Fracciones en Expresiones y Ecuaciones

Simplifica $\frac{3x}{5}+\frac{x}{4}$

Solución:

Lo que haremos aquí es encontrar un denominador común para los dos términos, de modo que puedan sumarse. En primer lugar, tendremos que hallar el LCD de los denominadores de las dos fracciones, 5 y 4. El mínimo común divisor de ambos números será 20. Ahora hallaremos la fracción equivalente para ambas.

Si el denominador de la primera fracción es ahora 20, significa que probablemente hemos multiplicado el denominador inicial, 5, por 4. Esto significaría que tendremos que multiplicar también el numerador por 4 para tener una fracción equivalente.

$\frac{4}{4}\left(\frac{3x}{5}\right)=\frac{12x}{20}$

Haremos lo mismo con la segunda fracción. 20 como denominador también significa que tendremos que haber multiplicado 4 (como denominador) por 5 para tener 20 como nuevo denominador de la fracción equivalente. Esto significa que tendremos que multiplicar también el numerador por 5.

$\frac{5}{5}\left(\frac{x}{4}\right)=\frac{5x}{20}$

Ya tenemos nuestra nueva expresión:

$\frac{12x}{20}+\frac{5x}{20}$

Esto resulta mucho más fácil de resolver, ya que todo lo que tenemos que hacer es sumar los numeradores y mantener los denominadores.

$\frac{12x}{20}+\frac{5x}{20}=\frac{17x}{20}$

Como no se puede simplificar más, lo dejaremos así.

Simplifica $\frac{ax-b+x-ab}{a{x}^2-abx}$

Solución:

Como no podemos cancelar nada en esta expresión actual, podemos factorizar para ver qué podemos hacer con la situación. Primero agruparemos los términos semejantes en el numerador reordenándolos de modo que los términos que contengan x estén próximos y los términos que contengan b también estén próximos.

$\frac{ax-b+\hspace{0.17em}x-ab}{a{x}^2-abx}$

$\frac{ax+x-b-ab}{a{x}^2-abx}$

Ahora factorizaremos. El factor común de los dos primeros términos del numerador es x. Eso se puede factorizar. El factor común de los dos últimos términos del numerador es -b, y también se puede factorizar.

$\frac{x(a+1)-b(1+a)}{a{x}^2-abx}$

La idea de factorizar aquí es construir un paréntesis común para poder eliminar uno. Aquí tenemos $(a+1)$ y $(1+a)$. Teniendo en cuenta la propiedad conmutativa de la suma, ambos paréntesis son iguales.

Esto nos dejará con :

$\frac{(x-b)(a+1)}{a{x}^2-abx}$

Ahora factorizaremos inmediatamente el denominador. Como ax aparece común en ambos términos, eso es lo que se factorizará.

$\frac{(x-b)(a+1)}{ax(x-b)}$

Ahora nos encontramos en una situación en la que podemos anular libremente. $(x-b)$ en el denominador anulará $(x-b)$ en el numerador. Esto es cierto si $x$ es diferente de $b$.

$\frac{(a+1)}{ax}$

Esta es la forma más sencilla que podemos obtener de esta expresión.

Si nos dieran la ecuación $5x+\frac{1}{2}=12$multiplicaríamos primero la ecuación (que técnicamente es también cada término de la ecuación) por 2.

Solución:

$2(5x+\hspace{0.17em}\frac{1}{2}=12)$

$2\left(5x\right)+2\left(\frac{1}{2}\right)=2\left(12\right)$

Tras multiplicar por 2, la fracción se anulará.

$10x+1=24$

Ahora reordenaremos la ecuación para poner los términos semejantes en lados distintos de la ecuación.

$10x=24-1$

$10x=23$

Divide ambos lados por 10

$\frac{10x}{10}=\frac{23}{10}$

$x=\hspace{0.17em}2.3$

Para comprobar que ésta es realmente la solución de la ecuación, tienes que volver a sustituir el valor de x en la ecuación original:

$5(2.3)+\frac{1}{2}=12$

$11.5+\frac{1}{2}=12$

$12=12$

Resuelve$\frac{3}{2}x+\frac{1}{2}(x-4)=6$

Solución:

Una ecuación con dos fracciones con el mismo denominador tendrá sus términos multiplicados por el denominador, como se ha dicho antes.

$2\left(\frac{3}{2}x\right)+2\left(\frac{1}{2}\right(x-4\left)\right)=2\left(6\right)$

$3x+x-4=12$

$4x-4=12$

Los términos iguales se agruparán a partir de este punto.

$4x=12+4$

$4x=16$

Divide ambos lados por 4

$\frac{4x}{4}=\frac{16}{4}$

$x=4$

Para evaluar esto, tendrías que volver a sustituir el valor de x en la ecuación original.

$\frac{3}{2}\left(4\right)+\frac{1}{2}(4-4)=6$

$(3\times 2)+\frac{1}{2}\left(0\right)=6$

$6+0=6$

$6=6$

Resuelve$\frac{1}{4}x+\frac{3}{2}(2x-1)=2$

Solución:

Nuestro ejemplo es bastante diferente de lo habitual aquí. Como tenemos dos fracciones con denominadores distintos, hallaremos el MCL de ambas y lo multiplicaremos por la ecuación. El MCL es 4, así que

$4\left(\frac{1}{4}x\right)+4\left(\frac{3}{2}\right(2x-1\left)\right)=4\left(2\right)$

$1x+2\left(3\right(2x-1\left)\right)=4\left(2\right)$

Ahora expandiremos lo que hay entre paréntesis:

$1x+2(6x-3)=8$

$1x+12x-6=8$

Agrupa los términos semejantes:

$12x+1x=8+6$

$13x=14$

Divide ambos lados por 13:

$\frac{13x}{13}=\frac{14}{13}$

$x=\frac{14}{13}$

Para evaluar esto, tendrías que volver a sustituir el valor de x en la ecuación original.

$\frac{1}{4}\left(\frac{14}{13}\right)+\frac{3}{2}\left(2\right(\frac{14}{13})-1)=2$

$2=2$