Fracciones en Expresiones y Ecuaciones

Las expresiones algebraicas en matemáticas consisten en constantes y variables relacionadas mediante operaciones algebraicas (sumas, restas, multiplicaciones y divisiones). Una fracción es la división de dos expresiones: por ejemplo 12, x+13, xyx+y son fracciones de expresiones que contienen constantes y/o variables.

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    Una ecuación es un enunciado matemático que consiste en un símbolo igual entre dos expresiones algebraicas. Por ejemplo 12+x=2x+1 es una ecuación.

    Resolver una ecuación significa encontrar el valor de la variable que hace que las expresiones del lado izquierdo y del lado derecho sean iguales; este valor se llama solución de la ecuación. Por ejemplo, la solución de la ecuación 12+x=2x+1 es x = -12si introduces este valor en ambos lados de la ecuación, obtienes 0 = 0.

    Este artículo trata de la presencia de fracciones en expresiones y ecuaciones; dichas ecuaciones se denominan (como era de esperar) ecuaciones fraccionarias.

    El primer paso para tratar las ecuaciones fraccionarias es eliminar las fracciones de ellas. Vamos a ver cómo hacerlo.

    ¿Qué son términos, coeficientes, variables y constantes?

    • Los términos son los elementos constitutivos de las expresiones algebraicas: en una expresión, cada término está separado por un signo más (+) o un signo menos (-). En la ecuación 3x+4=103x y 4 son los términos de la expresión de la izquierda, y 10 es el término de la expresión de la derecha.
    • Los coeficientes son los valores que multiplican las variables en una expresión o en una ecuación. Dada la expresión 34x+4el coeficiente es el número que multiplica a la x, que es34.
    • Las variables son las letras de las expresiones y ecuaciones que se utilizan para representar cantidades desconocidas. Cuando tienes una expresión dada como 32x+12y, x e y se identifican como variables.
    • Las constantes son los números de las expresiones y ecuaciones que no cambian. En la ecuación 2x - 4y + 4 = 0 por ejemplo, 4 es la constante.

    Fracciones en Expresiones y Ecuaciones, Términos, StudySmarterFigura 1. Términos del álgebra, siyavula.com

    Cómo resolver expresiones con fracciones: Ejemplos paso a paso

    Si tratas con fracciones en expresiones, lo más fácil es sumarlas y restarlas cuando hay denominadores comunes. Esto significa que encontraremos la fracción equivalente de las fracciones implicadas hallando el mínimo común divisor (MCD ) para los denominadores de los términos.

    Simplifica 3x5+x4

    Solución:

    Lo que haremos aquí es encontrar un denominador común para los dos términos, de modo que puedan sumarse. En primer lugar, tendremos que hallar el LCD de los denominadores de las dos fracciones, 5 y 4. El mínimo común divisor de ambos números será 20. Ahora hallaremos la fracción equivalente para ambas.

    Si el denominador de la primera fracción es ahora 20, significa que probablemente hemos multiplicado el denominador inicial, 5, por 4. Esto significaría que tendremos que multiplicar también el numerador por 4 para tener una fracción equivalente.

    443x5 = 12x20

    Haremos lo mismo con la segunda fracción. 20 como denominador también significa que tendremos que haber multiplicado 4 (como denominador) por 5 para tener 20 como nuevo denominador de la fracción equivalente. Esto significa que tendremos que multiplicar también el numerador por 5.

    55x4 = 5x20

    Ya tenemos nuestra nueva expresión:

    12x20+5x20

    Esto resulta mucho más fácil de resolver, ya que todo lo que tenemos que hacer es sumar los numeradores y mantener los denominadores.

    12x20+5x20=17x20

    Como no se puede simplificar más, lo dejaremos así.

    Resolver expresiones con fraccionesfactorizando yagrupando

    Puede haber problemas más complicados en los que tengamos que utilizar un par de técnicas como la factorización y la agrupación. En estas situaciones, hay que tener mucho cuidado con lo que es particularmente un término y cuándo se dividen sus componentes. Veamos el ejemplo siguiente:

    Simplifica ax - b + x -abax2 - abx

    Solución:

    Como no podemos cancelar nada en esta expresión actual, podemos factorizar para ver qué podemos hacer con la situación. Primero agruparemos los términos semejantes en el numerador reordenándolos de modo que los términos que contengan x estén próximos y los términos que contengan b también estén próximos.

    ax - b +x - abax2 - abx

    ax + x - b - abax2 - abx

    Ahora factorizaremos. El factor común de los dos primeros términos del numerador es x. Eso se puede factorizar. El factor común de los dos últimos términos del numerador es -b, y también se puede factorizar.

    x(a+1) -b(1+a)ax2-abx

    La idea de factorizar aquí es construir un paréntesis común para poder eliminar uno. Aquí tenemos (a+1) y (1+a). Teniendo en cuenta la propiedad conmutativa de la suma, ambos paréntesis son iguales.

