Iniciar sesión Empieza a estudiar
La app de estudio todo en uno
4.8 • +11 mil reviews
Más de 3 millones de descargas
Free
|
|

All-in-one learning app

  • Flashcards
  • NotesNotes
  • ExplanationsExplanations
  • Study Planner
  • Textbook solutions
Start studying

Circunferencia

Circunferencia

Seguro que sabes lo que es una circunferencia, pero es posible que nunca hayas sabido cuál es su ecuación matemática o su definición formal. En este artículo aprenderás las características más importantes de la circunferencia.

La circunferencia es el lugar geométrico en el plano de los puntos que equidistan de un punto llamado centro.

Elementos de la circunferencia

A continuación, hemos representado en una figura las distintas partes relacionadas con la circunferencia.

Circunferencia elementos circunferencia StudySmarterFig. 1. Elementos en una circunferencia.

Además, es importante tener claros los siguientes elementos:

  • Radio (r): la distancia entre cualquier punto de la circunferencia y el centro del círculo.

  • Diámetro (d): la distancia de un lado a otro de la circunferencia, que pasa por el centro del círculo.

  • Sector circular: área delimitada por dos radios.

  • Cuerda: distancia de un lado a otro de la circunferencia, que no pasa por el centro del círculo.

  • Segmento circular: área comprendida entre una cuerda y la circunferencia.

  • Tangente: línea exterior que toca la circunferencia del círculo en un punto.

  • Arco: porción de la circunferencia entre dos radios.

Ecuación de la circunferencia

Después de haber definido la circunferencia, vamos a ver cómo hallar su ecuación. Esta nos dará la fórmula de la circunferencia y nos permitirá representarla.

Ecuación reducida de la circunferencia

  • En primer lugar, tomamos un punto genérico del plano \( P(x,y) \) y el centro de la que será nuestra circunferencia con coordenadas \( C(c_1,c_2)\). El radio será \(r\).
  • Ahora, debemos imponer la condición de que todos los puntos estén a la misma distancia del centro. Esto es: \[d(P,C)=\sqrt{(x-c_1)^2+(y-c_2)^2}=r\]
  • Simplificando y elevando al cuadrado, obtenemos la ecuación de la circunferencia, que también se denomina ecuación reducida de la circunferencia: \[(x-c_1)^2+(y-c_2)^2=r^2\]

Con esta ecuación podemos obtener fácilmente las coordenadas del centro y la magnitud del radio, sin necesidad de aplicar ninguna fórmula. Sin embargo, resulta más complicada para hacer operaciones, puesto que los binomios no están desarrollados.

Ecuación general de la circunferencia

  • Podemos desarrollar los binomios de cada coordenada: \[x^2+c_1^2-2c_1x+y^2+c_2^2-2c_2y-r^2=0 \]
  • Al despejar: \[x^2+y^2-2c_1x-2c_2y+c_1^2+c_2^2-r^2=0\]
  • Ahora, podemos sustituir \( D=-2c_1, E=-2c_2\) y \(F=c_1^2+c_2^2-r^2\).

Así, obtenemos la ecuación general de la circunferencia: \[x^2+y^2+Dx+Ey+F=0\]

Ten en cuenta que si te encuentras la ecuación general de la circunferencia, para hallar las coordenadas del centro y el radio, puedes aplicar las fórmulas anteriores o completar los cuadrados para volver a tener los binomios.

Calcula el centro y el radio de la circunferencia: \[x^2+y^2-4x+6y+4=0\]

Solución

Identifica términos como: \[D=-4, E=6, F=4\]

Ahora, aplica la fórmula de cada uno de estos coeficientes para hallar las coordenadas del centro y el valor del radio:

\[\begin{align}D=-2c_1=-4 &\rightarrow c_1=2 \\E=-2c_2=6 &\rightarrow c_2=-3\\F=c_1^2+c_2^2-r^2 &\rightarrow r=3\end{align}\]

Por tanto, podemos decir que esta circunferencia tiene centro en \((2,-3)\) y su radio es \(r=2\).

