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En este artículo, definiremos qué es el crecimiento y por qué es tan importante modelar el crecimiento. También exploraremos los principales tipos de modelos que podemos utilizar para modelizar el crecimiento, y las fórmulas y cálculos utilizados para determinar cada tipo de crecimiento, utilizando ejemplos prácticos.
Empecemos por lo básico y definamos qué entendemos por crecimiento.
¿Qué es el crecimiento?
El crecimiento es un valor de aumento o disminución en relación con un valor anterior o un valor inicial.
Modelizar el crecimiento y familiarizarse con los distintos tipos de crecimiento puede ser muy útil en la vida. Si lo pensamos un momento, estamos rodeados de crecimiento en nuestra vida cotidiana. Vemos crecimiento en la economía, la población, las finanzas, el conocimiento, las habilidades, la naturaleza y muchas otras áreas. Algunas de estas áreas experimentan un crecimiento más rápido que otras dependiendo de muchos aspectos que pueden afectarles interna y externamente.
Por ejemplo, la población de un país puede crecer más deprisa o más despacio que otras, dependiendo de factores como la calidad de los servicios sanitarios, la educación, el acceso a los recursos, los niveles de renta, las tasas de natalidad, las tasas de mortalidad y la migración, entre otros.
Modelizar el crecimiento es importante porque nos ayuda a comprender y analizar el crecimiento, nos ayuda a predecir valores futuros según una tendencia actual y desencadena la toma de decisiones cuando es necesario. Por ejemplo, puede ser necesario tomar decisiones y emprender acciones si la población de un país crece demasiado deprisa o demasiado despacio.
Ahora que tenemos una idea general de lo que es el crecimiento, centrémonos en el crecimiento de las funciones, que se determina en función de su factor de crecimiento.
Factor de crecimiento
El factor de crecimiento es un factor por el que una cantidad aumenta o disminuye por unidad de otra cantidad.
Este factor puede ser una constante o una tasa, según el tipo de crecimiento de que se trate.
Recuerda la pregunta del principio del artículo, en ese caso, la cantidad extra (100 $) que se añade al final de cada año es el factor de crecimiento en la primera opción (una cantidad fija). Para la segunda opción, puedes utilizar la tasa de crecimiento de \(6\%\) para calcular el factor de crecimiento. La segunda opción crece de forma diferente, ya que representa un porcentaje o tasa del valor actual, en lugar de una cantidad fija.
Explicaremos estos casos más a fondo cuando estudiemos el crecimiento lineal y geométrico, más adelante en el artículo.
Ejemplos de crecimiento de funciones
Creo que estarás de acuerdo en que una función cuadrática aumenta y disminuye más rápidamente que una función lineal.
Crecimiento de una función lineal frente a una función cuadrática.
Fig. 1. Gráficas de una función lineal y una cuadrática.
¿A qué se debe exactamente? Veamos las razones en el apartado siguiente.
Comparación del crecimiento de las funciones
Cuando comparamos el crecimiento de funciones polinómicas como las del ejemplo anterior, tenemos que fijarnos en el término de mayor orden de la ecuación de cada función y considerar un intervalo adecuado de valores de \(x\).
En el ejemplo anterior, el término de mayor orden en \(f(x)=x\) es \(x\), con grado 1.
El término de mayor orden en \(f(x)=x^2\) es \(x^2\), de grado 2.
Podemos ver que \(2>1\), por tanto, para \(x>0\), la función cuadrática crecerá más rápido que la función lineal.
¿Qué ocurre cuando tienesfunciones polinómicas del mismo orden? ¿Cómo comparas su crecimiento?
Si tienes funciones polinómicas del mismo orden como \(f(x)=x^2+3x\) y \(g(x)=x^2+1\), ¿cuál crece más rápido?
