Área de Figuras Planas: Triángulo, Cuadrado

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¿Qué son las figuras planas?

Las figuras planas son superficies bidimensionales que no tienen altura ni grosor.

Área de figuras planas en matemáticas

En Matemáticas, los problemas sobre el área de figuras planas pueden presentarse de dos formas. En primer lugar, puede que sólo te den una figura plana que puede ser regular o irregular para determinar sus áreas, como hallar el área de cualquier polígono, círculo o cruz.

En segundo lugar, se te puede pedir que halles el área de una superficie plana derivada de un sólido tridimensional. Por ejemplo, si te piden que halles el área de la base de un prisma triangular, sin duda significa que te han pedido que halles el área de un plano triangular, ya que la base de ese prisma es triangular. Estate atento, porque tu planteamiento depende del formato de la pregunta.

Tipos de área de figuras planas

Las figuras planas o formas planas se clasifican en figuras regulares y figuras irregulares.

Figuras planas regulares

Tenemos figuras planas regulares cuando los ángulos interiores y la longitud de los lados son iguales. Ejemplos de figuras planas regulares son, por ejemplo, un cuadrado, un triángulo equilátero y un polígono regular (pentágono regular, hexágono regular, heptágono regular, octógono regular, etc.).

Área de figuras planas Imagen de figuras planas regulares StudySmarter

Imagen de figuras planas regulares, StudySmarter Originals

Figuras planas irregulares

Las figuras planasirregulares se dan cuando los ángulos interiores o la longitud de sus lados son desiguales. Ejemplos de figuras planas irregulares son un rectángulo, un paralelogramo, un triángulo no equilátero (rectángulo, isósceles, escaleno), cuadriláteros irregulares, pentágonos irregulares, hexágonos irregulares, etc.

Área de figuras planas Imágenes de figuras planas irregulares StudySmarter Originals

Imágenes de figuras planas irregulares, Originales de StudySmarter

¿Cómo resolver el área de figuras planas?

Vamos a ver cómo hallar el área de varias formas planas. Es importante tener en cuenta que la unidad de área es el cuadrado, por ejemplo $c m^{2}, f t^{2}, m^{2}$ etc.

Triángulos

Un triángulo es una forma plana de 3 lados. La fórmula general utilizada para calcular el área de un triángulo es el producto de la mitad de su base por la altura:

Área de figuras planas Ilustración sobre el área de un triángulo StudySmarter Ilustración sobre el área de un triángulo, StudySmarter Originals

$A_{t r i a n g l e} = \frac{1}{2} \times b a s e \times h e i g h t = \frac{1}{2} \times b \times h .$

Hay que desbrozar un césped triangular de 12 m de longitud de base y 15 m de altura. Calcula el tiempo que se tarda en limpiar el césped si se tarda 4 minutos en limpiar un metro cuadrado de césped.

Solución:

Como el césped es un triángulo, necesitamos hallar su área. Recordamos que el área de un triángulo viene dada por,

$A_{t r i a n g u l a r l a w n} = \frac{1}{2} \times b \times h$

Aquí b=12 m y h=15 m. Sustituyendo en la fórmula, tenemos

$A_{t r a i n g u l a r l a w n} = \frac{1}{2} \times 12 \times 15 = 6 \times 15 = 90 m^{2}$

Recordamos que $1 m^{2}$ de césped tarda 4 minutos en limpiarse, luego $90 m^{2}$ tardará,

$4 m i n s \times 90 = 360 m i n s$

Pero, 1 h son 60 min, por tanto, 360 min son 6 horas.

Finalmente, un individuo tardará 6 horas en limpiar el césped.

Cuadriláteros

Un cuadrilátero es una forma plana de 4 lados en la que la suma de sus ángulos interiores es igual a 360 grados. Hay varios cuadriláteros, cada uno tiene una fórmula para calcular su área.

Rectángulo

Un rectángulo tiene todos los ángulos interiores iguales a 90 grados y sus lados opuestos son iguales.

