Raíces de Polinomios

Raíces de árbol, raíces cuadradas, cerveza de raíz. Hay muchas cosas en la vida que tienen que ver con raíces de algún tipo, pero aquí hablaremos de raíces de polinomios.

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    Los polinomios tienen muchos usos, desde modelizar las curvas de una montaña rusa hasta predecir patrones de crecimiento en economía. Las raíces de un polinomio son soluciones en las que el valor del polinomio es igual a cero, y en este artículo trataremos distintos métodos para calcular estas raíces utilizando sumas y relaciones de recurrencia.

    Ecuaciones utilizadas en las raíces de polinomios

    En este apartado se tratan las ecuaciones generales de cada uno de los tres tipos de polinomios tratados en este artículo.

    Ecuaciones cuadráticas

    La ecuación cuad rática tiene la forma general \(ax^{2} + bx + c = 0\).

    Es un polinomio en el que la mayor potencia de \(x\) es 2.

    A menudo se simplifica aún más a

    \(x^{2} + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0\),

    conocida como la forma mónica del polinomio, porque el coeficiente principal es igual a 1.

    Esta ecuación también puede escribirse como

    \((x - x_{1})(x - x_{2}) = 0\),

    donde \(x_{1}\) y \(x_{2}\) son las dos raíces de la ecuación.

    Ecuaciones cúbicas

    Una ecuación cúbica tiene la forma general \(ax^{3} + bx^{2} + cx + d = 0\).

    Es un polinomio en el que la mayor potencia de \(x\) es 3.

    Como ocurre con la ecuación cuadrática, a menudo se simplifica a

    \(x^{3} + \frac{b}{a}x^{2} + \frac{c}{a}x + \frac{d}{a} = 0\).

    También se escribe como

    \((x - x_{1})(x - x_{2})(x - x_{3}) = 0\),

    donde \(x_{1}, \; x_{2} text{ y } x_{3}\) representan las raíces de la ecuación.

    Ecuaciones cuárticas

    Lasecuaciones cuárticas tienen la forma general \(ax^{4} + bx^{3} + cx^{2} + dx + e = 0\).

    Son polinomios en los que la mayor potencia de \(x\) es 4.

    Asimismo, se pueden simplificar a

    \(x^{4} + \frac{b}{a}x^{3} + \frac{c}{a}x^{2} + \frac{d}{a}x + \frac{e}{a} = 0\).

    También se escriben como

    \((x - x_{1})(x - x_{2})(x - x_{3})(x - x_{4}) = 0\),

    donde \(x_{1}, \; x_{2}, \; x_{3} text{ y } x_{4}\) representan las raíces de la ecuación.

    Raíces de polinomios utilizando alfa, beta, gamma y delta

    Ecuaciones cuadráticas con alfa y beta

    Toma la ecuación cuadrática, \(ax^{2} + bx + c = 0\). Dividamos la ecuación por el coeficiente de \(x^{2}, a\) para reescribir la ecuación como \(x^{2} + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0\).

    Tomemos ahora \(\alfa) y \(\beta\) como raíces de nuestra ecuación. Así también podemos escribir la ecuación como

    \((x - \alpha)(x - \beta) = 0\).

    Si multiplicamos esto, obtenemos

    \(x^{2} - \alpha x - \beta x + \alpha\beta = 0\).

    Simplifica aún más la ecuación para obtener

    \(x^{2} - (\alpha + \beta)x + \alpha\beta\).

    Ahora comparamos esto con nuestra otra ecuación. ¿Qué observas?

    \[x^{2} + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0\qquad \text{y} \x^{2} - (\alfa + \beta)x + \alfabeta = 0\qquad]

    De esta comparación se deduce que

    • la suma de las raíces, \(\alfa + \beta\), es igual a \(-\frac{b}{a});

    • el producto de las raíces, \(\alpha\beta\), es igual a \(\frac{c}{a}).

    Podemos utilizar estas propiedades para calcular muchos otros resultados, pero antes es necesario definir una nueva notación.

    • \(\alfa + \beta\) puede escribirse como \(\Sigma{alfa}\);

    • \(\alpha\beta\) puede escribirse como \(\Sigma{\alpha\beta}\).

    Esta forma se denomina notación sumatoria.

    ¿Cómo determinaríamos \(\alpha^{2} + \beta^{2}\), utilizando lo que hemos enumerado anteriormente?

    En primer lugar, elevemos al cuadrado \(\alfa + \beta\}) para obtener los dos términos elevados al cuadrado. Sabemos que \((\alpha + \beta)^{2} = \alpha^{2} + \beta^{2} + 2\alpha\beta\), así que para obtener la respuesta final de \(\alpha^{2} + \beta^{2}\), simplemente restamos \(2\alpha\beta\).

    En notación sumatoria, este cálculo tendrá el siguiente aspecto

    \[\alpha^{2} + \beta^{2} = (\Sigma{alpha})^{2} - 2\Sigma{alpha\beta},\]

    donde \(\alpha^{2} + \beta^{2}) se denota como \(\Sigma{\alpha^{2}}).

    Observa que \(\Sigma{{alfa}^{2}}) y \((\Sigma{{alfa})^{2}}) significan cosas distintas. \((\Sigma{{alfa})^{2} = (\alfa + \beta)^{2}) mientras que \((\Sigma{{alfa^{2}} = \alfa^{2} + \beta^{2}).

    Podemos determinar \(\frac{1}{alfa} + \frac{1}{beta}\}), denotado como \(\Sigma{\frac{1}{alfa}\}), utilizando métodos similares.

    Combina las fracciones para obtener \(\frac {alfa + \beta} {alfa + \beta}), que podemos reescribir en notación sumatoria para obtener \(\frac {sigma {alfa} {sigma {alfa + \beta}).