En este caso, ambas funciones \(f(x)\) y \(g(x)\) crecerán tan rápido como la otra. Esto es así para valores grandes de \(x\), ya que los valores de los otros términos de las funciones (\(3x\) y \(1\)) no afectarán significativamente a los valores de \(f(x)\) y \(g(x)\), tanto como lo hace el valor de \(x^2\).
| x | \(f(x)=x^2+3x\) | \(g(x)=x^2+1\) |
| \(10,000\) | \[\begin{align}f(10.000) &= 10.000^2+3 \cdot 10.000 \ _COPY0\2 &= 100.030.000\end{align}\] | \[\begin{align}g(10.000) &= 10.000^2+1 \ _COPY0\2 &= 100.000.001\end{align}\] |
Crecimiento de las funciones fórmulas y cálculos
Como ya habrás comprendido, existen múltiples tipos de crecimiento. También hay distintos tipos de modelos que puedes utilizar para modelizar el crecimiento, dependiendo de si el tipo de datos que se modelizan son discretos o continuos. En este artículo exploraremos dos modelos discretos (lineal y geométrico) y dos modelos continuos (exponencial y logarítmico).
Modelos discretos
Los datos discretos se refieren a cosas que se pueden contar y que sólo pueden tomar valores específicos.
Un modelo de crecimiento se considera discreto cuando los valores del modelo cambian a intervalos concretos y no de forma continua.
Los modelos discretos de crecimiento incluyen los modelos lineales y geométricos. Exploremos ahora las características de cada uno.
Crecimiento lineal
El crecimientolineal se produce cuando un valor o cantidad inicial aumenta o disminuye en una cantidad fija por unidad de tiempo, es decir, se añade un número constante al valor inicial. Por ejemplo, si una población aumenta en 100 cada año.
Las fórmulas del crecimiento lineal son las siguientes:
| Tipo de crecimiento | Tipo de fórmula | Fórmula | Descripción |
| Lineal | Explícita | \[ P_n = P_0 + d \cdot n, \] | \(P_n\Derecha) es la cantidad tras \(n\) intervalos de tiempo, \(P_0Derecha) es la cantidad inicial, \(d\Derecha) es el aumento de la cantidad por intervalo de tiempo, es decir, la cantidad fija en que aumenta la cantidad en cada intervalo de tiempo, \es el número de intervalos desde la cantidad inicial. |
| Recursiva | \[ P_n = P_{n-1} + d, \] | \(P_{n-1}flechaDerecha) es la cantidad tras \(n-1\) intervalos de tiempo. |
Si utilizas la fórmula recursiva del crecimiento lineal para predecir valores futuros, por ejemplo, al cabo de 7 años, tendrás que calcular previamente todos los valores de los años anteriores. En este caso, es más conveniente utilizar la fórmula explícita.
Volvamos al escenario de la introducción de este artículo. Ahora tienes \($1000\), con un extra de \($100\) añadido al final de cada año.
a) Forma una ecuación para determinar la cantidad de dinero que tendrás en el año \(n\).
b) Calcula cuánto dinero tendrás dentro de \(5\) años.
c ) Utilizando tu ecuación, determina cuántos años tardarás en alcanzar \(2.500\) .
Parte a:
Sabemos que la cantidad inicial de dinero \(P_0=$1.000\), y el incremento de la cantidad por intervalo de tiempo \(d\) es la cantidad fija \($100\).
Utilizando la fórmula explícita del crecimiento lineal, podemos decir que la cantidad de dinero que tendrás dentro de \(n\) años viene dada por:
\[ P_n = 1.000 + 100 \cdot n, \]
donde \(n\) es el número de años.
Parte b:
Para calcular cuánto dinero tendrás dentro de \(5\) años, puedes utilizar la ecuación anterior y sustituirla por \(n=5\).
\[\begin{align}P_n &= 1.000 + 100 \cdot n \\\newline P_5 &= 1.000 + 100 \cdot 5 \\newline &= 1.000 + 500 \a\newline &= 1.500\end{align}\a]Al final del año 5 tendrás \a (1.500 $).
Del mismo modo, podemos calcular la cantidad de dinero que tendrás al cabo de \(1, 2, 3,\) y \(4\) años, y trazar los valores para ver cómo sería la gráfica del modelo de crecimiento lineal. Utilizaremos la fórmula recursiva en este caso, sólo para mostrarte cómo funciona:
\[\begin{align}P_n &= P_{n-1} + d, \\\newline P_1 &= P_0 + 100 = 1.000 + 100 = 1.100 \\newline P_2 &= P_1 + 100 = 1.100 + 100 = 1.200 \\newline P_3 &= P_2 + 100 = 1.200 + 100 = 1.300 \\newline P_4 &= P_3 + 100 = 1.300 + 100 = 1.400\end{align}\]El gráfico del modelo de crecimiento lineal es el siguiente:
Fig. 2. Gráfica de un ejemplo de modelo de crecimiento lineal.
