Múltiplos Comunes

¿Qué tienen en común los números 20 y 50? Pues que estos dos números son divisibles por 2, 5 y 10. Decimos esto porque no existirá ningún resto cuando los dividamos por estos tres números mencionados. Esto significa que 20 y 50 son múltiplos de 2, 5 y 10, ya que

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Índice de temas

    \[\mathbf{2}\times 10=\mathbf{5}\times 4=\mathbf{10}\times 2=20\]

    \[texto y...]

    \25 = 5 veces 10 = 10 veces 5 = 50].

    Si observamos nuestra derivación anterior, podemos deducir además que los números 2, 5 y 10 comparten dos múltiplos, a saber, 20 y 50. Estos números compartidos se llaman múltiplos comunes. Este artículo mostrará un método que podemos utilizar para identificar los múltiplos comunes de un conjunto dado de números.

    Recapitula: Múltiplos

    Para facilitarnos la entrada en este tema, repasemos rápidamente nuestro tema anterior sobre los múltiplos.

    Un múltiplo de un número entero distinto de cero \(A\) es un número entero distinto de cero \(C\) que puede obtenerse multiplicándolo por otro número, digamos \(B\).

    En otras palabras, \(C\) es múltiplo de \(A\) si \(C\) está en la tabla de multiplicar de \(A\).

    El múltiplo de un número, digamos \(a\), viene dado por la fórmula general,

    \[\text{múltiplo de}\ a=a=veces z\]

    donde \(z\in\mathbb{Z}\). Dicho de otro modo

    si \(A\times B=C\) entonces \(A\) y \(B\) son divisores (o factores) de \(C\),

    o bien \(C\) es múltiplo de \(A\) (y también de \(B\)).

    Para encontrar un conjunto concreto de múltiplos de un número dado, podemos utilizar la tabla de multiplicar.

    Como en nuestro ejemplo anterior, los números 20 y 50 son múltiplos de 2, 5 y 10. La siguiente tabla muestra otros múltiplos de 2, 5 y 10.

    Número

    6 primeros múltiplos distintos de cero

    2

    2, 4, 6, 8, 10, 12

    5

    5, 10, 15, 20, 25, 30

    20

    20, 40, 60, 80, 100, 120

    Puedes encontrar una explicación más detallada de los múltiplos en el tema titulado Múltiplos.

    Definición de múltiplo común y método

    Definamos ahora un múltiplo común.

    Un múltiplo común es un múltiplo que comparten dos (o más) números.

    Identificar un múltiplo o múltiplos comunes para un conjunto dado de números es bastante sencillo. Dado un conjunto de números, basta con ejecutar dos pasos:

    Paso 1: Enumera los múltiplos de cada número dado en el conjunto;

    Paso 2: Elige los múltiplos idénticos compartidos de las listas escritas en el Paso 1.

    Recuerda que hay un número infinito de múltiplos para cualquier número entero. Teniendo en cuenta esta propiedad, se puede introducir una restricción en el Paso 1. En la mayoría de los casos, la pregunta definirá un intervalo para el que se cumplen los múltiplos comunes para un conjunto dado de números.

    Por ejemplo, puedes recibir preguntas que utilicen la frase "encuentra los dos primeros múltiplos comunes de 2 y 3" o "enumera los múltiplos comunes de 2 y 3 entre 1 y 10". Sin embargo, en este caso no es necesaria una restricción de intervalo. Pero se puede afirmar con seguridad que nadie puede enumerar a mano todos los múltiplos comunes de un conjunto dado de números. ¡Se necesitarían toneladas de tinta y papel!

    Nota importante: Aunque el cero es un múltiplo común de cualquier conjunto de números, lo normal es enumerar sólo los múltiplos comunes distintos de cero (lo veremos en el siguiente apartado).

    He aquí un ejemplo para encontrar los múltiplos comunes de un conjunto dado de números.

    Enumera todos los múltiplos comunes (distintos de cero) de 9, 12 y 15 entre 1 y 100.

