Factores de escala


Supongamos que tenemos dos formas muy parecidas, pero una parece más grande que la otra. Medimos las longitudes y comprobamos que las longitudes de la forma más grande son exactamente tres veces las longitudes de la forma más pequeña. Entonces dibujamos otra figura con lados cinco veces más largos que la figura más pequeña. Esto tiene un nombre especial: ¡las formas son matemáticamente similares con un factor de escala de tres y cinco respectivamente! Por suerte, en este artículo exploraremos todo lo que necesitas saber sobre la semejanza y, en particular, sobre los factores de escala. Así que, antes de empezar, definamos algunos términos clave.

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    Definición de factores de escala

    Definición de factores de escala: dos triángulos semejantes con factor de escala 2.Dos triángulos semejantes con factor de escala 2- StudySmarter Originals

    En la imagen anterior tenemos dos triángulos. Observa que las longitudes del triángulo A'B'C' son exactamente el doble de las longitudes del triángulo ABC. Aparte de eso, los triángulos son exactamente iguales. Por tanto, podemos decir que las dos formas son similares con un factor de escala de dos. También podemos decir que el lado AB corresponde al lado A'B'el lado AC corresponde al lado A'C' y el lado BC corresponde al lado B'C'.

    Un factor de escala nos indica el factor por el que se ha ampliado una forma. Los lados correspondientes son los lados de la forma que tienen longitudes proporcionales.

    Si tenemos una forma ampliada por un factor de escala de tres, entonces cada lado de la forma se multiplica por tres para producir la nueva forma.

    A continuación se muestra otro ejemplo de un conjunto de formas similares. ¿Puedes calcular el factor de escala y los lados correspondientes?

    definición del factor de escala - cálculo del factor de escala de dos cuadriláteros ABCD y A'B'C'D'.Ejemplo de cálculo del factor de escala con cuadriláteros - StudySmarter Originals

    Solución:

    Tenemos dos cuadriláteros ABCD y A'B'C'D'. Observando las formas, podemos ver que BC se corresponde con B'C' porque ambos son casi idénticos, la única diferencia es que B'C' es más larga. ¿En cuánto?

    Contando los cuadrados, vemos que BC mide dos unidades, y B'C' mide seis unidades. Para calcular el factor de escala, dividimos la longitud de BC por la longitud de B'C'. Por tanto, el factor de escala es62=3 .

    Podemos concluir que el factor de escala es 3 y los lados correspondientes son AB con A'B', BC con B'C', CD con C'D' y AD con A'D'.

    Fórmulas de los factores de escala

    Existe una fórmula muy sencilla para calcular el factor de escala cuando tenemos dos formas similares. En primer lugar, tenemos que identificar los lados correspondientes. Recuerda que son los lados proporcionales entre sí. A continuación, tenemos que determinar cuál es la forma original y cuál la transformada. En otras palabras, ¿cuál es la forma que se ha ampliado? Esto suele indicarse en la pregunta.

    Entonces, tomamos un ejemplo de lados correspondientes en el que se conozcan las longitudes de los lados y dividimos la longitud del lado ampliado por la longitud del lado original. Este número es el factor de escala.

    Planteando esto matemáticamente, tenemos

    SF= ab

    Donde SF es el factor de escala, a denota la longitud del lado de la figura ampliada y b denota la longitud lateral de la figura original y las longitudes laterales tomadas son ambas de lados correspondientes.

    Ejemplos de factores de escala

    En este apartado veremos otros ejemplos de factores de escala.

    En la siguiente imagen hay formas similares ABCDE y A'B'C'D'E'. Tenemos:

    DC=16 cm, D'C'=64 cm , ED= x cm, E'D'=32 cm, AB=4 cm y A'B'=y cm.

    AB=4 cmDescubre el valor de x y y.

    ejemplos de factores de escala - ejemplo de cálculo de las longitudes que faltan utilizando el factor de escalaEjemplo de cálculo de las longitudes que faltan utilizando el factor de escala - StudySmarter Originals

    Solución:

    Observando la imagen, podemos ver que DC y D'C' son lados correspondientes, lo que significa que sus longitudes son proporcionales entre sí. Como tenemos las longitudes de los dos lados, podemos utilizarlas para calcular el factor de escala.

    Calculando el factor de escala, tenemos SF=6416=4.

    Por tanto, si definimos ABCDE la forma original, podemos decir que podemos ampliar esta forma con un factor de escala de 4 para obtener la forma ampliada A'B'C'D'E'.

    Ahora, para calcular xtenemos que trabajar hacia atrás. Sabemos que ED y E'D' son lados correspondientes. Por tanto, para ir de E'D' a ED debemos dividir por el factor de escala. Podemos decir que x=324=8 cm .