Observa que los puntos de la gráfica crecen la misma cantidad cada año, por lo tanto, si trazas una línea que cruce todos los puntos obtendrás una línea recta.
Parte c:
Para saber cuántos años tardarás en alcanzar \(2.500\$), decimos que \(P_n=2.500\$), luego resuelve para \(n\$).
\[\begin{align}2.500 &= 1.000 + 100 \cdot n \\newline 100 \cdot n &= 2.500 - 1.000 \\newline 100 \cdot n &= 1.500 \ ~\newline n &= \frac{1.500}{100} \ ~\newline n &= 15\end{align}\]Tardarás 15 años en llegar a \(2.500\ ~).
Crecimiento geométrico
Elcrecimiento geométrico se produce cuando el valor o la cantidad inicial aumenta o disminuye en proporción a la cantidad existente. Por ejemplo, si una población crece \(10\%\) cada año.
Las fórmulas del crecimiento geométrico se describen en la tabla siguiente:
| Tipo de crecimiento | Tipo de fórmula | Fórmula | Descripción |
| Geométrica | Explícita | \[ P_n = P_0(1+r)^n, \] | \(P_n\FlechaDerecha) es la cantidad tras \(n\) intervalos de tiempo, \(P_0\Derecha) es la cantidad inicial, \(r\FlechaDerecha) es la velocidad a la que crece la cantidad(velocidad de crecimiento), en decimales. Por ejemplo, si la tasa es \(10\%\), debes escribir \(r\) como \(0,1\), \((1+r)\FlechaDerecha) es el factor de crecimiento, también conocido como multiplicador de crecimiento o razón común, \es el número de intervalos de tiempo. |
| Recursivo | \[ P_n = (1+r)P_{n-1}, \] | \(P_{n-1}flechaDerecha) es la cantidad tras \(n-1\) intervalos de tiempo. |
Para el crecimiento geométrico, el número de intervalos de tiempo \(n\) es un número entero positivo.
Observa que la fórmula explícita del crecimiento geométrico tiene la forma de \(y=a \cdot b^x\). Esto significa que la intersección y en esta forma de crecimiento (como en el crecimiento lineal) es el tamaño inicial de la población.
Los puntos de la gráfica de un modelo geométrico de crecimiento tienen una forma característica. No están alineados en línea recta, porque el crecimiento se basa en un porcentaje. Por tanto, cuanto mayor sea la cantidad, mayor será el crecimiento, comenzando con un crecimiento lento, y luego ascendiendo de izquierda a derecha. Lo veremos más claramente en los ejemplos siguientes.
La población de ranas de un estanque crece \(20\%\) cada año. Actualmente hay 25 ranas en el estanque.
a) Halla una ecuación para el número de ranas al cabo de \(n\) años y represéntala gráficamente.
b) Determina el tamaño de la población de ranas al cabo de \(15\) años.
Parte a:
La población inicial de ranas es \(25\). Por tanto, \(P_0=25\).
Si la población crece \(20\%\) cada año, se añade \(20\%\) del tamaño de la población anterior en un intervalo de tiempo. Por tanto, \(r=0,2\).
Utilizando la fórmula explícita del crecimiento geométrico, podemos decir que el número de ranas al cabo de \(n\) años viene dado por:
\[\begin{align}P_n &= 25(1+0,2)^n\newline P_n &= 25(1,2)^n,\end{align}\]donde \(n\) es el número de años, y el factor de crecimiento es \(1,2\).
Parte b:
Para calcular el tamaño de la población de ranas al cabo de \(15\) años, puedes utilizar la ecuación anterior y sustituirla por \(n=15\).
\[\begin{align}P_{15} &= 25(1,2)^{15} \\&= 385\end{align}\]
Podemos decir que la población de ranas al cabo de \(15\) años será de \(385\).
