Funciones pares

Funciones impares

Las funciones impares son funciones como $f\left(x\right)$ que tienen el equivalente negativo cuando se sustituyen las variables independientes negativas como $f(-x)$ se sustituyen. De ahí que se expresen mejor como

$f\left(x\right)\stackrel{}{\to }f(-x)=-f\left(x\right)$

Ninguna de las dos funciones

Las funciones ni son funciones como $f\left(x\right)$ que no tienen valores equivalentes cuando se sustituyen las variables independientes negativas como $f(-x)$ se sustituyen. Esto indica que no son ni funciones pares ni impares. De ahí que se expresen mejor como

$f\left(x\right)\stackrel{}{\to }f(-x)\ne f\left(x\right)$

y

$f\left(x\right)\underset{}{\to }f(-x)\ne -f\left(x\right)$

Funciones pares en las identidades trigonométricas

Es posible determinar la naturaleza de la función (es decir, par, impar o ninguna) entre las identidades trigonométricas. Utilizaremos los siguientes diagramas para explicarlo.

Figura 1, imagen utilizada para demostrar la naturaleza de las funciones entre las identidades trigonométricas cuando θ es positivo, StudySmarter Originals

A partir del primer diagrama, podemos utilizar SOHCAHTOA para determinar el cosθ. Si lo hacemos, descubrimos que

$\cos \theta =\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}$

Pero, ¿qué ocurre cuando θ es negativo? En el segundo diagrama observamos que, aunque el lado opuesto (a) ha cambiado (a -a) porque la rotación del ángulo es en sentido contrario, el lado adyacente (b) permanece constante. En ese caso,

$$\begin{gathered} \cos (-\theta )=\frac{b}{\sqrt{{(-a)}^2+b^2}} \\ \cos (-\theta )=\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}} \end{gathered}$$

Por tanto,

$\cos \theta =\cos (-\theta )$

¿Qué relevancia tiene esto para las funciones pares? Ahora, si expresamos el coseno en función de x, de modo que tengamos cos(x) en lugar de cos(θ). Entonces, si

$f\left(x\right)=\cos \left(x\right)$

y

$$\begin{gathered} f(-x)=\cos \left(-x\right) \\ f\left(-x\right)=\cos \left(x\right) \end{gathered}$$

por tanto,

$f\left(x\right)=f(-x)$

En este caso, esto sugiere que cos(x) es una función par.

¿Y las funciones seno?

Si te refieres a la figura 1, deducirías que

$\sin \left(\theta \right)=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}$

Sin embargo, cuando la rotación en el plano cartesiano va en sentido contrario para el ángulo -θ (como se muestra en la Figura 2), observamos que el lado opuesto "a" en la Figura 1, cambia a "-a" en la Figura 2, porque a está situado en el eje y negativo. Esto implica que

$\sin \left(-\theta \right)=\frac{-a}{\sqrt{a^2+b^2}}$

Si factorizas por -1, llegarías a

$\sin \left(-\theta \right)=-1\left(\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\right)$

Por tanto,

$\sin \left(-\theta \right)=-\sin \left(\theta \right)$

Pero, ¿hasta qué punto es útil este detalle? Si expresamos el seno en función de x en lugar de θ, de modo que conozcamos tanto sin(x) como sin(-x), entonces, cuando

$f\left(x\right)=\sin \left(x\right)$

y

$$\begin{gathered} f(-x)=\sin (-x) \\ f(-x)=-\sin \left(x\right) \end{gathered}$$

con la factorización por -1 en el lado derecho de la ecuación, llegaríamos a

$f(-x)=-1\left(\sin \right(x\left)\right)$

Seguramente significa

$f(-x)=-f\left(x\right)$

Esto nos lleva a la sumisión de que para la función seno

$f\left(x\right)\ne f(-x)$

pero

$f(-x)=-f\left(x\right)$

y por implicación, podemos ergo concluir que las funciones seno no son funciones pares sino impares.

¿Cuál es la fórmula de las funciones pares?

