Resolución de ecuaciones racionales

Resuelve $\frac{4}{x+2}=\frac{8}{4x-2}$

Solución:

Pasos para resolver la ecuación racional:

Aquí tenemos una $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$ forma, por lo que podemos resolver esta ecuación con la multiplicación cruzada.

• Multiplicación cruzada: Podemos multiplicar 4 por$4x-2$y 8 con $(x+2)$

$(x+2)\times 8=4\times (4x-2)$

• Propiedad distributiva:

$8x+16=16x-8$

• Resta $8x$ a cada lado:

$16=8x-8$

• Suma 8 a cada lado:

$24=8x$

• Divide cada lado por 8:

$x=3$

Para ver si la solución funciona, hay que introducirla en la ecuación.

$\frac{4}{3+2}=\frac{8}{4\times 3-2}$

$\frac{4}{5}=\frac{8}{12-2}$

Si dividimos el lado derecho por 2

$\frac{4}{5}=\frac{4}{5}$

Esta igualdad demuestra que la solución funciona bien.

Resuelve $\frac{8}{3x-2}=\frac{2}{x-1}$

Solución:

Para resolver la ecuación, hay que realizar una multiplicación cruzada, porque vuelve a estar en forma de $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$

Pasos para resolver la ecuación racional:

• Multiplicación cruzada: Debemos multiplicar 8 por $(x-1)$y 2 por $(3x-2)$

$8\times (x-1)=2\times (3x-2)$

• Propiedad distributiva:

$8x-8=6x-4$

• Resta 6x a cada lado

$2x-8=-4$

• Suma 8 a cada lado:

$2x=4$

• Divide cada lado por 2:

$x=2$

Ahora, introduzcamos x = 2 en la ecuación racional para ver si funciona.

$\frac{8}{3\times 2-2}=\frac{2}{2-1}$

$\frac{8}{6-2}=\frac{2}{1}$

$\frac{8}{4}=2$

Como puedes ver, si al enchufar la solución obtenemos el mismo valor en cada lado, significa que funciona como en este caso.

¿Cuál es la solución de $\frac{3}{x}+\frac{5}{4}=\frac{8}{x}$?

La solución:

Pasos para resolver la ecuación racional:

En este ejemplo, tenemos denominadores como x, 4 y otra vez x. Por tanto, el mínimo común denominador puede determinarse como la multiplicación de x y 4, que es 4x. Debemos utilizar el LCD para multiplicar por la ecuación de cada lado y hallar la solución.

• Multiplica cada lado por el LCD, que es $4x$: $4x(\frac{3}{x}+\frac{5}{4})=4x\left(\frac{8}{x}\right)$

• Debemos repartir $4x$ a cada lado y multiplicarlo por los valores del paréntesis.

$(4x\times \frac{3}{x})+(4x\times \frac{5}{4})=(4x\times \frac{8}{x})$

$(4\cancel{x}\times \frac{3}{\cancel{x}})+(\cancel{4}x\times \frac{5}{\cancel{4}})=(4\cancel{x}\times \frac{8}{\cancel{x}})$

$(4\times 3)+\left(5x\right)=(4\times 8)$

$12+5x=32$

• Simplifica : $12+5x=32$

  Para simplificar, debemos restar 12 a cada lado:

$\cancel{12}+5x-\cancel{12}=32-12$

$5x=20$

• Dividir cada lado por 5 :

$\frac{5x}{5}=\frac{20}{5}$

Así que la solución de la ecuación racional es $x=4$pero debemos estar seguros de que funciona. Así que, de nuevo, deberíamos introducir esta solución en la ecuación:

$\frac{3}{4}+\frac{5}{4}=\frac{8}{4}$

$\frac{8}{4}=\frac{8}{4}$

Como volvemos a tener la igualdad, parece que esta solución funciona.

Resuelve la ecuación utilizando la pantalla LCD: $\frac{1}{2x}+\frac{3}{x+7}=\frac{-1}{x}$

Solución:

Pasos para resolver la ecuación racional:

Primero debemos determinar cuál es la LCD para este caso. Vemos que los denominadores son2x, que es básicamente x por 2, $x+7$y x. Como de todas formas hay x implicada en2x, podemos tomar x y $x+7$ para determinar la LCD multiplicándolos.

Así pues, la CDL es $x\times (x+7)$.

Para resolver la ecuación racional, debemos multiplicar cada lado por el LCD.

