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Existen dos conceptos que seguro conoces, pero que quizá aún no sepas cómo expresarlos matemáticamente con ecuaciones; estos son la mediatriz y la bisectriz. En este artículo te contamos su definición y características más importantes.
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Regístrate gratis¿Qué es una recta perpendicular?
Encuentra el punto medio de la recta que pasa por los puntos \(A=(1,4)\) y \(B=(4,7)\).
En el primer paso para encontrar una recta mediatriz, se tiene que:
En el segundo paso para encontrar una recta mediatriz, se tiene que:
Si se tiene un ángulo de sesenta y dos grados, la recta bisectriz se divide en dos partes de....
Calcula la pendiente de la recta perpendicular a D que pasa por los puntos: \(A=(2,3)\) y \(B=(4,9)\).
Calcula la pendiente de la recta que pasa por los puntos: \(A=(2,3)\) y \(B=(4,9)\).
¿Qué es la bisectriz de dos ángulos?
¿Cuál es el símbolo de la pendiente?
Calcula la recta perpendicular a la recta \(D\) que pasa por los puntos: \(A=(2,7)\) y \(B=(12,5)\).
La bisectriz y la mediatriz son lugares geométricos. ¿Verdadero o falso?
¿Qué es una recta perpendicular?
Encuentra el punto medio de la recta que pasa por los puntos \(A=(1,4)\) y \(B=(4,7)\).
En el primer paso para encontrar una recta mediatriz, se tiene que:
En el segundo paso para encontrar una recta mediatriz, se tiene que:
Si se tiene un ángulo de sesenta y dos grados, la recta bisectriz se divide en dos partes de....
Calcula la pendiente de la recta perpendicular a D que pasa por los puntos: \(A=(2,3)\) y \(B=(4,9)\).
Calcula la pendiente de la recta que pasa por los puntos: \(A=(2,3)\) y \(B=(4,9)\).
¿Qué es la bisectriz de dos ángulos?
¿Cuál es el símbolo de la pendiente?
Calcula la recta perpendicular a la recta \(D\) que pasa por los puntos: \(A=(2,7)\) y \(B=(12,5)\).
La bisectriz y la mediatriz son lugares geométricos. ¿Verdadero o falso?
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Enviar comentariosEn primer lugar, vamos a definir la mediatriz; pero, antes tenemos que explicar qué son las rectas perpendiculares, concepto que nos ayudará a entender las características de la mediatriz.
Se dice que dos rectas son perpendiculares cuando entre ellas se forman ángulos de \(90^o\); es decir, ángulos rectos. La proyección de una sobre otra es solo un punto.
Por tanto, un ejemplo de rectas perpendiculares son los ejes del plano; entre ellos se forman ángulos rectos. En la siguiente imagen se observan dos rectas perpendiculares:
Fig. 1: Dos rectas perpendiculares, donde se aprecia el ángulo recto que forman.
Ahora que ya hemos definido lo que son dos rectas perpendiculares, es importante tener claro el concepto de mediatriz.
La mediatriz es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de los puntos \(A\) y \(B\), que son los extremos de un segmento.
También se entiende como la recta perpendicular a un segmento de extremos \(A\) y \(B\), pasando por su punto medio.
Fig. 2. Mediatriz como la recta perpendicular \(AM\) que pasa por el punto medio de un segmento \(XY\).
La mediatriz de un segmento es la recta que pasa por el punto medio de ese segmento, por lo que la recta está limitada a un rango entre dos coordenadas \( (x_1, y_1)\) y \((x_2, y_2)\). Por tanto, la recta debe ser perpendicular y pasar por el punto medio del segmento.
Para encontrar este punto medio, se debe aplicar la siguiente fórmula:
\[ \text{Punto medio}= \left(\dfrac{ x_1 - x_2 }{2}, \dfrac{x_1 - x_2}{2}\right)\]
Después de esto, deberás encontrar la ecuación de la recta mediatriz. Esto lo explicaremos más adelante.
Después de haber definido la mediatriz, seguro que te has acordado de los triángulos. En efecto, los lados de un triángulo se pueden tratar cada uno como un segmento y, por tanto, podemos hacer la mediatriz de cada uno.
Fig. 3. Mediatrices de un triángulo.
Como puedes observar, un triángulo no tiene una mediatriz, sino tres: una por cada lado del triángulo. Si realizamos las tres mediatrices del triángulo, observamos que las tres se cortan en un punto dentro del mismo. Este punto se conoce como circuncentro.