Con estos datos podemos escribir la ecuación reducida de la circunferencia como: \[(x-2)^2+(y+3)^2=0\]

Posición relativa de un punto respecto a una circunferencia

Si lo que necesitas saber es la posición relativa entre un punto \( P(P_1,P_2)\) y una circunferencia, lo que tienes que determinar es la distancia entre el punto y el centro de la circunferencia, que tiene como fórmula:

\[d(P,C)=\sqrt{(P_1-c_1)^2+(P_2-c_2)^2}\]

Conociendo esta distancia, podemos decir que:

  • Si \(d(P,C)>r\), entonces \(P\) es exterior a la circunferencia.

  • Si \(d(P,C)=r\), entonces \(P\) pertenece a la circunferencia.

  • Si \(d(P,C)<r\), entonces \(P\) es interior a la circunferencia.

Calcula la posición relativa entre el punto \(P(1,-1)\) y la circunferencia \(x^2+y^2+2x-6y-6=0\).

Solución

En primer lugar, tienes que calcular el centro y el radio de la circunferencia.

Aplica las fórmulas anteriores y obtendrás:

\[\begin{align}c_1&=-1\\c_2&=3\\r&=4\end{align}\]

Ahora, calculamos la distancia del punto al centro: \[d(P,C)=\sqrt{(1-(-1))^2+(-1-3)^2}=\sqrt{20}=4,47\]

Como la distancia entre el punto y el centro es mayor que el radio, podemos decir que el punto es exterior a la circunferencia.

Posición relativa de una recta respecto a una circunferencia

Para determinar la posición relativa de una recta respecto a una circunferencia, tenemos que calcular la distancia entre la recta y el centro de la circunferencia, y comparar esta distancia con el radio. A esto se le llama cálculo de la distancia entre una recta y un punto.

Si tenemos una recta \(s\) con ecuación general: \[Ax+By+C=0\]

Entonces, la distancia entre la recta y un punto \(P(P_1,P_2)\) es: \[d(s,P)={\frac{|A·P_1+B·P_2+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}}\]

Para poder calcular la distancia con esta fórmula, la recta debe estar necesariamente en su forma general.

De igual manera, podemos determinar la posición relativa entre el punto y la recta como:

  • Si \(d(s,P)>r\), entonces la recta es exterior a la circunferencia y no se cortan en ningún punto.

  • Si \(d(s,P)=r\), entonces la recta es tangente a la circunferencia y se cortan en un solo punto.

  • Si \(d(s,P)<r\), entonces la recta es interior a la circunferencia y se cortan en dos puntos.

Calcula la posición relativa entre la recta \(3x-4y+2=0\) y la circunferencia \(x^2+y^2-4x-4=0\).

Solución

En primer lugar, identificamos los coeficientes de la circunferencia: \[D=-4, E=0, F=-4\]

Con esto, podemos determinar su centro y su radio:

\[\begin{align}c_1&=-\frac{D}{2}=2\\c_2&=-\frac{E}{2}=0\\r&=\sqrt{\frac{D^2}{4}+\frac{E^2}{4}-F}=\sqrt{8}\approx2,82\end{align}\]

Ahora, identificamos \(A\) y \(B\) en la recta:

\[\begin{align}A&=3 \\B&=-4 \\C&=2\end{align}\]

Por último, aplicamos la fórmula de la distancia entre una recta y un punto; siendo el punto, en este caso, el centro de la circunferencia:

\[\begin{align}d(s,C)&=\frac{|A·c_1+B·c_2+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}\\&=\frac{|3·2+-4·0+2|}{\sqrt{9+16}}\\&=\frac{8}{5}\\&=1,6\end{align}\]

Observamos que la distancia es menor que el radio; por tanto, la recta es interior a la circunferencia y la corta en dos puntos.

