Factorización Prima

Los números primos tienen una regla muy especial, es decir, no pueden escribirse como el producto de dos números enteros más pequeños (salvo el producto de 1 y el propio número primo).

Pruéablo tú mismo Regístrate gratis
Factorización Prima Factorización Prima

Crea materiales de aprendizaje sobre Factorización Prima con nuestra app gratuita de aprendizaje!

  • Acceso instantáneo a millones de materiales de aprendizaje
  • Tarjetas de estudio, notas, exámenes de simulacro y más
  • Todo lo que necesitas para sobresalir en tus exámenes
Regístrate gratis

Millones de tarjetas didácticas para ayudarte a sobresalir en tus estudios.

Regístrate gratis

Convierte documentos en tarjetas de estudio gratis con IA.

Tarjetas de estudio
Índice de temas

    ¿Sabías que el primer registro de números primos se remonta al año 300 a.C. en la antigua Grecia? Lo descubrió un matemático griego llamado Euclides de Alejandría, que demostró que existen infinitos números primos.

    En este artículo conoceremos un concepto relacionado con los números primos llamado factorización de los primos. La idea gira en torno al hecho de que cualquier número entero puede expresarse como el producto de un conjunto de números primos. Aquí veremos cómo los factores primos pueden tratarse como el "bloque de construcción" o fundamento de un número entero dado, así comométodos para factorizar números enteros en sus factores primos y, por último, ejemplos de aplicación de la factorización de números primos.

    Definición de la factorización de números primos

    En primer lugar, recuerda la definición de número primo.

    Un número primo es un número entero que tiene precisamente dos factores, \(1\) y el propio número. Ejemplos de números primos son \(2\), \(3\), \(5\), \(7\), \(11\), \(13\), etc.

    Recuerda ahora la definición de factor.

    Un factor de un número entero dado es aquel que divide al número sin dejar resto. En otras palabras, los factores de un número dividen completamente al número.

    Con estas dos definiciones, empezaremos por refrescar nuestra memoria sobre la búsqueda de los factores de un número dado. De este modo, podremos introducirnos en el tema y utilizarlo como puente entre este concepto y los números primos. Como ejemplo, deduzcamos los factores de \(14\). Este número puede escribirse como el producto de los siguientes pares de números.

    \1 veces 14 = 14\].

    \2 veces 7 = 14].

    Todos los números que aparecen en estos dos productos de \(14\) son sus factores. Así, los factores de \(14\) son \(1\), \(2\), \(7\) y \(14\). Si observas esta lista de factores, verás que los números \(2\) y \(7\) son números primos. Esto nos lleva a la definición de factor primo.

    Un factor primo es un factor de un número dado que también es un número primo.

    Como hemos visto antes, podemos expresar un número como producto de dos números. Sin embargo, también podemos representar un número como producto de sus factores primos. Esto se conoce como factorización primaria.

    Lafactorización primaria es el proceso de escribir un número como producto de sus factores primos.

    En esencia, lo que estamos haciendo aquí es descomponer un número en términos de sus factores primos. ¿No es estupendo?

    Ejemplos de factorizaciones primos de un número

    La tabla siguiente muestra algunos ejemplos de números expresados en su forma de factorización en primos. Esto es sólo para darte una idea más clara de cómo es esta representación. No te preocupes todavía por el proceso. Lo veremos en el siguiente apartado.

    NúmeroForma de factorización de primos
    \(16\)\(2 veces 2 veces 2 veces 2 veces 2 = 2^4)
    \(27\)\(3 veces 3 veces 3 = 3^3)
    \(45\)\(3 veces 3 veces 5 = 3^2 veces 5)
    \(64\)\(2 veces 2 veces 2 veces 2 veces 2 veces 2 veces 2 veces 2 veces 2 = 2^6)
    \(86\)\(2 veces 43)
    \(99\)\(3 veces 3 veces 11 = 3^2 x 11)
    \(144\)\(2 veces 2 veces 2 veces 2 veces 3 veces 3 veces 3 = 2^4 veces 3^2)
    \(322\)\(2 veces 7 veces 23)
    \(1025\)\(5 veces 5 veces 41 = 5^2 veces 41)

    Factores primos vs. Factores

    La principal diferencia entre factores y factores primos es simplemente el tipo de número en cada forma de factorización. Los factores son esencialmente cualquier número que divide completamente a otro número sin dejar ningún resto. Estos factores incluyen tanto los números compuestos como los números primos.

    Un número compuesto es un número entero que tiene más de dos factores.

