Notación Algebraica

¿Te has preguntado alguna vez cómo los problemas de la vida real podían resolverse a veces matemáticamente? ¿Te has preguntado cómo se podían expresar estos problemas de forma tan concisa que se encontraran las soluciones correctas utilizando las matemáticas?

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    En esta explicación, hablaremos de la notación algebraica, los símbolos que intervienen, ejemplos y fórmulas que nacen de la notación algebraica.

    ¿Qué es la notación algebraica?

    La notaciónalgebraica es la representación de conceptos e ideas matemáticas de forma concisa. Emplea letras para representar valores desconocidos en problemas de la vida real.

    Los fundamentos del álgebra se construyen en torno a símbolos que se utilizan para representar los problemas que requieren principios matemáticos para resolverse, y la relación entre ellos. Letras como a, b, c, x, y y z son las variables más habituales, que suelen representar cantidades. Las letras griegas minúsculas como α, β, γ, θ se utilizan habitualmente para representar ángulos y planos. Luego se introducen en enunciados con ayuda de operadores matemáticos que denotan la relación entre ellos.

    Ejemplos de notación algebraica

    Como ya hemos dicho, la notación algebraica se utiliza para expresar enunciados de forma más concisa.

    • Para escribir multiplicaciones repetidas de valores, utiliza un superíndice para representar cuántas veces quieres multiplicarte. Por ejemplo a×a×aa×a×a se representa como a3a3donde a representa aquí cualquier número.

    • La letra griega Pi, π, representa un número especial 3,14159...

    • El signo igual, =, se utiliza para declarar que dos cantidades son iguales.

    • Los signos menor que <, menor o igual que, ≤, mayor que, >, mayor o igual que, ≥, y no igual que, ≠, son símbolos que también se utilizan para denotar la desigualdad de cantidades.

    • Los operadores +, -, × y ÷ se utilizan para denotar la relación entre valores, de modo que si tienes 2x+1significa que tienes que sumar 2x a 1.

    ¿Qué son las variables?

    Las variables son letras que se utilizan para representar cantidades desconocidas en álgebra.

    Por ejemplo, en la expresión 2x+1la "x" es la variable, ya que es la letra que aparece aquí. El número que multiplica a la variable se conoce como coeficiente. Por tanto, 2 es el coeficiente en esta expresión. Mientras que 1 en esta expresión es la constante o término independiente, ya que su valor no depende de la variable x.

    Saber que las variables representan números desconocidos, suele ser la base sobre la que se construye el problema. Por lo tanto, encontrar la solución a este tipo de problemas significa que tenemos que encontrar el valor de la variable.

    Por ejemplo, si Mike ha comprado un par de zapatos y una camisa por 100€, pero sólo sabe que el coste del par de zapatos es de 70€. ¿Cuánto cuesta la camisa?

    Esto podría modelizarse en un enunciado matemático en el que el coste de la camisa puede representarse con la letra x.

    £70 + x = £100

    Para hallar el valor de x, debemos resolver la ecuación anterior. Aislaremos x de forma que x sea el único elemento que quede en un lado de la ecuación, mientras que todo lo demás queda en el otro lado.

    Para ello, sumaremos menos 70€ de cada lado de la ecuación.

    £70-£70 +x = £100-£70x = £30

    Esto significa aquí que el valor de x es 30 £. Por tanto, el coste de la camiseta es de 30 £.

    En otros casos, las variables pueden ser útiles para evaluar enunciados matemáticos.

    Podemos tomar el mismo ejemplo de la compra de Mike. Antes de encontrar la solución, podría suponer que la camiseta le costó 35€. Sin embargo, podría utilizar la sustitución para ayudar a evaluar la solución propuesta que tiene. Basta con sustituir el valor propuesto en el lugar de la variable y ver si satisface la ecuación.

    £70+x = £100£70+£35 = £100£105 = £100

    Aquí nos damos cuenta de que el enunciado sugiere que 105€ es lo mismo que 100€, lo cual no es cierto. Así que podemos concluir que la solución propuesta por Mike de que la camiseta le costó 35 £ es incorrecta.

    Símbolos de notación algebraica

    Los símbolos más utilizados en álgebra se enumeran en la tabla siguiente.

    SímboloSignificadoEjemplo
    +Añade4+7=11
    -Restar13-7=6
    ×Multiplicar3×4=12
    ÷Dividir25÷5=5
    Raíz cuadrada36 = 6
    33Raíz cúbica273 = 3
    nRaíz enésima325 = 2
    ( )Símbolos de agrupación2(x+1)
    [ ]Símbolos de agrupación21+[4(2+1)+3]
    { }Establecer símbolosA = 1, 2, 3, 4, 5
    =Igual a2x+1 = 12
    No igual a3+4 13
    < Menor que3x<7
    menor o igual que3x7
    >Mayor que5-1 > 4x
    Mayor o igual que5-1 4x
    Implicaa and b are odd a+b is even
    Por lo tantoa=b b=a

    Notación sigma y algunos otros

    En álgebra se utilizan muchos más símbolos para casos concretos. En esta sección vamos a explorar qué son la notación sigma, la notación Pi y el factorial.

    Notación sigma

    La notación sigma es la forma más cómoda de expresar sumas largas.

    Por ejemplo 1+2+3+4+5 también podría escribirse como

    id="5229114" role="matemáticas" i=15i.

    Esto significa que estamos sumando todos los valores de i empezando por i=1 hasta llegar a i=5que es donde nos detenemos.

    32 + 42 + 52+62+72+82+92+102= n=310n2

    Observa que si introduces los valores de n obtendrás la respuesta que buscas.