Área de figuras planas Ilustración sobre el área de un rectángulo StudySmarter Ilustración sobre el área de un rectángulo, StudySmarter Originals

El área de un rectángulo viene dada por,

A r e a_{r e c \tan g l e} = l e n g t h \times b r e a d t h

Cuadrado

Un cuadrado tiene todos sus ángulos interiores iguales a 90 grados. Además, tiene todos sus lados iguales.

Área de figuras planas Ilustración sobre el área de un cuadrado, StudySmarter Ilustración sobre el área de un cuadrado, StudySmarter Originals

El área del cuadrado viene dada por

A r e a_{s q u a r e} = l e n g t h \times b r e a d t h = l^{2}

Un garaje rectangular arenoso de 16 m de longitud y 18 m de anchura se va a pavimentar con 2 m de baldosas cuadradas. ¿Cuántas baldosas harían falta para completar el pavimento?

Solución:

Primero tenemos que calcular el tamaño del garaje rectangular. Para ello calculamos su superficie,

$A_{r e c \tan g u l a r g a r a g e} = l \times b = 16 \times 18 = 288 m^{2}$

A continuación, debemos hallar el tamaño de la baldosa calculando el área del cuadrado,

$A_{s q u a r e t i l e} = l^{2} = 2^{2} = 4 m^{2}$

Para deducir cuántas baldosas pavimentarían el garaje, tenemos

$n u m b e r o f t i l e s = \frac{A r e a_{r e c \tan g u l a r g a r a g e}}{A r e a_{s q u a r e t i l e}} = \frac{288}{4} = 72 .$

Por tanto, se necesitarían 72 baldosas para pavimentar el garaje.

Rombo

Un rombo también se llama diamante. También tiene todos sus lados iguales. Sus lados opuestos son paralelos. Su área se calcula multiplicando sus diagonales y dividiendo por 2.

Área de figuras planas Una ilustración sobre el área de un rombo StudySmarter Una ilustración sobre el área de un rombo, StudySmarter Originals

El área de un rombo viene dada por,

A r e a_{R h o m b u s} = \frac{f i r s t d i a g o n a l \times s e c o n d d i a g o n a l}{2} = \frac{d_{1} \times d_{2}}{2} .

Las diagonales de un rombo miden 18 cm y 6 cm respectivamente, halla el área del rombo.

Solución:

El área de un rombo viene dada por,

$A r e a_{R h o m b u s} = \frac{d_{1} \times d_{2}}{2} = \frac{18 \times 6}{2} = 54 c m^{2}$

Paralelogramo

Un paralelogramo tiene sus lados opuestos paralelos e iguales. Su área se calcula hallando el producto entre la base y la altura del paralelogramo.

Área de figuras planas Una ilustración sobre el área de un paralelogramo StudySmarter Una ilustración sobre el área de un paralelogramo, StudySmarter Originals

El área de un paralelogramo viene dada por,

$A r e a_{p a r a l l e \log r a m} = b \times h$

Halla el área de un paralelogramo de base 12 cm y altura 30 cm.

Solución:

$A r e a_{p a r a l l e \log r a m} = b \times h = 12 \times 30 = 360 c m^{2}$

Cometa

Una cometa tiene sus lados adyacentes iguales los ángulos interiores opuestos son iguales. El área de una cometa se calcula hallando el producto entre sus dos diagonales y dividiéndolas por 2.

Área de figuras planas Una ilustración sobre el área de una cometa StudySmarter Una ilustración sobre el área de una cometa, StudySmarter Originals

El área de una cometa viene dada por,

A r e a_{K i t e} = \frac{d_{1} \times d_{2}}{2}

Trapecio

Un trapecio es una forma bidimensional, que tiene dos de sus lados paralelos normalmente llamados bases. Su área se obtiene sumando las bases y multiplicando por la mitad de su altura.