    Los factores primos de un número dado son factores que son a la vez divisores y se clasifican como números primos. Cuando consideramos la factorización en factores primos de este número, significa que no podemos descomponer su forma factorizada en más números (puesto que ya no es un número compuesto).

    Métodos de descomposición en factores primos

    Hay dos formas de determinar la factorización en factores primos de un número dado. Estas dos técnicas se enumeran a continuación.

    1. Método de división

    2. Método del árbol de factores

    En esta sección trataremos cada técnica por separado y presentaremos varios ejemplos que demuestran cada método.

    Método de la división

    Empecemos por el método de la división. Esta técnica consta de cuatro pasos.

    1. Divide el número dado por el número primo más pequeño;

      Este número primo más pequeño debe dividir completamente el número.

    2. Divide de nuevo el cociente del Paso 1 por el número primo más pequeño;

    3. Repite el Paso 2 hasta que el cociente sea igual a 1;

    4. Multiplica todos los factores primos resultantes.

    Estos números primos son los divisores del dividendo del Paso 1 y cocientes de los Pasos 2 a 3.

    Observaremos ahora algunos ejemplos que muestran este método.

    Encuentra la factorización en primos de 56 utilizando el método de la división.

    Solución

    Lo haremos en forma de tabla para que el método resulte más claro.

    ProcedimientoFactor primoResultado de la división
    Divide \(56\) por el factor primo menor, es decir \(2\)\(2\)\(56 \div 2 = 28\)
    Divide de nuevo el cociente (28) por el factor primo menor, es decir, (2).\(2\)\(28 \div 2 = 14\)
    Divide de nuevo el cociente(14) por el factor primo menor, es decir, por (2).\(2\)\(14 \div 2 = 7\)
    El cociente aquí es \(7\), que es un número primo. Por tanto, debemos dividirlo por sí mismo para obtener \(1\)\(7\)\(7 \div 7 = 1\)

    Una forma más ordenada de dibujar esta tabla es utilizando la siguiente cuadrícula.

    Factorización de números primos, ejemplo de método de división, StudySmarter

    Método de división para 56 - StudySmarter Originals

    Así, la factorización en primos de \(56\) es \(56 = 2 \times 2 \times 2 \times 7 = 2^3 \times 7\).

    Los factores primos de \(56\) son \(2\) y \(7\).

    Halla la factorización en primos de \(999\) utilizando el método de la división.

    Solución

    Aplicando el mismo formato que en la tabla anterior, obtenemos

    ProcedimientoFactor primo Resultado de la división
    Divide \(999\) entre \(3\)\(3\)\(999 \div 3 = 333\)
    Divide (333) entre (3)\(3\)\(333 \div 3 = 111\)
    Divide 111¤ entre 3¤.\(3\)\(111\div 3 = 37\)
    Como \(37\) es un número primo, divide \(37\) por sí mismo\(37\)\(37\div 37 = 1\)

    Otra forma de expresar esta tabla se ve a continuación.

    Factorización de números primos, ejemplo de método de división, StudySmarter

    Método de división para 999 - StudySmarter Originals

    Así, la factorización en primos de \(999\) es \(999 = 3 \times 3 \times 3 \times 37 = 3^3 \times 37\).

    Los factores primos de \(999\) son \(3\) y \(37\).

    Método del árbol para lafactorización de primos

    Pasemos ahora al método del árbol de factores. A continuación se enumeran los pasos de este proceso.

    1. Escribe el número en la parte superior del árbol de factores;

    2. Expresa el número como producto de dos factores que se ramifican en el árbol;

    3. ramifica aún más cada uno de los factores hallados en el Paso 2 como producto de dos factores;

    4. Repite el Paso 3 hasta que no podamos ramificar cada factor. En este punto, debe escribirse como factor primo;

    5. Por último, define el número dado como un compuesto de sus factores primos en forma de exponente.

    Veamos ahora algunos ejemplos trabajados con este método.

    Encuentra la factorización en primos de \(72\) utilizando el método del árbol factorial.

    Solución

    Primero factoricemos \(72\) como producto de dos números, digamos \(2\) y \(36\). A partir de aquí, podemos seguir factorizando \(36\) como producto de \(2\) y \(18\). El número \(2\) es primo y ya no se puede descomponer más. Así que podemos dejar esta rama.

    De nuevo, podemos ramificar \(18\) como producto de \(2\) y \(9\). Repitiendo este proceso para \(9\), tenemos dos ramas de \(3\). Como \(3\) es un primo, podemos detenernos aquí. Para visualizarlo, dibujémoslo como un árbol de factores.