Posición relativa de dos circunferencias

Para determinar la posición relativa de dos circunferencias, lo único que tienes que hacer es calcular la distancia entre los centros de ambas y compararla con los radios respectivos. En el caso de contar con dos circunferencias \(C_1\) y \(C_2\), podemos encontrarnos en distintas situaciones:

  • Si \(d(C_1,C_2)>r_1+r_2\), son circunferencias exteriores y no se cortan en ningún punto.

  • Si \(d(C_1,C_2)=r_1+r_2\), son circunferencias tangentes exteriores y se cortan en un punto.

  • Si \(r_1-r_2<d(C_1,C_2)<r_1+r_2\), son circunferencias secantes y se cortan en dos puntos.

  • Si \(d(C_1,C_2)=r_1-r_2\), son circunferencias tangentes interiores y se cortan en un punto.

  • Si \(d(C_1,C_2)<r_1-r_2\,) son circunferencias interiores y no se cortan en ningún punto.

  • Si \(C_1\equiv C_2\), son circunferencias concéntricas y no se cortan en ningún punto.

Determina la posición relativa entre las siguientes circunferencias:

\[\begin{align}s&: x^2+y^2+4x-2y-4=0\\t&: x^2+(y-1)^2=0\end{align}\]

Solución

En primer lugar, calculas las coordenadas del centro y el radio de la circunferencia \(s\):

\[\begin{align}D=4&\rightarrow c_1=-2\\E=-2&\rightarrow c_2=1\\F=-4&\rightarrow r=3\end{align}\]

Por lo tanto, sabes que el centro tiene coordenadas \(C_s(-2,1)\) y un radio de 3.

Con esto, la ecuación reducida de la circunferencia \(s\) es:

\[s:(x+2)^2+(y-1)^2=9\]

Para la circunferencia \(t\), como ya está en forma reducida, podrás obtener su centro y radio fácilmente; siendo el centro \(C_t(0,1)\) y el radio de 1.

Ahora, determina la posición relativa entre ambas circunferencias, calculando la distancia entre los dos centros:

\[d(C_s,C_t)=\sqrt{(-2-0)^2+(1-1)^2}=\sqrt{4}=2\]

La distancia entre los puntos es de 2; lo que comprueba si se cumple la relación:

\[d(C_s,C_t)=r_s-r_t=2\]

Por tanto, podemos concluir que las circunferencias son tangentes interiores y se cortan en un punto.

Potencia de un punto respecto a una circunferencia

La potencia de un punto respecto a una circunferencia es otra manera de determinar la posición relativa entre un punto y una circunferencia.

  • Se tiene un punto exterior \(P\) a la circunferencia, del que parten dos rectas (cualesquiera) que cortan la circunferencia.
  • A partir de los puntos en los que las rectas cortan la circunferencia y el punto exterior, se forman dos triángulos que son semejantes, por tener un ángulo en común en el punto \(P\); tal como puedes observar en la siguiente figura.

Circunferencia potencia punto StudySmarterFig. 2. Un punto P exterior a la circunferencia, a partir del cual parten dos rectas que cortan la circunferencia en puntos \(A\) y \(B\), y sus semejantes \(A'\) y \(B'\).

Los triángulos \(\overline{PBA'}\) y \(\overline{PB'A}\) son semejantes, lo que implica que sus lados son proporcionales:

\[\frac{\overline{PA'}}{\overline{PB}}=\frac{\overline{PA}}{\overline{PB'}}\Rightarrow \overline{PA}·\overline{PB}=\overline{PA'}·\overline{PB'}\]

A esta cantidad \(\overline{PA}·\overline{PB}\) se le denomina potencia del punto P, respecto de la circunferencia C, y se escribe \(Pot_C(P)\).

Como esta cantidad se puede calcular para cualquier recta secante desde el punto \(P\), podemos hacer que esta recta sea la que pase por el centro de la circunferencia. Por tanto, la distancia del punto \(P\) al centro se denomina \(d\) y del centro hacia el punto de corte con la circunferencia opuesto al punto \(P\) es el radio.