• Multiplica cada lado por el LCD, que es $x(x+7)$: $x(x+7)(\frac{1}{2x}+\frac{3}{x+7})=x(x+7)\left(\frac{-1}{x}\right)$

• Propiedad distributiva: Debemos repartir el LCD entre cada lado y multiplicarlo por los valores que aparecen entre paréntesis.

$(x\times (x+7)\times \frac{1}{2x})+(x\times (x+7)\times \frac{3}{x+7})=(x\times (x+7)\times \frac{-1}{x})$

• Podemos simplificarlo:

$(\cancel{x}\times (x+7)\times \frac{1}{2\cancel{x}})+(x\times (\cancel{x+7})\times \frac{3}{\cancel{x+7}})=(\cancel{x}\times (x+7)\times \frac{-1}{\cancel{x}})$

$\frac{x+7}{2}+3x=-1\times (x+7)$

• Debemos distribuir el signo menos al lado derecho:

$\frac{x+7}{2}+3x=-x-7$

• Para facilitar la resolución de la ecuación, podemos multiplicar cada lado por 2:

$2\times \left(\frac{x+7}{2}\right)+2\times 3x=2\times (-x-7)$

• Debemos distribuir 2 en los paréntesis con la multiplicación:

$\cancel{2}\times \left(\frac{x+7}{\cancel{2}}\right)+2\times 3x=2\times (-x-7)$

$x+7+6x=-2x-14$

$7x+7=-2x-14$

• Podemos sumar $2x$ a cada lado para simplificar el valor de x:

$7x+7+2x=-2x-14+2x$

$7x+7+2x=\cancel{-2x}-14+\cancel{2x}$

$9x+7=-14$

• Podemos restar 7 a cada lado para simplificar de nuevo:

$9x+7-7=-14-7$

$9x=-21$

• Dividimos cada lado entre 9 para dejar solo el valor x:

$\frac{9x}{9}=\frac{-21}{9}$

$x=\frac{-21}{9}=\frac{-7}{3}$

La solución de la ecuación racional es entonces $x=\frac{-7}{3}$. Veamos si funciona en la ecuación:

$\frac{1}{2\times \left(\frac{-7}{3}\right)}+\frac{3}{\frac{-7}{3}+7}=\frac{-1}{\frac{-7}{3}}$

$\frac{1}{\frac{-14}{3}}+\frac{3}{\frac{-7}{3}+\frac{21}{3}}=\frac{3}{7}$

$\frac{-3}{14}+\frac{3}{\frac{14}{3}}=\frac{3}{7}$

$\frac{-3}{14}+\frac{9}{14}=\frac{3}{7}$

$\frac{6}{14}=\frac{3}{7}$

Tenemos la igualdad, por lo que significa que nuestra solución funciona.

Resuelve $2-\frac{16}{x-5}=\frac{6}{x}$

Solución:

Aquí tenemos los denominadores $(x-5)$y x. La multiplicación de éstos nos dará la LCD que es $x\times (x-5)$. Para hallar las soluciones.

• Multiplica cada lado por el LCD:

$x\times (x-5)\times (2-\frac{16}{x-5})=x\times (x-5)\times \frac{6}{x}$

• Distribuye el LCD entre los paréntesis:

$(2\times x\times (x-5\left)\right)-(x\times (x-5)\times \frac{16}{x-5})=x\times (x-5)\times \frac{6}{x}$

• Podemos hacer la simplificación:

$(2\times x\times (x-5\left)\right)-(x\times \cancel{(x-5)}\times \frac{16}{\cancel{x-5}})=\cancel{x}\times (x-5)\times \frac{6}{\cancel{x}}$

• Haz las multiplicaciones:

$2x^2-10x-16x=6x-30$

• Resta $6x$ a cada lado para simplificar:

$2x^2-32x=-30$

• Suma 30 a cada lado:

$2x^2-32x+30=0$

• Escribe en forma estándar: $2x^2-32x+30=0$

• Divídelo por 2:

$\frac{\cancel{2}{x}^2}{\cancel{2}}-\frac{32x}{2}+\frac{30}{2}=0$

$x^2-16x+15=0$

• Llegados a este punto, debemos factorizar la ecuación para encontrar las soluciones. Lo importante es que tenemos que encontrar dos valores que formen 15, factor también $x^2$ . La suma relativa debe dar el valor medio de la ecuación, que es $-16x$.

$$\begin{gathered} x^2-16x+15=0 \\ x\iff -15 \\ x\iff -1 \end{gathered}$$

Podemos dividir ^x2 como x por x, y 15 como - 15 y - 1 . Al multiplicar x por - 15 , y la otra x por - 1 , y sumarlas, deberíamos obtener $-16x$ que se satisface de este modo.

