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Derivación de la forma exponencial de los números complejos
Un número complejo se expresa fundamentalmente como \(z=a+ib\) donde \(a\) y \(b\) son constantes de valor real y \(b≠0\). También conocemos otra forma que implica también el argumento de un número complejo, es decir, la forma Polar de un Número Complejo.
Recordemos que la forma polar de un número complejo cuyo argumento es \(\theta\) viene dada de la siguiente manera:
$$z=r(\cos\theta +i\sin\theta)$$
donde \(r\) es el módulo del número complejo: \(r=\sqrt{a^{2}+b^{2}}\).
Hay una forma más compacta de escribir esto: en forma exponencial. Pero, ¿de dónde viene la forma exponencial? La respuesta es la Fórmula de Euler.
Fórmula de Euler
A nadie le sorprende que nos encontremos con Leonhard Euler, también aquí, como en casi todas las demás ramas de las matemáticas. Existe una ecuación muy elegante, que engloba funciones exponenciales, números complejos y funciones trigonométricas, todo en una fórmula. Se conoce como Fórmula de Euler o Identidad de Euler.
La fórmula es la siguiente
$$e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta$$
Lamentablemente, la demostración de esta ecuación está fuera del alcance actual de este artículo. El lado derecho de la ecuación te resultará muy familiar si lo observas detenidamente. No es más que una parte integral de la forma Polar de un número Complejo.
La Fórmula de Euler tiene por sí misma una consecuencia muy interesante. Si fijamos \(\theta=\pi\), obtenemos la siguiente forma:
$$ \begin{aligned} e^{i \pi} &=\cos \pi+i \sin \pi \bocuadrado & e^{i \pi}=-1+0 \bocuadrado & e^{i \pi}+1=0 \end{aligned} $$
Estoy bastante seguro de que la has visto en otros sitios. En su día fue votada por matemáticos de todo el mundo como la fórmula más bella de todas las matemáticas. La razón es que contiene todas las constantes más importantes de las matemáticas: \(0,1, i, e\) y \(\pi\).
Forma polar y fórmula de Euler
Y ahora podemos sustituir la fórmula de Euler por la forma Polar para obtener nuestra forma Exponencial de un número complejo. Así que sustituyendo \(e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta\) en \(z=r(\cos\theta+i\sin\theta)\)
$$z=re^{i\theta}$$
que es lo que buscábamos. Ahora tenemos una fórmula que convierte un número complejo en forma simple a una forma exponencial.
Observa que \(\cos\theta+i\sin\theta) suele abreviarse como \(\rm{cis}\,\theta) por comodidad y para evitar el desorden.
Esta forma también puede extenderse a potencias de números complejos, como \(z^{3}=r^{3}e^{i3\theta}\), \(z^{4}=r^{4}e^{i4\theta}\), etc. En general \(z^{n}=r^{n}e^{in\theta}\).
De la forma exponencial a la forma rectangular
De vez en cuando, uno puede desear la forma rectangular de un número complejo en lugar de la forma Exponencial. Podemos convertir una en otra comparando las dos formas, como sigue
$$z=a+i b \hspace{5mm} \ y \ z=r(\cos \theta+i \sin \theta)=r e^{i \theta}$$
Comparando el lado derecho de las dos ecuaciones anteriores,
$$a=r \cos \theta \hspace{5mm} \ y \ b=r sen \theta$$
donde \(r\) es la magnitud de \(z\) por lo que tenemos
$$\cos \theta=\frac{a}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} \espacio de h \ y \ espacio h 5 mm \sin \theta=\frac{b}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}$$
Sustituyendo \(\sin \theta\) y \(\cos \theta\) en la forma exponencial:
$$z=r e^{i \theta}=\frac{a} {\sqrt{a^{2}+b^{2}}+\frac{i b} {\sqrt{a^{2}+b^{2}}$$
Por tanto, se puede convertir un número complejo dado en forma exponencial a forma rectangular utilizando la fórmula anterior.
Cálculo de la forma exponencial de los números complejos
Para dar una idea de cómo se representa la forma exponencial de un número complejo en un plano complejo, necesitamos trazar una gráfica. Para un número complejo \(z=re^{i\theta}\), el número complejo partirá del origen y formará un ángulo \(\theta\) con el eje positivo \(x-\).
Fig. 1: Un número complejo en un plano de Argand.
La forma exponencial es una forma muy concisa de escribir los números complejos, y también es muy útil porque muestra el argumento y la magnitud del número complejo.