Para poder representar gráficamente el modelo de crecimiento geométrico de la población de ranas en el estanque, necesitamos algunos valores más. Calculemos el número de ranas del año \(1\) al \(5\), y también en los años \(8\) y \(12\).
\[ \begin{align}P_n &= 25(1,2)^n, \\newline P_1 &= 25(1,2)^1 = 30 \\newline P_2 &= 25(1,2)^2 = 36 \\newline P_3 &= 25(1,2)^3 = 43 \\newline P_4 &= 25(1.2)^4 = 52\newline P_5 &= 25(1.2)^5 = 62\newline P_8 &= 25(1.2)^8 = 107\newline P_{12} &= 25(1.2)^{12} = 223\end{align}\]Ahora veamos qué aspecto tiene el gráfico:
Fig. 3. Gráfica de un ejemplo de modelo de crecimiento lineal.
Observa la forma de la gráfica que sube de izquierda a derecha a medida que aumenta la población.
Interés compuesto
Elinterés compuesto es otro tipo de modelo de crecimiento geométrico, en el que se pagan intereses sobre una inversión y sobre los intereses ya ganados.
Esta idea del interés compuesto puede sonarte familiar, por la segunda opción del escenario introductorio de este artículo. Esa opción consistía en depositar los 1.000 $ en una cuenta bancaria que paga 6 % de interés anual compuesto semestralmente. Calculemos cuánto ganarás al cabo de 5 años para decidir qué opción te resulta más rentable.
\[\begin{align}A &= 1.000(1+\frac{0,06}{2})^{2 \cdot 5} \\\newline A &= 1.000(1,03)^{10} \\\newline A &= 1.344\end{align}\]Después de \(5\) años habrás ganado \(1.344\), que es menos que los \(1.500\) que ganarías con la primera opción. Sin embargo, sabemos que el crecimiento geométrico aumenta rápidamente a medida que la cantidad es mayor. Así pues, calculemos cuánto habrás ganado al cabo de \(15\) años y comparémoslo con la primera opción \((2.500)\), para ayudarnos a tomar una decisión.
\[\begin{align}A &= 1.000(1+\frac{0,06}{2})^{2 \cdot 15} \\\newline A &= 1.000(1,03)^{30} \\\newline A &= 2.427\end{align}\]
Según nuestros resultados, la primera opción es efectivamente mejor que la segunda, al menos durante los primeros \(15\) años.
Modelos continuos
Los datos continuos se refieren a cosas que se pueden medir y pueden tomar valores infinitos.
Un modelo de crecimiento se considera continuo cuando los valores del modelo cambian continuamente y no a intervalos concretos.
Los modelos continuos de crecimiento incluyen las funciones exponencial y logarítmica. A continuación describiremos cada uno de ellos, centrándonos en la forma en que crecen.
Crecimiento exponencial
Los modelos de crecimiento exponencial son básicamente los mismos que los modelos de crecimiento geométrico, en los que el valor o cantidad inicial aumenta o disminuye como una relación con la cantidad existente, pero el crecimiento exponencial trata con datos continuos, no discretos.
Aunque ambos tipos de crecimiento utilizan la misma ecuación, el crecimiento exponencial hace que el gráfico sea mucho más suave, ya que se tienen en cuenta todos los números entre los valores enteros de.
La función de crecimiento exponencial tiene la forma
\[y=a \cdot b^x\]
donde
\(a\Derecha\) es el valor inicial, y \(a \neq 0\),
\(b\FlechaDerecha) es el factor de crecimiento, y \(b > 1\),
La función de crecimiento exponencial tiene \(y=0\) como asíntota horizontal. Observa la gráfica siguiente.
El dominio y el rango de la función exponencial pueden definirse como sigue:
Función | Dominio | Rango |
Exponencial | Todos los números reales | \(y > 0\) |
Grafica la función \(f(x)=2^x\).
Fig. 4. Gráfica de la función exponencial \(f(x)=2^x\).
Como puedes ver, la gráfica asciende de izquierda a derecha, aumentando más rápidamente a medida que la cantidad es mayor. El crecimiento viene determinado por el valor de \(b\), en este caso, \(b=2\).
Lee sobre Crecimiento exponencial y decrecimiento para conocer más detalles y ejemplos.