    Esto nos dejará con :

    (x-b) (a+1)ax2-abx

    Ahora factorizaremos inmediatamente el denominador. Como ax aparece común en ambos términos, eso es lo que se factorizará.

    (x-b) (a+1) ax(x-b)

    Ahora nos encontramos en una situación en la que podemos anular libremente. (x-b) en el denominador anulará (x-b) en el numerador. Esto es cierto si x es diferente de b.

    (a+1)ax

    Esta es la forma más sencilla que podemos obtener de esta expresión.

    Cómo resolver ecuaciones con fracciones: Ejemplos paso a paso

    Como ya se ha dicho, lo que hay que tener en cuenta cuando se trata de ecuaciones en las que intervienen fracciones es intentar eliminar primero la fracción. Debes multiplicar todos los términos de ambos lados de la ecuación por el denominador de la fracción.

    Si nos dieran la ecuación 5x + 12 = 12multiplicaríamos primero la ecuación (que técnicamente es también cada término de la ecuación) por 2.

    Solución:

    2 (5x +12 = 12)

    2(5x) + 2(12) = 2(12)

    Tras multiplicar por 2, la fracción se anulará.

    10x + 1 = 24

    Ahora reordenaremos la ecuación para poner los términos semejantes en lados distintos de la ecuación.

    10x = 24-1

    10x = 23

    Divide ambos lados por 10

    10x10 = 2310

    x =2.3

    Para comprobar que ésta es realmente la solución de la ecuación, tienes que volver a sustituir el valor de x en la ecuación original:

    5(2.3) + 12 = 12

    11.5 + 12 = 12

    12 = 12

    Resuelve32x +12(x-4) = 6

    Solución:

    Una ecuación con dos fracciones con el mismo denominador tendrá sus términos multiplicados por el denominador, como se ha dicho antes.

    2(32x) + 2(12(x-4)) = 2(6)

    3x + x-4 = 12

    4x - 4 = 12

    Los términos iguales se agruparán a partir de este punto.

    4x = 12 + 4

    4x = 16

    Divide ambos lados por 4

    4x4 = 164

    x = 4

    Para evaluar esto, tendrías que volver a sustituir el valor de x en la ecuación original.

    32(4) +12(4-4) = 6

    (3×2) + 12(0) = 6

    6 + 0 = 6

    6 =6

    Resuelve14x + 32(2x-1) = 2

    Solución:

    Nuestro ejemplo es bastante diferente de lo habitual aquí. Como tenemos dos fracciones con denominadores distintos, hallaremos el MCL de ambas y lo multiplicaremos por la ecuación. El MCL es 4, así que

    4(14x) + 4(32(2x-1)) = 4(2)

    1x + 2(3(2x-1)) = 4(2)

    Ahora expandiremos lo que hay entre paréntesis:

    1x + 2(6x-3) = 8

    1x + 12x - 6 = 8

    Agrupa los términos semejantes:

    12x + 1x = 8 + 6

    13x = 14

    Divide ambos lados por 13:

    13x13 = 1413

    x = 1413

    Para evaluar esto, tendrías que volver a sustituir el valor de x en la ecuación original.

    14(1413) + 32(2(1413)-1) = 2

    2 =2

    Fracciones en expresiones y ecuaciones - Puntos clave

    • El lado izquierdo y el lado derecho de una ecuación deben permanecer iguales al operar con ellos.
    • El primer paso para tratar ecuaciones fraccionarias es eliminar las fracciones de ellas.
    • Cuando tengas una ecuación con dos fracciones y denominadores distintos, halla el MCL de ambos números.
    Preguntas frecuentes sobre Fracciones en Expresiones y Ecuaciones
    ¿Qué es una fracción en matemáticas?
    Una fracción representa una parte de un entero y se expresa como a/b, donde 'a' es el numerador y 'b' el denominador.
    ¿Cómo se simplifica una fracción?
    Para simplificar una fracción, divide el numerador y el denominador por su máximo común divisor.
    ¿Cómo se suman fracciones?
    Para sumar fracciones, encuentra un denominador común y luego suma los numeradores.
    ¿Cómo se resuelven ecuaciones con fracciones?
    Para resolver ecuaciones con fracciones, elimina las fracciones multiplicando todos los términos por el mínimo común múltiplo de los denominadores.

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