    Factorización de números primos, ejemplo del método del árbol, StudySmarter

    Método del árbol factorial para 72 - StudySmarter Originals

    Así, la factorización en primos de \(72\) es \(72 = 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 = 2^3 \times 3^2\).

    Los factores primos de 72 son 2 y 3.

    Encuentra la factorización en primos de \(125\) utilizando el método del árbol factorial.

    Solución

    Aplicando el mismo concepto que en el ejemplo anterior, obtenemos el siguiente árbol factorial para \(125\).

    Aquí, primero factorizamos \(125\) como producto de \(5\) y \(25\). \(5\) es un primo y ya no se puede descomponer, así que podemos dejar esta rama. A partir de aquí, podemos ramificar \(25\) como producto de \(5\) y \(5\). Como \(5\) es un primo, podemos detener aquí nuestro árbol.

    Factorización de números primos, ejemplo del método del árbol, StudySmarter

    Método del árbol factorial para 125 - StudySmarter Originals

    Por tanto, la factorización en primo de \(125\) es \(125 = 5 \times 5 \times 5 = 5^3\).

    El único factor primo de \(125\) es \(5\).

    Aplicaciones de la factorización en primos

    La factorización en primos es una herramienta muy útil para encontrar patrones y relaciones entre factores y múltiplos de un conjunto dado de números. Resulta útil cuando se trata de dígitos más grandes. Podemos utilizar este concepto para hallar lo siguiente:

    1. Máximo común divisor (MCD)

    2. Mínimo común múltiplo (MCP)

    3. Identificar el número total de factores

    En este apartado se tratarán en detalle estas tres aplicaciones principales de la factorización de primos, junto con algunos ejemplos prácticos para cada caso.

    Máximo factor común (MCH)

    Identificando la factorización en primos de dos números dados, podemos deducir su máximo factor común (MCH). Dada una pareja de números, digamos x e y, debemos encontrar primero la factorización prima de cada número. El HCF de x e y es el producto de la potencia más pequeña de cada factor primo común. Vamos a mostrarlo con un ejemplo.

    Puedes encontrar más información sobre este tema en el artículo Máximo común divisor.

    Halla el HCF de \(60\) y \(96\).

    Solución

    Busquemos primero la factorización en primos de \(60\) y \(96\). Ten en cuenta que aquí puedes utilizar cualquiera de los dos métodos. Para este ejemplo, utilizaremos el método de la división.

    Factorización primitiva de \(60\).

    Factorización de números primos, ejemplo de método de división, StudySmarter

    Método de división para 60 - StudySmarter Originals

    \[60 = 2 \times 2 \times 3 \times 5 = 2^2 \times 3 \times 5\]

    Los factores primos de \(60\) son \(2\), \(3\) y \(5\).

    Factorización primitiva de \(96\).

    Factorización de números primos, ejemplo de método de división, StudySmarter

    Método de división para 96 - StudySmarter Originals

    \[96 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 3 = 2^5 \times 3\]

    Los factores primos de \(96\) son \(2\) y \(3\).

    El HCF es el producto de la potencia más pequeña de cada factor primo común. Los factores primos comunes de \(60\) y \(96\) son \(2\) y \(3\). Por tanto

    \text{HCF}(60, 96) = 2^2 \times 3^1 = 4 \times 3 = 12\].

    Por tanto, el máximo común divisor entre \(60\) y \(96\) es \(12\).

    Mínimo común múltiplo (MCP)

    Además, también podemos determinar el mínimo común múltiplo (MCP) compartido entre dos números utilizando la factorización en primos. De nuevo, debemos encontrar la factorización en primos de un par de números dado, digamos \(x\) y \(y\). El LCM de \(x\) y \(y\) es el producto de la mayor potencia de cada factor primo común. Aquí tienes un ejemplo para demostrarlo.

    Puedes encontrar más información sobre este tema en el artículo: Mínimo Común Múltiplo.

    Halla el LCM de \(78\) y \(152\).

    Solución

    Busquemos primero la factorización en primos de \(78\) y \(152\). Ten en cuenta que aquí puedes utilizar cualquiera de los dos métodos. Para este ejemplo, utilizaremos el método de la división.

    Factorización primitiva de \(78\).

    Factorización de números primos, ejemplo de método de división, StudySmarter

    Método de división para 78 - StudySmarter Originals

    \78 = 2 veces 3 veces 13].

