Ecuaciones e Inecuaciones: Claves, Estrategias

Q: ¿Qué es una ecuación?

Una ecuación es una igualdad matemática que contiene una o más variables. Su objetivo es encontrar el valor de las variables que hacen que la igualdad sea verdadera.

Q: ¿Qué es una inecuación?

Una inecuación es una desigualdad matemática que compara dos expresiones. A diferencia de las ecuaciones, una inecuación señala que un lado es mayor, menor, mayor o igual, o menor o igual al otro.

Q: ¿Cómo se resuelve una ecuación?

Para resolver una ecuación, despejamos la variable de interés aplicando operaciones inversas, como sumar, restar, multiplicar o dividir, hasta aislarla en un lado de la ecuación.

Q: ¿Cómo se resuelve una inecuación?

Para resolver una inecuación, realizamos operaciones similares a las de una ecuación, pero debemos tener cuidado al multiplicar o dividir por números negativos, ya que se invierte el signo de la desigualdad.

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En este artículo vamos a hablar de ecuaciones y desigualdades.

Definición de ecuaciones y desigualdades

Definición de ecuaciones

Una ecu ación expresa la igualdad de dos expresiones mediante el signo igual (=).

La definición anterior dice literalmente que cuando una expresión se iguala a otra expresión, ambas expresiones son iguales.

Un ejemplo de ecuación es el siguiente $3 x + 2 = 2$ .

Las variables de las ecuaciones son marcadores de posición y representan cantidades desconocidas que hay que resolver. Por esta razón, los problemas de la vida real se modelan en ecuaciones que hay que resolver.

Si me gasto 100 $ en un par de zapatos y una camisa, y sólo sé que el coste de la camisa es de 40 $. ¿Cómo sabré el coste del par de zapatos?

Si modelamos esto matemáticamente, igualaremos todo lo comprado a 100 $, ya que ése es el total de lo gastado.

Representamos la cantidad desconocida con una variable $x$ y así tenemos

$$ 40 + x = $ 100$ .

Entonces podemos deducir de la ecuación que el coste del par de zapatos fue de 60$, ya que 40+60=100.

Definición de desigualdades

Lasdesigualdades son enunciados matemáticos que poseen más bien un mayor que (>), mayor o igual que (≥), menor que (<), o menor o igual que (≤), entre expresiones en lugar del signo igual en las ecuaciones.

Un ejemplo de desigualdad tiene el siguiente aspecto $4 - 3 x < 16$ .

Las desigualdades se utilizan para modelar y representar cantidades que no son particularmente iguales entre sí.

Representar rangos se hace perfectamente mediante desigualdades.

Utilizamos el salario mínimo como ejemplo.

El gobierno declara que el salario mínimo aceptable en el país es ahora de 10$ por hora.

Esto significa matemáticamente que lo que las empresas pueden pagar a sus empleados es ahora $x \geq 10$ donde $x$ es el salario por hora.

Ejemplos de ecuaciones y desigualdades

La siguiente tabla muestra ejemplos de ecuaciones e inecuaciones.

Ecuaciones	Desigualdades
$2 x - 5 = 12$	$x + 3 > 2$
$24 y + 2 x = y$	$5 \geq x - 1$
$2^{x + 1} = 16$	$(x + 4) (x - 2) (x - 7) < 0$
$3 (1 + x) = 4 x - 3$	$x^{2} - 5 x + 6 \leq 0$

Diferencias entre ecuaciones y desigualdades

Comparativamente, hay bastantes diferencias entre ecuaciones y desigualdades. Éstas se exponen en la tabla siguiente.

Ecuaciones	Desigualdades
Expresan lo iguales que son las distintas cantidades.	Expresan lo desiguales que son las distintas cantidades.
El símbolo utilizado es el suspiro de igual (=)	Los símbolos utilizados son mayor que (>), mayor o igual que (≥), menor que (<) y menor o igual que (≤).
Tienen una solución fija y única.	Las soluciones suelen estar incluidas en un intervalo, sobre todo muchas veces.
El número total de raíces para las ecuaciones es definido.	El número total de raíces para las desigualdades es infinito.

Ecuaciones y desigualdades polinómicas

A continuación presentamos las definiciones de ecuaciones e inecuaciones polinómicas.

Una ecuación pol inómica es una ecuación en la que intervienen polinomios.

Recordemos que un polinomio es de la forma

$a_{n} x^{n} + . . . + a_{1} x + a_{0} = 0$

$a_{n}, . . ., a_{1}, a_{0}$ son los coeficientes
$x$ es la variable
$n$ es el mayor exponente, entero positivo.

Ejemplos de ecuaciones polinómicas son,

Ejemplo	Tipo	Descripción
$4 x + 4 - 12 = 0$	Ecuaciones lineales	Ecuaciones de grado 1
$6 x^{2} + 11 x - 35 = 0$	Ecuaciones cuadráticas	Ecuaciones de grado 2
$2 x^{3} + 3 x^{2} + 14 x + 2 = 0$	Ecuaciones cúbicas	Ecuaciones de grado 3

Una desigualdad polinómica es una desigualdad en la que intervienen polinomios.

