Compensación riesgo-rendimiento

Definición de la compensación riesgo-rentabilidad

La definición de la compensación riesgo-rentabilidad es bastante sencilla. La recompensa que obtienes por una decisión que tomas es el aumento o la disminución de la felicidad, la seguridad, la popularidad, etc. En los mercados financieros, la recompensa es el rendimiento de tu inversión, o cuánto aumenta o disminuye tu inversión con el tiempo.

El otro factor en la toma de decisiones es el riesgo. En los mercados financieros, el riesgo se refiere al hecho de que los inversores no saben con certeza cuál será el resultado de su decisión de inversión. Existe cierta probabilidad, o posibilidad, de que se produzca un determinado resultado, que puede ser bueno o malo, pero esa probabilidad es casi siempre inferior al 100%. Así pues, al tomar decisiones financieras, las personas deben ser conscientes del riesgo que entrañan, así como de los resultados que son posibles.

Si tienes que decidir entre la inversión A, que es muy arriesgada, y la inversión B, que es mucho menos arriesgada, ¿qué inversión crees que debería costar más? Pues bien, si eliges la inversión A, y sabes que la posibilidad de que baje de valor es mucho mayor que la de la inversión B, probablemente querrías que te compensaran por asumir más riesgo. Esta compensación es el rendimiento de tu inversión. Como los activos de menor precio suelen tener mayor rentabilidad, la inversión A, más arriesgada, tendría un precio más bajo que la inversión B, menos arriesgada.

Este ejemplo muestra por qué los precios son más bajos y los rendimientos más altos para los activos de mayor riesgo. El riesgo y el rendimiento están correlacionados positivamente. Esto significa que cuanto mayor sea el rendimiento que desea un inversor, mayor será el riesgo que debe aceptar. Esta es la relación riesgo-rentabilidad inherente a todas las decisiones financieras.

Fórmula de compensación riesgo-rentabilidad

La fórmula de compensación riesgo-rentabilidad muestra cómo el riesgo y la rentabilidad están correlacionados positivamente. Veámoslo.

El valor esperado de una inversión es la media ponderada por la probabilidad de los resultados posibles. Si hay dos resultados posibles A y B, y dos probabilidades_PA y_PB, entonces el valor esperado es:

\(casilla Valor esperado) = P_A veces casilla Valor del resultado A + P_B veces la casilla Valor del Resultado B)

De forma similar, en lugar de utilizar probabilidades para las ponderaciones, podemos utilizar como ponderaciones la parte de una cartera que está en acciones y la parte que está en un activo sin riesgo. Los inversores consideran que las letras del Tesoro del gobierno de EEUU a corto plazo están libres de riesgo porque hay muy pocas probabilidades de que el gobierno de EEUU incumpla su deuda antes de que venzan las letras del Tesoro. Por tanto, el tipo de interés de estas letras del Tesoro se considera el tipo sin riesgo.

Denotemos lo siguiente

\(R_p = \hbox{Rentabilidad Esperada de la Cartera}\)

\(R_m = \hbox{Rentabilidad esperada de la Bolsa})

\(R_f = Caja de riesgo)

\(b = Caja de Acciones)

\(1 - b) = caja de porcentaje de la cartera en letras del Tesoro sin riesgo)

Entonces, la fórmula de compensación riesgo-rentabilidad es:

\(R_p = b veces R_m + (1 - b) veces R_f)

Cuanto menos averso al riesgo sea un inversor, más invertirá en acciones, y mayor será b, y viceversa.

Si b = 1, toda la cartera estará en acciones, por lo que el rendimiento esperado de la cartera será igual al rendimiento esperado de las acciones. Si b = 0, toda la cartera estará en letras del Tesoro sin riesgo, y el rendimiento esperado de la cartera será el tipo sin riesgo.

Reordenando la ecuación anterior, tenemos:

Ecuación 1:

\(R_p = R_f + b \veces (R_m - R_f)\)

Entonces, ¿cómo sabe un inversor cuál debe ser el valor de b?

La desviación típica, que es una medida de variabilidad, se utiliza para determinar el riesgo de una inversión. Como la desviación típica de las letras del Tesoro estadounidense a corto plazo es prácticamente nula, la única medida del riesgo en una cartera bien diversificada es la desviación típica del mercado.