Con esto, podemos determinar la potencia de cualquier circunferencia como: \[Pot_C(P)=(d-r)(d+r)=d^2-r^2\]

Gracias a esta relación, podemos determinar la posición de un punto p con respecto a la circunferencia, a través de su potencia:

  • Si \(d>r\Rightarrow Pot_C(P)>0\), el punto es exterior.
  • Si \(d=r\Rightarrow Pot_C(P)=0\), el punto pertenece a la circunferencia.
  • Si \(d<r\Rightarrow Pot_C(P)<0\), el punto es interior.

Tenemos la circunferencia: \[s:x^2+y^2-2x+6y+6=0\]

Calcula la potencia de los puntos \(P(3,1), Q(1,-1)\) y \(R(2,-2)\) con respecto a \(s\).

Solución

En primer lugar, determina el centro y el radio de la circunferencia:

\[\begin{align}c_1&=1\\c_2&=-3\\r&=2\end{align}\]

Por tanto, el centro tiene coordenadas \(C(1,-3)\) y el radio es de 2.

Recordando que la distancia entre dos puntos, es \[d(P,C)=\sqrt{(P_1-c_1)^2+(P_2-c_2)^2}\] , la potencia de los puntos es, entonces, \[Pot_C(P)=d^2-r^2=(3-1)^2+(1-(-3))^2-2^2=12-4=8>0\].

Como la potencia es mayor que cero, el punto P es exterior a la circunferencia.

Para el punto Q: \[Pot_C(Q)=d^2-r^2=(1-1)^2+(-1-(-3))^2-2^2=4-4=0\]

La potencia del punto \(Q\) es igual a cero, por lo que este punto pertenece a la circunferencia.

Por último, calcula la potencia del punto \(R\): \[Pot_C(R)=d^2-r^2=(2-1)^2+(-2(-(-3))^2-2^2=2-4=-2<0\]

Como la potencia del punto \(R\) es negativa, el punto es interior a la circunferencia.

La circunferencia - Puntos clave

  • La circunferencia es el lugar geométrico en el plano de los puntos que equidistan de un punto llamado centro.
  • La ecuación reducida de la circunferencia toma la forma: \[(x-c_1)^2+(y-c_2)^2=r^2\]
  • Desarrollando la ecuación reducida de la circunferencia, obtenemos la ecuación general de la circunferencia: \[x^2+y^2+Dx+Ey+F=0\]
  • Si la distancia entre un punto y el centro de la circunferencia es mayor que el radio, el punto es exterior. Si la distancia es menor que el radio, el punto es interior; y si la distancia y el radio son iguales, el punto pertenece a la circunferencia.
  • Para determinar la posición relativa entre una recta y una circunferencia, calculamos la distancia de la recta al centro de la circunferencia; si la distancia es mayor que el radio, la recta es externa; si la distancia es igual al radio, la recta es tangente; y si la distancia es menor que el radio, la recta es secante.
  • Para determinar la posición relativa entre dos circunferencias, calculamos los radios de ambas y comparamos con las distancias entre ambos centros.
  • La potencia de un punto respecto de una circunferencia es la relación que se obtiene por la semejanza entre dos triángulos formados por dos rectas secantes a la circunferencia que pasan por un mismo punto \(P\).

Preguntas frecuentes sobre Circunferencia

La circunferencia es el lugar geométrico en el plano de los puntos que equidistan de otro punto llamado centro.

Los elementos principales de la circunferencia son el radio y el centro. A partir de estos, también pueden obtenerse otros como: diámetro, sector circular, cuerda, segmento circular, recta tangente y arco, entre otros.

La ecuación reducida de la circunferencia se obtiene, simplemente, eligiendo un centro con coordenadas (c1,c2) y un radio (r). 


A partir de estos elementos, escribimos la ecuación de la circunferencia como: (x-c1)2+(y-c2)2=r2


Si desarrollas los binomios y agrupas términos, llegarás a la ecuación general de la circunferencia.

La ecuación reducida de la circunferencia se obtiene, simplemente, eligiendo un centro con coordenadas (c1,c2) y un radio r. 


