Resolución de ecuaciones racionales

Las ecuaciones racionales pueden utilizarse en la vida cotidiana, desde calcular velocidades hasta calcular costes medios. Una ecuación racional es un tipo de ecuación en la que intervienen una o varias expresiones racionales. Al resolver estas ecuaciones, se pueden utilizar multiplicaciones, divisiones, sumas o restas. En este artículo, resolveremos ecuaciones racionales utilizando la multiplicación cruzada y los métodos de los mínimos comunes denominadores (MCD). Además, repasaremos estos métodos con ejemplos y problemas de la vida cotidiana.

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    Una ecuación racional es un tipo de fracción en la que el numerador o el denominador es un polinomio.

    Resolver ecuaciones racionales utilizando la multiplicación cruzada

    La multiplicación cruzada es una forma práctica de resolver una ecuación racional cuando hay una única expresión racional en cada lado de la ecuación.

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    Con la multiplicación cruzada, vemos que a.d=b.c. Este método es realmente útil para resolver ecuaciones racionales. Veamos el ejemplo.

    Resuelve 4x+2=84x-2

    Solución:

    Pasos para resolver la ecuación racional:

    Aquí tenemos una ab=cd forma, por lo que podemos resolver esta ecuación con la multiplicación cruzada.

    • Multiplicación cruzada: Podemos multiplicar 4 por4x-2y 8 con (x+2)

    (x+2)×8= 4×(4x-2)

    • Propiedad distributiva:

    8x+16=16x-8

    • Resta 8x a cada lado:

    16= 8x-8

    • Suma 8 a cada lado:

    24= 8x

    • Divide cada lado por 8:

    x=3

    Para ver si la solución funciona, hay que introducirla en la ecuación.

    43+2=84×3-2

    45=812-2

    45=810

    Si dividimos el lado derecho por 2

    45=45

    Esta igualdad demuestra que la solución funciona bien.

    Resuelve 83x-2=2x-1

    Solución:

    Para resolver la ecuación, hay que realizar una multiplicación cruzada, porque vuelve a estar en forma de ab=cd

    Pasos para resolver la ecuación racional:

    • Multiplicación cruzada: Debemos multiplicar 8 por (x-1)y 2 por (3x-2)

    8×(x-1)=2×(3x-2)

    • Propiedad distributiva:

    8x-8=6x-4

    • Resta 6x a cada lado

    2x-8=-4

    • Suma 8 a cada lado:

    2x=4

    • Divide cada lado por 2:

    x=2

    Ahora, introduzcamos x = 2 en la ecuación racional para ver si funciona.

    83×2-2=22-1

    86-2=21

    84=2

    Como puedes ver, si al enchufar la solución obtenemos el mismo valor en cada lado, significa que funciona como en este caso.

    Resolver ecuaciones racionales utilizando los mínimos comunes denominadores (MCD)

    Cuando una ecuación racional no viene dada como una proporción, como en el caso de la multiplicación cruzada, podemos resolver la ecuación utilizando el método de los mínimos comunes denominadores. El mínimo común denominador, o LCD, es el denominador común más sencillo de utilizar. Factorizamos las expresiones y multiplicamos todos los factores únicos para determinar el LCD de dos expresiones racionales.

    Para hallar el LCD empiezas por enumerar los múltiplos de las fracciones. A continuación, halla el múltiplo más bajo que tengan en común.

    Cada lado de la ecuación debe multiplicarse por el mínimo común denominador para resolver la ecuación racional.

    Para comprender este método, vamos a resolver algunos ejemplos.

    ¿Cuál es la solución de 3x+ 5 4=8x?

    La solución:

    Pasos para resolver la ecuación racional:

    En este ejemplo, tenemos denominadores como x, 4 y otra vez x. Por tanto, el mínimo común denominador puede determinarse como la multiplicación de x y 4, que es 4x. Debemos utilizar el LCD para multiplicar por la ecuación de cada lado y hallar la solución.

    • Multiplica cada lado por el LCD, que es 4x: 4x(3x+54)=4x(8x)
    • Debemos repartir 4x a cada lado y multiplicarlo por los valores del paréntesis.

    (4x×3x)+(4x×54)=(4x×8x)

    (4x×3x)+(4x×54)=(4x×8x)

    (4×3)+(5x)=(4×8)

    12+5x=32

    • Simplifica : 12+5x=32

      Para simplificar, debemos restar 12 a cada lado:

    12+5x-12=32-12

    5x=20

    • Dividir cada lado por 5 :

    5x5=205

    5x5=205x=4

    Así que la solución de la ecuación racional es x=4pero debemos estar seguros de que funciona. Así que, de nuevo, deberíamos introducir esta solución en la ecuación:

    34+54=84

    84=84

    Como volvemos a tener la igualdad, parece que esta solución funciona.

