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Si ya has leído nuestro artículo sobre la circunferencia, ya sabes que se trata de una cónica que está definida por una ecuación cuadrática como: \((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\)
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Equipo de profesores de Tangente de una circunferencia
Donde \((a,b)\) es la coordenada del centro de la circunferencia y \(r\) es el radio.
Si ya tienes esto claro, seguro sabrás cómo representar una circunferencia en el plano; y, de manera inversa, si tienes una circunferencia representada en el plano, puedes determinar su centro y radio para definir la ecuación de la circunferencia. Pero ahora, además de poder hacer todo esto, añadirás más objetos; como, por ejemplo, una recta. Y no una recta cualquiera, sino la recta tangente a la circunferencia. Bueno, pues aquí encontrarás toda la información necesaria para calcular la ecuación de esta recta.
En general, una recta tangente es una recta que corta a cualquier otro objeto geométrico en un solo punto. Por tanto, una recta tangente a una circunferencia es una recta que corta a la circunferencia en un único punto de esta.
Por ejemplo, \(x=3\) es una recta tangente a la circunferencia \(x^2+y^2=9\), porque toca al círculo una vez en el punto \((3, 0)\), tal como se puede ver en la Figura 1.
Fig. 1. Recta tangente en un punto a una circunferencia.
Una recta tangente se diferencia de una secante, porque una secante es una recta que corta a la circunferencia en dos puntos; es decir, cruza la circunferencia, no solamente lo toca.
Para representar una tangente a una circunferencia, simplemente debes hacer una recta que toque a la circunferencia en un punto, pero que no la cruce. Esto es contrario a la recta secante, que corta la circunferencia en dos puntos.
Muchas preguntas se refieren a la búsqueda de la ecuación de la recta tangente a una cierta circunferencia. Para encontrar la ecuación de la tangente de una circunferencia, es necesario entender cómo se relaciona la tangente con el radio de la circunferencia. En concreto, la principal característica de la recta tangente es que siempre es perpendicular al segmento del radio que va del centro al punto en el que la tangente corta la circunferencia. Gracias a esta característica, podemos hallar fácilmente la ecuación de la recta tangente a una circunferencia.
El primer paso para hallar la ecuación de la tangente a una circunferencia en un punto concreto es encontrar la pendiente del radio de la circunferencia. Se necesita el radio entre el centro de la circunferencia y el punto exterior porque será perpendicular a la tangente. Esto se debe a que este radio de la circunferencia actúa como una línea normal a la tangente.
Para hallar la pendiente del radio de la circunferencia, en primer lugar, necesitamos conocer las coordenadas del centro \(C(c_1,c_2)\) y del punto de la circunferencia sobre el que se apoyará la recta tangente \(P(t_1,t_2)\).
Entonces, para calcular la pendiente \(m\) del radio que va del centro a este punto \(P\), resolvemos:
\[m_r=\dfrac{t_2-c_2}{t_1-c_1}\]
Vamos a hacer un ejemplo para aplicar lo visto.
Una circunferencia con ecuación \(x^2+y^2=9\) toca una tangente en \(P(3, 0)\). ¿Cuál es la pendiente del radio de la circunferencia que va del centro a este punto?
Solución:
Como en la ecuación de la circunferencia no hay términos en \(x\) o \(y\), podemos determinar que el centro de la circunferencia es el origen \(O(0,0)\).
Queremos encontrar la pendiente de la recta que pasa por el radio que va del centro al punto \(P(3,0)\). Por tanto, introduciendo las coordenadas del centro de la circunferencia y del punto en la fórmula de la pendiente, llegamos a: \[m_r=\dfrac{t_2-c_2}{t_1-c_1}=\dfrac{0-0}{3-0}=\dfrac{0}{3}=0\]
En consecuencia, la pendiente del radio de la circunferencia es \(m=0\).
Uno de los teoremas de la circunferencia es la ecuación de la bisectriz perpendicular. En ese caso, la tangente de una circunferencia corta perpendicularmente con el radio de la circunferencia. Por lo tanto, para encontrar la pendiente de la tangente, hay que hacer el recíproco negativo de la pendiente del radio de la circunferencia. Si la pendiente del radio es \(m_r\), entonces la pendiente de la tangente es \(m_t=-\dfrac{1}{m_r}\).
¿Cuál es la pendiente de la recta tangente a una circunferencia, cuando la pendiente del radio de la misma circunferencia tiene un valor de \(m_r=\dfrac{1}{4}\)?
Solución:
Aplicamos la fórmula del recíproco negativo de la pendiente: \[m_t=-\dfrac{1}{m_r}=-4\]
Por tanto, la pendiente de la tangente de la circunferencia es de \(m_t=-4\).
Una vez que tenemos el punto exterior y la pendiente de la tangente, lo más sencillo es utilizar la ecuación punto-pendiente de la recta tangente: \[y-t_2=m_t(x-t_1)\].
Resolvamos un ejemplo, para que veas cómo se aplica lo anterior:
Una recta tangente toca a la circunferencia \(A\) en \(P(5, 6)\). ¿Cuál es la ecuación de una tangente a la circunferencia \(A\), cuando la pendiente del radio es \(m_r=-\dfrac{1}{5}\)?