A partir de estos elementos escribimos la ecuación de la circunferencia como: (x-c1)2+(y-c2)2=r2


Si desarrollas los binomios y agrupas términos, llegarás a la ecuación general de la circunferencia.

Las posiciones relativas de una recta y una circunferencia se determinan calculando la distancia entre la recta y el centro de la circunferencia.

  • Si la distancia es mayor que el radio, la recta es exterior.
  • Si la distancia es igual al radio, la recta es tangente.
  • Si la distancia es menor que el radio, la recta es secante.

Cuestionario final de Circunferencia

Pregunta

¿Qué es el diámetro de una circunferencia?

Mostrar respuesta

Answer

Es la distancia de la línea que une dos puntos de la circunferencia pasando por el centro.

Show question

Pregunta

¿Qué es la circunferencia de un círculo?

Mostrar respuesta

Answer

La circunferencia es el perímetro de un círculo. El círculo es el área encerrada por la circunferencia.

Show question

Pregunta

¿Qué es el radio de la circunferencia?

Mostrar respuesta

Answer

Es la distancia entre un punto de la circunferencia y su centro.

Show question

Pregunta

¿Qué es un sector circular?

Mostrar respuesta

Answer

El área que está delimitada por dos radios.

Show question

Pregunta

¿Que es una cuerda?

Mostrar respuesta

Answer

Una línea que va de un punto de la circunferencia a otro sin pasar por el centro.

Show question

Pregunta

¿Qué es un segmento?

Mostrar respuesta

Answer

El área que está delimitada por una cuerda.

Show question

Pregunta

¿Qué es una tangente?

Mostrar respuesta

Answer

Es la línea que toca la circunferencia en un solo punto.

Show question

Pregunta

¿Qué es un arco?

Mostrar respuesta

Answer

Es la línea que toca la circunferencia en un solo punto.


Show question

Pregunta

¿Cuál de estas ecuaciones corresponde a una circunferencia?

Mostrar respuesta

Answer

\((x-3)^2+(y+1)^2=5\).

Show question

Pregunta

¿Cuál es la ecuación reducida de la circunferencia?

Mostrar respuesta

Answer

\[(x-c_1)^2+(y-c_2)^2=r^2\]

Show question

Pregunta

A partir de la ecuación general de la circunferencia, ¿cómo se calcula el radio del círculo?

Mostrar respuesta

Answer

\(\sqrt{\dfrac{D^2}{4}+\dfrac{E^2}{4}-F}\).

Show question

Pregunta

¿Cuál es la ecuación reducida de la circunferencia con centro en \((9,0)\) y radio \(9\)?

Mostrar respuesta

Answer

\[(x-9)^2+y^2=81\]

Show question

Pregunta

¿Cuál es la ecuación general de la circunferencia con centro en \((-3,2)\) y radio \(5\)?

Mostrar respuesta

Answer

 \[x^2+y^2+6x-4y-12=0\]

Show question

Pregunta

¿Cuáles son el centro y el radio de la circunferencia con ecuación: \(x^2+y^2+2x-8y+8=0\)?

Mostrar respuesta

Answer

Centro: \((-1,4)\).
Radio: \(3\).

Show question

Pregunta

¿Cuáles son el centro y el radio de la circunferencia con ecuación  \(x^2+y^2-12x+4y-9=0\)?

Mostrar respuesta

Answer

Centro: \((6,-1)\).
Radio: \(7\).

Show question

Pregunta

¿Qué es una tangente?

Mostrar respuesta

Answer

Una tangente es una línea que corta la circunferencia en un solo punto. 

Show question

Pregunta

Un círculo tiene la ecuación \((x+4)^2+(y+2)^2=10\). Una tangente toca al círculo en el punto \((-5,1)\). 

¿Cuál es la ecuación de la recta tangente?

Mostrar respuesta

Answer

\(y=\frac{x}{3}+\frac{8}{3}\).