    Relaciones de recurrencia

    Otra forma de trabajar con raíces de polinomios es utilizar las relaciones de recurrencia. La relación utilizada para cada tipo de polinomio se resume en la tabla siguiente:

    Tipo de polinomio

    Relación de recurrencia utilizada

    Ecuaciones cuadráticas

    \[S_{n} = \alpha^{n} + \beta^{n} \]

    Ecuaciones cúbicas

    \S_{n} = alfa^{n} + beta^{n} + gamma^{n}]

    Ecuaciones cuárticas

    \[S_{n} = \alfa^{n} + \beta^{n} + \gamma^{n} + \delta^{n} \}

    Veamos enseguida un ejemplo.

    Consideremos la ecuación cuadrática \(x^{2} + 6x + 8 = 0\).

    Sabemos que \(\alpha + \beta = -6\). También podemos verlo como \(S_{1}\). Utilizando \(S_{1}\), podemos calcular \(\alpha^{2} + \beta^{2}\) con un método diferente.

    Como \(\alpha\) y \(\beta\) son raíces de la ecuación, podemos decir que \(\alpha^{2} + 6\alpha + 8 = 0 \; \text{y} \; \beta^{2} + 6\beta + 8 = 0\). Sumamos estas dos para obtener \((\ alfa^{2} + \beta^{2}) + 6({\ alfa + \beta}) + 16 = 0\), que también puede escribirse como \(S_{2} + 6S_{1} + 16 = 0\).

    Recuerda que \(S_{n} = \alfa^{n} + \beta^{n}), por lo que \(S_{1} = \alfa + \beta) y \(S_{2} = \alfa^{2} + \beta^{2}).

    Sustituyendo de nuevo \(S_{1}\) en la ecuación, podemos calcular que \(\alpha^{2} + \beta^{2} = S_{2} = 20\).

    Esto también se puede averiguar utilizando el método de suma mencionado anteriormente, \(\alpha^{2} + \beta^{2} = (\Sigma{{alfa})^{2} - 2\Sigma{alfa\beta}\}).

    Veamos otro ejemplo.

    Suponiendo que \(3x^{2} + 4x + 12 = 0\) tiene raíces \(\alfa) y \(\beta), halla el valor de \(S_{3}\).

    Solución

    En primer lugar, sustituye \(\alfa; \texto; \beta) en la ecuación para obtener lo siguiente:

    \[\begin{align}3\alpha^{2} + 4\alpha + 12 & = 0\newline 3\beta^{2} + 4\beta + 12 & = 0 + 4\beta + 12 & = 0 \end{align}\]

    Suma las dos ecuaciones para obtener:\N[3(\alpha^{2} + \beta^{2}) + 4(\alpha + \beta) + 24 = 0\]

    Que es lo mismo que:\[3S_{2} + 4S_{1} + 24 = 0\]

    Sabemos que \(S_{1} = \alfa + \beta = -\frac{b}{a}\)

    \Por tanto, \qquad S_{1} = -\frac{4} {3}]

    Vuelve a sustituir \(S_{1}}) en la ecuación para calcular que \(S_{2}} = -\frac{56}{9}}).

    Utilizando \(S_{n} = \alfa^{n} + \beta^{n}), sabemos que \(S_{3}) debe ser igual a \(\alfa^{3} + \beta^{3}).Volviendo a la ecuación original, \(3x^{2} + 4x + 12 = 0\), vemos que no hay cubos, así que multiplicamos toda la ecuación por \(x\) para obtener \(3x^{3} + 4x^{2} + 12x = 0\).

    Como hicimos antes, sustituye \(\alfa \; \texto{y} \; \beta) en la ecuación para obtener

    \[\begin{align}3\alpha^{3} + 4\alfa^{2} + 12\alfa & = 0 \N -\newline 3\beta^{3} + 4\beta^{2} + 12\beta & = 0 \end{align}\]

    Suma las dos ecuaciones y aplica la relación de recurrencia, \(S_{n} = \alpha^{n} + \beta^{n}\) para obtener:

    \[3S_{3} + 4S_{2} + 12S_{1} = 0\]

    Como ya conocemos los valores de \(S_{1}; \text{and}; S_{2}), basta con sustituirlos de nuevo en la ecuación para calcular el valor de \(S_{3}).

    \[\begin{align}3S_{3} + 4\left(-\frac{56}{9} \right) + 12\left(-\frac{4}{3} \right) & = 0\newline S_{3} & = \frac{368}{27}\end{align}\]

    Método alternativo

    Alternativamente, esto también puede resolverse utilizando la notación sumatoria.

    Sabemos que \(S_{3} = \alpha^{3} + \beta^{3}\) y que \(\alpha^{3} + \beta^{3}\ = (\alfa + \beta)^{3} - 3\alpha\beta(\alpha + \beta)\)

    En forma de suma, esto nos da

    \[\Sigma{{alfa^{3}} = (\Sigma{{alfa})^{3} - 3\Sigma{alfa\beta}\Sigma{alfa}\]

    La suma de las raíces, \(\Sigma{alfa}\), es \(-\frac{4}{3}\) y el producto de las raíces, \(\Sigma{alfa}\beta}\), es \(4\).

    Sustituye estos valores en la forma de suma anterior para obtener

    \[\begin{align}\Sigma{alfa^{3}} & = \left(-\frac{4}{3} \right)^{3} - 3(4)\left(-\frac{4}{3} \right) = \frac{368}{27}\end{align}\]

    Las relaciones de recurrencia también pueden utilizarse para hallar valores como \(S_{-1}\). Esto puede hacerse de forma similar a cómo hallamos \(S_{3}\) en el ejemplo anterior, pero hay multitud de métodos que se pueden utilizar para calcularlo.

    El siguiente ejemplo explica en detalle dos de estos métodos diferentes:

    Te dan la ecuación cuadrática \(3x^{2} + 5x - 8 = 0\) con raíces \(\alpha\) y \(\beta\). Calcula el valor de \(S_{-1}\).

