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Definición de factores de escala
En la imagen anterior tenemos dos triángulos. Observa que las longitudes del triángulo son exactamente el doble de las longitudes del triángulo . Aparte de eso, los triángulos son exactamente iguales. Por tanto, podemos decir que las dos formas son similares con un factor de escala de dos. También podemos decir que el lado corresponde al lado el lado corresponde al lado y el lado corresponde al lado .
Un factor de escala nos indica el factor por el que se ha ampliado una forma. Los lados correspondientes son los lados de la forma que tienen longitudes proporcionales.
Si tenemos una forma ampliada por un factor de escala de tres, entonces cada lado de la forma se multiplica por tres para producir la nueva forma.
A continuación se muestra otro ejemplo de un conjunto de formas similares. ¿Puedes calcular el factor de escala y los lados correspondientes?
Solución:
Tenemos dos cuadriláteros y . Observando las formas, podemos ver que se corresponde con porque ambos son casi idénticos, la única diferencia es que es más larga. ¿En cuánto?
Contando los cuadrados, vemos que mide dos unidades, y mide seis unidades. Para calcular el factor de escala, dividimos la longitud de por la longitud de . Por tanto, el factor de escala es.
Podemos concluir que el factor de escala es y los lados correspondientes son con , con , con y con .
Fórmulas de los factores de escala
Existe una fórmula muy sencilla para calcular el factor de escala cuando tenemos dos formas similares. En primer lugar, tenemos que identificar los lados correspondientes. Recuerda que son los lados proporcionales entre sí. A continuación, tenemos que determinar cuál es la forma original y cuál la transformada. En otras palabras, ¿cuál es la forma que se ha ampliado? Esto suele indicarse en la pregunta.
Entonces, tomamos un ejemplo de lados correspondientes en el que se conozcan las longitudes de los lados y dividimos la longitud del lado ampliado por la longitud del lado original. Este número es el factor de escala.
Planteando esto matemáticamente, tenemos
Donde es el factor de escala, denota la longitud del lado de la figura ampliada y denota la longitud lateral de la figura original y las longitudes laterales tomadas son ambas de lados correspondientes.
Ejemplos de factores de escala
En este apartado veremos otros ejemplos de factores de escala.
En la siguiente imagen hay formas similares y . Tenemos:
, , , , y .
Solución:
Observando la imagen, podemos ver que y son lados correspondientes, lo que significa que sus longitudes son proporcionales entre sí. Como tenemos las longitudes de los dos lados, podemos utilizarlas para calcular el factor de escala.
Calculando el factor de escala, tenemos .
Por tanto, si definimos la forma original, podemos decir que podemos ampliar esta forma con un factor de escala de para obtener la forma ampliada .
Ahora, para calcular tenemos que trabajar hacia atrás. Sabemos que y son lados correspondientes. Por tanto, para ir de a debemos dividir por el factor de escala. Podemos decir que .
Para calcular y, debemos multiplicar la longitud del lado por el factor de escala. Así, tenemos .
Por tanto, y .
A continuación se muestran los triángulos similares y , ambos dibujados a escala. Calcula el factor de escala para pasar de a .
Solución:
Observa que en esta figura, la figura transformada es más pequeña que la figura original. Sin embargo, para calcular el factor de escala, hacemos exactamente lo mismo. Nos fijamos en los dos lados correspondientes, tomemos y por ejemplo. Luego dividimos la longitud del lado transformado por la longitud del lado original. En este caso y .
Por tanto, el factor de escala, .
Observa que aquí tenemos un factor de escala fraccionario. Esto ocurre siempre que pasamos de una forma mayor a una forma menor.
A continuación se muestran tres cuadriláteros semejantes. Tenemos que , , y . Calcula el área de los cuadriláteros y .
Solución:
En primer lugar, vamos a calcular el factor de escala para pasar de a . Puesto que y podemos decir que el factor de escala . Por tanto, para llegar de a ampliamos con un factor de escala de . Por tanto, podemos decir que la longitud de es .
Ahora, vamos a calcular el factor de escala para pasar de a . Puesto que y podemos decir que el factor de escala . Así, para calcular A''D'', multiplicamos la longitud de A'D' por para obtener .
Para calcular el área de un cuadrilátero, recuerda que multiplicamos la base por la altura. Por tanto, el área de es y análogamente, el área de es .
A continuación se muestran dos triángulos rectángulos similares y . Calcula la longitud de .
Solución:
Como de costumbre, empecemos por calcular el factor de escala. Observa que y son dos lados correspondientes conocidos, así que podemos utilizarlos para calcular el factor de escala.
Así pues . Por tanto, el factor de escala es . Como no conocemos el lado no podemos utilizar el factor de escala para calcular . Sin embargo, como conocemos podemos utilizarlo para calcular .
Al hacerlo, tenemos . Ahora tenemos dos lados de un triángulo rectángulo. Quizá recuerdes haber aprendido el teorema de Pitágoras. Si no es así, quizá debas repasarlo antes de continuar con este ejemplo. Sin embargo, si conoces a Pitágoras, ¿puedes averiguar qué tenemos que hacer ahora?
Según el propio Pitágoras, tenemos que donde es la hipotenusa de un triángulo rectángulo, y y son los otros dos lados. Si definimos , y podemos utilizar a Pitágoras para calcular ¡!
Al hacerlo, obtenemos . Por tanto, , .
Por tanto, tenemos que .
Ampliación del factor de escala
Si tenemos una forma y un factor de escala, podemos ampliar una forma para producir una transformación de la forma original. Esto se denomina transformación de ampliación . En este apartado veremos algunos ejemplos de transformaciones de ampliación.
