Notación Algebraica: Ejemplos, Reglas

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En esta explicación, hablaremos de la notación algebraica, los símbolos que intervienen, ejemplos y fórmulas que nacen de la notación algebraica.

¿Qué es la notación algebraica?

La notaciónalgebraica es la representación de conceptos e ideas matemáticas de forma concisa. Emplea letras para representar valores desconocidos en problemas de la vida real.

Los fundamentos del álgebra se construyen en torno a símbolos que se utilizan para representar los problemas que requieren principios matemáticos para resolverse, y la relación entre ellos. Letras como a, b, c, x, y y z son las variables más habituales, que suelen representar cantidades. Las letras griegas minúsculas como α, β, γ, θ se utilizan habitualmente para representar ángulos y planos. Luego se introducen en enunciados con ayuda de operadores matemáticos que denotan la relación entre ellos.

Ejemplos de notación algebraica

Como ya hemos dicho, la notación algebraica se utiliza para expresar enunciados de forma más concisa.

Para escribir multiplicaciones repetidas de valores, utiliza un superíndice para representar cuántas veces quieres multiplicarte. Por ejemplo $a \times a \times a$ $a \times a \times a$ se representa como $a^{3}$ $a^{3}$ donde $a$ representa aquí cualquier número.

La letra griega Pi, π, representa un número especial 3,14159...

El signo igual, =, se utiliza para declarar que dos cantidades son iguales.

Los signos menor que <, menor o igual que, ≤, mayor que, >, mayor o igual que, ≥, y no igual que, ≠, son símbolos que también se utilizan para denotar la desigualdad de cantidades.

Los operadores +, -, × y ÷ se utilizan para denotar la relación entre valores, de modo que si tienes $2 x + 1$ significa que tienes que sumar 2x a 1.

¿Qué son las variables?

Las variables son letras que se utilizan para representar cantidades desconocidas en álgebra.

Por ejemplo, en la expresión $2 x + 1$ la "x" es la variable, ya que es la letra que aparece aquí. El número que multiplica a la variable se conoce como coeficiente. Por tanto, 2 es el coeficiente en esta expresión. Mientras que 1 en esta expresión es la constante o término independiente, ya que su valor no depende de la variable x.

Saber que las variables representan números desconocidos, suele ser la base sobre la que se construye el problema. Por lo tanto, encontrar la solución a este tipo de problemas significa que tenemos que encontrar el valor de la variable.

Por ejemplo, si Mike ha comprado un par de zapatos y una camisa por 100€, pero sólo sabe que el coste del par de zapatos es de 70€. ¿Cuánto cuesta la camisa?

Esto podría modelizarse en un enunciado matemático en el que el coste de la camisa puede representarse con la letra x.

$£ 70 + x = £ 100$

Para hallar el valor de x, debemos resolver la ecuación anterior. Aislaremos x de forma que x sea el único elemento que quede en un lado de la ecuación, mientras que todo lo demás queda en el otro lado.

Para ello, sumaremos menos 70€ de cada lado de la ecuación.

$£ 70 - £ 70 + x = £ 100 - £ 70 x = £ 30$

Esto significa aquí que el valor de x es 30 £. Por tanto, el coste de la camiseta es de 30 £.

En otros casos, las variables pueden ser útiles para evaluar enunciados matemáticos.

Podemos tomar el mismo ejemplo de la compra de Mike. Antes de encontrar la solución, podría suponer que la camiseta le costó 35€. Sin embargo, podría utilizar la sustitución para ayudar a evaluar la solución propuesta que tiene. Basta con sustituir el valor propuesto en el lugar de la variable y ver si satisface la ecuación.

$£ 70 + x = £ 100 £ 70 + £ 35 = £ 100 £ 105 = £ 100$

Aquí nos damos cuenta de que el enunciado sugiere que 105€ es lo mismo que 100€, lo cual no es cierto. Así que podemos concluir que la solución propuesta por Mike de que la camiseta le costó 35 £ es incorrecta.

Símbolos de notación algebraica

Los símbolos más utilizados en álgebra se enumeran en la tabla siguiente.