    Solución - Método 1

    Primero, calcula los valores de \(S_{1}\}).

    \[ \begin{align}S_{1} & = -\frac{b}{a} \ & = -\frac{5}{3} \fin \]

    A continuación, divide por \(x\) para obtener lo siguiente:

    \[ 3x + 5 - \frac{8}{x} = 0\]

    Sustituye las raíces en la ecuación y aplica tu relación de recurrencia para obtener

    \[ 3S_{1} + 10 - 8S_{-1} = 0\]

    Ya has calculado el valor de \(S_{1}\), así que vuelve a sustituir ese valor en la ecuación y simplifica para calcular \(S_{-1}\).

    \[ \begin{align} 3 \left(-\frac{5}{3} \right) + 10 - 8S_{-1} & = 0 \\-8S_{-1} & = -5 \ S_{-1} & = \frac{5}{8} \end{align} \]

    Método 2

    \(S_{-1}\) es equivalente a \(\frac{1} {{alfa} + \frac{1} {{beta}\).

    Recuerda que \(S_{n} = \alpha^{n} + \beta^{n}) para ecuaciones cuadráticas. Por tanto, se deduce que \(S_{-1} = \alfa^{-1} + \beta^{-1} = \frac{1}{alfa} + \frac{1}{beta}\).

    En la sección anterior se estableció que

    \[\frac{1}{alfa} + \frac{1}{beta} = \frac{{1}{sigma}{alfa}} {{sigma}{alfa}{beta}} \]

    Sabes que \( \Sigma{alfa} = -\frac{b}{a} \text{ y } \Sigma{alfa{beta} = \frac{c}{a} \texto). Sustitúyelos en las ecuaciones para obtener lo siguiente:

    \[ S_{-1} = -\frac{b}{c}\]

    A partir de ahí, todo lo que tienes que hacer es sustituir los valores de \(b\) y \(c\) y simplificar.

    Así obtenemos que \(S_{-1} = \frac{5}{8}\).

    Ecuaciones cúbicas utilizando alfa, beta y gamma

    Las ecuaciones cúbicas son muy parecidas a las ecuaciones cuadráticas, salvo que ahora las raíces se representarán por \(\alfa,\(beta,\texto,\(gamma)).

    Empezamos con \(ax^{3} + bx^{2} + cx + d = 0\). Como con las ecuaciones cuadráticas, dividimos por \(a\) para obtener \(x^{3} + \frac{b}{a}x^{2} + \frac{c}{a}x + \frac{d}{a} = 0\).

    Hemos establecido que utilizaremos \(\alfa, \; \beta, \; \texto, \; \gamma) para representar las raíces de la ecuación cúbica. Así obtenemos

    \((x - \alpha)(x - \beta)(x - \gamma) = 0\),

    que, expandida, nos da

    \[x^{3} - (\alfa + \beta + \gamma)x^{2} + (\alpha\beta + \alpha\gamma + \beta\gamma)x -\alpha\beta\gamma = 0.\]

    Si comparamos esto con \(x^{3} + \frac{b}{a}x^{2} + \frac{c}{a}x + \frac{d}{a} = 0\), vemos que

    • \(\alpha + \beta + \gamma = -\frac{b}{a}), que se denota por \(\Sigma{{alpha}}) o \(S_{1}\});

    • \(\alpha\beta + \alpha\gamma + \beta\gamma = \frac{c}{a}), que denotamos con \(\Sigma{alpha\beta}\);

    • \(\alpha\beta\gamma = -\frac{d}{a}), que escribimos como \(\Sigma{\alpha\beta\gamma}\).

    Sabemos por la cuadrática que \(\Sigma{alfa^{2}} = (\Sigma{alfa})^{2} - 2\Sigma{alfa\beta}\}). Esto también es válido para las ecuaciones cúbicas en las que

    \((\Sigma{alfa})^{2} = (\alfa + \beta + \gamma)^{2} = \alfa^{2} + \beta^{2} + \gamma^{2} + 2\alpha\beta + 2\alpha\gamma + 2\beta\gamma\),

    y, por tanto, \(\Sigma{alfa^{2}}) es igual a \((\Sigma{alfa})^{2} - 2\Sigma{alfa\beta}\}).

    Ahora podemos utilizar \(S_{n} = \alfa^{n} + \beta{n} + \gamma^{n}) para representar las raíces de las ecuaciones cúbicas. Por ejemplo, \(S_{3}\) se utilizará para representar \(\alpha^{3} + \beta^{3} + \gamma^{3}\), etc.

    Todos los resultados que se han derivado de las ecuaciones cuadráticas son válidos para las cúbicas, pero los cálculos se complican a medida que trabajamos con potencias más altas. Es más fácil utilizar relaciones de recurrencia que formas de suma para hallar \(S_{n}\) a partir de potencias de 3 y superiores.

    Mira el siguiente ejemplo que lo demuestra:

    Halla \(S_{3}\) para la ecuación \(6x^{3} - 15x^{2} - 17x + 6 = 0\).

    Solución - Utilizando la forma de suma

    Sabemos que \(S_{3} = (\Sigma{alfa})^{3} - 3\Sigma{alfa\beta}\Sigma{alfa} + 3\Sigma{alfa\beta\gamma}\).

    En primer lugar, calculemos los valores de \(\Sigma{alfa}, \; \Sigma{alfa\beta} \; \texto{y} \; \Sigma{alfa{beta{gamma}):

    \[\begin{align}\Sigma{alfa} & = -\frac{b} {a} \& = -\frac{-15} {6} \\& = \frac{5}{2}\end{align}\]

    \[\begin{align}\Sigma{alpha\beta} & = \frac{c}{a} \& = -\frac{17}{6}\end{align}\]

    \[\begin{align}\Sigma{alfa\beta\gamma} & = -\frac{d} {a}& = -\frac{6} {6} \\& = -1\end{align}\]

    Ahora que tenemos estos valores, podemos sustituirlos de nuevo en la forma sumatoria para calcular \(S_{3}\}).

    \[\begin{align}S_{3} & = (\Sigma{alpha})^{3}- 3Sigma+3Sigma+3Sigma+3Sigma+3Sigma+3Sigma+3Sigma+3Sigma+3Sigma+3Sigma+3Sigma+3Sigma+3Sigma+3Sigma+3Sigma+3Sigma+3Sigma+3Sigma+3Sigma+3Sigma+3Sigma+3Sigma+3Sigma+3Sigma+3Sigma+3Sigma+3 - 3\left(-\frac{17}{6} \right) \left(\frac{5}{2} + 3(-1) \right) \& = \frac{271}{8}\end{align}\]

    \[\qquad S_{3} = \frac{169}{8} \]

    Como puedes ver, este método funciona, pero es fácil cometer errores y se complica rápidamente. Hay una forma más eficaz de resolver este problema utilizando relaciones de recurrencia.