El circuncentro es el centro de la circunferencia que contiene el triángulo que corta los vértices del mismo. Esto lo puedes observar en la siguiente imagen.
Fig. 4. Circunferencia circunscrita en un triángulo acutángulo con centro en el circuncentro.
Una mediatriz se expresa como una ecuación lineal. Para crear una ecuación para la mediatriz de una línea, necesitas encontrar la pendiente de la mediatriz y el punto medio del segmento por el que pasa.
El primer paso para hallar una ecuación para la mediatriz perpendicular es encontrar la pendiente. Como las pendientes de la recta original y de la mediatriz son perpendiculares, podemos utilizar la pendiente de la recta original para calcular la pendiente de la mediatriz.
La pendiente de la mediatriz es el recíproco inverso de la pendiente de la recta original.
La pendiente de la mediatriz puede expresarse como \(-1/m\), donde \(m\) es la pendiente de la recta original.
La recta \(a\) tiene la ecuación \(f(x)\), que es perpendicularmente bisecada por la recta l.
¿Cuál es la pendiente de la recta a, si \(f(x)\) se da a continuación?
\[f(x)=3x+6\]
Solución:
Si no te dan la ecuación original, es posible que primero tengas que calcular la pendiente de la ecuación de la recta, utilizando dos coordenadas. La fórmula de la pendiente es: \(m=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\).
La recta 1 va de \((3, 3)\) a \((9, -21)\) y es perpendicularmente bisecada por la recta 2.
¿Cuál es la pendiente de la línea 2?
Solución:
El punto medio es una coordenada que muestra el punto medio de un segmento de recta. Si no te dan la ecuación de la recta original, tendrás que calcular el punto medio del segmento de recta, ya que es donde la mediatriz se cruzará con la recta original.
Un segmento de recta es una parte de una línea entre dos puntos.
Puedes encontrar el punto medio, promediando a partir de las coordenadas x y y del extremo del segmento de línea. Por ejemplo, puedes encontrar el punto medio del segmento de la recta con los puntos extremos (a, b) y (c, d) mediante la fórmula.
Fig. 5. Punto medio de una recta.
Un segmento de una recta tiene los puntos extremos (-1, 8) y (15, 10).
Encuentra las coordenadas del punto medio.
2. Sustituye los puntos extremos:\[(\dfrac{-1+15}{2},\dfrac{8+10}{2})=(7,9)\]
Puedes reordenar la fórmula, para utilizar el punto medio y encontrar una de las otras coordenadas.
AB es un segmento de recta cuyo punto medio es \((6, 6)\).
Encuentra \(B\), cuando \(A\) es \((10, 0)\).
Para terminar de formular la ecuación de la mediatriz, necesitas sustituir la pendiente, así como el punto medio en la ecuación de una recta.
Esta ecuación es:
\[y=mx+c\]
\[y-y_1=m(x-x_1)\]
\[Ax+By=C\]
Se puede sustituir directamente en las dos primeras fórmulas, mientras que la última necesita ser reordenada en esa forma.
Un segmento de una recta está entre los puntos:
\[A=(4,10),\, B=(10,20)\]
¿Cuál es la ecuación de la mediatriz de este segmento?
Solución:
1. Halla la pendiente de la recta original:
\[\dfrac{20-10}{10-4}=\dfrac{10}{6}=\dfrac{5}{3}\]
2. Halla la pendiente de la mediatriz:
\[\dfrac{-1}{m}=\dfrac{-3}{5}\]
3. Halla el punto medio del segmento de recta:
\[\left(\dfrac{4+10}{2},\dfrac{10+20}{2}\right)=(7,5)\]
4. Sustituye en la ecuación de la recta:
\[y-15=\dfrac{-3}{5}(x-7)\]
Por tanto, la ecuación de la mediatriz del segmento es:
\[y-15=\dfrac{-3}{5}(x-7)\]
\[5y-75=-3x+21\]
\[3x+5y-96=0\]
Un segmento de una recta está entre los puntos:
\[A=(-3,7),\,B=(6,14)\]
¿Cuál es la ecuación de la mediatriz del segmento?