Símbolo	Significado	Ejemplo
+	Añade	$4 + 7 = 11$
-	Restar	$13 - 7 = 6$
×	Multiplicar	$3 \times 4 = 12$
÷	Dividir	$25 \div 5 = 5$
√	Raíz cuadrada	$\sqrt{36} = 6$
$3$ $\sqrt[3]{}$	Raíz cúbica	$\sqrt[3]{27} = 3$
$\sqrt[n]{}$	Raíz enésima	$\sqrt[5]{32} = 2$
( )	Símbolos de agrupación	$2 (x + 1)$
[ ]	Símbolos de agrupación	$2 1 + [4 (2 + 1) + 3]$
{ }	Establecer símbolos	$A = \{1, 2, 3, 4, 5\}$
=	Igual a	$2 x + 1 = 12$
≠	No igual a	$3 + 4 \neq 13$
<	Menor que	$3 x < 7$
≤	menor o igual que	$3 x \leq 7$
>	Mayor que	$5 - 1 > 4 x$
≥	Mayor o igual que	$5 - 1 \geq 4 x$
$\Rightarrow$	Implica	$a a n d b a r e o d d \Rightarrow a + b i s e v e n$
∴	Por lo tanto	$a = b ∴ b = a$

Notación sigma y algunos otros

En álgebra se utilizan muchos más símbolos para casos concretos. En esta sección vamos a explorar qué son la notación sigma, la notación Pi y el factorial.

Notación sigma

La notación sigma es la forma más cómoda de expresar sumas largas.

Por ejemplo $1 + 2 + 3 + 4 + 5$ también podría escribirse como

id="5229114" role="matemáticas" $\sum_{i = 1}^{5} i$ .

Esto significa que estamos sumando todos los valores de $i$ empezando por $i = 1$ hasta llegar a $i = 5$ que es donde nos detenemos.

$3^{2} + 4^{2} + 5^{2} + 6^{2} + 7^{2} + 8^{2} + 9^{2} + 10^{2} = \sum_{n = 3}^{10} n^{2}$

Observa que si introduces los valores de n obtendrás la respuesta que buscas.

Notación Pi

La notación Pi se utiliza para denotar multiplicaciones repetidas. También se llama notación del producto. Esta notación es bastante similar a la notación de suma. A continuación se da un ejemplo.

$\prod_{n = 5}^{N} (n^{2} - 1) = (5^{2} - 1) (6^{2} - 1) . . . . . (N^{2} - 1)$

Esto lee los productos de $n = 5$ a N, donde N es mayor que n.

La notación Pi también se utiliza para definir el factorial $n!$

$n! = \prod_{i = 1}^{n} i = (1) (2) (3) (4) . . . . (n - 1) (n)$

Notación de conteo

Es probable que te encuentres con la notación $n!$ . Representa el factorial;

$n! = 1$ si $n = 0$ ,

en caso contrario ,

$n! = n \times (n - 1) \times (n - 2) \times (n - 3) \times . . . \times 3 \times 2 \times 1$ .

n!

cuenta el número de formas de disponer n objetos distintos. Por tanto, es intuitivo saber que cuando tienes cero (0) objetos, sólo hay una forma de ordenarlos: no hacer nada.

Relacionada con los factoriales está la notación del coeficiente binomial $(\begin{matrix} n \\ k \end{matrix})$ .

$(\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}) = {}^{n}C_{k} = \frac{n!}{(n - k)! k!}$

La fórmula anterior es una forma de expresar el número de k subconjuntos de un conjunto n. Así que aquí pensamos en n como un número entero no negativo y en k como un número entero no negativo que es menor o igual que n.

Las fórmulas como notación algebraica

Las fórmulas matemáticas son expresiones típicas de las notaciones algebraicas. Las fórmulas constan de distintas cantidades unidas por el signo igual. Contienen variables y, a veces, constantes. Esto significa que si tienes los valores de ciertas variables en una fórmula puedes encontrar el valor de las variables restantes, las mismas propiedades de las ecuaciones.

A continuación encontrarás ejemplos de fórmulas matemáticas que son expresiones típicas de la notación algebraica.