Para que podamos determinar la fórmula de las funciones pares, el exponente de la variable independiente, x, es siempre par con o sin una constante. Así, para ^xn, n es un número par como 2, 4, 6...n. Donde a, b y c son constantes como 1, 2, 3... y n un número par, entonces, una función par se expresa como

$f\left(x\right)=a{x}^n+b{x}^{n\pm 2}+c$

o

$f\left(x\right)=a{x}^n+b{x}^{n\pm 2}$

Gráficas de funciones pares

Cuando se representa gráficamente una función par, su gráfica es simétrica respecto al eje vertical (eje y).

Por ejemplo, la función par

$f\left(x\right)=x^4-2$

se representa gráficamente a continuación

Gráfica de una función par, f(x)^=x4-2, StudySmarter Originals

En la gráfica anterior, vemos que los dos puntos (-1, -1) y (1, -1) de la gráfica demuestran simetría respecto al eje y para la función par $x^4-2.$

¿Cuál es la diferencia entre funciones pares y funciones impares?

Las funciones pares y las funciones impares se diferencian en 2 aspectos principales: en sus gráficas y en su expresión general.

Diferencia en la gráfica

Acabamos de comentar que la gráfica de las funciones pares es simétrica respecto al eje vertical (eje y).

Pero para una función impar, su gráfica es simétrica respecto al origen. Esto significa que si se girara la curva 180° respecto al origen (0, 0), la gráfica seguiría siendo la misma.

Observa que, como ya se ha dicho, en las gráficas de funciones pares, si seleccionas un punto determinado (p, q) en la gráfica, seguramente tendrías otro punto en el lado horizontal opuesto de la curva que sería (-p, q).

Mientras tanto, en las funciones impares, si seleccionas un punto (p, q) tendrías un punto (-p, -q) en los ejes vertical y horizontal opuestos. Por ejemplo, la gráfica de la función impar de

$f\left(x\right)=x^3$

marca los puntos (2, 8) hacia arriba a la derecha, así como otro punto (-2, -8) que está hacia abajo a la izquierda.

Expresión general

Las funciones pares también se diferencian de las impares en su expresión general. Las funciones pares se expresan conforme a la regla.

$f\left(x\right)=f(-x)$

Sin embargo, las funciones impares no obedecen a esta porque en su caso,

$f\left(x\right)\ne f(-x)$

En cambio, sus funciones se expresan generalmente conforme a la regla

$f(-x)=-f\left(x\right)$

Ejemplos de funciones pares

Para comprender mejor las funciones pares, es aconsejable practicar algunos problemas.

Para la función

$h\left(x\right)=6x^6-4x^4+2x^2-1$

Determina si es una función par. Traza la gráfica y elige dos puntos cualesquiera para demostrar que es o no es una función par.

Solución:

La primera tarea consiste en determinar si es una función par. Si aplicas la fórmula de la función par explicada anteriormente, observando la expresión $6x^6-4x^4+2x^2-1,$ podemos concluir que es una función par, ya que todos los exponentes de x, es decir, 6, 4 y 2, son números pares. No obstante, para confirmarlo mejor, aplicaremos la regla:

$f\left(x\right)=f(-x)$

Sustituyendo -x en la expresión, obtenemos

$$\begin{gathered} f(-x)=6{(-x)}^6-4{(-x)}^4+2\left(x^2\right)-1 \\ f(-x)=6x^6-4x^4+2x^2-1 \end{gathered}$$

Por tanto,

$f\left(x\right)=f(-x)$

Por tanto, podemos afirmar que la expresión anterior es efectivamente una función par.

La siguiente tarea consiste en trazar la gráfica y, utilizando dos puntos, seguir demostrando que esta expresión es efectivamente una función par.

Utilizar puntos de una gráfica para demostrar funciones pares, StudySmarter Originals

De la gráfica anterior de la expresión, elegimos dos puntos, (-1, 3) y (1, 3). Esto demuestra además que la expresión$6x^6-4x^4+2x^2-1,$ es una función par, ya que el par (-1, 3) y (1, 3) coincide con (p, q) y (-p, q).