Solución:
Para hallar la pendiente de la tangente, se hace el recíproco negativo; así que:
\[m_t=-\dfrac{1}{m_r}=5\]
Como ya tenemos la pendiente de la recta tangente, podemos usar la forma punto-pendiente para expresar la ecuación de esta recta, ya que sabemos que el punto por el que pasa es el \(P(5,6)\): \[y-6=5(x-5)\]
Luego, podemos realizar operaciones y despejar \(y\) para llegar a la ecuación explícita de la recta:
\[y=5x-25+6\]
\[y=5x-19\]
Esta es la ecuación de la recta tangente.
La circunferencia \(B\) tiene la ecuación \(x^2+y^2=25\). Calcula la ecuación de la recta tangente a esta circunferencia que pasa por el punto \(P(4, -3)\).
Solución:
Paso 1: confirmar que el punto pertenezca a la circunferencia.
Como no hay términos con las variables \(x\) o \(y\), determinamos que el centro de la circunferencia es \(O(0,0)\).
Por la fórmula de la circunferencia, sabemos también que su radio es \(r=5\).
Además, comprobamos que el punto que nos dicen que es tangente pertenece a la circunferencia (si no fuera así, el problema acabaría aquí):
\[(4)^2+(-3)^2=25\]
La igualdad se cumple, por lo que el punto pertenece a la circunferencia.
Paso 2: hallar la pendiente del radio de la circunferencia.
Para hacerlo, sustituimos las coordenadas en la fórmula de la pendiente: \[m_r=\dfrac{t_2-c_2}{t_1-c_1}=\dfrac{-3-0}{4-0}=-\dfrac{3}{4}\]
Por tanto, la pendiente del radio de la circunferencia que pasa por el punto \(P(4, -3)\) es de \(m_r=-\dfrac{3}{4}\).
Paso 3: encontrar la pendiente de la recta tangente a la circunferencia.
Para hallarla, hacemos el recíproco inverso de la pendiente del radio de la circunferencia:
\[m_t=-\dfrac{1}{m_r}=\dfrac{4}{3}\]
Paso 4: encontrar la ecuación de la tangente del círculo.
Utilizamos la forma punto-pendiente:
\[y-t_2=m(x-t_1)\]
\[y+3=\dfrac{4}{3}(x-4)\]
Simplificando, llegamos a:
\[4x-3y=25\]
Gráficamente, podemos verlo como:
Fig. 2. Recta tangente en un punto a una circunferencia.
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¿Cómo se hace una recta tangente a una circunferencia?
Para hallar la recta tangente de una circunferencia, hay que calcular la pendiente del radio desde el centro hasta el punto de corte.
La pendiente del radio de la circunferencia actuará como la recta normal perpendicular a la tangente.
A continuación, hay que hacer el recíproco negativo de la pendiente del radio, para obtener la pendiente de la tangente.
Por último, se sustituye el punto de corte en una ecuación lineal para obtener la ecuación de la recta tangente.
¿Cuál es la ecuación de la recta tangente?
Para hallar la recta tangente de una circunferencia, hay que calcular la pendiente del radio desde el centro hasta el punto de corte.
La pendiente del radio de la circunferencia actuará como la recta normal perpendicular a la tangente.
A continuación, haz el recíproco negativo de la pendiente del radio para obtener la pendiente de la tangente.
Por último, sustituye el punto de corte en una ecuación lineal para obtener la ecuación de la recta tangente. Lo más fácil es usar la forma punto-pendiente:
y-t2=m(x-t1)
¿Cuál es un ejemplo de ecuación de la recta tangente?
Si tenemos una circunferencia que tiene un radio cuya pendiente es mr=-1/3 y cuyo punto de corte con la tangente es P(2,1), la pendiente de la recta tangente es el recíproco negativo de la del radio: mt=3. La ecuación de la recta tangente en el punto P con la pendiente mt es: y-1=3(x-2)
¿Cuál es la pendiente de la tangente?
La pendiente de la tangente es el recíproco negativo de la pendiente del radio de la circunferencia que pasa por el punto de corte.
Por ejemplo: si el radio tiene una pendiente de mr=-1/2, entonces la pendiente de la tangente es: mt=2.
¿Cómo calcular la pendiente de la recta tangente?
Para calcular la pendiente de la tangente hay que calcular el recíproco negativo de la pendiente del radio de la circunferencia que pasa por el punto de corte.
Por ejemplo: si el radio tiene una pendiente de mr=-1/2, entonces la pendiente de la tangente es: mt=2.
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Lily Hulatt es una especialista en contenido digital con más de tres años de experiencia en estrategia de contenido y diseño curricular. Obtuvo su doctorado en Literatura Inglesa en la Universidad de Durham en 2022, enseñó en el Departamento de Estudios Ingleses de la Universidad de Durham y ha contribuido a varias publicaciones. Lily se especializa en Literatura Inglesa, Lengua Inglesa, Historia y Filosofía.
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Gabriel Freitas es un ingeniero en inteligencia artificial con una sólida experiencia en desarrollo de software, algoritmos de aprendizaje automático e IA generativa, incluidas aplicaciones de grandes modelos de lenguaje (LLM). Graduado en Ingeniería Eléctrica de la Universidad de São Paulo, actualmente cursa una maestría en Ingeniería Informática en la Universidad de Campinas, especializándose en temas de aprendizaje automático. Gabriel tiene una sólida formación en ingeniería de software y ha trabajado en proyectos que involucran visión por computadora, IA integrada y aplicaciones LLM.
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