Transformaciones

Imagina que estás tumbado en tu cama y ves que una mosca entra en tu habitación y se posa en el techo de la misma. De vez en cuando se mueve de un sitio a otro. ¿Cómo puedes seguir la pista de las ubicaciones de la mosca?

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    Imagina otro escenario, estás en una montaña rusa y das vueltas y vueltas. ¿Las acciones que realizan la mosca en el techo y tú en la montaña rusa son las mismas o son diferentes? ¿Cómo podemos seguir los movimientos exactos en estos escenarios?

    En este artículo aprenderemos algunos movimientos fundamentales en el espacio bidimensional. Son las transformaciones y aprenderemos su definición, los tipos de transformaciones y veremos ejemplos.

    Definición de transformaciones y tipos de transformaciones

    Las transformaciones son movimientos en el espacio de un objeto.

    Decimos que una transformación es rígida si el objeto no cambia de tamaño ni de forma durante la transformación. Si el objeto cambia de tamaño durante una transformación, entonces la llamamos transformación no rígida.

    Transformaciones rígidas

    Una transformación rígidano cambia el tamaño ni la forma del objeto transformado. Algunos ejemplos de transformaciones rígidasson

    1. Traslación - movimiento de la forma, hacia la izquierda, derecha, arriba y/o abajo;

    2. Reflexión - reflejar una forma con respecto a una línea, la línea también puede ser el eje x o el eje y;

    3. Rotación -girar una formaalrededor de un punto, en el sentido de las agujas del reloj o en sentido contrario.

    Transformaciones no rígidas

    Una transformación no rígida puede cambiar el tamaño o la forma, o ambos, del objeto. Un ejemplo de transformación no rígida esla dilatación : inflar o encoger un objeto.

    Ejemplos de transformación

    A continuación, vas a ver las principales transformaciones de las figuras, como la traslación, la reflexión, la rotación y la dilatación.

    Traslación - definición y regla

    La traslación puede considerarse como el proceso de desplazar un objeto en una hoja gráfica. Para conocer el movimiento de un objeto nos fijamos en cómo se transforman sus puntos de arista.

    La traslación de un punto \((x, y)\) a un nuevo punto \((x', y')\) puede entenderse a partir de su cambio en las coordenadas \(x\) y \(y\). Con esta transformación, el punto se ha desplazado \(x-x'\) a lo largo de la dirección x y \(y-y'\) a lo largo de la dirección y.

    Además

    • un valor positivo en la dirección x indica el movimiento hacia la derecha y un valor negativo indica el movimiento hacia la izquierda;

    • un valor positivo en la dirección y indica el movimiento hacia arriba y el valor negativo indica el movimiento hacia abajo.

    Transformar un objeto mediante un vector \((\pm a,\pm b)\) significa mover cada punto del objeto \(a\) unidades en la dirección x y \(b\) unidades en la dirección y.

    • Si a es positivo te mueves a la derecha y si a es negativo te mueves a la izquierda.

    • Si b es positivo te mueves hacia arriba y si b es negativo te mueves hacia abajo.

    Por ejemplo, trasladar el objeto en \ ((2, -3)\) significa que lacoordenada x de cada punto del objeto aumentará en dos, y la coordenada y de cada punto del objeto disminuirá en tres. Con éxito, el objeto se moverá dos unidades hacia la derecha y tres unidades hacia abajo.

    Traslada el triángulo ABC dado por \((-7, -4)\).

    Traducción del triángulo ABCTraslación del triángulo ABC a A'B'C'.

    Solución

    Trasladar \((-7, -4)\) significa "mover el triángulo dado a 7 unidades a la izquierda y 4 unidades hacia abajo". Podemos trasladar el triángulo si movemos sus puntos de arista \(A(4, 6)\), \(B(1, 2)\) y \(C(5, 2)\).

    Aplicando la traslación al punto \(A\) moviendo 7 unidades a la izquierda y 4 unidades hacia abajo tenemos \(A'(-3, 2)\).