$x^{2} + 3 x - 1 < 0 x^{2} + 2 \geq 0$

La diferencia entre las ecuaciones polinómicas y las inecuaciones son los signos que llevan asociados.

Ejemplos de ecuaciones e inecuaciones polinómicas

Aquí vamos a poner ejemplos de cómo se modelizan situaciones de la vida real en ecuaciones para acelerar la resolución de problemas.

Sumando dos números consecutivos obtenemos 61. Halla estos números

Solución

Matemáticamente, los números consecutivos son los que se suceden directamente. Esto significa que al sumar dichos números, deberíamos tener 61.

Representemos el primer número con la variable $x$ . Como el segundo número es consecutivo al primero, se puede representar por $x + 1$ .

Todo lo que tenemos que hacer ahora es sumar estos dos números e igualarlos a 61, como dice el problema,

$x + x + 1 = 61$

$2 x + 1 = 61$

Ya tenemos la ecuación del problema. Podemos pasar a verificarla resolviendo para x para ver cuáles son estos números consecutivos.

$2 x + 1 = 61$

Aísla $2 x$ restando 1 a cada lado de la ecuación,

$2 x + 1 - 1 = 61 - 1$

$2 x = 60$

Divide ambos lados por 2 para obtener,

$\frac{2 x}{2} = \frac{60}{2}$

$x = 30$

Esto significa que el primer número es 30.

Como el segundo número se representó como $x + 1$ sustituiremos 30 en esta expresión.

$30 + 1 = 31$

Ahora tenemos que el segundo número es 31.

Ahora sustituyamos estos números en la ecuación que modelamos para obtener,

$x + x + 1 = 61$

$30 + 30 + 1 = 61$

Mike pidió una camisa y un par de zapatos por 100 $ y la camisa cuesta 45 $, ¿cuánto se gastó en el par de zapatos?

Solución

Aquí se compraron dos artículos, que suman 100 $.

Se dio el valor de uno, y el del otro no. Esto significa que podemos representar el artículo cuyo valor no se dio mediante una variable x.

$S h i r t \cos t = $ 45$

$P a i r o f s h o e s \cos t = x$

$T o t a l \cos t = $ 100$

Obtuvimos el total sumando el coste de los dos artículos,

$$ 45 + x = $ 100$

Aquí tenemos el problema modelizado en una ecuación.

Aislando x, obtenemos

$x = 100 - 45 = 55$

Por tanto, el precio del par de zapatos es de 55 dólares.

También vamos a poner ejemplos de cómo se modelizan situaciones de la vida real en inecuaciones para acelerar la resolución de problemas.

Si Adán anotó 18 puntos en un partido de tenis que jugó con Ben, y Ben anotó al menos 3 puntos más que Adán, ¿cuántos puntos anotó Ben?

Solución

Al tratar con desigualdades, hay que tener muy en cuenta el signo. Vemos que Ben tiene una puntuación mayor que Adán, por lo que el signo tendrá que representar eso.

Además, tenemos que tener en cuenta las palabras "al menos". Esto significa que si estamos expresando que la puntuación de Ben es mayor, tendrá que ser mayor o igual que la puntuación de Adán.

Sea x la puntuación de Ben. Para obtener la puntuación de Ben, tenemos que sumar al menos 3 y 18, y así esto puede modelarse como

$x - 3 \geq 18$

Al menos 13 alumnos no fueron a clase el 1 de julio.

Solución

De nuevo, al menos representa el signo mayor o igual. Y este problema significa que el número de alumnos que no fueron a la escuela dicho día es 13 o más. Esto se expresa como,

$x \geq 13$

Ecuaciones lineales e inecuaciones en dos variables

Hay situaciones en las que hay que resolver ecuaciones e inecuaciones en dos variables. En esta sección vamos a explorar cómo se resuelven.

Ecuaciones lineales de dos variables

Las ecuaciones lineales de dos variables, como su nombre indica, son ecuaciones lineales que tienen dos variables. Son de la forma

$a x + b y = c$

donde x e y son variables y a, b y c son enteros.

$2 x + 3 y = 8$ y $- x + 2 y = - 19$ son ecuaciones lineales en dos variables.

Si Mike compró un par de zapatos y una camisa por 100 $, y Steve pidió el mismo par de zapatos y dos camisas por 145 $, ¿cuánto cuesta el par de zapatos?

Solución

La camisa extra debe haber costado entonces 45 $. Lo que haría que el par de zapatos en ambas ecuaciones fuera de 55 $. Sin embargo, esto puede resolverse matemáticamente si modelamos bien la ecuación.

Podemos asignar cada cantidad desconocida a una variable.

Sea $x = p a i r o f s h o e s p r i c e$

$y = s h i r t p r i c e$

Tanto el par de zapatos como la camisa cuestan 100 $. Esto significa que para una primera ecuación, sumaremos esas variables y las igualaremos a 100 $.

$x + y = 100$

En la segunda ecuación, las camisas son dos. Sin embargo, el precio total de esta compra es de 145 $, por lo que tenemos

$x + 2 y = 145$

Ahora tenemos modeladas ambas ecuaciones. Esto se escribe como

$\{\begin{cases} x + y = 100 \\ x + 2 y = 145 \end{cases}$

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Inecuaciones lineales de dos variables

Las inecuaciones lineales bivariables son las inecuaciones lineales que tienen dos variables.