    Resuelve la ecuación utilizando la pantalla LCD: 12x+3x+7=-1x

    Solución:

    Pasos para resolver la ecuación racional:

    Primero debemos determinar cuál es la LCD para este caso. Vemos que los denominadores son2x, que es básicamente x por 2, x+7y x. Como de todas formas hay x implicada en2x, podemos tomar x y x+7 para determinar la LCD multiplicándolos.

    Así pues, la CDL es x×(x+7).

    Para resolver la ecuación racional, debemos multiplicar cada lado por el LCD.

    • Multiplica cada lado por el LCD, que es x(x+7): x(x+7)(12x+3x+7)=x(x+7)(-1x)
    • Propiedad distributiva: Debemos repartir el LCD entre cada lado y multiplicarlo por los valores que aparecen entre paréntesis.

    (x×(x+7)×12x)+(x×(x+7)×3x+7)=(x×(x+7)×-1x)

    • Podemos simplificarlo:

    (x×(x+7)×12x)+(x×(x+7)×3x+7)=(x×(x+7)×-1x)

    x+72+3x=-1×(x+7)

    • Debemos distribuir el signo menos al lado derecho:

    x+72+3x=-x-7

    • Para facilitar la resolución de la ecuación, podemos multiplicar cada lado por 2:

    2×(x+72)+2×3x=2×(-x-7)

    • Debemos distribuir 2 en los paréntesis con la multiplicación:

    2×(x+72)+2×3x=2×(-x-7)

    x+7+6x=-2x-14

    7x+7=-2x-14

    • Podemos sumar 2x a cada lado para simplificar el valor de x:

    7x+7+2x=-2x-14+2x

    7x+7+2x=-2x-14+2x

    9x+7=-14

    • Podemos restar 7 a cada lado para simplificar de nuevo:

    9x+7-7=-14-7

    9x=-21

    • Dividimos cada lado entre 9 para dejar solo el valor x:

    9x9=-219

    9x9=-219

    x=-219=-73

    La solución de la ecuación racional es entonces x=-73. Veamos si funciona en la ecuación:

    12×(-73)+3-73+7=-1-73

    1-143+3-73+213=37

    -314+3143=37

    -314+914=37

    614=37

    Tenemos la igualdad, por lo que significa que nuestra solución funciona.

    Resolver ecuaciones racionales con dos soluciones

    A veces podemos tener dos soluciones después de resolver las ecuaciones racionales. Estas dos soluciones pueden funcionar ambas, o puede que sólo una de ellas sea la solución. También, en algunos casos, puede no haber ninguna solución. En este apartado, trabajaremos cada caso con distintos ejemplos.

    Resuelve 2-16x-5=6x

    Solución:

    Aquí tenemos los denominadores (x-5) y x. La multiplicación de éstos nos dará la LCD que es x×(x-5). Para hallar las soluciones.

    • Multiplica cada lado por el LCD:

    x×(x-5)×( 2-16x-5 ) =x×(x-5)×6x

    • Distribuye el LCD entre los paréntesis:

    ( 2× x×(x-5))-( x×(x-5)×16x-5 ) =x×(x-5)×6x

    • Podemos hacer la simplificación:

    ( 2× x×(x-5))-( x×(x-5)×16x-5 ) =x×(x-5)×6x

    • Haz las multiplicaciones:

    2x×x-2x×5-16x=6x-30

    2x2-10x-16x=6x-30

    • Resta 6x a cada lado para simplificar:

    2x2-10x-16x-6x=6x-30-6x

    2x2-32x=-30

    • Suma 30 a cada lado:

    2x2-32x+30=-30+30

    2x2-32x+30=0

    • Escribe en forma estándar: 2x2-32x+30=0

    • Divídelo por 2:

    2x22-32x2+302=0

    x2-16x+15=0

    • Llegados a este punto, debemos factorizar la ecuación para encontrar las soluciones. Lo importante es que tenemos que encontrar dos valores que formen 15, factor también x2 . La suma relativa debe dar el valor medio de la ecuación, que es -16x.

    x2-16x+15=0x -15x -1

    Podemos dividir x2 como x por x, y 15 como - 15 y - 1 . Al multiplicar x por - 15 , y la otra x por - 1 , y sumarlas, deberíamos obtener -16x que se satisface de este modo.

    Como resultado, podemos escribir la ecuación como: (x-15)×(x-1)=0

    Los valores que hacen cero los paréntesis ¡son nuestras soluciones!

    x-15=0 x=15x-1=0 x=1

    Comprobemos si ambas soluciones funcionan:

    • En x=15

    2-1615-5=615

    2-1610=615

    2×10-1610=615

    20-1610=615

    410=615

    Divide el lado izquierdo por 2, y el lado derecho por 3:

    410=615

    25=25

    Entonces x=15 es una de las soluciones.