Área de figuras planas Una ilustración sobre el área de un trapecio StudySmarter Ilustración del área de un trapecio, StudySmarter Originals

El área de un Trapecio viene dada por,

$A r e a_{t r a p e z i u m} = \frac{h (a + b)}{2}$

En la habitación de Finicky hay un armario de base trapezoidal con una altura de 15 cm y bases de 13 cm y 27 cm respectivamente. Halla el tamaño del suelo que ocupa.

Solución:

Tenemos que hallar el área del armario de base trapezoidal mediante la fórmula,

$A_{p a r a l l e \log r a m} = \frac{h (a + b)}{2} = \frac{15 (13 + 27)}{2} = \frac{15 (40)}{2} = 300 c m^{2}$

Pentágono

Un pentágono es una figura plana de 5 lados. Posee un apotema que es la distancia perpendicular desde el punto medio de cualquiera de sus lados al centro del pentágono. La suma de todos los ángulos interiores de un pentágono es de 540 grados, mientras que cada ángulo interior es igual a 108 grados para un pentágono regular.

Área de figuras planas Una ilustración sobre el área de un pentágono, StudySmarter Una ilustración sobre el área de un pentágono, StudySmarter Originals

Denotamos por b la longitud del lado y por a la apotema,

$A r e a_{P e n t a g o n} = \frac{1}{4} (\sqrt{5 (5 + 2 \sqrt{5})}) \times b^{2}$

Sin embargo, si se da el apotema, el área es así

$A r e a_{P e n t a g o n} = \frac{5}{2} \times b \times a$

Halla el área de un pentágono con uno de sus lados de 6 cm.

Solución:

El área de un pentágono se calcula como,

$A_{p e n t a g o n} = \frac{1}{4} (\sqrt{5 (5 + 2 \sqrt{5})}) \times b^{2}$

Pero b mide 6 cm, por tanto

$A_{p e n t a g o n} = \frac{1}{4} (\sqrt{5 (5 + 2 \sqrt{5})}) \times 6^{2} = 61.937 c m^{2}$

Hexágono

Un hexágono es un polígono de 6 lados. La suma de todos los ángulos interiores de un hexágono es igual a 720 grados y cada ángulo interior de un hexágono regular es igual a 120 grados.

Área de figuras planas Una ilustración sobre el área de un hexágono, StudySmarter Una ilustración sobre el área de un hexágono, StudySmarter Originals

Siendo b la longitud de cada lado y a la apotema, tenemos

$A r e a_{H e x a g o n e} = \frac{3 \sqrt{3}}{2} \times b^{2}$

Si se da la apotema, el área pasa a ser,

${Area}_{H e x a g o n} = \frac{1}{2} \times a \times perimeter of hexagon$

Un hexágono regular, cuyos lados son todos de igual longitud, tenemos

$A r e a_{R e g u l a r h e x a g o n} = \frac{1}{2} \times a \times 6 b = 3 a b$

Halla el área de un hexágono regular de 3,17 m de lado y 16,5 m de apotema.

Solución:

Utilizamos la fórmula para hallar el área de un hexágono con una apotema dada,

$A = 3 a b$

donde a es 16,5 m y b es 3,17 m, entonces,

$A r e a_{r e g u k a r h e x a g o n} = 3 \times 16.5 \times 3.17 = 156.915 m^{2}$

Círculo

Un círculo es una figura plana redonda cuyo límite (circunferencia) está formado por puntos equidistantes de un punto fijo llamado centro. Una línea que pasa el círculo de un extremo a otro por su centro es el diámetro. Una línea trazada desde cualquier parte de la circunferencia al centro del círculo es el radio.