    Solución alternativa - Utilizando relaciones de recurrencia

    \(\alpha, \; \beta \text{ y } \gamma\) satisfacen todas nuestra ecuación cúbica, por lo que sabemos que:

    \[\begin{align}6\alpha^{3} - 15 alfa^2 - 17\alfa + 6 & = 0 \6\beta^{3} - 15\beta^{2} - 17\beta + 6 & = 0 \6\gamma^{3} - 15\gamma^{2} - 17\gamma + 6 & = 0\end{align}\]

    Si sumamos estas tres ecuaciones, obtenemos

    \[6(\alpha^{3} + \beta^{3} + \gamma^{3}) - 15(\alpha^{2} + \beta^{2} + \gamma^{2}) - 17(\alpha + \beta + \gamma) + 18 = 0\]

    Que es lo mismo que

    \[6S_{3} - 15S_{2} - 17S_{1} + 18 = 0\]

    Sabemos que

    \[ S_{1} = -\frac{b}{a} = \frac{5}{2} \]

    y

    \[ \begin{align}S_{2} & = (\Sigma{alfa})^{2} - 2Sigma{alfa{beta} \& = \left(\frac{5}{2}\right)^{2} - 2 izquierda (-6 derecha)& = 143 12 \\\end{align}\b]

    \[\begin{align}\qquad 6S_{3} - 15S_{2} - 17S_{1} + 18 & = 0 \qquad \text{Sustituir } S_{1} \y S_{2} \en \\6S_{3} - 15 \left( \frac{143}{12}\right) - 17 \left(\frac{5}{2}\right) + 18 & = 0 \\S_{3} & = \frac{271}{8}\end{align}\]

    Ecuaciones cuárticas con alfa, beta, gamma y delta

    Para las ecuaciones cuárticas, utilizaremos \(\alfa, \; \beta, \; \gamma \text{ y } \delta) para representar las raíces de la ecuación.

    Como en las ecuaciones cuadráticas y cúbicas, la suma de las raíces, \(\alpha + \beta + \gamma + \delta\), se denota por \(\Sigma{\alpha}\) y \(S_{1}\) y equivale a \(-\frac{b}{a}\).

    Se da además que,para ecuaciones cuárticas de la forma \(ax^{4} + bx^{3} + cx^{2} + dx + e = 0\).

    Cuando trabajes con ecuaciones cuárticas, asegúrate de utilizar la fórmula de recurrencia siempre que sea posible, especialmente cuando trabajes con la suma de los cubos, \((\alpha^{3} + \beta^{3} + \gamma^{3} + \delta^{3})\).

    El mejor método para determinar la suma de los cubos de una ecuación cuártica general es calcular primero \(S_{1}\) y luego determinar \(S_{2}\) y \(S_{-1}\). Una vez determinados esos valores, podemos utilizar \(aS_{4} + bS_{3} + cS_{2} + dS_{1} + 4e = 0\) y dividir por \(x\) para calcular \(S_{3}).

    Para ecuaciones cuárticas de la forma \(ax^{4} + bx^{3} + cx^{2} + dx + e = 0\), \[ \frac{b}{a}\Sigma{{alfa} = \alfa + \beta + \gamma + \delta = -\frac{b}{a} \\Sigma{alfa\beta} = \alfa\beta + \alfa\gamma + \alfa\delta + \beta\gamma + \beta\delta + \gamma\delta = \frac{c}{a} \\Sigma{alfa\beta\gamma} = \alfa\beta\gamma + \alfa\beta\delta + \alfa\gamma\delta + \beta\gamma\delta = -\frac{d}{a} \frac{d}{a}\]

    y,

    \[\Sigma{alfa\beta\gamma\delta} = \alfa\beta\gamma\delta = \frac{e}{a}].

    Estas fórmulas proceden de expandir \ ((x - \alpha)(x - \beta)(x - \gamma)(x - \delta) = 0\) y compararlo con \ ((x^{4} + \frac{b}{a}x^{3} + \frac{c}{a}x^{2} + \frac{d}{a}x + e = 0\).

    \[ \begin{align} (x + \alpha)(x + \beta)(x + \gamma)(x + \delta) & = 0 \ x^{4} - (\alfa + \beta + \delta + \gamma)x^{3} + (\alpha\beta + \alpha\gamma + \alpha\delta + \beta\gamma +\beta\delta + \gamma\delta)x^{2} - (\alpha\beta\gamma + \alpha\beta\delta + \alpha\delta\gamma\beta\gamma\delta)x + \alpha\beta\gamma\delta & = 0 \\x^{4} + \Sigma{alfa}x^{3} + sigma x^{2} + \Sigma{alfa{beta{gamma}x +\Sigma{alfa{beta}\gamma{delta} & = 0 \end{align} \]

    \Cuando comparamos las dos ecuaciones, podemos concluir lo siguiente:

    \[ \empezar{reunir*} \Sigma{alfa} = -\frac{b}{a} \ \hspace{1cm} \ \Sigma{alfa{beta} = \frac{c} {a} \ \hspace{1cm} \\ sigma = -frac {d} {a} \hspace{1cm} \\ sigma = -frac {e} {a} \]El funcionamiento completo de la expansión de \((x - \alpha)(x - \beta)(x - \gamma)(x - \delta) = 0\) no se muestra aquí porque no es necesario que lo conozcas. Sólo es necesario que sepas aplicar las fórmulas resultantes de la expansión.

