Para trasladar toda una forma, aplica estas reglas a cada uno de los puntos de la forma. Veamos ahora algunos ejemplos que utilizan estas reglas.
Ejemplos con reglas de traslación
En primer lugar, veamos un ejemplo de traslación horizontal.
Traslada el rectángulo con los puntos \(A(-5, 7), B(2, 7), C(-5, 3), D(2,3) \) 5 unidades hacia abajo.
Solución
Primero, traza el rectángulo. Puedes llamar a este rectángulo \(X.\)
Fig. 11. Éste es el trazado original del rectángulo, la imagen previa.
Recuerda que cuando una figura se traslada 5 unidades hacia abajo, el cambio es vertical y sólo en la coordenada \(y-\)-. No hay cambio en las coordenadas \(x-\)-. Por tanto, debes restar 5 a toda la componente \(y-\)en cada punto.
Sea \(X'\) la imagen trasladada de \(X,\) entonces tenemos la aplicación \( (x,y) \arrow (x, y-5) \). Puedes aplicar esto a cada uno de los puntos para obtener
\[ \begin{align} A(-5, 7) & flechaderecha A'(-5,2) \ B(2,7) & flechaderecha B'(2,2) \ C(-5, 3) & flechaderecha C'(-5, -2) \ D(2,3) & flechaderecha D'(2, -2). \fin{align} \]
Por tanto, tienes las coordenadas del rectángulo trasladado. A continuación se muestra la gráfica de este nuevo rectángulo.
Fig. 12. El rectángulo inferior (A'B'C'D') es el resultado de trasladar el rectángulo superior (ABCD) hacia abajo en 5.
Observarás que la figura está trasladada, pero el tamaño de la imagen sigue siendo el mismo que el de la imagen previa.
Veamos un ejemplo que se traduce horizontalmente. Esto requiere que sólo se vean afectados los valores del eje \(x-\) y no los valores del eje \(y-\)-.
Traslada el triángulo con los puntos \( A(-6, 2), B(-4,4), C(-2,1) \) 4 unidades a la derecha.
Solución
Traza los puntos para formar el triángulo. Llama a este triángulo \(X\).
Fig. 13. Éste es el triángulo original, \(A(-6,2), B(-4,4), C(-2,1) \).
Cuando se quiere trasladar una figura hacia la derecha, el cambio es horizontal y sólo en la coordenada \(x-\). No hay cambio en las coordenadas \(y-\). Por tanto, debes sumar 4 a la componente \(x-\) en cada punto.
Sea \(X'\) imagen trasladada de \(X,\) entonces tenemos la aplicación \ ( (x,y) \arrow (x+4, y) \). Puedes aplicar esto a cada uno de los puntos para obtener
\[ \begin{align} A(-6,2) y flechaderecha A'(-2,2) \ B(-4,4) y flechaderecha B'(0,4) \ C(-2,1) y flechaderecha C'(2,1). \fin \]
Estas son las coordenadas del triángulo trasladado. A continuación se representa gráficamente,
Fig. 14. El triángulo A'B'C es la traslación del triángulo ABC 4 puntos hacia la derecha.
Sin embargo, como ya se ha establecido, la traslación puede hacerse horizontalmente, verticalmente o en ambos sentidos. Este es un ejemplo en el que se aplica una traslación en ambas direcciones al mismo tiempo.
Una figura con los puntos \(A(-4,1), B(-4,3), C(-3,4), D(-1,2) \) se traslada de modo que \( (x,y) \rightarrow (x+5, y+1) \). Haz un esquema de la figura original y de la nueva figura tras la transformación.
Solución
Primero, dibuja la figura inicial.
Fig. 15. Es el polígono \( A(-4,1), B(-4,3), C(-3,4), D(-1,2).\)
Llama a este polígono inicial \(X. \) Ahora, halla los valores de la imagen.
Sea \( X'\) la imagen trasladada de \(X.\ ) Entonces \( (x,y) \rightarrow (x+5, y+ 1),\) como está dado. Por tanto
\[ \begin{align} A(-4,1) y flecha derecha A'(1,2) \ B(-4,3) y flecha derecha B'(1,4) \ C(-3,4) y flecha derecha C'(2,5) \ D(-1,2) y flecha derecha D'(4,3) \ fin. \]
Estas son las coordenadas de la nueva figura. Esta figura se representa a continuación.
Fig. 16. El polígono A'B'C'D' es la traslación del polígono ABCD hacia arriba en 1 y hacia la derecha en 5.
También es importante ser capaz de averiguar qué traslación ha sufrido una figura, basándose en la imagen y la preimagen.
En la siguiente imagen, el triángulo ABC es la preimagen y el triángulo A'B'C' es la imagen. ¿Cuál ha sido la traslación del triángulo?
Imagen 17. La preimagen de la transformación es el triángulo ABC, y la imagen de la transformación es el triángulo A'B'C'.
Solución
Podemos dibujar una tabla y recoger todos los puntos de la preimagen (ABC) y de la imagen (A'B'C').
| Puntos de la preimagen | Puntos de la imagen |
| A \((0,0)\) | A' \( (3,0) \) |
| B \((3,-6)\) | B' \((6, -6)\) |
| C \((5,-2)\) | C' \( (8,-2)\) |
Puedes ver en la tabla anterior que en la imagen, cada componente \(x\) aumenta en 3, pero los valores \(y\) permanecen iguales. Esto significa que el triángulo se ha desplazado 3 puntos hacia la derecha.
\[(x,y) \arrow (x+3,y). \]
Veamos ahora un problema similar, pero con una traslación en sentido horizontal y vertical.
En la imagen de abajo, el triángulo ABC es la imagen previa y el triángulo A'B'C' es la imagen. ¿Por qué se ha trasladado el triángulo?
Fig. 18. La preimagen de la transformación es el triángulo ABC, y la imagen de la transformación es el triángulo A'B'C'.
Solución
Puedes dibujar una tabla y recoger todos los puntos de la preimagen (ABC) y de la imagen (A'B'C').
Puntos de la preimagen | Puntos de la imagen |
A \( (-8,4) \) | A' \( (-5, 3) \) |
B \((-5,5)\) | B' \((-2,4)\) |
C \((-4,1) \) | C' \( (-1,0)\) |
Podemos ver en la tabla anterior que en la imagen, cada coordenada \(x\) aumenta en 3, y la coordenada \(y\) se reduce en 1. Esto significa que el triángulo se ha desplazado 3 puntos hacia la derecha y un punto hacia abajo.
\[ (x,y) \arrow (x+3, y-1). \]
Traslados - Puntos clave
- La traslación es el desplazamiento de una figura de su posición original a otra, sin cambio de tamaño, forma o rotación.
- La preimagen de una traslación es la figura original, y la imagen es la nueva figura una vez que ha sufrido la traslación.
- La fórmula de traslación es \( g(x) = f(x - k) + C, \) donde \(C\) es la cantidad en que la figura se ha desplazado hacia arriba, y \(k\) es la cantidad en que la imagen se ha desplazado hacia la derecha. Si se desplaza hacia abajo o hacia la izquierda, los valores de \(k\) y \(C\) serán negativos.
- Las reglas de traslación son
Cuando un punto se desplaza hacia la derecha en \(k\), sustituye \(x\) por \(x + k\).
Cuando un punto se desplaza a la izquierda por \(k\), sustituye \(x\) por \(x - k\).
Cuando un punto se desplaza hacia arriba en \(C\), sustituye \(y\) por \( y + C\).
Cuando un punto se desplaza hacia abajo en \(C\), sustituye \(y\) por \(y - C\).
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