Denotemos

\(S_p = \hbox{Desviación típica de la cartera}\)

\(S_m = \hbox{Desviación típica del mercado})

Por tanto:

Ecuación 2:

\(S_p = b veces S_m)

Es decir, la desviación típica de la cartera es igual a la participación de la cartera en la bolsa multiplicada por la desviación típica de la bolsa.

Reordenando esta ecuación, tenemos

Ecuación 3:

\(b = \frac{S_p} {S_m}\)

Es decir, la parte de la cartera en el mercado bursátil debería ser igual a la desviación típica de la cartera dividida por la desviación típica del mercado bursátil. Pero aquí hay un problema. Si no conocemos el valor de b, ¿cómo podemos conocer el valor de_Sp? Tenemos una ecuación y dos incógnitas. Para resolver este enigma, primero introducimos la fórmula de b en la ecuación 1 de la siguiente manera

Ecuación 4:

\(R_p = R_f + \frac{S_p} {S_m} \veces (R_m - R_f)\)

Ahora tenemos una ecuación que muestra que a medida que aumenta_Sp (riesgo), también lo hace _Rp (rentabilidad). Esto se conoce como la recta presupuestaria del inversor. Pero, ¿cómo sabe el inversor cuánto riesgo (_Sp) debe asumir? La respuesta es que tiene que comparar la línea presupuestaria con su nivel de aversión al riesgo, representado por las curvas de indiferencia .

Las curvas de indiferencia tienen una pendiente ascendente porque el riesgo no es deseable. Es decir, cuanto mayor es el riesgo, mayor debe ser el rendimiento. Un inversor con aversión al riesgo tendrá curvas de indiferencia más pronunciadas, lo que significa que necesita un gran aumento de la rentabilidad a cambio de un pequeño aumento del riesgo. Un inversor con menos aversión al riesgo tendrá curvas de indiferencia más planas, lo que indica que necesita un aumento mucho menor de la rentabilidad a cambio de un pequeño aumento del riesgo.

Cuando trazamos la línea presupuestaria y las curvas de indiferencia de un inversor en un gráfico, el inversor elige el nivel de riesgo,_Sp, en el que la línea presupuestaria es tangente a la curva de indiferencia más alta posible, como se muestra en la Figura 2 a continuación. Esto se denomina S*.

Fig. 2 - Línea presupuestaria, un inversor

Así pues, ahora que se conoce S*, el inversor puede calcular b como:

Ecuación 5:

\(b = \frac{S*} {S_m}\)

A continuación, el inversor puede calcular R*, la rentabilidad esperada de la cartera como:

Ecuación 6:

\(R* = R_f + \frac{S*} {S_m} \veces (R_m - R_f)\)

A continuación, el inversor también puede calcular cuánto debe aumentar la rentabilidad esperada de la cartera para un determinado aumento del riesgo, o a la inversa, cuánto más riesgo debe aceptar el inversor para obtener una mayor rentabilidad esperada de la cartera.

La pendiente de la línea presupuestaria

\(\frac{(R_m - R_f)} {S_m}\)

se denomina precio del riesgo, porque muestra cuánto más riesgo debe aceptar un inversor para obtener un mayor rendimiento esperado.

Diagrama de compensación riesgo-rentabilidad

La figura 3 es el diagrama de compensación riesgo-rentabilidad. Muestra la combinación óptima de riesgo y rentabilidad para un inversor dadas sus preferencias de riesgo. Las curvas verdes, llamadas curvas de indiferencia, muestran cuánto más riesgo está dispuesto a aceptar un inversor por un aumento determinado de la rentabilidad. Cada punto de una curva determinada proporciona al inversor la misma satisfacción. Cuanto más arriba en la curva, mayor es el rendimiento esperado para cada nivel de riesgo dado.

Existe un número infinito de estas curvas pero, por simplicidad, aquí sólo mostramos tres curvas para hacer una puntualización. La línea azul, la línea presupuestaria, muestra la máxima rentabilidad esperada posible para cada nivel de riesgo dado. La cartera óptima es aquella en la que este rendimiento máximo esperado posible coincide exactamente con el rendimiento esperado exigido por el inversor para cada nivel de riesgo dado. En otras palabras, es donde la línea presupuestaria es tangente a la curva de indiferencia más alta posible, que es _IC2. En este punto, el nivel óptimo de riesgo es S*, y el rendimiento esperado de la cartera es R*. No es posible obtener la satisfacción de estar en la curva _IC3, porque es superior a la línea presupuestaria.

Fig. 3 - Diagrama de compensación riesgo-rentabilidad

Ejemplo de compensación riesgo-rentabilidad

Veamos un ejemplo de compensación riesgo-rentabilidad.

