Vectores en matemáticas

Vectores fijos

Los vectores son objetos que tienen un punto de origen y un punto de extremo. Debido a esto, dependiendo del punto de origen y del extremo, cada vector tendrá: un módulo, una dirección y un sentido.

Entonces, si tenemos un vector con origen en el punto $A$ y con extremo en el punto $B$:

• El módulo del vector $\overrightarrow{AB}$ es la distancia entre el punto de origen y el punto extremo. Su valor siempre es un número real positivo o nulo. El módulo se escribe como $|\overrightarrow{AB}|$.

• La dirección del vector $\overrightarrow{AB}$ viene determinada por la recta que contiene los puntos de origen y el extremo.

• El sentido del vector $\overrightarrow{AB}$ se considera dentro de la dirección, puesto que cada dirección tiene dos sentidos —como el que va desde el origen $A$ hasta el extremo $B$—.

Vectores equipolentes y vectores libres

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Tras esta definición, podemos pasar lo que es un vector libre:

Vectores linealmente independientes

Si tenemos varios vectores de la forma ${\overrightarrow{u}}_1$, ${\overrightarrow{u}}_2$, ... , ${\overrightarrow{u}}_n$, podemos definir una combinación lineal de estos vectores de la forma $a_1{\overrightarrow{u}}_1+a_2{\overrightarrow{u}}_2+...+a_n{\overrightarrow{u}}_n$; siendo los coeficientes $a_1,...,a_n$ números reales.

Por tanto, el vector $\overrightarrow{u}$ se dice que depende linealmente del conjunto de vectores ${\overrightarrow{u}}_1$, ${\overrightarrow{u}}_2$, ... , ${\overrightarrow{u}}_n$, si $\overrightarrow{u}$ se puede escribir como una combinación lineal de este conjunto. En caso de que $\overrightarrow{u}$ no se pueda expresar como una combinación lineal de este conjunto de vectores, se dice que $\overrightarrow{u}$ es linealmente independiente de este conjunto.

Coordenadas y bases

¡Ahora, ya sabes qué son los vectores y las relaciones que hay ente ellos! Pero, ¿cómo los representamos y cómo los ubicamos en el plano o en el espacio?: asignamos coordenadas a los vectores.

En estos dos ejemplos, hemos realizado cálculos con vectores.

Vector unitario

Como ya hemos dicho, una de las características de un vector es su longitud —denominada módulo—. Por tanto, dos vectores pueden tener misma dirección y sentido, pero distinto módulo. Esto significa que si, por ejemplo, estos vectores están asociados a las velocidades de dos coches, los dos coches se mueven en la misma dirección y el mismo sentido, pero el de mayor módulo es el que más rápido se mueve.

Dicho esto, podemos definir vectores que tengan módulo unitario; es decir, igual a la unidad.

Dicho esto, vamos a ver un ejemplo.

Bases

• Una base en el plano, al ser de dimensión 2 —también llamada base de ${\mathbb{R}}^2$— estará formada por cualesquiera dos vectores linealmente independientes. A partir de estos, puede expresarse cualquier otro vector.
• En el espacio, al constar de 3 dimensiones, se necesitan tres vectores linealmente independientes para formar una base de ${\mathbb{R}}^3$.

Para poder determinar si un conjunto de vectores forma una base, podemos realizar el determinante de la matriz formada por estos vectores:

• Si el determinante resulta ser $0$, indica que los vectores son linealmente dependientes y por tanto, no pueden formar una base.

• Si, por el contrario, el determinante resulta ser distinto de $0$, los vectores son linealmente independientes y pueden formar una base.

• Si una base está formada por vectores ortogonales entre sí, se dice que la base es ortogonal.

• Si además de perpendiculares, los vectores son unitarios, la base es ortonormal.

Base canónica

Según esta definición, puede haber más de una base canónica para cada dimensión. Sin embargo, a continuación, vamos a mostrarte las bases canónicas más utilizadas en ${\mathbb{R}}^2$ y en ${\mathbb{R}}^3$:

Por tanto, todos los vectores del plano pueden expresarse como una combinación lineal de estos dos vectores:

$$\overrightarrow{v}={\alpha }_1\overrightarrow{ı}+{\alpha }_2\overrightarrow{ȷ}$$

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De igual manera, todos los vectores en el espacio pueden expresarse en términos de la base canónica:

$$\overrightarrow{v}={\alpha }_1\overrightarrow{ı}+{\alpha }_2\overrightarrow{ȷ}+{\alpha }_3\overrightarrow{k}$$

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