    Notación Pi

    La notación Pi se utiliza para denotar multiplicaciones repetidas. También se llama notación del producto. Esta notación es bastante similar a la notación de suma. A continuación se da un ejemplo.

    n=5N(n2-1) = (52-1) (62-1).....(N2-1)

    Esto lee los productos de n=5 a N, donde N es mayor que n.

    La notación Pi también se utiliza para definir el factorial n!

    n! = i=1ni = (1) (2) (3) (4)....(n-1) (n)

    Notación de conteo

    Es probable que te encuentres con la notación n!. Representa el factorial;

    n! = 1 si n = 0,

    en caso contrario ,

    n! = n×(n-1)×(n-2)×(n-3)× ... ×3×2×1.

    n! cuenta el número de formas de disponer n objetos distintos. Por tanto, es intuitivo saber que cuando tienes cero (0) objetos, sólo hay una forma de ordenarlos: no hacer nada.

    Relacionada con los factoriales está la notación del coeficiente binomial nk.

    nk= Ckn = n!(n-k)!k!

    La fórmula anterior es una forma de expresar el número de k subconjuntos de un conjunto n. Así que aquí pensamos en n como un número entero no negativo y en k como un número entero no negativo que es menor o igual que n.

    Las fórmulas como notación algebraica

    Las fórmulas matemáticas son expresiones típicas de las notaciones algebraicas. Las fórmulas constan de distintas cantidades unidas por el signo igual. Contienen variables y, a veces, constantes. Esto significa que si tienes los valores de ciertas variables en una fórmula puedes encontrar el valor de las variables restantes, las mismas propiedades de las ecuaciones.

    A continuación encontrarás ejemplos de fórmulas matemáticas que son expresiones típicas de la notación algebraica.

    ConceptoFórmula
    Área del rectánguloA = l × w
    Área del círculoA = π r2
    Volumen de un cuboideVolume = l × b × h
    Volumen de un cilindroVolume = π r2 h
    VelocidadSpeed = DistanceTime
    DensidadDensity = MassVolume

    Método de notación algebraica

    El método de notación algebraica es una forma de utilizar la expansión para multiplicar números grandes. Veamos los pasos que se siguen para realizar operaciones de este modo.

    • PASO 1: Expande los valores dados

    • PASO 2: Utiliza la propiedad distributiva para realizar las operaciones de multiplicación.

    Probemos casos en los que multiplicamos un número con un único valor posicional por un número con dos valores posicionales.

    Utiliza el método de notación algebraica para realizar la multiplicación;

    4×91

    Solución

    En primer lugar, escribiremos 91 en forma expandida.

    4×91

    91 puede expandirse como 90 + 1

    4× (90+1)

    Ahora podemos utilizar la propiedad distributiva para multiplicar los valores. 4 multiplicará ahora los dos valores dados.

    (4×90) + (4+1)== 360 + 4= 364

    Utiliza el método de notación algebraica para realizar la multiplicación;

    5×43

    Solución:

    Primero escribiremos 43 en forma expandida. 43 puede expandirse como 40+3

    5×(40+3)

    Ahora podemos utilizar aquí la propiedad distributiva para multiplicar los valores.

    (5×40) + (5×3)== 200 + 15= 215

    Intentemos también casos de multiplicación que tengan dos valores de lugar.

    Utiliza el método de notación algebraica para realizar la multiplicación;

    23×42

    Solución:

    Aquí escribiremos ambos números en forma expandida. 23 puede escribirse como 20+3y 42 puede escribirse como 40+2

    (20+3) × (40+2)

    Ahora utilizaremos la propiedad distributiva para realizar la operación

    20 (40+2) + 3 (40+2)== 800 + 40 + 120 + 6= 966

    Utiliza el método de notación algebraica para realizar la multiplicación;

    75×13

    Solución:

    Escribiremos ambos números en forma expandida. 75 será 70+5 y 13 será10+3.

    (70+5) × (10+3)

    Ahora utilizaremos la propiedad distributiva para realizar la operación.

    70 (10+3) +5 (10+3)== 700 + 210 + 50 + 15= 975

    Notación algebraica - Puntos clave

    • La notación algebraica es la representación de conceptos e ideas matemáticas de forma concisa.
    • Letras como a, b, c, x, y y z son las variables más habituales.
    • Las variables son letras que se utilizan para representar cantidades desconocidas en álgebra.
    • Para escribir multiplicaciones repetidas de valores, utiliza un superíndice para representar cuántas veces quieres multiplicarte.
    • Los operadores +, -, × y ÷ se utilizan para denotar la relación entre valores.
    • Los signos menor que <, menor o igual que ≤, mayor que >, mayor o igual que ≥ y no igual que ≠ son símbolos que también se utilizan para denotar la desigualdad de cantidades.
    Preguntas frecuentes sobre Notación Algebraica
    ¿Qué es la notación algebraica?
    La notación algebraica es un sistema para expresar matemáticas usando letras, números y símbolos, representando valores y operaciones.
    ¿Cuál es el propósito de la notación algebraica?
    El propósito de la notación algebraica es simplificar y generalizar problemas matemáticos, permitiendo realizar cálculos y operaciones de forma eficiente.
    ¿Cómo se usan las letras en la notación algebraica?
    Las letras en la notación algebraica se usan para representar variables, que pueden tomar diferentes valores en una ecuación.
    ¿Cuáles son los símbolos comunes en notación algebraica?
    Símbolos comunes en notación algebraica incluyen + (suma), - (resta), * (multiplicación), / (división), y ^ (potencia).

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