    • Para x=1 :
    2-161-5=61

    2-16-4=6

    2+4=6

    que también es la solución.

    Resuelve la ecuación x+3x-3+xx-5=x+5x-5

    Solución:

    Pasos para resolver la ecuación racional:

    Podemos resolver este ejemplo con el método LCD ya que la ecuación no tiene la forma de

    ab=cd

    Pero, ¿cómo podemos encontrar el LCD? Para ello debemos fijarnos en los denominadores: (x-3),(x-5) y de nuevo (x-5). Así que el mínimo común denominador sería la multiplicación de (x-3) y (x-5). Para hallar las soluciones, debemos multiplicar cada lado por el LCD.

    • Multiplica cada lado por el LCD que es (x-3)(x-5):
    (x-3)×(x-5)×(x+3x-3+xx-5)=(x-3)×(x-5)×(x+5x-5)
    • Distribuye el LCD entre los paréntesis:
    ((x-3)×(x-5)×(x+3x-3))+((x-3)×(x-5)×(xx-5))=((x-3)×(x-5)×(x+5x-5))
    • Simplifica:

    ((x-3)×(x-5)×(x+3x-3))+((x-3)×(x-5)×(xx-5))=((x-3)×(x-5)×(x+5x-5))

    ((x-5)×(x+3))+(x×(x-3))=((x-3)×(x+5))

    • Haz las multiplicaciones:
    (x×x+3x-5x-5×3)+(x×x-3x)=(x×x+5x-3x-5×3)

    (x2-2x-15)+(x2-3x)=(x2+2x-15)

    • Haz las sumas:

    2x2-5x-15=x2+2x-15

    • Cruza los valores del lado derecho al lado izquierdo:

    2x2-5x-15-x2-2x+15=0

    • Simplifica:

    x2-7x=0

    • Como x es común en la ecuación, podemos factorizar la ecuación como: x×(x-7)=0
    • Para hallar las soluciones, debemos encontrar los valores que hacen cero los multiplicadores en la ecuación, que son x=0 y x=7

    Cuando x=0 y x=7 se introducen en la ecuación, se observa que ambos resultan y son las soluciones de la ecuación:

    En x=0 :

    0+30-3+00-5=0+50-5 3-3+0=5-5

    -1=-1

    Para x=7:

    7+37-3+77-5=7+57-5

    104+72=122

    104+144=6

    244=6

    Resolver ecuaciones racionales con soluciones extrañas

    En los ejemplos anteriores, hemos visto que podemos obtener dos soluciones de las ecuaciones racionales. Comprobamos si funcionan introduciéndolas en la ecuación. Si las soluciones no funcionan en las ecuaciones, estas soluciones se llaman soluciones extrañas.

    Resuelve 4x-1=8x2x2-1-xx+1

    Solución:

    Podemos resolver este tipo de ecuación con el método LCD. Si nos fijamos en los denominadores, son x-1, x2-1 que es la multiplicación de x-1 y x+1. Por tanto, el mínimo común denominador debe ser la multiplicación de ambos x-1 y x+1 que es (x-1)×(x+1). Cada lado de la ecuación debe multiplicarse por el LCD para hallar las soluciones.

    Pasos para resolver la ecuación racional:

    • Multiplica cada lado por LCD:
    (x-1)×(x+1)×4x-1 =(x-1)×(x+1)×(8x2x2-1)-(x-1)×(x+1)×(xx+1)
    • Simplificar:

    (x-1)×(x+1)×4x-1 =(x-1)×(x+1)×(8x2x2-1)-(x-1)×(x+1)×(xx+1)

    4×(x+1)=8x2-x×(x-1)

    • Propiedad distributiva:

    4x+4=8x2-x2+x

    • Restar 4x+4 a cada lado:

    4x+4-4x-4=7x2+x-4x-4

    7x2-3x-4=0

    Debemos factorizar la ecuación para encontrar soluciones. Podemos dividir 7x2como la multiplicación de 7x y x, y - 4 como la multiplicación de + 4 y - 1. El objetivo aquí es encontrar el valor medio que es - 3x.

    7x2-3x-4=07x +4x -1

    Mediante multiplicaciones cruzadas y sumas como ésta, podemos obtener el valor medio.

    • Factor: (7x+4)×(x-1)=0

    Las soluciones serán x=-47 o x=1

    Sin embargo, cuandox=1se sustituye en la ecuación, se produce una división por cero que da un resultado indefinido. Por tanto x=-47sigue siendo la única solución que funciona. x=1 ¡es la solución extraña!

