Funciones de utilidad

Significado de las funciones de utilidad

Las funciones de utilidad son relaciones matemáticas que asignan las preferencias a la cantidad de utilidad obtenida de esa preferencia. Pero, ¿qué es la utilidad en economía?

Las funciones de utilidad son un tipo especial de función que mide la utilidad obtenida de una preferencia. En economía, generalmente denotamos la utilidad con \(u\), y denotamos la utilidad obtenida de la preferencia \(x\) con \(u(x)\).

Funciones de utilidad con un solo argumento

Las funciones de utilidad con un solo argumento son una forma habitual de mostrar la utilidad obtenida de un único bien o preferencia. Supongamos una función de utilidad, \(u\), que muestra la cantidad de utilidad obtenida del consumo de melocotón. Podemos mostrar esta función con la siguiente curva.

Fig. 1 - Curva de utilidad del consumo de melocotón

Si un agente con la curva de utilidad \(u\) consume \(x_1\) cantidad de melocotones, obtendrá una utilidad igual a \(y_1\). Se trata de una función de utilidad con un único argumento. Toma su único argumento, \(x_1\), y lo iguala con un valor, \(y_1\).

Funciones de utilidad con múltiples argumentos

Otro uso habitual de las funciones de utilidad es su aplicación sobre un conjunto de bienes. Supongamos el escenario anterior, pero ahora, en lugar de comparar dos utilidades distintas, vamos a medir la utilidad combinada. Supongamos que nuestra función de utilidad \(u\) toma dos argumentos, \(x_1\) y \(x_2\). Asigna los resultados a \(x_1\) y \(x_2\) según la siguiente regla:

\(u(x_1,x_2) = x_1^2 + x_2\)

Ahora, supongamos que te has comido dos melocotones, que se denotan como \(x_1\), y una rodaja de sandía, que se denota como \(x_2\). Podemos calcular la utilidad total con el siguiente planteamiento.

\(u(\hbox{duraznos, sandía}) = \hbox{duraznos}^2 + \hbox{sandía}\)

Vamos a profundizar en esto. Para comprenderlo mejor, podemos demostrar nuestras ecuaciones en un sistema de coordenadas cartesianas. Esto desvelará la relación entre las curvas de indiferencia y las funciones de utilidad.

Funciones de utilidad frente a curvas de indiferencia

Las funciones de utilidad y las curvas de indiferencia están estrechamente relacionadas. Podemos explicar su relación con un ejemplo. Supongamos que nuestra función de utilidad de las frutas sigue siendo la misma, que puede denotarse como

\(u(\hbox{duraznos, sandía}) = \hbox{duraznos}^2 + \hbox{sandía}\)

Ahora, podemos crear una tabla para diferentes cantidades de comportamientos de consumo.

Tabla. 1 - Diferentes paquetes de consumo de sandías y melocotones

¿Has notado algo entre la primera y la segunda fila? La tercera columna de la primera fila es igual a 11, y del mismo modo, la primera columna de la segunda fila es igual a 11. Esto señala el hecho de que la utilidad de comer dos melocotones y siete rodajas de sandía es la misma que la utilidad de comer 3 melocotones y 2 rodajas de sandía. Evidentemente, el valor que obtienes por comer un solo melocotón es mucho mayor que por comer una rodaja de sandía. Podemos representar estos valores en un sistema de coordenadas cartesianas como en la Figura 2 siguiente.

Fig. 2 - Representación de los valores en un sistema de coordenadas cartesianas

Observa que con respecto a las distintas combinaciones, nuestra utilidad cambiará. Si seguimos la línea mostrada, nuestra utilidad aumentará continuamente. Supongamos ahora que existen puntos de combinación que dan la misma cantidad de utilidad. En el ejemplo anterior, la combinación de tres melocotones y dos rodajas de sandía daba la misma cantidad de utilidad que la combinación de dos melocotones y siete rodajas de sandía. Como la utilidad obtenida de estas combinaciones es la misma, podemos denotarlas en la misma curva de indiferencia, como en la Figura 3 siguiente.

Fig. 3 - Diferentes curvas de utilidad con respecto a distintos paquetes de bienes

¿Has notado algo parecido entre las funciones de utilidad y las curvas de indiferencia? Podemos decir que una función de utilidad asigna la utilidad obtenida de un conjunto de bienes a una curva de indiferencia. Aquí, \(u_3\) es una curva de indiferencia. El agente es indiferente entre cualquier combinación en \(u_3\) porque le proporciona la misma cantidad de utilidad.

Resumiendo, podemos decir que las funciones de utilidad miden la utilidad de una combinación de preferencias o de un conjunto de bienes. Podemos denotar la cantidad de utilidad obtenida de un conjunto concreto con una curva de indiferencia. Por eso las funciones de utilidad y las curvas de indiferencia están estrechamente relacionadas.