    Para las relaciones de recurrencia que implican ecuaciones cuárticas, utiliza las siguientes fórmulas:

    \Ÿ[ Ÿin*} S_{n} = \alfa^{n} + \beta^{n} + \gamma^{n} + \delta^{n} \ \hspace{1cm} \\S_{-1} = Sigma = Sigma = Sigma = Sigma = Sigma = Sigma. \\nd{reunir*} \]

    Como en las ecuaciones cuadráticas y cúbicas, \(S_{2} = (\Sigma{alfa})^{2} - 2\Sigma{alfa\beta}).

    Se te da la ecuación cuártica \(3x^{4} - x^{3} + 2x + 7 = 0\) con raíces \(\alpha, \; \beta, \; \gamma \text{ y } \delta). Calcula los valores de \(S_{3}\}) y \(S_{4}\}).

    Solución

    En primer lugar, calcula \(S_{1}\):

    \[ S_{1} = -\frac{b}{a} = \frac{1}{3} \]

    A continuación, calcula el valor de \ {{2}}:

    \[\begin{align}S_{2} & = \left( \Sigma{\alpha} \right)^{2} -& = \left ( \frac{1}}{3} \right )^{2} - 2 izquierda ( \frac {0} {2} \ derecha) \& = \frac {1} {9}\end{align}\]

    Divide la ecuación original por \(x\) para obtener \(3x^{3} - x^{2} + 2 + \frac{7}{x} = 0\) y úsalo para calcular el valor de \(S_{-1}\).

    Sabes por las ecuaciones cuadráticas que \(S_{-1} = \Sigma{\frac{1}{\alpha}}). Por tanto

    Sustituciones

    Supón que te dan una ecuación cuadrática con raíces \(\alfa\) y \(\beta\). Se te pide que encuentres otra cuadrática que tenga raíces \(3\alfa) y \(3\beta\). ¿Cómo lo resolverías?

    El siguiente ejemplo explica detalladamente los dos métodos que podrías utilizar.

    \(6x^{2} - x - 12 = 0\) tiene raíces \(\alpha\) y \(\beta\). Halla la ecuación cuadrática con raíces \(3\alpha\) y \(3\beta\).

    Solución - Método 1

    Empieza considerando la cuadrática \((y - 3\alpha)(y - 3\beta)\ = 0\). Esta ecuación tiene raíces \(3\alpha) y \(3\beta\), que es lo que quieres.

    Expándela para obtener \(y^{2} - 3(\alpha + \beta)y + 9\alpha\beta = 0\).

    Ahora compara esto con la ecuación original. Por la original, sabemos que \(\alpha + \beta = \frac{1}{6}\) y que \(\alpha\beta = -2\).

    Introduce estos valores en la nueva ecuación para obtener el resultado final de \(y^{2} - \frac{1}{2}y - 18 = 0 \), que también puede multiplicarse por 2 para obtener \(2y^{2} - y - 36 = 0\).

    Método 2

    El segundo método para determinar la nueva ecuación funciona relacionando las raíces de las distintas ecuaciones.

    Sabemos que las raíces de la nueva ecuación (\(y\)) son tres veces las de la original.

    Por tanto, la relación es

    \[y =3x\]

    Reorganiza la ecuación de modo que \(x\) sea el sujeto de la fórmula.

    \[x = \frac{y}{3}\]

    A continuación, sustituye \(x\) en la ecuación original y simplifica

    \[\begin{align}6\left(\frac{y}{3} \right)^{2} - \frac{y}{3} - 12 & = 0\frac{6}{9}y^{2} - \frac{y}{3} - 12 & = 02y^{2} - y - 36 & = 0\end{align}\]

    Un uso más complicado de la sustitución implica funciones recíprocas. En el siguiente ejemplo se detalla cómo utilizar funciones recíprocas en la sustitución:

    Considera la ecuación cúbica dada, \(x^{3} - 2x^{2} - 6x + 4 = 0\) con raíces \(\alpha, \; \beta text{ y } \gamma). Halla la ecuación cúbica con raíces \(\frac{1}{alfa}, \; \frac{1}{beta}, \; \frac{1}{gamma}).

    Solución

    Primero, relaciona las raíces entre sí y haz que \(x\) sea el sujeto de la fórmula.

    \[\frac{1}{align} y & = \frac{1}{x} \x & = \frac{1}{y}\frac{1}{align}\]

    A continuación, sustituye \(x\) en la ecuación original y simplifica.

    \[\begin{align}\left(\frac{1}}{y} \right)^{3} - 2 izquierda (frac 1 y derecha) 2 - 6\left(\frac{1}{y} \right) + 4 & = 0 \\hspace{1cm} \\frac{1}{y^{3}} - \frac{2}{y^{2}} - \frac{6}{y} + 4 & = 0 \\hspace{1cm} \\ 4y^{3} - 6y^{2} - 2y + 1 & = 0 \qquad \text{Multiplica por } y^{3}\end{align}\]

    La ecuación cúbica con raíces \(\alfa, \; \beta \text{ y } \gamma) es, pues, \(4y^{3} - 6y^{2} - 2y + 1 = 0\).

    Hay dos métodos que se pueden utilizar al sustituir con potencias de raíces.

    Te dan la ecuación cuadrática \(2x^{2} - 4x + 7 = 0\) con raíces \(\alpha \text{ y } \beta\). Halla la ecuación cuadrática con raíces \(\alpha^{2}\}) y \(\beta^{2}\}).

    Solución - Método 1

    Podemos afirmar que \(y = x^{2}\) y, por tanto, \(x = \sqrt{y}\).

