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Definición de secuencia recursiva
Una secuencia recursiva es aquella en la que un término de la secuencia se define como función de uno o varios de sus términos anteriores. Se generan resolviendo una fórmula recursiva.
Una secuencia recursiva es aquella en la que el término siguiente de una secuencia puede expresarse como una función de sus términos anteriores.
Veamos un ejemplo sencillo.
Un ejemplo común de secuencia recursiva es una secuencia geométrica. Son secuencias que tienen una relación constante entre los términos. Tomemos la secuencia de números \(1,\frac{1}{2}, \frac{1}{4},\frac{1}{8}, \frac{1}{16}, \ldots,\) en este caso es fácil ver que el \(n^ésimo}) término hallado por la \((n-1)^ésima) potencia de \(\frac{1}{2}.\)
Fórmulas recursivas
En primer lugar, veamos la notación. Tomemos la secuencia de enteros \(1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, \ldots\). Para etiquetar los términos de la sucesión, los libros de texto utilizan \(a_n\) para denotar el \(n^ésimo) término de una sucesión, de modo que el cuarto término de la sucesión se denota como \(a_4=16\), y el primer término de la sucesión es \(a_1=1\).
Observa que para denotar el primer término de la secuencia se utiliza \(a_0\) o \(a_1\).
Supongamos que tienes una secuencia
$${a_n\}={a_1, a_2, a_3, \ldots , a_n\},$$
donde \(a_n\) se define como el término \(n^ésimo) de la secuencia. La recursión se produce cuando la salida de una iteración se convierte en la entrada de la siguiente. Una fórmula recursiva nos da una fórmula para el siguiente término de la secuencia en función de sus términos anteriores. Esta forma de secuencia exige explícitamente que sepas cuál es el término anterior del término que intentas encontrar. Para ello, necesitas dos datos fundamentales.
- El valor o valores del primer término o términos de la secuencia.
- La regla patrón que te da los términos siguientes.
Una fórmula recursiva es una fórmula que utiliza una regla común para generar el término siguiente de la secuencia a partir de su(s) término(s) anterior(es).
Ten en cuenta que las fórmulas recursivas también suelen denominarse relaciones recursivas o relaciones de recurrencia.
Secuencias recursivas: Ejemplos
A continuación veremos un par de ejemplos de secuencias recursivas y sus fórmulas.
Halla los cuatro primeros términos de la sucesión donde \(a_1=3\) y \(a_{n+1}=5a_{n}+7\), \(n \geq 1\).
Solución:
La fórmula recursiva para este ejemplo es \(a_{n+1}=5a_{n}+7\), donde \(a_1\) es el primer término de la secuencia y \(a_n\) es el \(n^{ésimo}) término.
Utilizando el valor inicial \(a_1=3\),
\N[\Ninicio: a_{2}&=5a_{1}+7=5\cdot3+7 \N &=22 \N - a_3&=5a_{2}+7=5\cdot22+7 \N &=117 \N - a_{4}&=5a_{3}+7=5\cdot117+7 \N &=592. \fin].
Por tanto, los cuatro primeros términos de la secuencia son \(3, 22, 117, 592\).
Encuentra una ecuación recursiva para la secuencia \(\{2, 4, 16, 256, 65536, \ldots\}\).
Solución:
Por inspección, puedes ver que el término de la secuencia es el cuadrado del término anterior.
Por tanto, la fórmula recursiva viene dada por:
$$a_n=(a_{n-1})^2 \text{ con } a_1=2.$$
Iteración
Se define como iteración cuando se repite muchas veces el mismo procedimiento y es el proceso de componer una función consigo misma repetidamente. La recursión es cuando la salida de una iteración se utiliza como entrada para la iteración siguiente.
La iteración es el proceso de componer una función consigo misma repetidamente.
Sea \(f(x)\) una función, entonces los iterados de esta función son:
$$f(x), f(f(x)), f(f(f(x))), f(f(f(x)))), \ldots $$
Partiendo de un valor inicial, puedes utilizar la iteración para generar recursivamente una secuencia.
Utiliza la iteración para encontrar los tres primeros iterados de la función \(f(x)=4x^2-x+3\) para el valor inicial \(x_1=\frac{1}{2}\).