    Los factores primos de \(78\) son \(2\), \(3\) y \(13\).

    Factorización primitiva de \(152\).

    Factorización de números primos, ejemplo de método de división, StudySmarter

    Método de división para 152 - StudySmarter Originals

    \[152 = 2 \times 2 \times 2 \times 19 = 2^3 x 19\]

    Los factores primos de \(152\) son \(2\) y \(19\).

    El mcm es el producto de la mayor potencia de cada factor primo común. El único factor primo común entre \(78\) y \(152\) es \(2\). Por tanto

    \[\text{LCM}(78, 152) = 2^3 = 8\]

    Por tanto, el mínimo común múltiplo entre \(78\) y \(152\) es \(8\).

    Hallar el número de factores

    También podemos utilizar la factorización en primos para deducir el número de factores de un número dado. Observa que es posible utilizar tanto el método del árbol de factores como el método de la división para realizar esta tarea. Sin embargo, en la mayoría de los libros de texto, el método del árbol de factores es la opción más común para esta tarea. A continuación se indican los cuatro pasos de este método.

    1. Encuentra la factorización en primos del número dado utilizando el método del árbol de factores (o el método de la división);

    2. Expresa este producto de primos hallado en su forma de exponente correspondiente;

    3. Suma 1 a cada exponente;

    4. Multiplica los números hallados en el Paso 3. El resultado es el número de factores del número dado.

    Para demostrarlo, veamos el siguiente ejemplo práctico.

    Halla el número de factores del número \(108\).

    Solución

    Utilicemos el método del árbol de factores para hallar la factorización en primos de \(108\).

    Factorización de números primos, ejemplo del método del árbol, StudySmarter

    Método del árbol de factores para 108 - StudySmarter Originals

    Así, la factorización en primos de \(108\) es \(108 = 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 3\).

    En forma de exponente, obtenemos \(108 = 2^2 \times 3^3\).

    Aquí tenemos los siguientes valores de exponentes.

    Exponente para \(2 = 2\)

    Exponente para \(3 = 3\)

    Ahora, sumando \(1\) a cada uno de estos exponentes se obtiene

    Exponente de \(2 + 1 = 3\)

    Exponente de \(3 + 1 = 4\)

    Multiplicando estos números, obtenemos

    \3 veces 4 = 12

    Por tanto, el número \(108\) tiene \(12\) factores.

    Comprueba

    Veamos si nuestro resultado es correcto. Utilizando el método de la multiplicación, podemos escribir 108 como los siguientes productos de dos números.

    \1 veces 108 = 108].

    \2 veces 54 = 108].

    \3 veces 36 = 108].

    \4 veces 27 = 108

    \6 veces 18 = 108 veces]

    \9 veces 12 = 108 veces]

    Los factores de \(108\) son \(1\), \(2\), \(3\), \(4\), \(6\), \(9\), \(12\), \(18\), \(27\), \(36\), \(54\) y \(108\). Por tanto, el número \(108\) tiene un total de \(12\) factores, como se ha declarado.

    Ejemplos prácticos

    Aquí tienes otros ejemplos prácticos que demuestran las dos técnicas de factorización de primos. Aplicaremos ambos métodos en los siguientes ejemplos para comprender mejor cada enfoque.

    Halla la factorización en primos de \(320\).

    Método de división

    Factorización de números primos, ejemplo de método de división, StudySmarter

    Método de división para 320 - StudySmarter Originals

    \[320 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 5 = 2^6 \times 5\]

    Método del árbol de factores

    Factorización de números primos, ejemplo del método del árbol, StudySmarter

    Método del árbol de factores para 320 - StudySmarter Originals

    \[320 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 5 = 2^6 \times 5\]

    ¡Los resultados son los mismos!

    Encuentra la factorización en primos de \(536\).

    Método de división

    Factorización de números primos, ejemplo de método de división, StudySmarter

    Método de división para 536 - StudySmarter Originals

    \[536 = 2 \times 2 \times 2 \times 67 = 2^3 \times 67\]

    Método del árbol de factores

    Factorización de números primos, ejemplo del método del árbol, StudySmarter

    Método del árbol de factores para 536 - StudySmarter Originals

    \[536 = 2 \times 2 \times 2 \times 67 = 2^3 \times 67\]

    ¡Los resultados son los mismos!