Show question

Pregunta

Un círculo tiene la ecuación \((x+4)^2+(y+2)^2=10\). Una tangente toca al círculo en el punto \((-1,-1)\). 

¿Cuál es la ecuación de la tangente?

Mostrar respuesta

Answer

\(y=3x+2\).

Show question

Pregunta

Un círculo tiene la ecuación \((x-3)^2+(y+2)^2=20\). Una tangente toca al círculo en el punto \((7,4)\). 

¿Cuál es la ecuación de la tangente?.

Mostrar respuesta

Answer

\(y=-2x+18\)

Show question

Pregunta

Un círculo tiene la ecuación \((x-3)^2+(y+2)^2=20\). Una tangente toca al círculo en el punto \((7,0)\). 

¿Cuál es la ecuación de la tangente?.

Mostrar respuesta

Answer

\(y=2x-14\).

Show question

Pregunta

Un círculo tiene la ecuación \((x+1)^2+(y+1)^2=18\). Una tangente toca al círculo en el punto \((2,2)\). 

¿Cuál es la ecuación de la tangente?

Mostrar respuesta

Answer

\(y=-x+4\).

Show question

Pregunta

Un círculo tiene la ecuación \((x+1)^2+(y+1)^2=18\). Una tangente toca al círculo en el punto \((2,-4)\). 

¿Cuál es la ecuación de la tangente?

Mostrar respuesta

Answer

\(y=x-6\).

Show question

Pregunta

Un círculo tiene la ecuación (\(x-5)^2+(y+2)^2=8\). Una tangente toca al círculo en el punto \((7,0)\). 

¿Cuál es la ecuación de la tangente?

Mostrar respuesta

Answer

\(y=-x+7\).

Show question

Pregunta

Un círculo tiene la ecuación \((x-5)^2+(y+2)^2=8\). Una tangente toca al círculo en el punto \((7,-4)\).

¿Cuál es la ecuación de la tangente?

Mostrar respuesta

Answer

\(y=-x-11\).

Show question

Pregunta

Un círculo tiene la ecuación \((x-4)^2+(y+6)^2=5\). Una tangente toca al círculo en el punto \((2,5)\).

¿Cuál es la ecuación de la tangente?

Mostrar respuesta

Answer

\(y=-2x+9\).

Show question

Pregunta

Un círculo tiene la ecuación \((x-4)^2+(y+6)^2=5\). Una tangente toca al círculo en el punto \((3,8)\). 

¿Cuál es la ecuación de la tangente?

Mostrar respuesta

Answer

\(y=\frac{x}{2}+\frac{13}{2}\).

Show question

Pregunta

Un círculo tiene la ecuación \(x^2+y^2=32\). Una tangente toca al círculo en el punto \((-4,-4)\). 

¿Cuál es la ecuación de la tangente?

Mostrar respuesta

Answer

\(y=-x-8\).

Show question

Pregunta

Si la pendiente del radio de la circunferencia que pasa por el punto de corte con la recta tangente es \(m_r=-1\), ¿Cuál es la pendiente de la recta tangente en ese punto?

Mostrar respuesta

Answer

\(m_t=1\).

Show question

Pregunta

La pendiente de una recta tangente a una circunferencia en el punto \(P(3,-4)\) es \(m_t=-3\). ¿Cuál es la pendiente de la recta que pasa por el punto de corte y el centro de la circunferencia?

Mostrar respuesta

Answer

\(m=\dfrac{1}{3}\).

Show question

Pregunta

¿Qué distancia hay entre una recta tangente a una circunferencia y el centro de la circunferencia?

Mostrar respuesta

Answer

El radio de la circunferencia.

Show question

Pregunta

Si una circunferencia tiene una recta tangente en uno de sus puntos, ¿puede existir otra recta tangente a esta circunferencia que sea paralela a la primera recta tangente?

Mostrar respuesta

Answer

Sí, solo una.

Show question

Pregunta

¿A qué distancia están dos rectas tangentes a una misma circunferencia que son paralelas entre sí?

