Seguro que sabes lo que es una circunferencia, pero es posible que nunca hayas sabido cuál es su ecuación matemática o su definición formal. En este artículo aprenderás las características más importantes de la circunferencia.
La circunferencia es el lugar geométrico en el plano de los puntos que equidistan de un punto llamado centro.
Elementos de la circunferencia
A continuación, hemos representado en una figura las distintas partes relacionadas con la circunferencia.
Fig. 1. Elementos en una circunferencia.
Además, es importante tener claros los siguientes elementos:
Radio (r): la distancia entre cualquier punto de la circunferencia y el centro del círculo.
Diámetro (d): la distancia de un lado a otro de la circunferencia, que pasa por el centro del círculo.
Sector circular: área delimitada por dos radios.
Cuerda: distancia de un lado a otro de la circunferencia, que no pasa por el centro del círculo.
Segmento circular: área comprendida entre una cuerda y la circunferencia.
Tangente: línea exterior que toca la circunferencia del círculo en un punto.
Arco: porción de la circunferencia entre dos radios.
Ecuación de la circunferencia
Después de haber definido la circunferencia, vamos a ver cómo hallar su ecuación. Esta nos dará la fórmula de la circunferencia y nos permitirá representarla.
Ecuación reducida de la circunferencia
- En primer lugar, tomamos un punto genérico del plano \( P(x,y) \) y el centro de la que será nuestra circunferencia con coordenadas \( C(c_1,c_2)\). El radio será \(r\).
- Ahora, debemos imponer la condición de que todos los puntos estén a la misma distancia del centro. Esto es: \[d(P,C)=\sqrt{(x-c_1)^2+(y-c_2)^2}=r\]
- Simplificando y elevando al cuadrado, obtenemos la ecuación de la circunferencia, que también se denomina ecuación reducida de la circunferencia: \[(x-c_1)^2+(y-c_2)^2=r^2\]
Con esta ecuación podemos obtener fácilmente las coordenadas del centro y la magnitud del radio, sin necesidad de aplicar ninguna fórmula. Sin embargo, resulta más complicada para hacer operaciones, puesto que los binomios no están desarrollados.
Ecuación general de la circunferencia
- Podemos desarrollar los binomios de cada coordenada: \[x^2+c_1^2-2c_1x+y^2+c_2^2-2c_2y-r^2=0 \]
- Al despejar: \[x^2+y^2-2c_1x-2c_2y+c_1^2+c_2^2-r^2=0\]
- Ahora, podemos sustituir \( D=-2c_1, E=-2c_2\) y \(F=c_1^2+c_2^2-r^2\).
Así, obtenemos la ecuación general de la circunferencia: \[x^2+y^2+Dx+Ey+F=0\]
Ten en cuenta que si te encuentras la ecuación general de la circunferencia, para hallar las coordenadas del centro y el radio, puedes aplicar las fórmulas anteriores o completar los cuadrados para volver a tener los binomios.
Calcula el centro y el radio de la circunferencia: \[x^2+y^2-4x+6y+4=0\]
Solución
Identifica términos como: \[D=-4, E=6, F=4\]
Ahora, aplica la fórmula de cada uno de estos coeficientes para hallar las coordenadas del centro y el valor del radio:
\[\begin{align}D=-2c_1=-4 &\rightarrow c_1=2 \\E=-2c_2=6 &\rightarrow c_2=-3\\F=c_1^2+c_2^2-r^2 &\rightarrow r=3\end{align}\]
Por tanto, podemos decir que esta circunferencia tiene centro en \((2,-3)\) y su radio es \(r=2\).
Con estos datos podemos escribir la ecuación reducida de la circunferencia como: \[(x-2)^2+(y+3)^2=0\]
Posición relativa de un punto respecto a una circunferencia
Si lo que necesitas saber es la posición relativa entre un punto \( P(P_1,P_2)\) y una circunferencia, lo que tienes que determinar es la distancia entre el punto y el centro de la circunferencia, que tiene como fórmula:
\[d(P,C)=\sqrt{(P_1-c_1)^2+(P_2-c_2)^2}\]
Conociendo esta distancia, podemos decir que:
Si \(d(P,C)>r\), entonces \(P\) es exterior a la circunferencia.
Si \(d(P,C)=r\), entonces \(P\) pertenece a la circunferencia.
Si \(d(P,C)<r\), entonces \(P\) es interior a la circunferencia.
Calcula la posición relativa entre el punto \(P(1,-1)\) y la circunferencia \(x^2+y^2+2x-6y-6=0\).
Solución
En primer lugar, tienes que calcular el centro y el radio de la circunferencia.
Aplica las fórmulas anteriores y obtendrás:
\[\begin{align}c_1&=-1\\c_2&=3\\r&=4\end{align}\]
Ahora, calculamos la distancia del punto al centro: \[d(P,C)=\sqrt{(1-(-1))^2+(-1-3)^2}=\sqrt{20}=4,47\]
Como la distancia entre el punto y el centro es mayor que el radio, podemos decir que el punto es exterior a la circunferencia.