    Sustituyendo este valor en la ecuación obtenemos lo siguiente:

    \[\begin{split}2((y^{frac{1}{2})^{2} - 4y^{frac{1}{2}} + 7 = 02y - 4y^{\frac{1}{2}} + 7 = 0\end{split}\]

    Podemos reordenar la ecuación y elevar al cuadrado ambos lados. Así obtendremos la ecuación cuadrática que es la solución a esta pregunta.

    \[\begin{align}2y + 7 & = 4y^{frac{1}{2}} \\4y^{2} + 28y + 49 & = 16y \\4y^{2} + 12y + 49 & = 0 \end{align}\]

    Método 2

    En este método, invertimos el orden que seguimos para resolver el problema en el primer método.

    Primero, reordena la ecuación. Queremos realizar una operación de modo que obtengamos potencias pares para cada término de \(x\). Esto se hace elevando al cuadrado ambos lados.

    \[\begin{align}-4x & = -2x^{2}} - 716x^{2} & = 4x^{4} + 28x^{2} + 49 \qquad \text{cuadrar ambos lados} \end{align}\]

    Ahora sustituye \(y = x^{2}\), como hicimos en el primer método.

    \[\begin{align}16y & = 4y^{2} + 28y + 494y^{2} + 12y + 49 & = 0 \end{align}\]

    Como ves, este método da la misma respuesta que el primero.

    En ambos métodos, debes asegurarte de que utilizas correctamente las potencias de \(x\).

    Otro uso de los métodos de sustitución es determinar los valores de las relaciones de recurrencia, como \(S_{6}\).

    Supón que te piden que determines el valor de \(S_{6}\) para la ecuación cúbica \(x^{3} + 3x^{2} - 1 = 0\). El proceso para hacerlo no sólo es largo, sino que además es fácil cometer errores.

    Ahora, imagina que hubiera otra ecuación cúbica para la que \(y= x^{3}\). Para la cúbica \(x), \(S_{n} = \alpha^{n} + \beta^{n} + \gamma^{n}).

    Como las raíces de la cúbica \(y) son iguales a las raíces de la cúbica \(x) elevadas al cubo, la cúbica \(y) tendría \(S_{n} = \alpha^{3n} + \beta^{3n} + \gamma^{3n}). La potencia de cada raíz se ha triplicado, por lo que sólo necesitamos hallar \(S_{2}}) de la cúbica \(y) para determinar el valor de \(S_{6}}) de la cúbica \(x).

    El siguiente ejemplo muestra cómo hacerlo:

    Considera la ecuación cúbica \(2x^{3} - 5x + 1 = 0\) con raíces \(\alpha, \; \beta \text{ y } \gamma\). Determina el valor de \(S_{6}\) mediante la sustitución de \(y = x^{3}\).

    Solución

    Etiqueta la cúbica y reordénala como sigue

    \[\begin{equation}\tag{1}2x^{3} + 1 = 5x \end{equation}\]

    Cubica ambos lados del cubo y luego simplifica para obtener

    \[\begin{align}8x^{9}} + 6x^{6} + 6x^{3} + 1 & = 125x^{3} \\8x^{9} + 6x^{6} - 119x^{3} + 1 & = 0\end{align}\]

    A continuación, sustituye \(y\) por \(x^{3}\) y rotula esta nueva ecuación.

    \[\begin{equation}\tag{2}8y^{3} + 6y^{2} - 119y + 1 = 0\end{equation}\]

    Determina \(S_{1}\}) para la ecuación 2.

    \[\begin{align}S_{1} & = -\frac{b}{a} \\hspace{1cm} \\ & = -\frac{6}{8} \\hspace{1cm} \\ & = -\frac{3}{4}\end{align}\]

    Por último, determina \(S_{2}\) utilizando el valor de \(S_{1}\) que acabas de calcular, e indica el valor de \(S_{6}\) para la ecuación 1.

    \[\begin{align} S_{2} & = (S_{1})^{2} - \frac{c}{a} \\hspace{1cm} \\ & = Izquierda (-frac {3} {4} derecha)^{2} - izquierda (-119) 8 derecha) espacio 1 cm \& = \frac{247}{16} \\ fin{align} \]

    \[ \begin{split}\qquad S_{2} \para la ecuación 2 = \frac{247}{16} \\\hspace{1cm} \\ Por lo tanto, el cuadrado S_{6} \para la ecuación 1 = \frac{247}{16}\end{split}\]

    Fórmulas de raíces de polinomios

    Este apartado resume las fórmulas derivadas en los apartados anteriores.

    Fórmulas para ecuaciones cuadráticas

    Para ecuaciones cuadráticas de la forma \(ax^{2} + bx + c = 0\):

    \[ \iniciar{reunir*} \Sigma{alfa} = \alfa + \beta = -\frac{b}{a} \ \hspace{1cm} \\Sigma{{alfa^{2}} = \alfa^{2} + \beta^{2} \\ \hspace{1cm} \\Sigma{alfa{beta} = \alfa{beta} = \frac{c}{a} \ \hspace{1cm} \\S_{n} = \alpha^{n} + \beta^{n} \\\hspace{1cm} \ S_{-1} = \Sigma{\frac{1}{\a alfa}} = \frac{\Sigma{\a alfa}}{\Sigma{\a alfa}{beta}} \\hspace{1cm} \\ \Sigma{1}{\Sigma{1}{alfa}} = \frac{1}{alfa} + \frac{1}{beta} \Sigma{1}{\Sigma{1}{alfa}} = \frac{1}{alfa} + \frac{1}{beta} \]

    Fórmulas para ecuaciones cúbicas

    Para ecuaciones cúbicas de la forma \(ax^{3} + bx^{2} + cx + d = 0\)

    \[ \begin{gather*} \Sigma{alfa} = \alfa + \beta + \gamma = -\frac{b}{a} \ \hspace{1cm} \\Sigma{alfa\beta} = \alfa\beta + \alfa\gamma + \beta\gamma = \frac{c}{a} \ \hspace{1cm} \\ sigma = alfa-beta-gamma = -frac {d} {a} \hspace{1cm} \\S_{n} = \alpha^{n} + beta^{n} + gamma^{n} \\\hspace{1cm} \ S_{-1} = \Sigma{\frac{1}{\a alfa}} = \frac{\Sigma{\a alfa}{beta}} {\Sigma{\a alfa}{beta}{gamma}} \\ \hspace{1cm} \\Sigma{{frac{1}{alfa}} = \frac{1}{alfa} + \frac{1}{beta} + \frac{1}{gamma}\end{gather*} \]