Área de figuras planas Una imagen que ilustra el área de un círculo con el radio y el diámetro, StudySmarter Imagen que ilustra el área de un círculo con el radio y el diámetro, StudySmarter Originals

El área de un círculo viene dada por la fórmula,

A r e a_{c i r c l e} = π r^{2}

Halla el área de un círculo con un radio de 7 cm. Take id="5167329" role="matemáticas" $π = \frac{22}{7} .$

Solución:

Aquí r es 7 cm, y $π = \frac{22}{7}$ entonces

id="5167330" role="math" $A r e a_{c i r c l e} = π r^{2} = \frac{22}{7} \times 7^{2} = 154 c m^{2}$

Algunas formas planas irregulares

Es fácil calcular el área de formas regulares porque la fórmula se aplica directamente. Sin embargo, cuando se quiere deducir el área de formas irregulares, hace falta algo más que aplicar fórmulas.

Lo primero que hay que hacer es encontrar una conexión o semejanza entre la forma irregular y una forma regular. Esto permitirá determinar qué fórmula puede utilizarse después.

Halla el área de la siguiente figura,

Área de figuras planas Imagen de una figura en cruz StudySmarter Una imagen de una forma de cruz, StudySmarter Originals

Solución:

El área de la figura de arriba se obtiene mejor si la figura se divide en formas regulares.

Área de figuras planas Ilustración sobre cómo calcular el área de una figura en cruz StudySmarter Ilustración de cómo calcular el área de una cruz, StudySmarter Originals

Así pues, la figura se ha dividido en los rectángulos A, B y C.

Calculemos el área de cada uno. Recordemos que el área de un rectángulo viene dada por,

$A r e a_{r e c \tan g l e} = l e n g t h \times b r e a d t h$

Por tanto,

$A r e a_{A} = 9 \times 3 = 27 c m^{2}$ .

Ahora, para hallar el área del rectángulo B, primero tenemos que hallar su longitud.

$L e n g t h_{r e c \tan g l e B} = 3 + 9 + 3 = 15 c m .$

Por tanto, el área del rectángulo B viene dada por,

$A r e a_{r e c a t n g l e B} = l e n g t h_{r e c \tan g l e B} \times b r e a d t h_{r e c \tan g l e B} = 15 \times 8 = 120 c m^{2}$

Pero

$A r e a_{A} = A r e a_{C} = 27 c m^{2} .$

Por tanto, el área de la forma inicial es la suma de las áreas de los tres rectángulos.

$A r e a_{i r r e g u l a r s h a p e} = A r e a_{A} + A r e a_{B} + A r e a_{C} = 27 + 120 + 27 = 174 c m^{2}$

Halla el área de la parte no sombreada del diagrama siguiente. Toma $π = \frac{22}{7} .$

Área de figuras planas Ilustración del área de un triángulo con un círculo inscrito, StudySmarter Ilustración del área de un triángulo con un círculo inscrito, StudySmarter Originals

Solución:

Definimos los valores conocidos en la figura anterior, la base del triángulo tiene una longitud de 16 cm, la altura del triángulo tiene una longitud de 20 cm y el radio r es de 7 cm.

Para hallar el área de la región no sombreada, que sí es irregular, observamos que la forma consiste en un triángulo grande con un círculo inscrito. El área de la región no sombreada es la parte no afectada por el círculo. Por tanto,

$A r e a_{u n s h a d e d r e g i o n} = A r e a_{t r i a n g l e} - A r e a_{c i r c l e}$

Pero recordamos que el área del triángulo se puede calcular utilizando la fórmula,

$A r e a_{t r i a n g l e} = \frac{1}{2} b a s e \times h e i g h t = \frac{1}{2} \times 16 \times 20 = 160 c m^{2} .$

El área del círculo se puede calcular utilizando la fórmula,

$A r e a_{C i r c l e} = π r^{2} = \frac{22}{7} \times 7^{2} = 154 c m^{2} .$

Finalmente, el área de la región no sombreada es,

$A r e a_{u n s h a d e d r e g i o n} = A r e a_{t r a i n g l e} - A r e a_{c i r c l e =} 160 - 154 = 6 c m^{2} .$

Ejemplos sobre el área de figuras planas

Para mejorar tu competencia en los problemas relativos al área de figuras planas, te aconsejamos que practiques más problemas. Aquí tienes algunos para reforzar tu competencia.