Posición relativa de una recta respecto a una circunferencia
Para determinar la posición relativa de una recta respecto a una circunferencia, tenemos que calcular la distancia entre la recta y el centro de la circunferencia, y comparar esta distancia con el radio. A esto se le llama cálculo de la distancia entre una recta y un punto.
Si tenemos una recta \(s\) con ecuación general: \[Ax+By+C=0\]
Entonces, la distancia entre la recta y un punto \(P(P_1,P_2)\) es: \[d(s,P)={\frac{|A·P_1+B·P_2+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}}\]
Para poder calcular la distancia con esta fórmula, la recta debe estar necesariamente en su forma general.
De igual manera, podemos determinar la posición relativa entre el punto y la recta como:
Si \(d(s,P)>r\), entonces la recta es exterior a la circunferencia y no se cortan en ningún punto.
Si \(d(s,P)=r\), entonces la recta es tangente a la circunferencia y se cortan en un solo punto.
Si \(d(s,P)<r\), entonces la recta es interior a la circunferencia y se cortan en dos puntos.
Calcula la posición relativa entre la recta \(3x-4y+2=0\) y la circunferencia \(x^2+y^2-4x-4=0\).
Solución
En primer lugar, identificamos los coeficientes de la circunferencia: \[D=-4, E=0, F=-4\]
Con esto, podemos determinar su centro y su radio:
\[\begin{align}c_1&=-\frac{D}{2}=2\\c_2&=-\frac{E}{2}=0\\r&=\sqrt{\frac{D^2}{4}+\frac{E^2}{4}-F}=\sqrt{8}\approx2,82\end{align}\]
Ahora, identificamos \(A\) y \(B\) en la recta:
\[\begin{align}A&=3 \\B&=-4 \\C&=2\end{align}\]
Por último, aplicamos la fórmula de la distancia entre una recta y un punto; siendo el punto, en este caso, el centro de la circunferencia:
\[\begin{align}d(s,C)&=\frac{|A·c_1+B·c_2+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}\\&=\frac{|3·2+-4·0+2|}{\sqrt{9+16}}\\&=\frac{8}{5}\\&=1,6\end{align}\]
Observamos que la distancia es menor que el radio; por tanto, la recta es interior a la circunferencia y la corta en dos puntos.
Posición relativa de dos circunferencias
Para determinar la posición relativa de dos circunferencias, lo único que tienes que hacer es calcular la distancia entre los centros de ambas y compararla con los radios respectivos. En el caso de contar con dos circunferencias \(C_1\) y \(C_2\), podemos encontrarnos en distintas situaciones:
Si \(d(C_1,C_2)>r_1+r_2\), son circunferencias exteriores y no se cortan en ningún punto.
Si \(d(C_1,C_2)=r_1+r_2\), son circunferencias tangentes exteriores y se cortan en un punto.
Si \(r_1-r_2<d(C_1,C_2)<r_1+r_2\), son circunferencias secantes y se cortan en dos puntos.
Si \(d(C_1,C_2)=r_1-r_2\), son circunferencias tangentes interiores y se cortan en un punto.
Si \(d(C_1,C_2)<r_1-r_2\,) son circunferencias interiores y no se cortan en ningún punto.
Si \(C_1\equiv C_2\), son circunferencias concéntricas y no se cortan en ningún punto.
Determina la posición relativa entre las siguientes circunferencias:
\[\begin{align}s&: x^2+y^2+4x-2y-4=0\\t&: x^2+(y-1)^2=0\end{align}\]
Solución
En primer lugar, calculas las coordenadas del centro y el radio de la circunferencia \(s\):
\[\begin{align}D=4&\rightarrow c_1=-2\\E=-2&\rightarrow c_2=1\\F=-4&\rightarrow r=3\end{align}\]
Por lo tanto, sabes que el centro tiene coordenadas \(C_s(-2,1)\) y un radio de 3.
Con esto, la ecuación reducida de la circunferencia \(s\) es:
\[s:(x+2)^2+(y-1)^2=9\]
Para la circunferencia \(t\), como ya está en forma reducida, podrás obtener su centro y radio fácilmente; siendo el centro \(C_t(0,1)\) y el radio de 1.
Ahora, determina la posición relativa entre ambas circunferencias, calculando la distancia entre los dos centros:
\[d(C_s,C_t)=\sqrt{(-2-0)^2+(1-1)^2}=\sqrt{4}=2\]
La distancia entre los puntos es de 2; lo que comprueba si se cumple la relación:
\[d(C_s,C_t)=r_s-r_t=2\]
Por tanto, podemos concluir que las circunferencias son tangentes interiores y se cortan en un punto.
