Círculos Matemáticas

Los círculos pueden existir en sí mismos o ser representados en Gráficos, donde podemos darles Ecuaciones.

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    Los círculos son una forma bidimensional en la que una sola línea gira alrededor de un punto en360o2π si está en radianes.

    Ecuaciones de círculo

    Algunas Ecuaciones de círculo bien conocidas son

    • Diameter of the circle=radius ×2
    • Area of a circle=π×radius2
    • Circumference of the Circle=2×π×radius=π×diameter

    Partes de un diagrama circular

    Para entender los diagramas circulares, tienes que estar familiarizado con la división de círculos en partes en matemáticas.

    Círculos Matemáticas Diagrama de círculos StudySmarterDiagrama de círculo. Jaime Nichols StudySmarter Originales

    • Circunferencia(C): el perímetro del círculo.

    • Radio ( r): distancia entre un punto cualquiera de la circunferencia y el centro del círculo.

    • Diámetro(d ): distancia de un lado a otro de la circunferencia que pasa por el centro del círculo.

    • Sector : zona delimitada por dos radios.

    • Cuerda: distancia de un lado a otro de la circunferencia que no pasa por el centro de la circunferencia.

    • Segmento: zona comprendida entre una cuerda y la circunferencia.

    • Tangente: línea exterior que toca la circunferencia del círculo en un punto.

    • Arco: una Proporción de la circunferencia del círculo

    Teoremas del círculo

    Hay ocho Teoremas del Círculo que describen las propiedades angulares de los círculos.

    • Teorema del círculo 1: Los ángulos de un mismo segmento son iguales.

    • Teorema del círculo 2: En un cuadrilátero cíclico, la suma de los ángulos opuestos es igual a 180.

    Un cuadrilátero cíclico son todos los puntos de un cuadrilátero que se encuentran en la circunferencia del círculo.

    • Teorema del círculo 3: El ángulo en el centro de una circunferencia es la mitad del ángulo en la circunferencia.

    • Teorema 4 del círculo: La mediatriz de una cuerda pasa por el centro del círculo.

    • Teorema del círculo 5: El radio y la tangente de una circunferencia se encuentran perpendicularmente.

    • Teorema del círculo 6: Dos rectas tangentes que confluyen en un punto tienen la misma longitud.

    • Teorema del círculo 7: Un triángulo dentro del círculo, en el que la hipotenusa del triángulo es igual al diámetro del círculo, tiene un ángulo en la circunferencia de 90.

    • Teorema del círculo 8: Teorema del ángulo alterno.

    La ecuación básica del círculo

    Todos los círculos pueden representarse mediante la fórmula: x-a2+(y-b)2=r2donde (a, b) son las coordenadas del centro de este círculo y r es el radio del círculo.

    Un círculo con centro en (5, 9) y radio 10 tendrá la ecuación de (x-5)2+(x-9)2=102 que también es igual a(x-5)2+(x-9)2=100

    Cuando el círculo tiene centro en el origen, entonces no tiene constantes unidas a las coordenadas x o y: x2+y2=r2.

    Para saber si una coordenada se encuentra en la circunferencia del círculo, sustituye las coordenadas x e y en la ecuación del círculo. Si la ecuación se resuelve igual al radio del círculo, el punto se encuentra en la circunferencia del círculo.

    Demuestra que (4, 12) se encuentra en la circunferencia del círculo x2+(y-10)2=20.

    42+(12-10)2

    16+4 =20

    La respuesta a la ecuación del círculo cuando sustituyes (4, 12) es la misma que la de r2 (20); por tanto, el punto (4,12) debe estar en la circunferencia del círculo.

    Formar ecuaciones circulares a partir de una gráfica

    Formar una ecuación a partir de una circunferencia requiere dos datos: el centro de la circunferencia y el radio de la circunferencia.

    Para hallar el radio del círculo, necesitas

    1. Traza una línea desde el centro hasta la circunferencia (que será el radio), y luego otra línea desde la intersección del radio hasta una línea horizontal desde el centro.

    2. Como estás calculando el radio de la circunferencia, necesitas encontrar los otros dos lados del triángulo, y puedes hacerlo contando los cuadrados.

    3. Como se trata de un triángulo rectángulo sin ángulos, puedes utilizar el teorema de Pitágoras para hallar el radio del círculo.

    El teorema de Pitágoras es una fórmula para calcular los lados de un triángulo rectángulo: a2+b2=c2; donde c es la hipotenusa.

    Para el primer paso, siempre que sea posible, intenta situar el radio en puntos de la gráfica. Esto te ayudará más adelante porque trabajarás con números enteros.