    Análogamente, obtenemos al aplicar la traslación a \(B\) y \(C\) los puntos \(B'(-6, -2)\) y \(C'(-2, -2)\). Uniendo \(A'\), \(B'\) y \(C'\) tenemos el triángulo trasladado.

    Traslada el hexágono dado \(ABCDEF\) por \((-7, 7)\).

    Traslación del hexágono ABCDEFTraslación del hexágono ABCDEF.

    Solución

    Trasladar por el vector \((-7, 7)\) significa que movemos el hexágono 7 unidades a la izquierda y 7 unidades hacia arriba.

    Para ello aplicamos la transformación a los puntos de las aristas y unimos los puntos trasladados para obtener el hexágono \(A'B'C'D'E'F'\).

    Reflexión - definición y regla

    Una reflexión puede considerarse como ver algo a través de un espejo. Por tanto, siempre es con respecto a una línea dada en la que está colocado el espejo. La distancia entre el objeto y su imagen desde el espejo es la misma. De forma similar a la traslación, para reflejar un objeto se reflejan los puntos de los bordes del objeto.

    Reflejar un objeto alrededor de una recta \(y=mx+c\), significa mover cada punto del objeto a una distancia igual al otro lado de la recta.

    Por ejemplo, para reflejar el punto \((1, 0)\) sobre el eje y, primero vemos la distancia a la que se encuentra el punto del eje y. En este caso, el punto \((1, 0)\) está a 1 unidad del eje y, por tanto, estará a 1 unidad al otro lado del eje y y, por tanto, a \((-1, 0)\).

    Refleja la forma \(A\) sobre la recta \(x=1\). Etiqueta la forma resultante con la letra \(B\).Reflexión de la forma A en BReflexión de la forma A en B.

    Solución

    Para obtener la reflexión trazamos primero la recta de reflexión \(x=1\). Luegomovemos cada esquina de la forma a la misma distancia de la línea de reflexión del "otro lado".

    Por ejemplo, la esquina inferior izquierda de \(A\) es el punto \((3, 1)\), que está a 2 unidades de la recta \(x=1\). Por reflexión, estará a 2 unidades del otro lado de la recta. Así que su punto de reflexión es \((-1, 1)\).

    Observa que no hay ningún cambio en la coordenada y del punto y su reflexión. Esto se debe a que la recta de reflexión es paralela al eje y. Hacemos lo mismo con todos los puntos de las aristas para obtener la imagen reflejada.

    Refleja la forma \(A\) alrededor de la recta \(y=0\) (eje x). Etiqueta la forma resultante con la letra \(A'\).

    Solución

    Reflexión de la forma A en A'Reflexión de la forma A en A'.

    Rotación - definición y regla

    Las rotaciones son transformaciones en las que el objeto gira unos ángulos. Ejemplos de rotaciones son la aguja minutera de un reloj, el carrusel, etc.

    En todos los casos de rotación, habrá un punto central que no se verá afectado por la transformación. En el reloj, el punto en el que la aguja está fija en el centro no se mueve en absoluto. En otras palabras, la aguja gira alrededor del reloj en torno a este punto.

    Girar un objeto \(\pm dº\) alrededor de un punto \((a, b)\) es girar cada punto del objeto de forma que la línea que une los puntos del objeto y el punto \((a, b)\) gire un ángulo \(dº\) en el sentido de las agujas del reloj o en el sentido contrario, según el signo de \(d\).

    Si d es positivo, gira en el sentido de las agujas del reloj; en caso contrario, gira en sentido contrario. En ambas transformaciones, el tamaño y la forma de la figura permanecen exactamente iguales.

    Laregla general de transformación de la rotación en torno al origen \((0, 0)\) es la siguiente.