    Para calcular y, debemos multiplicar la longitud del lado AB por el factor de escala. Así, tenemos A'B'=4×4=16 cm.

    Por tanto, x=8 cm y y=16 cm.

    A continuación se muestran los triángulos similares ABC y A'B'C', ambos dibujados a escala. Calcula el factor de escala para pasar de ABC a A'B'C'.

    ejemplos de factores de escala - ejemplo de cálculo de un factor de escala fraccionarioEjemplo de cálculo del factor de escala cuando el factor de escala es fraccionario - StudySmarter Originals

    Solución:

    Observa que en esta figura, la figura transformada es más pequeña que la figura original. Sin embargo, para calcular el factor de escala, hacemos exactamente lo mismo. Nos fijamos en los dos lados correspondientes, tomemos AB y A'B' por ejemplo. Luego dividimos la longitud del lado transformado por la longitud del lado original. En este caso AB= 4 units y A'B'= 2 units.

    Por tanto, el factor de escala, SF=24=12 .

    Observa que aquí tenemos un factor de escala fraccionario. Esto ocurre siempre que pasamos de una forma mayor a una forma menor.

    A continuación se muestran tres cuadriláteros semejantes. Tenemos que DC=10 cm, D'C'=15 cm, D''C''= 20 cm y A'D'= 18 cm . Calcula el área de los cuadriláteros ABCDy A''B''C''D''.

    ejemplos de factores de escala - ejemplo de cálculo del área utilizando el factor de escalaEjemplo de cálculo del área utilizando el factor de escala - StudySmarter Originals

    Solución:

    En primer lugar, vamos a calcular el factor de escala para pasar de ABCD a A'B'C'D'. Puesto que D'C'=15 cm y DC= 10 cmpodemos decir que el factor de escala SF=1510=1.5 . Por tanto, para llegar de ABCD a A'B'C'D' ampliamos con un factor de escala de 1.5. Por tanto, podemos decir que la longitud de AD es 181.5=12 cm.

    Ahora, vamos a calcular el factor de escala para pasar de A'B'C'D' a A''B''C''D''. Puesto que D''C''=20 cm y D'C'=15 cmpodemos decir que el factor de escala SF=2015=43. Así, para calcular A''D'', multiplicamos la longitud de A'D' por 43 para obtener A''D''=18×43=24 cm.

    Para calcular el área de un cuadrilátero, recuerda que multiplicamos la base por la altura. Por tanto, el área de ABCD es 10 cm×12 cm=120 cm2 y análogamente, el área de A''B''C''D'' es 20 cm ×24 cm= 420 cm2.

    A continuación se muestran dos triángulos rectángulos similares ABC y A'B'C'. Calcula la longitud de A'C'.

    ejemplos de factores de escala - ejemplo de pitágorasCalcula la longitud que falta utilizando el factor de escala y Pitágoras - StudySmarter Originals

    Solución:

    Como de costumbre, empecemos por calcular el factor de escala. Observa que BC y B'C' son dos lados correspondientes conocidos, así que podemos utilizarlos para calcular el factor de escala.

    Así pues SF= 42=2 . Por tanto, el factor de escala es 2. Como no conocemos el lado ACno podemos utilizar el factor de escala para calcular A'C'. Sin embargo, como conocemos ABpodemos utilizarlo para calcular A'B'.

    Al hacerlo, tenemos A'B'= 3 × 2=6 cm. Ahora tenemos dos lados de un triángulo rectángulo. Quizá recuerdes haber aprendido el teorema de Pitágoras. Si no es así, quizá debas repasarlo antes de continuar con este ejemplo. Sin embargo, si conoces a Pitágoras, ¿puedes averiguar qué tenemos que hacer ahora?

    Según el propio Pitágoras, tenemos que a2+b2=c2dondec es la hipotenusa de un triángulo rectángulo, y a y b son los otros dos lados. Si definimos a=4 cm, b=6 cmy c=A'C'podemos utilizar a Pitágoras para calcular c¡!

    Al hacerlo, obtenemos c2=42+62=16+36=52. Por tanto, , c=52=7.21 cm.

    Por tanto, tenemos que A'C'=7.21 cm.

    Ampliación del factor de escala

    Si tenemos una forma y un factor de escala, podemos ampliar una forma para producir una transformación de la forma original. Esto se denomina transformación de ampliación . En este apartado veremos algunos ejemplos de transformaciones de ampliación.

    Para ampliar una forma hay que seguir varios pasos. Primero tenemos que saber cuánto vamos a ampliar la forma, lo que se indica mediante el factor de escala. También tenemos que saber exactamente dónde estamos ampliando la forma. Esto se indica con el centro de ampliación.