Potencia de un punto respecto a una circunferencia
La potencia de un punto respecto a una circunferencia es otra manera de determinar la posición relativa entre un punto y una circunferencia.
- Se tiene un punto exterior \(P\) a la circunferencia, del que parten dos rectas (cualesquiera) que cortan la circunferencia.
- A partir de los puntos en los que las rectas cortan la circunferencia y el punto exterior, se forman dos triángulos que son semejantes, por tener un ángulo en común en el punto \(P\); tal como puedes observar en la siguiente figura.
Fig. 2. Un punto P exterior a la circunferencia, a partir del cual parten dos rectas que cortan la circunferencia en puntos \(A\) y \(B\), y sus semejantes \(A'\) y \(B'\).
Los triángulos \(\overline{PBA'}\) y \(\overline{PB'A}\) son semejantes, lo que implica que sus lados son proporcionales:
\[\frac{\overline{PA'}}{\overline{PB}}=\frac{\overline{PA}}{\overline{PB'}}\Rightarrow \overline{PA}·\overline{PB}=\overline{PA'}·\overline{PB'}\]
A esta cantidad \(\overline{PA}·\overline{PB}\) se le denomina potencia del punto P, respecto de la circunferencia C, y se escribe \(Pot_C(P)\).
Como esta cantidad se puede calcular para cualquier recta secante desde el punto \(P\), podemos hacer que esta recta sea la que pase por el centro de la circunferencia. Por tanto, la distancia del punto \(P\) al centro se denomina \(d\) y del centro hacia el punto de corte con la circunferencia opuesto al punto \(P\) es el radio.
Con esto, podemos determinar la potencia de cualquier circunferencia como: \[Pot_C(P)=(d-r)(d+r)=d^2-r^2\]
Gracias a esta relación, podemos determinar la posición de un punto p con respecto a la circunferencia, a través de su potencia:
- Si \(d>r\Rightarrow Pot_C(P)>0\), el punto es exterior.
- Si \(d=r\Rightarrow Pot_C(P)=0\), el punto pertenece a la circunferencia.
- Si \(d<r\Rightarrow Pot_C(P)<0\), el punto es interior.
Tenemos la circunferencia: \[s:x^2+y^2-2x+6y+6=0\]
Calcula la potencia de los puntos \(P(3,1), Q(1,-1)\) y \(R(2,-2)\) con respecto a \(s\).
Solución
En primer lugar, determina el centro y el radio de la circunferencia:
\[\begin{align}c_1&=1\\c_2&=-3\\r&=2\end{align}\]
Por tanto, el centro tiene coordenadas \(C(1,-3)\) y el radio es de 2.
Recordando que la distancia entre dos puntos, es \[d(P,C)=\sqrt{(P_1-c_1)^2+(P_2-c_2)^2}\] , la potencia de los puntos es, entonces, \[Pot_C(P)=d^2-r^2=(3-1)^2+(1-(-3))^2-2^2=12-4=8>0\].
Como la potencia es mayor que cero, el punto P es exterior a la circunferencia.
Para el punto Q: \[Pot_C(Q)=d^2-r^2=(1-1)^2+(-1-(-3))^2-2^2=4-4=0\]
La potencia del punto \(Q\) es igual a cero, por lo que este punto pertenece a la circunferencia.
Por último, calcula la potencia del punto \(R\): \[Pot_C(R)=d^2-r^2=(2-1)^2+(-2(-(-3))^2-2^2=2-4=-2<0\]
Como la potencia del punto \(R\) es negativa, el punto es interior a la circunferencia.
La circunferencia - Puntos clave
- La circunferencia es el lugar geométrico en el plano de los puntos que equidistan de un punto llamado centro.
- La ecuación reducida de la circunferencia toma la forma: \[(x-c_1)^2+(y-c_2)^2=r^2\]
- Desarrollando la ecuación reducida de la circunferencia, obtenemos la ecuación general de la circunferencia: \[x^2+y^2+Dx+Ey+F=0\]
- Si la distancia entre un punto y el centro de la circunferencia es mayor que el radio, el punto es exterior. Si la distancia es menor que el radio, el punto es interior; y si la distancia y el radio son iguales, el punto pertenece a la circunferencia.
- Para determinar la posición relativa entre una recta y una circunferencia, calculamos la distancia de la recta al centro de la circunferencia; si la distancia es mayor que el radio, la recta es externa; si la distancia es igual al radio, la recta es tangente; y si la distancia es menor que el radio, la recta es secante.
- Para determinar la posición relativa entre dos circunferencias, calculamos los radios de ambas y comparamos con las distancias entre ambos centros.
- La potencia de un punto respecto de una circunferencia es la relación que se obtiene por la semejanza entre dos triángulos formados por dos rectas secantes a la circunferencia que pasan por un mismo punto \(P\).
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