Supongamos que tenemos dos inversores A y B. El inversor A tiene mucha aversión al riesgo. Por tanto, su curva de indiferencia, _ACI, es muy pronunciada, lo que significa que para cualquier aumento del riesgo, exige un gran aumento de la rentabilidad. El inversor B tiene mucha menos aversión al riesgo. Por tanto, su curva de indiferencia, _ICB, es mucho menos pronunciada, lo que significa que para cualquier aumento del riesgo, sólo necesita un pequeño aumento de la rentabilidad.

Como puede verse en la Figura 4, la rentabilidad esperada del Inversor A está muy próxima al tipo sin riesgo, _Rf, lo que significa que su cartera está compuesta principalmente por letras del Tesoro estadounidense a corto plazo. Mientras tanto, la rentabilidad esperada del Inversor B está mucho más cerca de la rentabilidad esperada del mercado, lo que significa que su cartera está mayoritariamente en acciones.

Observa que estos dos inversores están invertidos en sus carteras óptimas. Esto significa que no pueden aumentar sus rendimientos esperados sin tener menos aversión al riesgo, lo que significaría que sus curvas de indiferencia tendrían que ser menos pronunciadas, permitiendo que la línea presupuestaria fuera tangente a la curva de indiferencia más alta posible con un rendimiento esperado más alto.

Míralo de este modo. Supongamos que, en lugar de que estas dos curvas de indiferencia representen a dos inversores diferentes, representen al mismo inversor. Si este inversor está en el nivel de riesgo A, su cartera óptima está en el punto_SA,_RA, donde la curva _ICA es tangente a la recta presupuestaria. Ahora bien, si quiere aumentar su rendimiento esperado, va a tener que aceptar más riesgo, lo que significa que tendrá que ser menos averso al riesgo. Si aumenta su tolerancia al riesgo hasta el nivel de riesgo B, su curva de indiferencia será menos pronunciada, y su cartera óptima estará en el punto_SB, _RB, donde la curva _ICB es tangente a la recta presupuestaria.

La conclusión es que, independientemente de la tolerancia al riesgo actual de un inversor, si invierte en la cartera óptima, la única forma de aumentar los rendimientos esperados es mostrarse menos reacio al riesgo. Tienen que cambiar un mayor nivel de riesgo por un mayor rendimiento esperado.

Fig. 4 - Línea presupuestaria, dos inversores

Importancia de la relación riesgo-rentabilidad

No se puede subestimar la importancia de la relación riesgo-rentabilidad. Es muy importante que los inversores comprendan que si invierten en una cartera bien diversificada y quieren un rendimiento esperado más alto, van a tener que aceptar un mayor nivel de riesgo. Si, por el contrario, no están invertidos en una cartera bien diversificada, pueden reducir su riesgo sin reducir sus rendimientos esperados invirtiendo en una cartera más diversificada.

Una vez eliminado el riesgo diversificable invirtiendo en un buen número de empresas cuyos riesgos se anulen mutuamente, sólo queda el riesgo no diversificable, que es el riesgo inherente al mercado en general. En ese punto, la única forma de reducir el riesgo de una cartera es invertir menos en acciones y más en letras del Tesoro a corto plazo. Del mismo modo, la única forma de aumentar la rentabilidad esperada es invertir más en acciones y menos en letras del Tesoro a corto plazo.

Lo mismo ocurre con una sola acción. Si un inversor quiere un mayor rendimiento esperado, tendrá que invertir en una acción arriesgada. Si no quiere asumir mucho riesgo, puede invertir en una acción de bajo riesgo, pero debe comprender que su rendimiento esperado también será menor.

Implicaciones de la compensación riesgo-rentabilidad

Las implicaciones de la relación riesgo-rentabilidad son bastante sencillas, pero es fundamental comprenderlas. El hecho de que a la gente no le guste el riesgo tiene un enorme efecto sobre los precios de los activos y los rendimientos medios esperados. Evitar el riesgo y la incertidumbre hace que la gente pague precios más altos por los activos menos arriesgados de cualquier tipo y precios más bajos por los activos más arriesgados. Sin embargo, como los precios de los activos y los rendimientos esperados están inversamente relacionados, esto significa que los activos más arriesgados tendrán rendimientos esperados más altos que los activos menos arriesgados. En otras palabras, el riesgo y los rendimientos esperados están correlacionados positivamente.