La única diferencia con las ecuaciones lineales de dos variables son los signos. Se expresan de la forma

$a x + b y \leq c, a x + b y < c, a x + b y > c, o r a x + b y \geq c$

donde x e y son variables y a, b y c son enteros .

Los signos que intervienen en las desigualdades difieren según el problema. Vamos a tomar un ejemplo de una situación de la vida real y ver cómo esto ayuda a resolverlos.

Para ser admitido en el 12º curso, los alumnos deben tener una puntuación total superior a 10.

Esto puede modelizarse como x>10 siendo x la puntuación total.

Ecuaciones e inecuaciones de funciones cuadráticas

Las ecuaciones e inecuaciones cuadráticas son aquellas que tienen sus variables en el segundo grado. En este apartado vamos a ver cómo funcionan tanto las ecuaciones como las inecuaciones.

Ecuaciones cuadráticas

Las ecuaciones cuadráticas son ecuaciones polinómicas de segundo grado. Cuando se representan gráficamente, tienen forma de parábola. Esto las convierte en el concepto matemático ideal para calcular movimientos parabólicos en la vida real, como los movimientos de los cohetes.

Tienen la forma estándar $f (x) = a x^{2} + b x + c$ donde a, b y c son números reales con a ≠ 0.

Sin embargo, ésta no es la única forma en que se expresan las cuadráticas. Las formas en que pueden expresarse las cuadráticas son,

La forma estándar: $f (x) = a x^{2} + b x + c, w h e r e a \neq 0$
La forma de vértice: $f (x) = a {(x - h)}^{2} + k, w h e r e a \neq 0 a n d (h, k)$ es el vértice de la parábola.
La forma de intercepción: $f (x) = a (x - p) (x - q)$ donde a ≠ 0 y (p, 0) y (q, 0) son las intersecciones x de la parábola.

En este artículo sólo hablaremos de cómo modelizar estas ecuaciones. Puedes consultar el artículo sobre Resolución de ecuaciones cuadráticas para saber más sobre cómo resolver este tipo de ecuaciones.

¿Cuál de las siguientes ecuaciones es cuadrática?

$2 x + 1 = 3$
$x^{2} = 4$
$\frac{1}{2} x + 4 y = 0$
$23 x^{3} + 4 y - 8 = 12$

Solución

La única ecuación cuadrática aquí es

$x^{2} = 4$

ya que aquí el mayor grado del polinomio es 2.

Inecuaciones cuadráticas

Lasinecuaciones cuadráticas son polinomios de segundo grado que poseen un signo mayor que (>), mayor o igual que (≥), menor que (<), o menor o igual que (≤), entre expresiones en lugar del signo igual en las ecuaciones.

¿Cuál de las siguientes inecuaciones es cuadrática?

$4 x^{3} - 18 \geq 3$
$23 x^{2} + 5 x < 0$
$x + y > 45$
$9 x < 8$

Solución

La única desigualdad cuadrática aquí es

$23 x^{2} + 5 x < 0$ ,

ya que tiene la forma estándar de una inecuación cuadrática.

Ecuaciones y desigualdades - Puntos clave

Una ecuación expresa la igualdad de dos expresiones mediante el signo igual (=).
Las desigualdades son enunciados matemáticos que poseen más bien un mayor que (>), mayor o igual que (≥), menor que (<), o menor o igual que (≤), entre expresiones en lugar del signo igual en las ecuaciones.
Una ecuación polinómica es una ecuación en la que intervienen polinomios.
Las ecuaciones cuadráticas son las ecuaciones cuyas variables son de segundo grado.
Las inecuaciones cuadráticas son polinomios de segundo grado que poseen un mayor que (>), mayor o igual que (≥), menor que (<), o menor o igual que (≤), entre expresiones.

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Las ecuaciones se utilizan para expresar cantidades desiguales.

Falso

Las ecuaciones que tienen variables, exponentes enteros positivos y coeficientes presentes en ellas se conocen como ____

Polinomios

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Preguntas frecuentes sobre Ecuaciones e Inecuaciones

¿Qué es una ecuación?

Una ecuación es una igualdad matemática que contiene una o más variables. Su objetivo es encontrar el valor de las variables que hacen que la igualdad sea verdadera.

¿Qué es una inecuación?

Una inecuación es una desigualdad matemática que compara dos expresiones. A diferencia de las ecuaciones, una inecuación señala que un lado es mayor, menor, mayor o igual, o menor o igual al otro.

¿Cómo se resuelve una ecuación?

Para resolver una ecuación, despejamos la variable de interés aplicando operaciones inversas, como sumar, restar, multiplicar o dividir, hasta aislarla en un lado de la ecuación.

¿Cómo se resuelve una inecuación?

Para resolver una inecuación, realizamos operaciones similares a las de una ecuación, pero debemos tener cuidado al multiplicar o dividir por números negativos, ya que se invierte el signo de la desigualdad.

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