    Tipo de rotaciónPuntos originalesPuntos cambiados(Rotación antihoraria)Puntos conmutados (Rotación en el sentido de las agujas del reloj)
    Para girar 90º\((x, y)\) \((-y, x)\) \(y, -x)
    Para girar 180\((x, y)\) \(-x, -y)\(-x, -y)
    Para girar 270º\((x, y)\) \(y, -x)\(-y, x)
    Gira la forma dada \(ABC\), \(90º\) en el sentido de las agujas del reloj y en el sentido contrario alrededor del origen.
    Puntos originales\((x, y)\)Puntos conmutados(giro antihorario)\((-y, x)\)Puntos cambiados (rotación en el sentido de las agujas del reloj)\((y, -x))
    \((-3, 5)\)\((-5, -3)\)\((5, 3)\)
    \((-6, 2)\)\((-2, -6)\)\((2, 6)\)
    \((-3, 2)\)\((-2, -3)\)\((2, 3)\)

    Solución

    Rotaciones del triángulo A en sentido horario y antihorarioRotaciones del triángulo A en sentido horario y antihorario.

    Gira la forma dada a \(270º\) en el sentido de las agujas del reloj y en el sentido contrario en torno al origen.

    Puntos originales \((x, y)\) Puntos cambiados(rotación en sentido antihorario)\((y, -x)\)Puntos cambiados(rotación en sentido horario)\((-y, x)\)
    \((-4, 6)\)\((6, 4)\)\((-6, -4)\)
    \((-6, 4)\)\((4, 6)\)\((-4, -6)\)
    \((-2, 4)\)\((4, 2)\)\((-4, -2)\)
    \((-3, 1)\)\((1, 3)\)\((-1, -3)\)
    SoluciónRotación en sentido horario y antihorario de la forma ABCDRotación en sentido horario y antihorario de la forma ABCD.

    Dilatación - definición y regla

    La dilataciónes una transformación que se utiliza para cambiar el tamaño del objeto y hacerlo más grande o más pequeño. Esta transformación produce una imagen que es igual a la original en forma, pero hay una diferencia en el tamaño del objeto.

    • Si una dilatación creauna imagen más grande, entonces se conoce como ampliación (un estiramiento).
    • Si una dilatación crea una imagen más pequeña, se denominareducción (encogimiento).

    La descripción de una dilatación incluye el factor de escala (o relación) y el centro de la dilatación.

    Dilatar un objeto con un factor de escala k y en torno al centro de dilatación \((a, b)\) significa desplazar cada punto del objeto el factor de escala multiplicado por la distancia del punto al centro de dilatación.

    • Si el factor de escalaes mayor que \(1\), la imagen es una ampliación (un estiramiento).
    • Si el factor de escalaestá entre \(0\) y \(1\), la imagen es una reducción (un encogimiento ).

    Para el factor de escala \(k=3\), y siendo el origen el centro de dilatación tenemos la regla

    \[(x,y)\a (3x,3y)\a].

    Es decir, el punto original \((x, y)\) pasa a ser \((3x, 3y)\). En este caso, la imagen de la dilatación se estirará.

    Para \(k=\dfrac{1}{4}\), obtenemos

    \[(x,y)\to \left(\dfrac{x}{4},\dfrac{y}{4}\right)\]

    En este caso, la imagen de la dilatación se encogerá.

    Dilata la forma dada \(A\) en un factor de \(2\) con el origen como centro de dilatación.

    Solución

    Las aristas de la forma \(A\) tienen las coordenadas \((1, 1)\), \((1, 3)\), \((3, 0)\) y \((3, 3)\).

    Ahora las coordenadas de la forma dada se multiplican por \(2\). Son \((2,2)\), \((2,6)\), \((6,0)\), \((6,6)\).

    La Forma Original \(A\) y la Forma Ampliada \(B\) se representan en el siguiente diagrama.

    Dilatación de la forma A en BDilatación de la forma A en B.