    Resuelve la ecuación y comprueba si hay soluciones extrañas: 18x2-3x-6x-3=5x

    Solución:

    Podemos resolver este ejemplo con el método LCD. Si nos fijamos en los denominadores, son x2-3x que es la multiplicación de x-3 y x. Por tanto, el mínimo común denominador es x×(x-3). Las soluciones se pueden encontrar multiplicando la ecuación con el LCD.

    Pasos para resolver la ecuación racional:

    • Multiplica cada lado por LCD que es x×(x-3):

    x×(x-3)×(18x2-3x-6x-3)=x×(x-3)×(5x)

    • Distribuye el LCD entre los paréntesis:

    (x×(x-3)×(18x2-3x))-(x×(x-3)×(6x-3))=x×(x-3)×(5x)

    • Simplifica:

    (x×(x-3)×(18x2-3x))-(x×(x-3)×(6x-3))=x×(x-3)×(5x)

    18-6x=5×(x-3)

    18-6x=5x-15

    • Resta 18-6x a cada lado:

    18-6x-18+6x=5x-15-18+6x

    0=11x-33

    • Suma 33 a cada lado:

    11x=33

    • Divide cada lado por 11:

    x=3

    Para comprobar si hay soluciones extrañas, la solución encontrada debe introducirse en la ecuación. Sin embargo, cuando se introduce x=3 la ecuación resulta indefinida porque hay x-3 en los denominadores. Por tanto, ¡no hay solución para la ecuación!

    Resolver ecuaciones racionales dadas como funciones

    En este tipo de preguntas, veremos ecuaciones racionales dadas como funciones con los dominios. Volveremos a resolver la ecuación racional de la misma forma, obtendremos las soluciones. Sin embargo, comprobaremos si las soluciones funcionan observando si las soluciones permanecen en el dominio. Si la solución no está en el dominio, se ignora.

    Por ejemplo, podemos tener una función como F(x)=4x2+102x2-5. El valor F(x) puede estar dado en las preguntas y debe insertarse en la función. Podemos tener un dominio para las soluciones que vaya de a a b. Tras resolver de nuevo la ecuación con métodos como la multiplicación cruzada y la LCD, debemos comprobar el dominio para las soluciones y ver si son extrañas.

    Veamos un ejemplo:

    Las ventas totales S (en millones de dólares) de un ordenador portátil pueden modelarse mediante

    S(t)=8t2+204t2-10 y el dominio es 0t7

    donde t es el número de consumidores (en miles). ¿Para cuántos consumidores fueron las ventas totales de ordenadores unos 6 millones de dólares?

    Solución:

    Para resolver esta ecuación, hay que introducir 6 en S(t) ya que representa las ventas porqueS(t) representa las ventas totales y se da como 6 millones de $ en el ejemplo. Debemos resolver la ecuación para hallar los t valores, y después comprobar si están en el dominio dado.

    Pasos para resolver la ecuación racional:

    • Escribe la ecuación:

    6=8t2+204t2-10

    • Para resolver la ecuación, podemos multiplicar en cruz :
    6×(4t2-10 )= 8t2+20
    • Propiedad distributiva:
    (6×4t2)-6×10=8t2+20

    24t2-60=8t2+20

    • Restar 8t2+20 a cada lado:
    24t2-60-8t2-20=8t2+20-8t2-20

    16t2-80=0

    • Suma 80 a cada lado:
    16t2-80+80=80

    16t2=80

    • Divide cada lado por 16:

    16t216=8016

    t2=5

    • Saca raíces cuadradas de cada lado: ±2.24t

    Como -2,24 no está en el dominio (0t7), la única solución sigue siendo +2,24.

    Por tanto, las ventas totales de los ordenadores rondan los 6 millones de dólares para 2240 consumidores.

    Resolución de ecuaciones racionales - Puntos clave

      • Si una solución no se encuentra en la ecuación o hace que la ecuación quede indefinida, se denomina solución extraña y se ignora.

      • Si se da un dominio para la solución, y se descubre que la solución no está en el dominio, entonces se ignora.

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    Preguntas frecuentes sobre Resolución de ecuaciones racionales
    ¿Qué es una ecuación racional?
    Una ecuación racional es una ecuación que involucra fracciones con polinomios en el numerador y el denominador.
    ¿Cómo se resuelve una ecuación racional?
    Para resolver una ecuación racional, iguala la ecuación a cero, factoriza, y encuentra los valores de x que hacen que el numerador sea cero.
    ¿Qué precauciones tomar al resolver ecuaciones racionales?
    Evita valores que hagan que el denominador sea cero, ya que esto no está definido en matemáticas.
    ¿Cómo se verifican las soluciones de una ecuación racional?
    Sustituye las soluciones en la ecuación original. Deben satisfacer la ecuación y no hacer el denominador cero.

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