Reflexiones deslizantes

Significado del reflejo de deslizamiento

El significado de reflejo de deslizamiento está en su nombre. El reflejo de deslizamiento tiene un efecto de deslizamiento y reflejo cuando se aplica a cualquier imagen.

Sólo hay dos datos que debes conocer al realizar operaciones de reflexión por deslizamiento: la regla de traslación y la línea sobre la que reflejar tu figura. En la siguiente figura se muestra un ejemplo sencillo de cómo funciona esto.

Fig. 1. Reflexión de deslizamiento sobre pasos.

Patrón de reflexión deslizante

Una reflexión de deslizamiento es una Simetría que sigue un patrón de transformaciones. El patrón de reflexión por deslizamiento consiste en dos transformaciones: reflexión sobre una recta y traslación a lo largo de la recta tomada. Por tanto, existe una reflexión de cualquier figura y una traslación (o deslizamiento) de esa figura.

Esta Composición es conmutativa, por lo que no importa si una imagen se refleja y luego se desliza o viceversa. Además, la forma y el tamaño siguen siendo los mismos tras la composición de reflexión por deslizamiento.

En el siguiente ejemplo de la imagen de los pasos, podemos ver los dos posibles patrones de reflexión de deslizamiento.

Fig. 2. Patrones de reflexión de deslizamiento.

La imagen resultante en ambos casos de composición - \(T\circ r\) o \(r\circ T\) será siempre la misma. En resumen, en la reflexión de deslizamiento, puedes ver primero la reflexión y luego la traslación o viceversa.

Fórmula de la reflexión de deslizamiento

Como ya hemos dicho, la reflexión por deslizamiento consiste en el proceso de convertir la figura \(P\) en \( {P}''\). Sin embargo, este proceso consta de dos pasos:

• Trasladar la figura \(P\arrow {P}'\).
• Reflejar la figura \( {P}'flecha derecha {P}''\) .

La fórmula de la reflexión de deslizamiento es la secuencia de composición de las transformaciones de traslación y reflexión.

\[Flecha derecha \text{reflexión de deslizamiento} = T\circ r \; \text{o}\; r\circ T\]

Fórmula de traslación

Al realizar la traslación, utiliza las siguientes fórmulas de traslación:

• Una traslación positiva en el eje x desplazaría la imagen hacia la derecha, mientras que una traslación negativa en el eje x la desplazaría hacia la izquierda. \text{Traducción positiva}: (x,y) \rightarrow (x+h,y)\} \text{Traducción negativa}: (x,y) \rightarrow (x-h,y)\}
• La traslación positiva en el eje y desplazaría la imagen hacia arriba, mientras que la traslación negativa en el eje y desplazaría la imagen hacia abajo. \[\text{Traducción positiva}: (x,y) \rightarrow (x,y+k)\} \[\text{Traducción negativa}: (x,y) \rightarrow (x,y-k)\}
• La traslación combinada se produce desplazando el eje x y el eje y simultáneamente. \text{Traducción positiva del eje x,y}: (x,y) \rightarrow (x+h,y+k)\} \text{Traducción negativa del eje x,y}: (x,y) \rightarrow (x-h,y-k)\} \text{Traducción positiva del eje x y negativa del eje y}: (x,y) flecha derecha (x+h,y-k)\] \eje x negativo y traslación al eje y positiva}: (x,y) \flechaderecha (x-h,y+k)\]

¿Cuáles son las reglas de la reflexión?

• Reflexión sobre el \(eje x\) : \((x,y)\) imagina \((x,-y)\).
• Reflexión sobre el eje Y : \((x,y)\) representa a ((-x,y)\).
• Reflexión sobre \(y=x\) : \(x,y) es igual a (y,x).
• Reflexión sobre \(y=-x\) : \((x,y)\) imágenes \((-y,-x)\).

Simetría de reflexión por deslizamiento con un ejemplo

Veamos cómo realizar la simetría de reflexión por deslizamiento con un ejemplo. Supongamos que tenemos una preimagen de \(\gran triángulo sobre XYZ\) con coordenadas puntuales \(X(-4,-1), Y(-6,-4), Z(-1,-3)\). Este triángulo \(\grantriánguloarriba XYZ\) se traslada positivamente hacia la derecha con \(10\) unidades formando \(\grantriánguloarriba X'Y'Z'\). Así, esta preimagen se desplaza hacia la derecha, añadiremos \(10\) unidades al eje x de todos los puntos de coordenadas.

\[X(-4,-1) \a la derecha X'(-4+10,-1)=X'(6,-1)\a la izquierda].

\[Y(-6,-4) \flechaderecha Y'(-6+10,-4)=Y'(4,-4)\]

\[Z(-1,-3) \flecha derecha Z'(-1+10,-3)=Z'(9,-3)\]

Podemos ver esta traslación en la siguiente figura.

Fig. 3. Traslación del triángulo XYZ.

Ahora la imagen trasladada \(\triángulo grande arriba X'Y'Z'\) se hace reflejada sobre el eje x. Es decir, tomaremos la negación de las coordenadas del eje y para todos los puntos.

\X'(6,-1) =X''(6,-(-1))=X''(6,1)

\[Y'(4,-4) \ flecha Y''(4,-(-4))=Y''(4,4)\]

\[Z'(9,-3) \flecha derecha Z''(9,-(-3))=Z''(9,3)\]

Podemos ver la imagen reflejada \(\gran triánguloarriba X''Y''Z''\) en la siguiente figura esta \(\gran triánguloarriba X''Y''Z''\) es la imagen resultante de \(\gran triánguloarriba XYZ\) por reflexión de deslizamiento.

Fig. 4. Reflexión de deslizamiento del triángulo XYZ.

Ejemplo de reflexión por deslizamiento

Como ya hemos dicho, las reflexiones de deslizamiento implican traslaciones y reflexiones sobre la misma figura. En realidad no importa qué se haga primero; la reflexión o la traslación, lo que importa es que la línea de reflexión sea paralela a la traslación. Veamos algunos ejemplos a continuación.

Vamos a ver otro ejemplo.