Algo importante a tener en cuenta sobre los números complejos en esta forma es que un número complejo de la forma \(z=a+ib\) puede escribirse no en una, sino en varias formas exponenciales. Esto se debe a que el argumento \(\theta\) pertenece al intervalo \((0,2\pi]\) y la función puede alcanzar el mismo valor para numerosos argumentos. Por ejemplo, \(\tan \frac{\pi}{4}=tan \frac{5\pi}{4}}), lo que implica también que \(re^{\frac{\pi i}{4}}=re^{\frac{5\pi i}{4}}).
Para las coordenadas rectangulares, sólo puede adoptar una forma a la vez. Por eso, en las formas exponenciales, para evitar confusiones, sólo tenemos en cuenta el argumento Principal de un número complejo.
Sigue los pasos que se indican a continuación para convertir un número complejo en una forma exponencial:
A partir del \(z=a+ib\) dado, halla la magnitud de \(z\): \(r=\sqrt{a^2+b^2}\)
Calcula ahora el argumento principal del número complejo: \(\tan\theta=\frac{b}{a}\)
Así, ahora tenemos la forma exponencial como \(z=re^{i\theta}\)
Ejemplos de forma exponencial de números complejos
Convierte el número complejo \(z=1+i\) a la forma exponencial.
Solución:
En primer lugar, debemos hallar la magnitud de este número complejo:
$$\begin{aligned} r&=\sqrt{a^2+b^2} \\ &=cuadrado de 1^2+1^2}. \\ Por lo tanto, r&=qrt{2} \fin{alineado}$$
Ahora tenemos que calcular el argumento principal de \(z\):
$$\begin{aligned} \tan \theta &=\frac{b}{a} \tan \theta &=\frac{1}{1} \\ por tanto \theta &=frac{\pi}{4}{final}$$
Por último, sustituyendo la magnitud y el argumento principal en \(z=re^{i \theta}\):
$$z=\sqrt{2}e^{i\frac{\pi}{4}}$$
Por tanto, hemos hallado la forma exponencial del número complejo \(z=1+i\).
Halla la forma compleja del número complejo \(z=5\2}-5\6}i\).
Solución:
En primer lugar, debemos hallar la magnitud de este número complejo:
$$\begin{aligned} r&=\sqrt{a^2+b^2} \\ &=\sqrt{(5\sqrt{2})^2+(-5\sqrt{6})^2} \\ Por lo tanto, r&=10qsqrt{2} \fin{alineado}$$
Ahora tenemos que calcular el argumento principal de \(z\):
$$\begin{aligned} \tan \theta &=\frac{b}{a} \tan \theta &=\frac{-5\sqrt{6}}{5\sqrt{2}} \\ por lo tanto, no es posible \\ Por lo tanto, \theta &=\frac{5\pi}{3}{final}$$.
Por último, sustituyendo la magnitud y el argumento principal en \(z=re^{i \theta}\):
$$z=10\sqrt{2}e^{\frac{5\pi i}{3}}$$
Por tanto, hemos hallado la forma exponencial del número complejo
Convierte el número complejo \(z=\frac{5\sqrt{3}}{2}(1+i\sqrt{3})\) en su forma exponencial.
Solución:
En primer lugar, tenemos que hallar la magnitud de este número complejo:
$$\begin{aligned} r&=\sqrt{a^2+b^2} \\ izquierda( \frac{5\sqrt{3}}{2} derecha) \sqrt{(1)^2+(\sqrt{3})^2}. \\ Por lo tanto, r&=5qrt{3} \fin{alineado}$$
Ahora tenemos que calcular el argumento principal de \(z\):
$$\begin{aligned} \tan \theta &=\frac{b}{a} \tan \theta &=\frac{qrt{3}{1} \\ por lo tanto \\ Por lo tanto \theta &=\frac{\pi}{3}{final{alineado}$$
Observa que no hemos tenido en cuenta \(\frac{5}{2}}), ya que al final se anularía.
Por último, sustituyendo la magnitud y el argumento principal en \(z=re^{i \theta}\):
$$z=5\sqrt{3} e^{\frac{\pi i}{3}}$$
Por tanto, hemos encontrado la forma exponencial del número complejo.
Forma exponencial de los números complejos - Puntos clave
- Un número complejo siempre puede expresarse en una forma correspondiente conocida como forma exponencial .
- Para un número complejo \(z=a+ib\), la forma exponencial viene dada por \(z=re^{i \theta}\), donde \(r\) y \(\theta\) son la magnitud y el argumento principal del número complejo, respectivamente.
- La forma exponencial es una alternativa a la forma polar dada por \(z=r(\cos\theta +i\sin\theta)\).
- La forma exponencial se deriva de la identidad de Euler \(e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta\).
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