Transformaciones de similitud

Dado $∆ABC$ abajo con coordenadas$A(2,1),B(2,3),C(5,1)$un centro de dilatación $(0,0)$y un factor de escala de 2.

Aplica la dilatación al polígono y traza $∆A\text{'}B\text{'}C\text{'}$.

Solución:

Paso 1: Empezaremos dibujando la imagen previa $∆ABC$.

Paso 2: Por la pregunta, vemos que el factor de escala es 2. Observa que el factor de escala es mayor que 1. Esto significa que se trata de una ampliación. Por tanto, multiplica cada coordenada x e y de $∆ABC$ por el factor de escala, 2. Véase la tabla siguiente.

Las figuras del gráfico siguiente muestran formas con coordenadas $P(2,2),Q(2,4),R(6,4),S(6,2)andW(5,5),X(5,9),Y(12,9),Z(12,5).$ Determina si son semejantes o no.

Paso 1: Haz un diagrama

Como puedes ver en el gráfico, las figuras se han dilatado, lo que significa que se ha producido alguna transformación.

Paso 2: La forma más rápida de comprobar sus semejanzas es comparar las coordenadas de ambas figuras. La primera figura es $PQRS$y la segunda es $WXYZ$. En primer lugar, tenemos que identificar los vértices correspondientes. Los rectángulos están ambos en orientación horizontal, por lo que podemos hacer coincidir la parte inferior izquierda de uno con la parte inferior izquierda del otro y así sucesivamente. Deberías obtener que P corresponde a W (ambos abajo a la izquierda), S corresponde a Z (abajo a la derecha), Q a X (arriba a la izquierda) y R a Y (arriba a la derecha).

A continuación, comprobamos

$\frac{Px}{Wx}=\frac{Py}{Wy}=\frac{Sx}{Sy}=\frac{Zx}{Zy}=\frac{Qx}{Xx}=\frac{Qy}{Xy}=\frac{Rx}{Yy}$

Paso 3: Introduciendo las coordenadas en la ecuación anterior, obtenemos

$\frac{2}{5}=\frac{2}{5}\ne \frac{6}{12}\ne \frac{2}{5}=\frac{2}{5}\ne \frac{4}{9}\ne \frac{6}{12}\ne \frac{4}{9}$

Como puedes ver, las coordenadas no son iguales, por lo que no existe semejanza.

Obtendrás el cociente de cada coordenada para ver si tendrán el mismo factor de escala.

El primer conjunto de coordenadas a comparar es $P(2,2)andW(5,5)$. El cociente será $\frac{2}{5}:\frac{2}{5}$. Son iguales.

El segundo conjunto es $Q(2,4)andX(5,9).$ (La proporción será $\frac{2}{5}:\frac{4}{9}$. Nuestro resultado no es igual, lo que significa que las cifras no pueden ser semejantes. Si hubiéramos obtenido $\frac{2}{5}$ en lugar de $\frac{4}{9}$entonces habríamos continuado con la siguiente coordenada para ver si obteníamos otro $\frac{2}{5}$ como factor de escala. El factor de escala difiere, por lo que las figuras no son semejantes.

Otra forma de hacerlo es mirar la propia gráfica. Debes comparar los lados correspondientes de las figuras y ver si tienen la misma proporción.

A partir de la figura $\overline{PQ}$ es 2 y $\overline{WX}$ es 4. La proporción aquí es $\frac{2}{4}$ que es $\frac{1}{2}$.

$\overline{QR}$ es 4 y $\overline{XY}$ es 7. La proporción aquí es $\frac{4}{7}$. $\frac{1}{2}$ es muy diferente de $\frac{4}{7}$.

Por lo tanto, no existe semejanza.

Determina si las siguientes figuras son similares o no.

En realidad, no puedes saber si son similares con sólo mirarlas, porque están colocadas en posiciones diferentes. Vamos a rotar y luego trasladar la primera figura y ver el resultado.

Tras girar y trasladar, se obtuvo la figura anterior. Como puedes ver, ambas están en la misma orientación y ahora puedes hacer comparaciones utilizando las partes correspondientes.

$\frac{30}{40}=\frac{21}{28}=\frac{3}{4}$

Las piezas están en la misma proporción. Por tanto, son similares.