Como resultado, podemos escribir la ecuación como: $(x-15)\times (x-1)=0$

Los valores que hacen cero los paréntesis ¡son nuestras soluciones!

$$\begin{gathered} x-15=0\to x=15 \\ x-1=0\to x=1 \end{gathered}$$

Comprobemos si ambas soluciones funcionan:

• En $x=15$

$2-\frac{16}{15-5}=\frac{6}{15}$

$2-\frac{16}{10}=\frac{6}{15}$

$\frac{2\times 10-16}{10}=\frac{6}{15}$

$\frac{20-16}{10}=\frac{6}{15}$

$\frac{4}{10}=\frac{6}{15}$

Divide el lado izquierdo por 2, y el lado derecho por 3:

$\frac{2}{5}=\frac{2}{5}$

Entonces $x=15$ es una de las soluciones.

• Para $x=1$ :

$2-\frac{16}{-4}=6$

$2+4=6$

que también es la solución.

Resuelve la ecuación $\frac{x+3}{x-3}+\frac{x}{x-5}=\frac{x+5}{x-5}$

Solución:

Pasos para resolver la ecuación racional:

Podemos resolver este ejemplo con el método LCD ya que la ecuación no tiene la forma de

$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$

Pero, ¿cómo podemos encontrar el LCD? Para ello debemos fijarnos en los denominadores: $(x-3)$,$(x-5)$ y de nuevo $(x-5)$. Así que el mínimo común denominador sería la multiplicación de $(x-3)$ y $(x-5)$. Para hallar las soluciones, debemos multiplicar cada lado por el LCD.

• Multiplica cada lado por el LCD que es $(x-3)(x-5)$:

• Distribuye el LCD entre los paréntesis:

• Simplifica:

$(\cancel{(x-3)}\times (x-5)\times (\frac{x+3}{\cancel{x-3}}\left)\right)+\left(\right(x-3)\times \cancel{(x-5)}\times (\frac{x}{\cancel{x-5}}\left)\right)=\left(\right(x-3)\times (\cancel{x-5})\times (\frac{x+5}{\cancel{x-5}}\left)\right)$

$\left(\right(x-5)\times (x+3\left)\right)+(x\times (x-3\left)\right)=\left(\right(x-3)\times (x+5\left)\right)$

• Haz las multiplicaciones:

$(x^2-2x-15)+(x^2-3x)=(x^2+2x-15)$

• Haz las sumas:

$2x^2-5x-15=x^2+2x-15$

• Cruza los valores del lado derecho al lado izquierdo:

$2x^2-5x-15-x^2-2x+15=0$

• Simplifica:

$x^2-7x=0$

• Como x es común en la ecuación, podemos factorizar la ecuación como: $x\times (x-7)=0$

• Para hallar las soluciones, debemos encontrar los valores que hacen cero los multiplicadores en la ecuación, que son $x=0$ y $x=7$

Cuando $x=0$ y $x=7$ se introducen en la ecuación, se observa que ambos resultan y son las soluciones de la ecuación:

En $x=0$ :

$-1=-1$

Para $x=7$:

$\frac{7+3}{7-3}+\frac{7}{7-5}=\frac{7+5}{7-5}$

$\frac{10}{4}+\frac{7}{2}=\frac{12}{2}$

$\frac{10}{4}+\frac{14}{4}=6$

$\frac{24}{4}=6$

Resuelve $\frac{4}{x-1}=\frac{8x^2}{x^2-1}-\frac{x}{x+1}$

Solución:

Podemos resolver este tipo de ecuación con el método LCD. Si nos fijamos en los denominadores, son $x-1$, $x^2-1$ que es la multiplicación de $x-1$ y $x+1$. Por tanto, el mínimo común denominador debe ser la multiplicación de ambos $x-1$ y $x+1$ que es $(x-1)\times (x+1)$. Cada lado de la ecuación debe multiplicarse por el LCD para hallar las soluciones.