    Factorización de números primos - Puntos clave

    • La factorización de números primos es el proceso de escribir un número como producto de sus factores primos.
    • Método de división para la factorización de números primos
      1. Divide el número dado por el número primo más pequeño;

      2. Divide de nuevo el cociente del Paso 1 entre el número primo más pequeño;

      3. Repite el Paso 2 hasta que el cociente sea igual a \(1\);

      4. Multiplica todos los factores primos resultantes.

    • Método del árbol de factores para la factorización de números primos
      1. Escribe el número en la parte superior del árbol de factores;

      2. Expresa el número como producto de dos factores que se ramifican en el árbol;

      3. Continúa ramificando cada uno de los factores hallados en el Paso 2 como producto de dos factores;

      4. Repite el Paso 3 hasta que no podamos ramificar cada factor;

      5. Define el número dado como un compuesto de sus factores primos en forma de exponente.

    • El HCF de dos números es el producto de la potencia más pequeña de cada factor primo común.
    • El mcm de dos números es el producto de la mayor potencia de cada factor primo común.
    • Hallar el número de factores de un número mediante la factorización en primos
      1. Encuentra la factorización en primos del número dado;

      2. Expresa este producto de primos hallado en su forma de exponente correspondiente;

      3. Suma 1 a cada exponente;

      4. Multiplica los números hallados en el Paso 3. El resultado es el número de factores del número dado.

    Factorización Prima Factorización Prima
    Aprende con 12 tarjetas de Factorización Prima en la aplicación StudySmarter gratis

    Tenemos 14,000 tarjetas de estudio sobre paisajes dinámicos.

    Regístrate con email

    ¿Ya tienes una cuenta? Iniciar sesión

    Preguntas frecuentes sobre Factorización Prima
    ¿Qué es la factorización prima?
    La factorización prima es descomponer un número en factores primos, que son números divisibles solo por 1 y por sí mismos.
    ¿Para qué sirve la factorización prima?
    La factorización prima se usa para simplificar fracciones, encontrar MCM y MCD, y resolver problemas algebraicos.
    ¿Cómo se hace la factorización prima?
    Para hacer la factorización prima, divide el número por el menor número primo (2, 3, 5...) hasta que el resultado sea 1.
    ¿Qué son los números primos?
    Los números primos son aquellos que solo tienen dos divisores, 1 y sí mismos, como 2, 3, 5, 7 y 11.

    Descubre materiales de aprendizaje con la aplicación gratuita StudySmarter

    Regístrate gratis
    1
    Acerca de StudySmarter

    StudySmarter es una compañía de tecnología educativa reconocida a nivel mundial, que ofrece una plataforma de aprendizaje integral diseñada para estudiantes de todas las edades y niveles educativos. Nuestra plataforma proporciona apoyo en el aprendizaje para una amplia gama de asignaturas, incluidas las STEM, Ciencias Sociales e Idiomas, y también ayuda a los estudiantes a dominar con éxito diversos exámenes y pruebas en todo el mundo, como GCSE, A Level, SAT, ACT, Abitur y más. Ofrecemos una extensa biblioteca de materiales de aprendizaje, incluidas tarjetas didácticas interactivas, soluciones completas de libros de texto y explicaciones detalladas. La tecnología avanzada y las herramientas que proporcionamos ayudan a los estudiantes a crear sus propios materiales de aprendizaje. El contenido de StudySmarter no solo es verificado por expertos, sino que también se actualiza regularmente para garantizar su precisión y relevancia.

    Aprende más
    Equipo editorial StudySmarter

    Equipo de profesores de Matemáticas

    • Tiempo de lectura de 15 minutos
    • Revisado por el equipo editorial de StudySmarter
    Guardar explicación Guardar explicación

    Guardar explicación

    Sign-up for free

    Regístrate para poder subrayar y tomar apuntes. Es 100% gratis.

    Únete a más de 22 millones de estudiantes que aprenden con nuestra app StudySmarter.

    La primera app de aprendizaje que realmente tiene todo lo que necesitas para superar tus exámenes en un solo lugar.

    • Tarjetas y cuestionarios
    • Asistente de Estudio con IA
    • Planificador de estudio
    • Exámenes simulados
    • Toma de notas inteligente
    Únete a más de 22 millones de estudiantes que aprenden con nuestra app StudySmarter.

    Consigue acceso ilimitado con una cuenta gratuita de StudySmarter.

    • Acceso instantáneo a millones de materiales de aprendizaje.
    • Tarjetas de estudio, notas, exámenes de simulacro, herramientas de AI y más.
    • Todo lo que necesitas para sobresalir en tus exámenes.
    Second Popup Banner