Crecimiento logarítmico
La función logarítmica es la inversa de la función exponencial.
Es decir, si \(y = b^x\) entonces \(\log_b y = x\).
Si \(2^3 = 8\), entonces \(\log_2 8 = 3\). Esto se lee como que la base logarítmica \(2\) de \(8\) es igual a \(3\).
La función logarítmica tiene \(x=0\) como asíntota vertical, y su dominio y rango son los siguientes:
Función | Dominio | Rango |
Logarítmica | \(x > 0\) | Todos los números reales |
Veamos ahora la forma de la gráfica de la función logarítmica del ejemplo siguiente.
Grafica la función \(f(x)=\log_2 x\).
Fig. 5. Gráfica de la función logarítmica \(f(x)=\log_2 x\).
En este caso, el valor de la función aumenta rápidamente al principio, y luego ralentiza su ritmo de crecimiento.
Lee nuestras explicaciones sobre Función logarítmica y Evaluación y representación gráfica de funciones logarítmicas para ampliar tus conocimientos sobre este tema.
Tasa de crecimiento de las funciones exponenciales
En las funciones exponenciales, cuando una cantidad aumenta a una tasa multiplicativa cada intervalo de tiempo, la cantidad tras \(t\) intervalos de tiempo puede obtenerse con la fórmula de la forma
\[ y = a(1+r)^t, \]
donde
\(a\Derecha\) es la cantidad inicial,
\(r\FlechaDerecha) es el ritmo de crecimiento de la cantidad(tasa de crecimiento) en decimales,
\es el factor de crecimiento, también conocido como multiplicador del crecimiento o razón común,
\(t\Rightarrow\) es el número de intervalos de tiempo.
Observa que \( y = a(1+r)^t \) es equivalente a la fórmula \( P_n = P_0(1+r)^n\), sólo que utilizando variables distintas.
Veamos un ejemplo.
Una propiedad comprada en el año \(2000\) por \($170.000\) ha aumentado su valor a \($250.000\) en el año \(2010\).
a) Calcula la tasa de crecimiento entre los años \(2000\) y \(2010\).
b ) ¿Cuál es la tasa de crecimiento resultante de las preguntas \(a\) expresada en porcentaje.
Parte a:
Sabemos que la cantidad inicial \(a = 170.000 $), y el número de años entre \(2000\) y \(2010\) es \(10\). Por tanto, \(t = 10\) y la cantidad después de \(10\) años es \(y = 250.000\).
Ahora podemos sustituir esos valores en la fórmula \( y = a(1+r)^t\), y resolver para \(r\).
\[\begin{align}y &= a (1 + r)^t \\newline 250.000 &= 170.000 (1 + r)^{10} \\\newline \frac{250.000}{170.000} &= (1 + r)^{10} \\\newline \frac{25}{17} &= (1 + r)^{10} \\newline (\frac{25}{17})\frac{1}{10} &= [(1 + r)^{10}]^frac{1}{10} \qquad \text{ aumenta ambos lados en } \frac{1}{10} \\\newline 1,0393 &= 1 + r \\newline r &= 1,0393 - 1 \\newline r &= 0,0393\end{align}\]Parte b:
Para expresar la tasa de crecimiento \(r = 0,0393\) en porcentaje, basta con multiplicar por \(100\).
\[r = 0,0393 \cdot 100 = 3,93\%\]
Crecimiento de funciones - Puntos clave
- El crecimiento es un valor de aumento o disminución respecto a un valor anterior o a un valor inicial.
- El factor de crecimiento puede ser una constante o una tasa, según el tipo de crecimiento de que se trate.
- Los modelos discretos de crecimiento incluyen el lineal y el geométrico, y los modelos continuos incluyen el crecimiento logarítmico y el exponencial.
- El crecimiento lineal aumenta en un número constante cada intervalo de tiempo.
- El crecimiento geométrico y el exponencial aumentan a un ritmo constante una cantidad anterior.
- El crecimiento exponencial y el geométrico se diferencian utilizando números reales o enteros respectivamente, lo que da lugar a gráficas más suaves para el crecimiento exponencial.
La función logarítmica es la inversa de la función exponencial.
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