Círculos Matemáticas

Ecuaciones de círculo

Algunas Ecuaciones de círculo bien conocidas son

• $Diameterofthecircle=radius\times 2$
• $Areaofacircle=\mathrm{\pi }\times {\mathrm{radius}}^2$
• $CircumferenceoftheCircle=2\times \mathrm{\pi }\times \mathrm{radius}=\mathrm{\pi }\times \mathrm{diameter}$

Partes de un diagrama circular

Para entender los diagramas circulares, tienes que estar familiarizado con la división de círculos en partes en matemáticas.

Diagrama de círculo. Jaime Nichols StudySmarter Originales

• Circunferencia(C): el perímetro del círculo.

• Radio ( r): distancia entre un punto cualquiera de la circunferencia y el centro del círculo.

• Diámetro(d ): distancia de un lado a otro de la circunferencia que pasa por el centro del círculo.

• Sector : zona delimitada por dos radios.

• Cuerda: distancia de un lado a otro de la circunferencia que no pasa por el centro de la circunferencia.

• Segmento: zona comprendida entre una cuerda y la circunferencia.

• Tangente: línea exterior que toca la circunferencia del círculo en un punto.

• Arco: una Proporción de la circunferencia del círculo

Teoremas del círculo

Hay ocho Teoremas del Círculo que describen las propiedades angulares de los círculos.

• Teorema del círculo 1: Los ángulos de un mismo segmento son iguales.

• Teorema del círculo 2: En un cuadrilátero cíclico, la suma de los ángulos opuestos es igual a 180.

• Teorema del círculo 3: El ángulo en el centro de una circunferencia es la mitad del ángulo en la circunferencia.

• Teorema 4 del círculo: La mediatriz de una cuerda pasa por el centro del círculo.

• Teorema del círculo 5: El radio y la tangente de una circunferencia se encuentran perpendicularmente.

• Teorema del círculo 6: Dos rectas tangentes que confluyen en un punto tienen la misma longitud.

• Teorema del círculo 7: Un triángulo dentro del círculo, en el que la hipotenusa del triángulo es igual al diámetro del círculo, tiene un ángulo en la circunferencia de 90.

• Teorema del círculo 8: Teorema del ángulo alterno.

La ecuación básica del círculo

Todos los círculos pueden representarse mediante la fórmula: ${\left(x-a\right)}^2+{(y-b)}^2=r^2$donde (a, b) son las coordenadas del centro de este círculo y r es el radio del círculo.

Cuando el círculo tiene centro en el origen, entonces no tiene constantes unidas a las coordenadas x o y: $x^2+y^2=r^2$.

Para saber si una coordenada se encuentra en la circunferencia del círculo, sustituye las coordenadas x e y en la ecuación del círculo. Si la ecuación se resuelve igual al radio del círculo, el punto se encuentra en la circunferencia del círculo.

Formar ecuaciones circulares a partir de una gráfica

Formar una ecuación a partir de una circunferencia requiere dos datos: el centro de la circunferencia y el radio de la circunferencia.

Para hallar el radio del círculo, necesitas

1. Traza una línea desde el centro hasta la circunferencia (que será el radio), y luego otra línea desde la intersección del radio hasta una línea horizontal desde el centro.

2. Como estás calculando el radio de la circunferencia, necesitas encontrar los otros dos lados del triángulo, y puedes hacerlo contando los cuadrados.

3. Como se trata de un triángulo rectángulo sin ángulos, puedes utilizar el teorema de Pitágoras para hallar el radio del círculo.

Halla el radio de la circunferencia con centro (4, 1) que se muestra en la gráfica siguiente.

1. Dibuja el radio: La coordenada (7, 5) se encuentra en la circunferencia. El radio es la recta que une el centro (4, 1) y el punto de la circunferencia (7, 5).

2. Hallar los valores de los lados del triángulo: Contando los cuadrados, la recta horizontal es 3 y la vertical 4.

Triángulo de Pitágoras derivado del Círculo 1 - Jaime Nichols - StudySmarter Originals

3. Hallar el valor del radio mediante el teorema de Pitágoras:$a^2+b^2=c^2$

$3^2+4^2=r^2$

$r=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}$

$r=\pm 5$

Sin embargo, el radio del círculo es una distancia y, por tanto, sólo puede ser positivo, así que r = 5

La ecuación circular derivada

A veces las ecuaciones del círculo pueden formarse con la expresión $x^2+y^2+2ax+2bx+c=0$donde el centro del círculo es (-a, -b) y el radio del círculo es $\sqrt{a^2+b^2-c}$.

Derivación de la fórmula del círculo

La fórmula del círculo $x^2+y^2+2ax+2bx+c=0$ puede derivarse de la fórmula del círculo básico ${(x-a)}^2+{(y-b)}^2=r^2$.

1. Expande los paréntesis de la ecuación circular original para obtener $x^2-2ax+a^2+y^2-2by+b^2=r^2$
2. Reorganiza para que la forma se parezca a la ecuación derivada:$x^2+y^2-2ax+a^2-2by+b^2-r^2=0$
3. Deja que $c=a^2+b^2-r^2$ de modo que la ecuación se convierte en$x^2+y^2-2ax-2by+c=0$

Reordenando de nuevo a la ecuación circular básica

Podrían pedirte que reordenes $x^2+y^2+2ax+2by+c=0$ en ${(x-a)}^2+{(y-b)}^2=r^2$ y para ello debes completar el cuadrado.