    Dilata la forma dada \(A\) en un factor de \(0,5\) con el origen como punto fijo.Solución
    Las aristas de la forma A tienen las coordenadas \((6, 6)\), \((6, 2)\) y \((4, 2)\).Ahora las coordenadas de la forma dada se multiplican por \(0,5\). Obtenemos entonces las nuevas coordenadas \((3, 3)\), \((3, 1)\), \((2, 1)\).La Forma Original \(A\) y la Forma Reducida \(B\) se representan en el siguiente diagrama.
    Dilatación del triángulo A en BDilatación del triángulo A en B.

    Secuencia de transformaciones

    Cuando un objeto sufre más de una transformación secuencialmente, lo llamamos transformación compuesta. Por ejemplo, un triángulo sufre primero una traslación y después una dilatación. Puede haber dos o más transformaciones realizadas una tras otra.

    Gira la forma dada \(A\) a \(90º\) en sentido antihorario sobre el origen, luego refleja la forma resultante sobre la recta \(x = 0\), y finalmente traslada la forma resultante a \((-1, 7)\).

    Puntos originales\((x, y)\)Puntos cambiados(rotación en sentido contrario a las agujas del reloj)\((-y, x)\)
    \((-6, 2)\)\((-2, -6)\)
    \((-3, 2)\)\((-2, -3)\)
    \((-2, 5)\)\((-5, -2)\)
    \((-4, 5)\)\((-5, -4)\)

    Composición de transformacionesComposición de transformaciones.

    Transformaciones - Puntos clave

    • Las transformaciones son movimientos de los objetos en el espacio.
    • Lastransformaciones rígidas no cambian el tamaño ni la forma del objeto tras la transformación.
      • Ejemplos de transformaciones rígidas son la traslación, la reflexión y la rotación.
    • LasTransformaciones No Rígidas pueden cambiar el tamaño o la forma, o ambos, del objeto.
      • La dilatación es un ejemplo de transformación no rígida.
    • Latraslación (a veces llamada "movimiento") es el proceso de desplazar algo.
    • Trasladar un objeto mediante un vector \((\pm a, \pm b)\) significa mover cada punto del objeto a unidades en la dirección x y b unidades en la dirección y.
      • Si a es positivo te mueves a la derecha y si a es negativo te mueves a la izquierda.
      • Si b es positivo te mueves hacia arriba y si b es negativo te mueves hacia abajo.
    • La reflexión se produce cuando cada punto de la figura se refleja alrededor de una línea de reflexión.
      • Tras la reflexión, la imagen se encuentra a la misma distancia de la línea que la imagen previa, pero al otro lado de la línea.
    • Larotación hace girar cada punto de la forma un cierto grado con respecto a un punto.
      • La forma gira en sentido contrario a las agujas del reloj cuando los grados son positivos;
      • Y gira en el sentido de las aguj as del reloj cuando los grados son negativos.
    • Ladilatación es una transformación que se utiliza para cambiar el tamaño de un objeto, haciéndolo más grande o más pequeño. La descripción de una dilatación incluye el factor de escala (o razón) y el centro de la dilatación.
      ♦ Si el factor de escala es mayor que \(1\), la imagen es una ampliación (un estiramiento).
      ♦ Si el factor de escala está entre \(0\) y \(1\), la imagen es una reducción (un encogimiento).
    Preguntas frecuentes sobre Transformaciones
    ¿Qué son las transformaciones en matemáticas?
    Las transformaciones en matemáticas son operaciones que cambian la forma, tamaño o posición de una figura en el plano.
    ¿Cuáles son los tipos de transformaciones geométricas?
    Los tipos principales de transformaciones geométricas son la traslación, rotación, reflexión y dilatación.
    ¿Qué es una traslación en geometría?
    Una traslación en geometría desplaza una figura un cierto número de unidades en una dirección específica sin cambiar su orientación.
    ¿Cómo se define la reflexión en matemáticas?
    La reflexión en matemáticas es una transformación que crea una imagen espejada de una figura respecto a una línea llamada eje de reflexión.

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