    Solución

    La restricción del intervalo aquí es que tenemos que enumerar los múltiplos de 9, 12 y 15 entre 1 y 100. Empezaremos por enumerar estos múltiplos utilizando la tabla siguiente.

    NúmeroMúltiplos entre 1 y 100
    99, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, 90, 99
    1212, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96
    1515, 30, 45, 60, 75, 90

    Si observas la tabla anterior, no hay múltiplos comunes visibles de 9, 12 y 15 para este intervalo. Sin embargo, puedes deducir las siguientes ideas:

    1. Los múltiplos comunes de 9 y 12 son 36 y 72 para este intervalo;
    2. Los múltiplos comunes de 9 y 15 son 45 y 90 para este intervalo;
    3. El múltiplo común de 12 y 15 es 60 para este intervalo.

    Aquí tienes otro ejemplo trabajado.

    Enumera los 2 primeros múltiplos comunes no nulos de 5 y 17.

    Solución

    La restricción del intervalo aquí es que tenemos que enumerar los 2 primeros múltiplos distintos de cero de 5 y 17.

    A veces, enumerar los múltiplos puede ser bastante engorroso, sobre todo cuando los números están muy alejados entre sí. Como en nuestro caso, la diferencia entre 5 y 17 es bastante grande, por lo que enumerar los múltiplos de 5 puede llevarnos un rato hasta que encontremos uno que también sea múltiplo de 17.

    En situaciones como ésta, se aconseja enumerar los múltiplos del número mayor y comprobar si esos múltiplos son también múltiplos del número menor. Para ello, comprobamos si son divisibles entre sí (esto se explicará con más detalle en el siguiente apartado).

    Para este ejemplo, escribamos los primeros múltiplos no nulos de 17.

    Múltiplos de 17: 17, 34, 51, 68, 85, 102, 119, 136, 153, 170, 187,...

    De esta lista, podemos observar que 85 y 170 son efectivamente divisibles por 5, ya que \(5 veces 17=85\) y \(5 veces 34=170\). Por tanto, los 2 primeros múltiplos comunes no nulos de 5 y 17 son 85 y 170.

    Veamos un ejemplo más antes de pasar a la siguiente sección.

    Enumera todos los múltiplos comunes de 11 y 13 entre 130 y 300.

    Solución

    La restricción del intervalo es que tenemos que enumerar los múltiplos de 11 y 13 entre 130 y 300. Como antes, empezaremos por enumerar estos múltiplos utilizando la tabla siguiente.

    NúmeroMúltiplos entre 130 y 300
    11132, 143, 154, 165, 176, 187, 198, 209, 220, 231, 242, 253, 264, 275, 286, 297
    13130, 143, 156, 169, 182, 195, 208, 221, 234, 247, 260, 273, 286, 299

    En la tabla anterior, observa que hay dos múltiplos comunes de 11 y 13 entre 130 y 300, a saber, 143 y 286.

    El concepto de múltiplo común se utiliza principalmente para hallar el mínimo común múltiplo (o MCM) entre un conjunto dado de números. Se trata del mínimo común múltiplo compartido entre dos (o más) números. Puedes encontrar una discusión exhaustiva sobre este tema en el artículo Mínimo común múltiplo.

    Inténtalo tú mismo: Responde a las siguientes preguntas.

    1. ¿Cuáles son los dos primeros múltiplos comunes no nulos de 16 y 27?
    2. ¿Cuáles son los múltiplos comunes de 9 y 12 entre 22 y 140?

    Soluciones

    Pregunta 1: 432, 864

    Pregunta 2: 36, 72, 108

    Propiedades de los múltiplos comunes

    Antes de pasar a más ejemplos relacionados con los múltiplos comunes, establezcamos algunas propiedades importantes de los múltiplos comunes.

    Propiedad

    Ejemplo

    Un conjunto de números puede tener más de un múltiplo común.

    6 es un múltiplo común de 3 y 6. Sin embargo, no es el único múltiplo común de 3 y 6. Los números 12, 18 y 24 también son otros múltiplos comunes de 3 y 6.

    Un conjunto de números puede tener un número infinito de múltiplos comunes.