    Fórmulas para ecuaciones cuárticas

    Para ecuaciones cuárticas de la forma \(ax^{4} + bx^{3} + cx^{2} + dx + e = 0\):

    \[ \begin{gather*}\Sigma{\alpha} = \alpha + \beta + \gamma + \delta = -\frac{b}{a} \\hspace{1cm} \\Sigma{alpha\beta} = \alpha\beta + \alpha\gamma + \alpha\delta + \beta\gamma + \beta\delta + \gamma\delta= \frac{c}{a} \frac{c}{a}\hspace{1cm} \\ sigma = alfa-beta-gamma + alfa-beta-delta + alfa-gamma-delta + beta-gamma-delta = -frac {d} {a} hspace{1cm} \\ sigma = alfa-beta-gamma- delta = frac {e}a} \\S_{n} = \alfa^{n} + beta^{n} + gamma^{n} + \delta^{n} \ \hspace{1cm} \\ S_{-1} = Sigma = Sigma = Sigma = Sigma = Sigma = Sigma. \\ \\Sigma{{frac{1}{alfa}} = \frac{1}{alfa} + \frac{1}{beta} + \frac{1}{gamma} + \frac{1}{delta} \\final{reunir*} \]

    Notación de recurrencia

    Las fórmulas que debes conocer para la notación de recurrencia son las siguientes:

    \[ \begin{gather*}S_{1} = \Sigma{\alpha} \ \hspace{1cm} \ S_{2} = \Sigma{{alfa^{2}} = (\Sigma{{alfa})^{2} - 2Sigma-alfa-beta} \hspace{1cm} \\ S_{-1} = \Sigma{\frac{1}{\alfa}\end{gather*} \]

    Cálculo de raíces de polinomios

    En esta sección, trabajaremos con multitud de preguntas de práctica sobre raíces de polinomios.

    Se te da la ecuación cúbica \(3x^{3} + mx^{2} + nx + p = 0\) con \(S_{1} = -5, \; S_{2} = \frac{79}{3} \text{ y } S_{-1} = \frac{1}{2}\). Halla los valores de las constantes \(m, \; n \text{ y } p\).

    Solución

    Calcula el valor de \(m\). Ya sabes que \(S_{1} = \alfa + \beta = -\frac{b}{a}\), así que utiliza esta relación para hallar \(m\).

    \[ \begin{align}S_{1} & = -\frac{b}{a} \qquad \quad \text{ Sustituye los valores que conozcas.} \\ -5 & = -\frac{m}{3} \\ \qquad m & = 15\end{align} \]

    Del mismo modo, al calcular \(n\), sabes que \(S_{2} = (\Sigma{\alpha})^{2} - 2\Sigma{alfa\beta}) y también que \(\Sigma{alfa} = S_{1} \texto { y } \Sigma{alfa\beta} = \frac{c}{a}). Sustituye los valores que conoces y simplifica para resolver \(n\).

    \[ \begin{align} S_{2} & = (\Sigma{alfa})^{2} - 2\Sigma{alfa}{\beta} \ \frac{79}{3} & = (-5)^{2} - 2\frac{n}{3} \ \frac{4} {3} & = -2\frac{n} {3} \\ n & = -2 \end{align} \]

    Por último, para calcular \(p\), utilizas \(S_{-1} = \frac{{Sigma{alfa\beta}} {{Sigma{alfa\beta\gamma}}) (hay otras formas de hacerlo, pero este método es el más sencillo).

    \[ \begin{align}S_{-1} & = \frac{{Sigma{alfa}{beta}}{Sigma{alfa\beta\gamma}} \ \frac{1}{2} & = -\frac{c}{d} \ \frac{1}{2} & = -\frac{n}{p} \ \frac{1}{2} & = -\frac{-2}{p} \\ p & = 4\end{align} \]

    Veamos otro ejemplo.

    Se te da la ecuación cuártica \(x^{4} + 3x^{3} - 8x^{2} + 5 = 0\) con raíces \(\alpha, \beta, \; \gamma \text y \delta). Demuestra que \(S_{4} = -22S_{3} + 1\).

    Solución

    En primer lugar, debes calcular los valores de \(S_{1}, \; S_{2}\) y \(S_{-1}\): \[ \begin{align}S_{1} & = \alpha + \beta + \gamma + \delta \ & = -\frac{b}{a} & = -3 \end{align} \]

    \[ \begin{align} S_{2} & = (\Sigma{alfa})^{2} - 2Sigma {alfa} {beta} & = (-3)^{2} - 2(8) & = -7 \end{align} \]

    \[ \begin{align} S_{-1} & = \frac {{Sigma{alfa\beta\gamma}} {{Sigma{alfa\beta\gamma\delta}} \\ & = -\frac {d} {e} & = -\frac {0} {5} \\ & = 0\end{align} \]

    A continuación, tienes que calcular el valor de \(S_{3}\). Esto se hace dividiendo la ecuación original por \(x\) de modo que quede así \(x^{3} + 3x^{2} - 8x + \frac{5}{x} = 0\) y luego sustituyendo cada una de las cuatro raíces, \(\alpha, \; \beta, \; \gamma \text{ y } \delta\) en la ecuación y sumando las cuatro ecuaciones resultantes para obtener lo siguiente:

    \[(\alpha^{3} + \beta^{3} + \gamma^{3} + \delta^{3}) + 3(\alpha^{2} + \beta^{2} + \gamma^{2} + \delta^{2} ) - 8(\alpha + \beta + \gamma + \delta) + 5(\frac{1}{{alpha} + \frac{1}{beta} + \frac{1}{gamma} + \frac{1}{delta}) = 0\]