Solución:
1. Encuentra la pendiente de la recta original:
\[\dfrac{14-7}{6-(-3)}=\dfrac{7}{9}\]
2. Halla la pendiente de la mediatriz:
\[\dfrac{-1}{m}=\dfrac{-9}{7}\]
3. Halla el punto medio del segmento de recta:
\[\left(\dfrac{-3+6}{2},\dfrac{7+14}{2}\right)=\left(\dfrac{3}{2},\dfrac{21}{2}\right)\]
4. Sustituye en la ecuación:
\[y-\dfrac{21}{2}=\dfrac{-9}{7}\left( x-\dfrac{21}{2}\right)\]
Por tanto, la ecuación de la mediatriz del segmento es:
\[\dfrac{9}{7}x+y-24=0\]
Una propiedad de las mediatrices es que si dos rectas tienen las misma mediatriz, estas son rectas paralelas; en caso contrario, se tocan en cierto ángulo
Otra tema importante en geometría es la bisectriz de dos rectas. La recta, en este caso, es la que divide un ángulo en dos partes iguales. Esto se puede ver en la imagen inferior.
Fig. 6. Recta bisectriz dividiendo el ángulo en dos partes iguales.
Dadas dos rectas \(r\) y \(t\), se llaman bisectrices a las rectas \(b_1\) y \(b_2\) que dividen los ángulos de las rectas \(r\) y \(t\) en dos partes iguales.
En triángulos, la bisectriz de los ángulos es importante; es parte del teorema bisector, donde el ratio de la longitud de las rectas creadas en cada lado por la división de la recta bisectriz debe ser igual. Esto se puede ver en la imagen inferior:
Fig. 7. Recta bisectriz en un triángulo, donde las longitudes son equivalentes.
De este modo:
\[\dfrac{|BP|}{|CP|}=\dfrac{|AB|}{|AC|}\]
Para obtener esta recta, debes dividir uno de los ángulos por la mitad y, después, extender una recta desde esa posición hasta el lado opuesto del triángulo. Esta recta es conocida como la recta bisectriz de un triángulo.
\[ \text{Punto medio}= \left(\dfrac{ x_1 - x_2 }{2}, \dfrac{x_1 - x_2}{2}\right)\]
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¿Qué es una mediatriz?
La mediatriz es la recta perpendicular a un segmento de extremos A y B pasando por su punto medio.
¿Cómo se hace la mediatriz de un segmento?
1. Primero, debes encontrar el punto medio del segmento; esto con la fórmula:
(a+c)/2=xm
(b+d)=ym
donde el primer punto tiene coordenadas (a,b) y el segundo (c,d).
2. Después, debes encontrar la pendiente de la recta, esto usando la fórmula:
m=(y2-y1)/(x2-x1)
donde los puntos son:
m=(b-d)/(a-c)
3. Ahora, debes encontrar la pendiente inversa, que será:
minv=-1/m
4. Finalmente, sustituye todos los valores que obtuviste en la fórmula: y-ym=minv(x-xm)
¿Cómo se hace la mediatriz de un triángulo?
Para calcular la mediatriz de un triángulo, puedes seguir los siguientes pasos:
¿Cómo se construye la bisectriz?
La bisectriz es la recta que corta el ángulo opuesto a un cateto de un triángulo. En este caso, se debe dividir el ángulo contrario a la mitad y trazar una recta hasta el cateto opuesto.
¿Cómo se hace una recta perpendicular?
Si se tiene una recta y1 , para construir una recta perpendicular:
1. Se debe obtener un punto cualquiera en la recta original con coordenadas (x1, y1).
2. Se debe obtener la pendiente de la recta original y calcular la inversa, la cual será la pendiente de la recta perpendicular m= -1/m1.
3. Para finalizar, se debe construir la recta con la ecuación: y-ya=m1(x-xa)
donde los puntos (xa,ya) son los puntos de la recta original (x1,y1) y m es la pendiente calculada.
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Lily Hulatt es una especialista en contenido digital con más de tres años de experiencia en estrategia de contenido y diseño curricular. Obtuvo su doctorado en Literatura Inglesa en la Universidad de Durham en 2022, enseñó en el Departamento de Estudios Ingleses de la Universidad de Durham y ha contribuido a varias publicaciones. Lily se especializa en Literatura Inglesa, Lengua Inglesa, Historia y Filosofía.
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Gabriel Freitas es un ingeniero en inteligencia artificial con una sólida experiencia en desarrollo de software, algoritmos de aprendizaje automático e IA generativa, incluidas aplicaciones de grandes modelos de lenguaje (LLM). Graduado en Ingeniería Eléctrica de la Universidad de São Paulo, actualmente cursa una maestría en Ingeniería Informática en la Universidad de Campinas, especializándose en temas de aprendizaje automático. Gabriel tiene una sólida formación en ingeniería de software y ha trabajado en proyectos que involucran visión por computadora, IA integrada y aplicaciones LLM.
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