    Entre los múltiplos comunes de 5 y 8 están 40, 80, 120, 160, ... Los valores seguirán aumentando y la lista será interminable.

    El múltiplo común de un conjunto de números siempre es mayor o igual que cada uno de los propios números (excluyendo el 0).

    Los múltiplos comunes de 2 y 4 entre 1 y 10 son 4 y 8. Observa que el múltiplo 4 es mayor que el número 2 dado, pero igual al número 4 dado. Sin embargo, el múltiplo 8 es mayor que los números 2 y 4 dados.

    El conjunto dado de números divide al múlti plo común sin dejar resto.

    Estos números se llaman factores.

    Un múltiplo común de 8 y 17 es 136. Dividir 136 entre cada uno de los números dados no producirá ningún resto, ya que \(8 veces 17=136\) y \(17 veces 8=136\).

    Todo número entero distinto de cero es múltiplo de 0, ya que cualquier número entero distinto de cero multiplicado por 0 es igual a 0.

    En la mayoría de los casos, sólo consideraremos los múltiplos comunes distintos de cero.

    Como \(7\times 0=0\) y \(9\times 0=0\) entonces 0 es un múltiplo común de 7 y 9.

    Ejemplos de múltiplos comunes

    Terminaremos este tema viendo algunos ejemplos más trabajados sobre los múltiplos comunes.

    Enumera todos los múltiplos comunes de 6, 8 y 10 entre 1 y 100.

    Solución

    Para empezar, vamos a enumerar los múltiplos de cada número dado entre 1 y 100. Esto se muestra en la siguiente tabla.

    NúmeroMúltiplos entre 1 y 100
    66, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, 66, 72, 78, 84, 90, 96
    88, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72, 80, 88, 96
    1010, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100

    De la tabla anterior se desprende que no hay múltiplos comunes de 6, 8 y 10 entre 1 y 100. Sin embargo, sí podemos concluir las siguientes relaciones:

    1. Los múltiplos comunes de 6 y 8 son 24, 48, 72 y 96 para este intervalo
    2. Los múltiplos comunes de 6 y 10 son 30, 60 y 90 para este intervalo
    3. Los múltiplos comunes de 8 y 10 son 4 y 80 para este intervalo.

    Pasemos ahora a otro ejemplo.

    Enumera los 4 primeros múltiplos comunes no nulos de 2, 7 y 14.

    Solución

    En primer lugar, observa que 2 está relativamente lejos de 7 y 14 en la recta numérica. Por tanto, lo más sensato es enumerar los múltiplos de 7 y 14 y comparar sus múltiplos comunes. A partir de aquí, comprobarás si estos múltiplos comunes también son divisibles por 2.

    Múltiplosde 7:7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70,...

    Múltiplosde 14:14, 28, 42, 56, 70,...

    Observa que los 4 primeros múltiplos comunes no nulos de 7 y 14 son 14, 28, 42 y 56. Estos cuatro números son pares, lo que significa que también son divisibles por 2. Por tanto, los 4 primeros múltiplos comunes no nulos de 2, 7 y 14 son 14, 28, 42 y 56.

    Vamos a ver un último ejemplo relacionado con los múltiplos comunes.

    Enumera los 3 primeros múltiplos comunes no nulos de 3 y 19.

    Solución

    La diferencia entre 3 y 19 es bastante significativa. Así que, como en el ejemplo anterior, sólo enumeraremos los múltiplos de 19 y comprobaremos si también son divisibles por 3.

    Múltiplosde 19: 19, 38, 57, 76, 95, 114, 133, 152, 171, 190,...

    De esta lista, comprobamos que los números 57, 114 y 171 también son divisibles por 3, ya que \(3 veces 19=57\), \(3 veces 138=114\) y \(3 veces 57=171\). Por tanto, los 3 primeros múltiplos comunes no nulos de 3 y 19 son 57, 114 y 171.

    Ejemplos reales de múltiplos comunes

    He aquí una pregunta interesante: ¿podemos aplicar los múltiplos comunes en situaciones de la vida real? De hecho, ¡podemos! En este apartado, mostraremos dos ejemplos de situaciones reales que resumen todo lo que hemos aprendido en este debate.