Si Un bloque cuboidal tiene una superficie superior de 8 m por 5 m y una altura de 12 cm. Si se utiliza una cubierta de cama elástica para evitar que los excrementos de los pájaros manchen su parte superior. ¿Cuál debe ser la superficie mínima de la cama elástica para que la superficie superior quede totalmente cubierta?

Solución:

Ten cuidado de no confundir la pregunta con la superficie total de un cuboide, ya que sólo se te ha pedido que halles la superficie de la parte superior del bloque. Esencialmente, el trampolín debe tener, como mínimo, el área de la parte superior. Por tanto, el área mínima del trampolín necesaria es

$A r e a = 8 m \times 5 m = 40 m^{2}$

Un armazón trapezoidal con una distancia superior y base de 4 m y 8 m respectivamente y una altura de 6 m debe hacerse con una teja cuadrada de 2 m de lado. ¿Cuántas tejas cuadradas se necesitan?

Solución:

El primer paso es hallar el área del marco, que es un trapecio.

$A r e a_{t r a p e z i u m} = \frac{h (a + b)}{2} A r e a_{t r a p e z i u m} = \frac{6 m (4 m + 8 m)}{2} A r e a_{t r a p e z i u m} = \frac{6 m (12 m)}{2} A r e a_{t r a p e z i u m} = \frac{72 m^{2}}{2} A r e a_{t r a p e z i u m} = 36 m^{2}$

A continuación, halla el área de la baldosa, que es un cuadrado.

$A r e a_{s q u a r e} = l e n g t h \times b r e a d t h = l^{2} A r e a_{s q u a r e} = {(2 m)}^{2} A r e a_{s q u a r e} = 4 m^{2}$

Ahora que tenemos el área tanto del marco (trapecio) como de la baldosa (cuadrado), vamos a averiguar cuántas de las baldosas se pueden utilizar para hacer el trapecio.

$N o . o f t i l e s n e e d e d = \frac{36 m^{2}}{4 m^{2}} N o . o f t i l e s n e e d e d = 9$

Área de figuras planas - Aspectos clave

Las figuras planas son superficies bidimensionales que no tienen altura ni grosor.
Las figuras planas son regulares cuando los ángulos interiores y la longitud de los lados son iguales.
Las figuras planas son irregulares cuando los ángulos interiores o la longitud de sus lados son desiguales.
El área se mide en unidades cuadradas.
El área de una figura plana se calcula en función del tipo de su forma.

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Tipos de área de figuras planas

Regular e Irregular

----------- Las formas planas están formadas por ángulos internos y longitudes de lados iguales.

Regular

----------- Las formas planas están formadas por ángulos internos o longitudes de lados desiguales.

Irregular

La fórmula general utilizada para calcular el área de un triángulo es el producto de la mitad de su base por la altura

Verdadero

Se va a desaguar una piscina triangular de 10 m de longitud de base y 12 m de altura. Calcula el tiempo (en horas) que se tarda en vaciar la piscina si se tarda 4 minutos en vaciar un metro cuadrado de la piscina.

4 horas

Cada ángulo interior de un rectángulo es de 70 grados

FALSO

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Preguntas frecuentes sobre Área de Figuras Planas

¿Qué es el área de figuras planas?

El área de figuras planas es la medida de la superficie encerrada dentro de los límites de una figura bidimensional.

¿Cómo se calcula el área de un rectángulo?

Para calcular el área de un rectángulo, se multiplica la longitud por el ancho: Área = largo x ancho.

¿Cuál es la fórmula del área de un triángulo?

La fórmula del área de un triángulo es: Área = (base x altura) / 2.

¿Cómo se encuentra el área de un círculo?

Para encontrar el área de un círculo, se usa la fórmula: Área = π x radio^2.

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