Pasos para resolver la ecuación racional:

• Multiplica cada lado por LCD:

• Simplificar:

$\left(\cancel{x-1}\right)\times (x+1)\times \frac{4}{\cancel{x-1}}=\left(\cancel{x-1}\right)\times \left(\cancel{x+1}\right)\times \left(\frac{8x^2}{\cancel{x^2-1}}\right)-(x-1)\times \left(\cancel{x+1}\right)\times \left(\frac{x}{\cancel{x+1}}\right)$

$4\times (x+1)=8x^2-x\times (x-1)$

• Propiedad distributiva:

$4x+4=8x^2-x^2+x$

• Restar $4x+4$ a cada lado:

$4x+4-4x-4=7x^2+x-4x-4$

$7x^2-3x-4=0$

Debemos factorizar la ecuación para encontrar soluciones. Podemos dividir 7x2^como la multiplicación de 7x y x, y - 4 como la multiplicación de + 4 y - 1. El objetivo aquí es encontrar el valor medio que es - 3x.

$$\begin{gathered} 7x^2-3x-4=0 \\ 7x\iff +4 \\ x\iff -1 \end{gathered}$$

Mediante multiplicaciones cruzadas y sumas como ésta, podemos obtener el valor medio.

• Factor: $(7x+4)\times (x-1)=0$

Las soluciones serán $x=-\frac{4}{7}$ o $x=1$

Sin embargo, cuando$x=1$se sustituye en la ecuación, se produce una división por cero que da un resultado indefinido. Por tanto $x=-\frac{4}{7}$sigue siendo la única solución que funciona. $x=1$ ¡es la solución extraña!

Resuelve la ecuación y comprueba si hay soluciones extrañas: $\frac{18}{x^2-3x}-\frac{6}{x-3}=\frac{5}{x}$

Solución:

Podemos resolver este ejemplo con el método LCD. Si nos fijamos en los denominadores, son $x^2-3x$ que es la multiplicación de $x-3$ y x. Por tanto, el mínimo común denominador es $x\times (x-3)$. Las soluciones se pueden encontrar multiplicando la ecuación con el LCD.

Pasos para resolver la ecuación racional:

• Multiplica cada lado por LCD que es $x\times (x-3)$:

$x\times (x-3)\times (\frac{18}{x^2-3x}-\frac{6}{x-3})=x\times (x-3)\times \left(\frac{5}{x}\right)$

• Distribuye el LCD entre los paréntesis:

$(x\times (x-3)\times (\frac{18}{x^2-3x}\left)\right)-(x\times (x-3)\times (\frac{6}{x-3}\left)\right)=x\times (x-3)\times \left(\frac{5}{x}\right)$

• Simplifica:

$(\cancel{x}\times (\cancel{x-3})\times (\frac{18}{\cancel{x^2-3x}}\left)\right)-(x\times (\cancel{x-3})\times (\frac{6}{\cancel{x-3}}\left)\right)=\cancel{x}\times (x-3)\times \left(\frac{5}{\cancel{x}}\right)$

$18-6x=5\times (x-3)$

$18-6x=5x-15$

• Resta $18-6x$ a cada lado:

$18-6x-18+6x=5x-15-18+6x$

$0=11x-33$

• Suma 33 a cada lado:

$11x=33$

• Divide cada lado por 11:

$x=3$

Para comprobar si hay soluciones extrañas, la solución encontrada debe introducirse en la ecuación. Sin embargo, cuando se introduce $x=3$ la ecuación resulta indefinida porque hay $x-3$ en los denominadores. Por tanto, ¡no hay solución para la ecuación!

Las ventas totales S (en millones de dólares) de un ordenador portátil pueden modelarse mediante

donde $t$ es el número de consumidores (en miles). ¿Para cuántos consumidores fueron las ventas totales de ordenadores unos 6 millones de dólares?

Solución:

Para resolver esta ecuación, hay que introducir 6 en $S\left(t\right)$ ya que representa las ventas porque$S\left(t\right)$ representa las ventas totales y se da como 6 millones de $ en el ejemplo. Debemos resolver la ecuación para hallar los $t$ valores, y después comprobar si están en el dominio dado.

Pasos para resolver la ecuación racional:

• Escribe la ecuación:

$6=\frac{8t^2+20}{4t^2-10}$

• Para resolver la ecuación, podemos multiplicar en cruz :

• Propiedad distributiva:

$24t^2-60=8t^2+20$

• Restar $8t^2+20$ a cada lado:

$16t^2-80=0$

• Suma 80 a cada lado:

$16t^2=80$

• Divide cada lado por 16:

$\frac{\cancel{16}{t}^2}{\cancel{16}}=\frac{80}{16}$

$t^2=5$

• Saca raíces cuadradas de cada lado: $\pm 2.24\approx t$

Como -2,24 no está en el dominio ($0\le t\le 7$), la única solución sigue siendo +2,24.

Por tanto, las ventas totales de los ordenadores rondan los 6 millones de dólares para 2240 consumidores.