    Polly y Hannah deciden turnarse para visitar a su amigo Ben en el hospital. Polly propone visitar a Ben cada 3 días, mientras que Hannah lo visita cada 5 días. Si ambas han visitado a Ben hoy, ¿cuánto tiempo pasará hasta la próxima vez que vuelvan a verle el mismo día?

    Solución

    En este caso, sólo tenemos que encontrar el primer múltiplo común no nulo de los días 3 y 5. Tomaremos hoy como primer múltiplo de los días 3 y 5, que es el día 0. Recuerda que todo entero distinto de cero es múltiplo de 0, ya que todo entero distinto de cero múltiplo de 0 es igual a 0 (propiedad 5 de los múltiplos comunes).

    Escribamos ahora los múltiplos comunes de 3 y 5:

    Múltiplosde 3: 2, 6, 9, 12, 15, 18,...

    Múltiplosde 5: 5, 10, 15, 20,...

    En ambas listas vemos que 15 es el primer múltiplo común no nulo de 3 y 5. Por tanto, la próxima vez que Polly y Hannah visiten juntas a Ben será el día 15.

    He aquí el último ejemplo del mundo real para cerrar este artículo.

    Rory y Tana corren alrededor de una pista circular. Rory tarda 12 minutos en completar una vuelta, mientras que Tana tarda 16 minutos. Si ambos abandonan el punto de partida al mismo tiempo, escribe las dos próximas veces que ambos volverán a pasar juntos por el punto de partida.

    Solución

    Utilizando un planteamiento similar al del ejemplo anterior, necesitamos localizar los dos primeros múltiplos comunes no nulos de los minutos 12 y 16. Tomando la primera vez que abandonan el punto de partida dice el minuto 0, ahora podemos enumerar los múltiplos de 12 y 16.

    Múltiplosde 12: 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108,...

    Múltiplosde 16: 16, 32, 48, 64, 80, 96, 112,...

    Mirando las listas anteriores, observa que 48 y 96 son los dos primeros múltiplos comunes no nulos de 12 y 16. Por tanto, Rory y Tana volverán a pasar juntos el arranque en los minutos 48 y 96.

    Múltiplos comunes - Puntos clave

    • Un múltiplo común es un múltiplo compartido entre dos números.
    • Para hallar los múltiplos comunes de un conjunto dado de números:
      1. Enumera los múltiplos de cada número dado en el conjunto;
      2. Elige los múltiplos idénticos compartidos de las listas escritas en el Paso 1.
    • Propiedades importantes de los múltiplos comunes:

      • Un conjunto de números puede tener más de un múltiplo común

      • Un conjunto de números puede tener un número infinito de múltiplos comunes

      • El múltiplo común de un conjunto de números siempre es mayor o igual que cada uno de los propios números

      • El conjunto de números dado divide al múltiplo común sin dejar resto.

      • Todo número entero distinto de cero es múltiplo de 0, ya que cualquier número entero distinto de cero múltiplo de 0 es igual a 0.

    Preguntas frecuentes sobre Múltiplos Comunes
    ¿Qué es un múltiplo común?
    Un múltiplo común es un número que es múltiplo de dos o más números dados.
    ¿Cómo se encuentra el mínimo común múltiplo (MCM)?
    Para encontrar el MCM, descompone los números en factores primos y toma los exponentes más altos de cada factor.
    ¿Para qué se usa el mínimo común múltiplo?
    El MCM se usa para resolver problemas de sincronización, como alinear ciclos o eventos periódicos.
    ¿Cuál es la diferencia entre múltiplo común y mínimo común múltiplo?
    Un múltiplo común puede ser cualquiera que compartan los números, mientras que el MCM es el menor de esos múltiplos.

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    Un conjunto de números puede tener más de un múltiplo común. ¿Es esto cierto o falso?

    Un conjunto de números puede tener un número infinito de múltiplos comunes. ¿Es esto cierto o falso?

    Los múltiplos comunes son siempre menores o iguales que cada uno de los números de un conjunto dado. ¿Es esto cierto o falso?

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