    Halla el radio de la circunferencia con centro (4, 1) que se muestra en la gráfica siguiente.

    Círculos Matemáticas Gráfica del círculo ejemplo StudySmarter

    1. Dibuja el radio: La coordenada (7, 5) se encuentra en la circunferencia. El radio es la recta que une el centro (4, 1) y el punto de la circunferencia (7, 5).
    Circulos Matematicas Pitagoras triangulo circulo ejemplo StudySmarter2. Hallar los valores de los lados del triángulo: Contando los cuadrados, la recta horizontal es 3 y la vertical 4.Círculos matemáticas Pitágoras Triángulo StudySmarter

    Triángulo de Pitágoras derivado del Círculo 1 - Jaime Nichols - StudySmarter Originals

    3. Hallar el valor del radio mediante el teorema de Pitágoras:a2+b2=c2

    32+42=r2

    r=9+16=25

    r=±5

    Sin embargo, el radio del círculo es una distancia y, por tanto, sólo puede ser positivo, así que r = 5

    La ecuación circular derivada

    A veces las ecuaciones del círculo pueden formarse con la expresión x2+y2+2ax+2bx+c=0donde el centro del círculo es (-a, -b) y el radio del círculo es a2+b2-c.

    El círculo B tiene una ecuación de x2+y2+16x-10x+8=0. ¿Cuál es el centro del círculo B? ¿Cuál es el radio del círculo B?

    • El centro del círculo es -162,--102=(-8, 5)donde a = -8 y b = 5.
    • El radio del círculo es (-8)2+52-8=81=9

    Derivación de la fórmula del círculo

    La fórmula del círculo x2+y2+2ax+2bx+c=0 puede derivarse de la fórmula del círculo básico (x-a)2+(y-b)2=r2.

    1. Expande los paréntesis de la ecuación circular original para obtener x2-2ax+a2+y2-2by+b2=r2
    2. Reorganiza para que la forma se parezca a la ecuación derivada:x2+y2-2ax+a2-2by+b2-r2=0
    3. Deja que c=a2+b2-r2 de modo que la ecuación se convierte enx2+y2-2ax-2by+c=0

    La última etapa de la derivación de la ecuación puede ayudarte a recordar la fórmula del radio. Como c=a2+b2-r2puedes cambiar el sujeto por r2: r2=a2+b2-c. Por tanto,r=a2+b2-c

    Reordenando de nuevo a la ecuación circular básica

    Podrían pedirte que reordenes x2+y2+2ax+2by+c=0 en (x-a)2+(y-b)2=r2 y para ello debes completar el cuadrado.

    Es útil agrupar las x- y las y- para que te resulte más fácil completar el cuadrado.

    Reorganiza x2+y2+12x+4y+20=0 en la forma(x-a)2+(y-b)2=r2

    1. Organiza la ecuación de modo que la ecuación x e y x2+12x+y2+4y+20=02. Completa el cuadrado en cada variable Para el eje x: (x+6)2-36Para el eje y: y2+4y=(y+2)2-43. Combinando estas ecuaciones: (x+6)2-36+(y+2)2-4+20=04. Reordénalas para obtener la forma(x-a)2+(y-2)2=r2

    (x-a)2+(y+2)2-20=0

    (x+6)2+(y+2)2=20

    Círculos - Puntos clave

    • Los círculos pueden describirse y etiquetarse de muchas formas distintas, que debes ser capaz de reconocer y comprender.
    • Los círculos pueden escribirse como una ecuación en la que el centro del círculo es (a, b) y el radio del círculo es r.
    • Los círculos también pueden escribirse de la forma x2+y2+2ax+2bx+c=0 donde el centro del círculo es (-a, -b) y el radio del círculo esa2+b2-c
    • Para hallar el radio de un círculo a partir de la gráfica, crea un triángulo rectángulo utilizando el radio del círculo y resuélvelo utilizando el teorema de Pitágoras.
    Preguntas frecuentes sobre Círculos Matemáticas
    ¿Qué es un círculo en matemáticas?
    Un círculo es una figura geométrica plana y cerrada, donde todos los puntos están a la misma distancia del centro.
    ¿Cómo se calcula la circunferencia de un círculo?
    La circunferencia se calcula multiplicando el diámetro por π (pi), es decir, C = π * d.
    ¿Cuál es la fórmula del área de un círculo?
    El área de un círculo se calcula usando la fórmula A = π * r^2, donde r es el radio.
    ¿Qué es el radio y el diámetro de un círculo?
    El radio es la distancia del centro a cualquier punto del círculo. El diámetro es el doble del radio.

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