Concepto	Fórmula
Área del rectángulo	$A = l \times w$
Área del círculo	$A = π r^{2}$
Volumen de un cuboide	$V o l u m e = l \times b \times h$
Volumen de un cilindro	$V o l u m e = π r^{2} h$
Velocidad	$S p e e d = \frac{D i s \tan c e}{T i m e}$
Densidad	$D e n s i t y = \frac{M a s s}{V o l u m e}$

Método de notación algebraica

El método de notación algebraica es una forma de utilizar la expansión para multiplicar números grandes. Veamos los pasos que se siguen para realizar operaciones de este modo.

PASO 1: Expande los valores dados
PASO 2: Utiliza la propiedad distributiva para realizar las operaciones de multiplicación.

Probemos casos en los que multiplicamos un número con un único valor posicional por un número con dos valores posicionales.

Utiliza el método de notación algebraica para realizar la multiplicación;

$4 \times 91$

Solución

En primer lugar, escribiremos 91 en forma expandida.

$4 \times 91$

91 puede expandirse como $90 + 1$

$4 \times (90 + 1)$

Ahora podemos utilizar la propiedad distributiva para multiplicar los valores. 4 multiplicará ahora los dos valores dados.

$(4 \times 90) + (4 + 1) = = 360 + 4 = 364$

Utiliza el método de notación algebraica para realizar la multiplicación;

$5 \times 43$

Solución:

Primero escribiremos 43 en forma expandida. 43 puede expandirse como $40 + 3$

$5 \times (40 + 3)$

Ahora podemos utilizar aquí la propiedad distributiva para multiplicar los valores.

$(5 \times 40) + (5 \times 3) = = 200 + 15 = 215$

Intentemos también casos de multiplicación que tengan dos valores de lugar.

Utiliza el método de notación algebraica para realizar la multiplicación;

$23 \times 42$

Solución:

Aquí escribiremos ambos números en forma expandida. 23 puede escribirse como $20 + 3$ y 42 puede escribirse como $40 + 2$

$(20 + 3) \times (40 + 2)$

Ahora utilizaremos la propiedad distributiva para realizar la operación

$20 (40 + 2) + 3 (40 + 2) = = 800 + 40 + 120 + 6 = 966$

Utiliza el método de notación algebraica para realizar la multiplicación;

$75 \times 13$

Solución:

Escribiremos ambos números en forma expandida. 75 será $70 + 5$ y 13 será $10 + 3$ .

$(70 + 5) \times (10 + 3)$

Ahora utilizaremos la propiedad distributiva para realizar la operación.

$70 (10 + 3) + 5 (10 + 3) = = 700 + 210 + 50 + 15 = 975$

Notación algebraica - Puntos clave

La notación algebraica es la representación de conceptos e ideas matemáticas de forma concisa.
Letras como a, b, c, x, y y z son las variables más habituales.
Las variables son letras que se utilizan para representar cantidades desconocidas en álgebra.
Para escribir multiplicaciones repetidas de valores, utiliza un superíndice para representar cuántas veces quieres multiplicarte.
Los operadores +, -, × y ÷ se utilizan para denotar la relación entre valores.
Los signos menor que <, menor o igual que ≤, mayor que >, mayor o igual que ≥ y no igual que ≠ son símbolos que también se utilizan para denotar la desigualdad de cantidades.

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Los fundamentos del álgebra se construyen en torno a los símbolos que se utilizan para representar los problemas que requieren principios matemáticos para resolverse, y la relación entre ellos.

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Preguntas frecuentes sobre Notación Algebraica

¿Qué es la notación algebraica?

La notación algebraica es un sistema para expresar matemáticas usando letras, números y símbolos, representando valores y operaciones.

¿Cuál es el propósito de la notación algebraica?

El propósito de la notación algebraica es simplificar y generalizar problemas matemáticos, permitiendo realizar cálculos y operaciones de forma eficiente.

¿Cómo se usan las letras en la notación algebraica?

Las letras en la notación algebraica se usan para representar variables, que pueden tomar diferentes valores en una ecuación.

¿Cuáles son los símbolos comunes en notación algebraica?

Símbolos comunes en notación algebraica incluyen + (suma), - (resta), * (multiplicación), / (división), y ^ (potencia).

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