    Aplica la relación de recurrencia \(S_{n} = \alpha^{n} + \beta^{n} + \gamma^{n} + \delta^{n}) y tu ecuación debería tener ahora este aspecto:

    \[ S_{3} + 3S_{2} - 8S_{1} + 5S_{-1} = 0\]

    Sustituye \(S_{1}, \; S_{2} text{ y } \S_{-1}\) en la ecuación y resuelve \(S_{3}\):

    \[ \begin{align} S_{3} + 3(-7) - 8(-3) + 5(0) & = 0 S_{3} & = -3 \pend{align} \]

    Para resolver \(S_{4}\), repetimos un proceso similar al de resolver \(S_{3}\), salvo que dividimos por \(x\). Sustituye cada una de las raíces, \(\ alfa, \; \beta, \; \gamma \text{ y } \delta) en la ecuación original y suma las cuatro ecuaciones resultantes para obtener lo siguiente:

    \[ (\alpha^{4} + \beta^{4} + \gamma^{4} + \delta^{4}) + 3(\alpha^{3} + \beta^{3} + \gamma^{3} + \delta^{3}) - 8(\alpha^{2} + \beta^{2} + \gamma^{2} + \delta^{2}) + 20 = 0\}]

    Aplica la relación de recurrencia y obtendrás

    \[ S_{4} + 3S_{3} - 8S_{2} + 20 = 0\]Por último, sustituye los valores de \(S_{3}\) y \(S_{2}\) en y resuelve para \(S_{4}\):

    \[ \begin{align}S_{4} + 3(-3) - 8(-7) + 20 & = 0S_{4} & = 67\end{align} \]

    \Por tanto, \qquad -22S_{3} + 1 = -22(-3) + 1 = 67 = S_{4}\)

    Este último ejemplo se refiere a un problema más complicado en el que interviene la sustitución.

    La ecuación cúbica \(x^{3} + 4x^{2} - 7x - 1 = 0\) tiene raíces \(\alfa, \beta\) y \(\gamma\). Halla las ecuaciones cúbicas con raíces (\frac{2\alpha - 3}{\alpha}, \; \frac{2\beta - 3}{\beta} \text{ y } \frac{2\gamma - 3}{\gamma}).

    Solución

    Sabemos que las raíces de esta nueva ecuación cúbica son:

    \[ y = \frac{2x - 3}{x}\]

    Haz que \(x\) sea el sujeto de la fórmula:

    \[ \begin{align} xy & = 2x - 3 \ xy - 2x & = -3 \ x(y - 2) & = -3 \ x & = -\frac{3}{y-2} \end{align} \]

    Vuelve a sustituir este valor de \(x\) en la ecuación original y simplifica para obtener la nueva cúbica.

    \[ \begin{align} \left( -\frac{3}{y - 2} \right)^{3} + 4\left(-\frac{3}{y-2}\right)^{2} - 7\izquierda(-\frac{3}{y-2}\derecha) + 1 & = 0 \ \hspace{1cm} \ -\frac{27}(y-2)^{3}} + \frac {36}(y-2)^{2}} + \frac{21}{y-2} + 1 & = 0 \hspace{1cm} \\ -27 + 36(y-2) + 21(y-2)^{2} + (y-2)^{3} & = 0 \hspace{1cm} \\-27 + 36y - 72 + 21y^{2} - 84y + 84 + y^{3} - 6y^{2} + 12y - 8 & = 0 \hspace{1cm} \\y^{3} + 15y^{2} - 36y - 23 & = 0\end{align}\]

    La ecuación cúbica con raíces (\frac{2\alpha - 3}{\alpha}, \; \frac{2\beta - 3}{\beta} \text{ y } \frac{2\gamma - 3}{\gamma}) es, pues:

    \[ y^{3} + 15y^{2} - 36y - 23 = 0 \]

    Raíces de polinomios - Puntos clave

    • Utilizamos \(\alpha\) y \(\beta\) para representar las raíces de una ecuación cuadrática, \(\alpha, \; \beta \text{ y } \gamma\) para representar las raíces de una ecuación cúbica, y \(\alpha, \; \beta, \; \gamma \text{ y } \delta\) para representar las raíces de una ecuación cuártica.
    • La suma de las raíces de una ecuación polinómica puede calcularse mediante \(\Sigma{alfa} = -\frac{b}{a}\).
    • Es mejor utilizar relaciones de recurrencia cuando se trabaja con potencias de 3 y superiores.
    • La sustitución puede utilizarse para hallar un polinomio relacionando las raíces del polinomio que quieres hallar con las de un polinomio conocido, y luego sustituyendo esa relación en el polinomio conocido y simplificando.
    • La suma de las raíces inversas de un polinomio, \(\Sigma{1}{\alpha}\), es siempre igual al negativo del coeficiente del término lineal dividido por el término constante.
    Preguntas frecuentes sobre Raíces de Polinomios
    ¿Qué es una raíz de un polinomio?
    Una raíz de un polinomio es un número que al sustituirse en la variable del polinomio lo convierte en cero.
    ¿Cómo se encuentran las raíces de un polinomio?
    Las raíces de un polinomio se encuentran resolviendo la ecuación polinómica igualada a cero usando factorización u otras técnicas algebraicas.
    ¿Cuántas raíces puede tener un polinomio?
    Un polinomio de grado n tiene exactamente n raíces, que pueden ser reales o complejas, y algunas pueden repetirse.
    ¿Qué significa que una raíz sea compleja?
    Una raíz compleja de un polinomio es una solución que incluye una parte imaginaria, es decir, no es un número real.

    Pon a prueba tus conocimientos con tarjetas de opción múltiple

    Las ecuaciones cuárticas son ecuaciones en las que la mayor potencia de x es...

    ¿Es mejor utilizar la notación de recurrencia o la notación de suma cuando trabajas con potencias más altas?

    El producto de las raíces de cualquier polinomio es siempre igual al término constante.

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