    El centro de ampliación es la coordenada que indica dónde ampliar una forma.

    Utilizamos el centro de ampliación mirando un punto de la forma original y calculando a qué distancia está del centro de ampliación. Si el factor de escala es dos, queremos que la forma transformada esté el doble de lejos del centro de ampliación que la forma original.

    A continuación veremos algunos ejemplos que nos ayudarán a comprender los pasos necesarios para ampliar una forma.

    A continuación se muestra el triángulo ABC. Amplía este triángulo con un factor de escala de 3 con el centro de ampliación en el origen.

    factor de escala ampliación - ejemplo con triángulo ampliado con factor de escala 3 y centro de ampliación en el origenEjemplo de ampliación de un triángulo - StudySmarter Originals

    Solución:

    El primer paso para hacerlo es asegurarse de que el centro de ampliación está etiquetado. Recuerda que el origen es la coordenada (0,0). Como vemos en la imagen anterior, se ha marcado como punto O.

    Ahora, elige un punto de la forma. Abajo he elegido el punto B. Para ir del centro de ampliación O al punto B, tenemos que recorrer 1 unidad a lo largo y 1 unidad hacia arriba. Si queremos ampliarlo con un factor de escala de 3tendremos que desplazarnos 3 unidades a lo largo y 3 unidades hacia arriba desde el centro de ampliación. Así, el nuevo punto B' está en el punto (3,3).

    factor de escala ampliación - ejemplo con triángulo ampliado con factor de escala 3 y centro de ampliación en el origenEjemplo de ampliación de un triángulo - StudySmarter Originals

    Ahora podemos etiquetar el punto B' en nuestro diagrama como se muestra a continuación.

    factor de escala ampliación - ejemplo con triángulo ampliado con factor de escala 3 y centro de ampliación en el origenEjemplo de ampliación de un triángulo punto por punto - StudySmarter Originals

    A continuación, hacemos lo mismo con otro punto. Yo he elegido C. Para llegar desde el centro de la ampliación O hasta el punto C, tenemos que recorrer 3 unidades a lo largo y 1 unidad hacia arriba. Si ampliamos 3necesitaremos recorrer 3×3=9 unidades a lo largo y 1×3=3 unidades hacia arriba. Por tanto, el nuevo punto C' está en (9,3).

    factor de escala ampliación - ejemplo con triángulo ampliado con factor de escala 3 y centro de ampliación en el origenEjemplo de ampliación de un triángulo punto por punto - StudySmarter Originals

    Ahora podemos etiquetar el punto C' en nuestro diagrama como se muestra a continuación.

    factor de escala ampliación - ejemplo con triángulo ampliado con factor de escala 3 y centro de ampliación en el origenEjemplo de ampliación de un triángulo punto por punto - StudySmarter Originals

    Por último, nos fijamos en el punto A. Para ir del centro de ampliación O al punto A, recorremos 1 unidad a lo largo y 4 unidades hacia arriba. Por tanto, si ampliamos este punto con un factor de escala de 3necesitaremos recorrer 1×3=3 unidades a lo largo y 4×3=12 unidades hacia arriba. Por tanto, el nuevo punto A' estará en el punto (3,12).

    factor de escala ampliación - ejemplo con triángulo ampliado con factor de escala 3 y centro de ampliación en el origenEjemplo de ampliación de un triángulo punto por punto - StudySmarter Originals

    Ahora podemos etiquetar el punto A' en nuestro diagrama como se muestra a continuación. Si unimos las coordenadas de los puntos que hemos añadido, obtenemos el triángulo A'B'C'. Es idéntico al triángulo original, sólo que los lados son tres veces más grandes. Está en el lugar correcto, ya que lo hemos ampliado respecto al centro de ampliación.

    factor de escala ampliación - ejemplo con triángulo ampliado con factor de escala 3 y centro de ampliación en el origenEjemplo de ampliación de un triángulo - StudySmarter Originals

    Por tanto, tenemos nuestro triángulo final representado a continuación.

    factor de escala ampliación - ejemplo con triángulo ampliado con factor de escala 3 y centro de ampliación en el origenEjemplo de ampliación de un triángulo - StudySmarter Originals

    Factores de escala negativos

    Hasta ahora sólo hemos visto factores de escala positivos. También hemos visto algunos ejemplos de factores de escala fraccionarios. Sin embargo, también podemos tener factores de escala negativos al transformar formas. En cuanto a la ampliación real, lo único que cambia realmente es que la forma aparece invertida en una posición diferente. Lo veremos en el siguiente ejemplo.