Mostrar respuesta

Answer

La distancia es el diámetro de la circunferencia.

Show question

Pregunta

Se tiene la circunferencia con ecuación: \(x^2+y^2=9\).

Calcula la pendiente del radio que pasa por el punto \(P(2,\sqrt{5})\).

Mostrar respuesta

Answer

\(m_r=\dfrac{\sqrt{5}{2}\).

Show question

Pregunta

Se tiene una circunferencia con ecuación: \(x^2+y^2=25\)

Calcula la pendiente de la recta tangente a la circunferencia en el punto \(P(4,2)\).

Mostrar respuesta

Answer

El punto \(P\) no pertenece a la circunferencia, por lo que no existe la recta tangente en este punto.

Show question

Pregunta

Calcula la pendiente del radio de la circunferencia \((x-2)^2+(y+1)^2=26\) que pasa por el punto \(P(1,4)\).

Mostrar respuesta

Answer

\(m_r=-5\).

Show question

Pregunta

Calcula la recta tangente a la circunferencia \(x^2+y^2=36\) en el punto \(P(5,-\sqrt{11})\).

Mostrar respuesta

Answer

\(y-5=\dfrac{\sqrt{11}}{5}(x+\sqrt{11})\).

Show question

Pregunta

¿En cuántos puntos corta una recta tangente a una circunferencia?

Mostrar respuesta

Answer

1.

Show question

Pregunta

¿Cuántas rectas tangentes puede tener una circunferencia?

Mostrar respuesta

Answer

Infinitas.

Show question

Pregunta

¿Cómo se relaciona la pendiente del radio con la pendiente de la recta tangente a la circunferencia?

Mostrar respuesta

Answer

Una es el recíproco negativo de la otra.

Show question

Pregunta

Si la pendiente de la recta tangente a una circunferencia es \(m_t=4\), ¿cuánto vale la pendiente del radio que va del centro al punto de corte entre la circunferencia y la recta tangente?

Mostrar respuesta

Answer

\(m_r=\dfrac{-1}{4}\).

Show question

Pregunta

¿Cuánto vale la pendiente de la recta tangente a la circunferencia \(x^2+y^2=9\) en el punto \(P(3,0)\)?

Mostrar respuesta

Answer

\(m_t=\infty\). Esto es porque la recta tangente es la recta \(y=3\) cuya pendiente es infinita.

Show question

Pregunta

¿Cuánto vale la pendiente de la recta tangente a la circunferencia \(x^2+y^2=25\) en el punto \(P(0,5)\)?

Mostrar respuesta

Answer

\(m_t=0\) y, por tanto, la recta tangente es \(x=5\).

Show question

60%

de los usuarios no aprueban el cuestionario de Circunferencia... ¿Lo conseguirás tú?

Empezar cuestionario

Scopri i migliori contenuti per le tue materie

No hay necesidad de copiar si tienes todo lo necesario para triunfar. Todo en una sola app.

Plan de estudios

Siempre preparado y a tiempo con planes de estudio individualizados.

Cuestionarios

Pon a prueba tus conocimientos con cuestionarios entretenidos.

Flashcards

Crea y encuentra fichas de repaso en tiempo récord.

Apuntes

Crea apuntes organizados más rápido que nunca.

Sets de estudio

Todos tus materiales de estudio en un solo lugar.

Documentos

Sube todos los documentos que quieras y guárdalos online.

Análisis de estudio

Identifica cuáles son tus puntos fuertes y débiles a la hora de estudiar.

Objetivos semanales

Fíjate objetivos de estudio y gana puntos al alcanzarlos.

Recordatorios

Deja de procrastinar con nuestros recordatorios de estudio.

Premios

Gana puntos, desbloquea insignias y sube de nivel mientras estudias.

Magic Marker

Cree tarjetas didácticas o flashcards de forma automática.

Formato inteligente

Crea apuntes y resúmenes organizados con nuestras plantillas.

Regístrate para poder subrayar y tomar apuntes. Es 100% gratis.