Tipos de funciones de utilidad

Aunque las funciones de utilidad pueden aparecer en formas muy diversas, hay algunos tipos comunes de funciones de utilidad que se utilizan para la modelización económica, la elaboración de políticas y la comprensión de los comportamientos individuales en general. En esta sección, repasaremos estos tipos comunes de funciones de utilidad e intentaremos comprender su estructura.

Fórmula de las funciones de utilidad

Como las funciones de utilidad tienen distintos sabores, es imposible enunciarlas con una fórmula general. Por otra parte, hay algunas estructuras comunes de las funciones de utilidad que se utilizan mucho en la literatura económica. Podemos enumerarlas como sigue:

• Funciones de utilidad lineales
• Funciones de utilidad de complementos perfectos
• Funciones de utilidad de los sustitutos perfectos
• Función de utilidad de Cobb - Douglas

Funciones de utilidad lineales

Las funciones de utilidad más conocidas y básicas son las funciones de utilidad lineales. Las funciones de utilidad lineales se denominan lineales debido a su estructura. Denotemos una función de utilidad, \(u\), con las siguientes condiciones.

\(u(x_1,x_2,x_3,...,x_n) = m_1x_1 + m_2x_2 + m_3x_3+...+m_nx_n\),

\(m_1, m_2,...,m_n en R^{+})

En este tipo de funciones de utilidad, la utilidad del consumo aumenta de forma lineal. Si tratamos de hallar la utilidad obtenida al consumir una unidad del bien, podemos tomar la derivada parcial de la función respecto a ese bien.

Con respecto a las funciones de utilidad lineales, podemos hallar la utilidad marginal tomando la derivada parcial: \(\hbox{Utilidad marginal} = \dfrac{parcial \hbox{Utilidad total}} {parcial \hbox{Consumo total}}).

Supongamos que tenemos una función de utilidad lineal como la anterior y queremos hallar la cantidad de utilidad obtenida por el consumo de una unidad de \(x_1\).

Sabemos que nuestra función de utilidad es

\(u(x_1,x_2,x_3,...,x_n) = m_1x_1 + m_2x_2 + m_3x_3+...+m_nx_n\),

y si queremos hallar la utilidad marginal de \(x_1\), debemos tomar la derivada parcial respecto a \(x_1\). Por tanto

\(\dfrac{parcial u}{parcial x_1} = m_1\)

Por tanto, si consumimos una unidad de \(x_1\), nuestra utilidad aumentará en \(m_1\).

Funciones de utilidad de los complementos perfectos

¿Qué son los complementos perfectos?

Las funciones de utilidad de los bienes complementarios perfectos contienen la disposición mínima, ya que los bienes sólo pueden consumirse juntos con respecto a la misma proporción. Así, podemos representar la función de utilidad de los complementos perfectos con \(u(x,y) = min(x,y) \).

Funciones de utilidad de los sustitutos perfectos

¿Qué son los sustitutos perfectos?

Las funciones de utilidad para este tipo de bienes pueden denotarse como \(u(x,y) = x + y\). Su tasa marginal de sustitución es igual a uno.

Ejemplos de funciones de utilidad

Ya que hemos cubierto los aspectos generales de las funciones de utilidad, ahora, es mejor dar un ejemplo de funciones de utilidad y enlazar nuestros conocimientos con él.

Denotemos una función de utilidad \(u\) que toma dos mercancías como argumentos, \(x\) y \(y\), y las mapeamos como sigue:

\(u(x,y) = x + 2y | u(x,y) \geq 0 \land x,y \in R\)

Ahora, vamos a denotar una línea presupuestaria, \(w\), que es igual a 10$, mientras que una unidad de x cuesta 1$ y una unidad de y cuesta 2$:

\(w = \$10, x = \$1, y = \$2)

¿Puedes hallar el paquete de bienes que se puede obtener con respecto al presupuesto? ¿Cuál es la cantidad máxima de utilidad que puede obtener un consumidor de este conjunto de bienes?

En este tipo de preguntas, tenemos dos opciones. Una es enumerar todas las combinaciones posibles, y la otra es hallar la tasa marginal de sustitución entre dos bienes. Vamos a utilizar aquí el enfoque de las combinaciones posibles.

Como vamos a enumerar algunas combinaciones, es mejor crear una tabla con diferentes valores posibles. En la tabla siguiente, vamos a mostrar el coste de la combinación y la utilidad obtenida de la combinación con respecto a las ecuaciones dadas anteriormente.

Tabla. 2 - Tabla con distintas combinaciones de las dos mercancías

Debemos tener en cuenta que algunas de las combinaciones que aparecen aquí no son factibles. Como nuestro presupuesto es de 10 $, podemos eliminar las opciones que superan los 10 $. Por tanto, vamos a denotar las casillas no factibles con un color diferente.

Tabla. 3 - Tabla con las combinaciones no factibles marcadas en rojo

Por tanto, la cantidad máxima de utilidad que se puede obtener es \(u = 10\). Existen muchas combinaciones para alcanzar este nivel de utilidad. Podemos ver claramente la conexión entre las curvas de indiferencia y las funciones de utilidad.