    A continuación se muestra el cuadrilátero ABCD. Amplía este cuadrilátero con un factor de escala de -2 con el centro de ampliación en el punto P=(1,1).

    factores de escala negativos - ejemplo con cuadrilátero ampliado con factor de escala -2 y centro de ampliación (1,1)Ejemplo de factores de escala negativos - StudySmarter Originals

    Solución:

    En primer lugar, tomamos un punto del cuadrilátero. He elegido el punto D. Ahora tenemos que calcular a qué distancia está D del centro de la ampliación P. En este caso, para ir de P a D, tenemos que recorrer 1 unidad a lo largo y 1 unidad hacia arriba.

    Si queremos ampliarlo con un factor de escala de -2necesitaremos recorrer 1×-2=-2 unidades a lo largo y 1×-2=-2 unidades hacia arriba. En otras palabras, nos desplazamos 2 unidades a lo largo y 2 unidades hacia abajo desde P. Por tanto, el nuevo punto D' está en (-1,-1)como se muestra a continuación.

    factores de escala negativos - ejemplo con cuadrilátero ampliado con factor de escala -2 y centro de ampliación (1,1)Ejemplo de factores de escala negativos - StudySmarter Originals

    Ahora, considera el punto A. Para ir de P a A, viajamos 1 unidades a lo largo y 2 unidades hacia arriba. Por tanto, para ampliarlo con un factor de escala -2viajamos 1×-2=-2 unidades a lo largo y 2×-2=-4 unidades hacia arriba. En otras palabras, nos desplazamos 2 unidades a la izquierda de P y 4 unidades hacia abajo, como se muestra en el punto A' de abajo.

    factores de escala negativos - ejemplo con cuadrilátero ampliado con factor de escala -2 y centro de ampliación (1,1)Ejemplo de factores de escala negativos - StudySmarter Originals

    Ahora, considera el punto C. Para ir de P a C, viajamos 3 unidades a lo largo y 1 unidad hacia arriba. Por tanto, para ampliarlo con un factor de escala -2viajamos 3×-2=-6 unidades a lo largo y 1×-2=-2 unidades hacia arriba. En otras palabras, nos desplazamos 6 unidades a la izquierda de P y 2 unidades hacia abajo, como se muestra en el punto C'.

    factores de escala negativos - ejemplo con cuadrilátero ampliado con factor de escala -2 y centro de ampliación (1,1)Ejemplo de factores de escala negativos - StudySmarter Originals

    Ahora, considera el punto B. Para ir de P a B, viajamos 2 unidades a lo largo y 2 unidades hacia arriba. Por tanto, para ampliarlo con un factor de escala -2viajamos 2×-2=-4 unidades a lo largo y 2×-2=-4 unidades hacia arriba. En otras palabras, nos desplazamos 4 unidades a la izquierda de P y 4 unidades hacia abajo, como se muestra en el punto B'.

    factores de escala negativos - ejemplo con cuadrilátero ampliado con factor de escala -2 y centro de ampliación (1,1)Ejemplo de factores de escala negativos - StudySmarter Originals

    Si unimos los puntos y eliminamos las líneas de rayo, obtenemos el cuadrilátero de abajo. Esta es nuestra forma final ampliada. Observa que la nueva imagen aparece invertida.

    factores de escala negativos - ejemplo con cuadrilátero ampliado con factor de escala -2 y centro de ampliación (1,1)Ejemplo de factores de escala negativos - StudySmarter Originals

    Factores de escala - Puntos clave

    • Un factor de escala nos indica el factor por el que se ha ampliado una forma.
    • Por ejemplo, si tenemos una forma ampliada por un factor de escala de tres, entonces cada lado de la forma se multiplica por tres para producir la nueva forma.
    • Los lados correspondientes son los lados de la forma que tienen longitudes proporcionales.
    • Si tenemos una forma y un factor de escala, podemos ampliar una forma para producir una transformación de la forma original. Esto se denomina transformación de ampliación .
    • El centro de ampliación es la coordenada que indica dónde ampliar una forma.
    • También podemos tener factores de escala negativos al transformar formas. En cuanto a la ampliación real, la forma sólo parecerá estar al revés.
    Preguntas frecuentes sobre Factores de escala
    ¿Qué es un factor de escala en matemáticas?
    Un factor de escala en matemáticas es un número que multiplica las dimensiones de una figura para ampliarla o reducirla.
    ¿Cómo se calcula el factor de escala?
    Para calcular el factor de escala, divide las dimensiones de la nueva figura por las dimensiones de la figura original.
    ¿Cómo afecta el factor de escala al perímetro?
    El factor de escala modifica el perímetro de una figura multiplicándolo por el mismo factor.
    ¿Cómo influye el factor de escala en el área?
    El factor de escala afecta el área multiplicándola por el cuadrado del factor de escala.

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