Para ampliar una forma hay que seguir varios pasos. Primero tenemos que saber cuánto vamos a ampliar la forma, lo que se indica mediante el factor de escala. También tenemos que saber exactamente dónde estamos ampliando la forma. Esto se indica con el centro de ampliación.
El centro de ampliación es la coordenada que indica dónde ampliar una forma.
Utilizamos el centro de ampliación mirando un punto de la forma original y calculando a qué distancia está del centro de ampliación. Si el factor de escala es dos, queremos que la forma transformada esté el doble de lejos del centro de ampliación que la forma original.
A continuación veremos algunos ejemplos que nos ayudarán a comprender los pasos necesarios para ampliar una forma.
A continuación se muestra el triángulo . Amplía este triángulo con un factor de escala de con el centro de ampliación en el origen.
Solución:
El primer paso para hacerlo es asegurarse de que el centro de ampliación está etiquetado. Recuerda que el origen es la coordenada . Como vemos en la imagen anterior, se ha marcado como punto O.
Ahora, elige un punto de la forma. Abajo he elegido el punto B. Para ir del centro de ampliación O al punto B, tenemos que recorrer unidad a lo largo y unidad hacia arriba. Si queremos ampliarlo con un factor de escala de tendremos que desplazarnos unidades a lo largo y unidades hacia arriba desde el centro de ampliación. Así, el nuevo punto está en el punto .
Ahora podemos etiquetar el punto en nuestro diagrama como se muestra a continuación.
A continuación, hacemos lo mismo con otro punto. Yo he elegido . Para llegar desde el centro de la ampliación O hasta el punto C, tenemos que recorrer unidades a lo largo y unidad hacia arriba. Si ampliamos necesitaremos recorrer unidades a lo largo y unidades hacia arriba. Por tanto, el nuevo punto está en .
Ahora podemos etiquetar el punto en nuestro diagrama como se muestra a continuación.
Por último, nos fijamos en el punto . Para ir del centro de ampliación O al punto A, recorremos unidad a lo largo y unidades hacia arriba. Por tanto, si ampliamos este punto con un factor de escala de necesitaremos recorrer unidades a lo largo y unidades hacia arriba. Por tanto, el nuevo punto estará en el punto .
Ahora podemos etiquetar el punto en nuestro diagrama como se muestra a continuación. Si unimos las coordenadas de los puntos que hemos añadido, obtenemos el triángulo . Es idéntico al triángulo original, sólo que los lados son tres veces más grandes. Está en el lugar correcto, ya que lo hemos ampliado respecto al centro de ampliación.
Por tanto, tenemos nuestro triángulo final representado a continuación.
Factores de escala negativos
Hasta ahora sólo hemos visto factores de escala positivos. También hemos visto algunos ejemplos de factores de escala fraccionarios. Sin embargo, también podemos tener factores de escala negativos al transformar formas. En cuanto a la ampliación real, lo único que cambia realmente es que la forma aparece invertida en una posición diferente. Lo veremos en el siguiente ejemplo.
A continuación se muestra el cuadrilátero . Amplía este cuadrilátero con un factor de escala de con el centro de ampliación en el punto .
Solución:
En primer lugar, tomamos un punto del cuadrilátero. He elegido el punto . Ahora tenemos que calcular a qué distancia está D del centro de la ampliación P. En este caso, para ir de P a D, tenemos que recorrer unidad a lo largo y unidad hacia arriba.
Si queremos ampliarlo con un factor de escala de necesitaremos recorrer unidades a lo largo y unidades hacia arriba. En otras palabras, nos desplazamos unidades a lo largo y unidades hacia abajo desde P. Por tanto, el nuevo punto D' está en como se muestra a continuación.
Ahora, considera el punto A. Para ir de P a A, viajamos unidades a lo largo y unidades hacia arriba. Por tanto, para ampliarlo con un factor de escala viajamos unidades a lo largo y unidades hacia arriba. En otras palabras, nos desplazamos unidades a la izquierda de P y unidades hacia abajo, como se muestra en el punto A' de abajo.
Ahora, considera el punto C. Para ir de P a C, viajamos unidades a lo largo y unidad hacia arriba. Por tanto, para ampliarlo con un factor de escala viajamos unidades a lo largo y unidades hacia arriba. En otras palabras, nos desplazamos unidades a la izquierda de P y unidades hacia abajo, como se muestra en el punto C'.
Ahora, considera el punto B. Para ir de P a B, viajamos unidades a lo largo y unidades hacia arriba. Por tanto, para ampliarlo con un factor de escala viajamos unidades a lo largo y unidades hacia arriba. En otras palabras, nos desplazamos unidades a la izquierda de P y unidades hacia abajo, como se muestra en el punto B'.
Si unimos los puntos y eliminamos las líneas de rayo, obtenemos el cuadrilátero de abajo. Esta es nuestra forma final ampliada. Observa que la nueva imagen aparece invertida.
Factores de escala - Puntos clave
- Un factor de escala nos indica el factor por el que se ha ampliado una forma.
- Por ejemplo, si tenemos una forma ampliada por un factor de escala de tres, entonces cada lado de la forma se multiplica por tres para producir la nueva forma.
- Los lados correspondientes son los lados de la forma que tienen longitudes proporcionales.
- Si tenemos una forma y un factor de escala, podemos ampliar una forma para producir una transformación de la forma original. Esto se denomina transformación de ampliación .
- El centro de ampliación es la coordenada que indica dónde ampliar una forma.
- También podemos tener factores de escala negativos al transformar formas. En cuanto a la ampliación real, la forma sólo parecerá estar al revés.
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