Solución:
\[\begin{align} x_2&=f(x_1) \text{ iterar la función} \texto{utilizando el valor inicial dado en la pregunta} \texto{utilizando el valor inicial dado en la pregunta} \\ 4 izquierda(frac1} {2} derecha)^2-{frac1} {2}+3 x_3&={frac7} {2} \\ x_3&=f(x_2) \text{ iterar la función} \\ ¾ izquierda(¾frac{7} {2} {2} derecha) ¾ izquierda(¾frac{7} {2} {2} derecha)^2-\frac{7} {2}+3 ¾ \fin{align}.\}
Por tanto, los tres primeros iterados son \(\frac{1}{2}, \frac{7}{2}, \frac{97}{2}.|)
La iteración también es útil para modelizar situaciones de la vida real.
Si la tasa de inflación es \(18 \%\), el coste de un artículo en años futuros puede hallarse iterando la función \(c(x) = 1,18x\). Halla el coste de un ordenador portátil \($500\) dentro de cuatro años, si la tasa de inflación se mantiene constante.
Solución:
Tenemos un valor inicial que denotaremos como \(x_0=500\),
\[\begin{align} x_1&=f(x_0) \text{ iterar la función} |text{ utilizando el valor inicial dado en la pregunta} \\ x_2&=f(x_1) \text{ itera la función} \\ x_3&=f(x_2) \text{ itera la función} \\ x_4&=f(x_3) |text{ itera la función} \\ &=f(821.516) \\ &=1.18(821.516) \\ &=969.38888. \end{align}\]
Por tanto, \(x_4=969,39\).
Así que el coste de un portátil de \(500 $) al cabo de cuatro años es de \(969,39 $).
Secuencias especiales
Las secuencias especiales son secuencias que tienen un patrón único. Veamos cómo generarlas y detectarlas.
Secuencias especiales: Ejemplos
Hay muchos ejemplos de secuencias especiales. Veamos detenidamente algunos ejemplos conocidos.
Fibonacci
La sucesión de Fibonacci, que debe su nombre a un matemático italiano del sigloXIII, es una sucesión en la que cada término es la suma de los dos términos anteriores. La secuencia viene dada por la siguiente ecuación de recursión
$$F_n=F_{n-1}+F_{n-2}.$$
Fijando \(F_0=0\) y \(F_1=1\), tenemos:
\F_2&=F_1=1. F_2&=F_{1}+F_{0}=1+0=1 F_3&=F_{2}+F_{1}=1+1=2 F_4&=F_3+F_2=2+1=3 F_5&=F_4+F_3=3+2=5 F_6&=F_5+F_4=5+3=8 \text{ etc.} \end{align}\]
Esto nos da la secuencia
$${0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89, \ldots\}.$$
La secuencia de Fibonacci se demuestra en numerosos patrones que se dan en la naturaleza. Por ejemplo, los pétalos de muchas plantas suelen disponerse en varias espirales en el sentido de las agujas del reloj y en sentido contrario, y a menudo el número de espirales en un sentido y en el otro se da como números de Fibonacci consecutivos.
Números cuadrados
Fig. 1. Números cuadrados.
Los números cuadrados forman una secuencia con una fórmula dada por \(S_n=n^2\):
\S_0&=0^2=0 S_0&=0^2=0 \\\ S_1&=1^2=1 \ S_2&=2^2=4 \ S_3&=3^2=9 \ S_4&=4^2=16 \text{ etc.} \end{align}\]
Números triangulares
Fig. 2. Números triangulares.
El número de puntos en cada uno de los triángulos del diagrama anterior representa los números de los triángulos. Cada triángulo se forma aumentando en uno el número de puntos de la base y construyendo después un triángulo equilátero.
Los números triangulares pueden generarse mediante la fórmula \(T_n=suma_{k=0}^{n} k=0+1+2+\cdots+n=\frac{n(n+1)}{2}\), por ejemplo, los primeros \(6\) términos de la secuencia vienen dados por:
\T_0&=0 T_0&=0 \\ T_1&=0+1=\frac{1(1+1)}{2}=1 \ T_2&=\suma_{k=0}^{2} k=0+1+2=\frac{2(2+1)}{2}=3 \ T_3&= suma_{k=0}^{3} k=0+1+2+3=frac{3(3+1)}{2}=6 \ T_4&= suma_{k=0}^{4} k=0+1+2+3+4=frac{4(4+1)}{2}=10 \ T_5&= suma_{k=0}^{5} k=0+1+2+3+4+5=frac{5(5+1)}{2}=15. \end{align}\}]
La fórmula recursiva para esta secuencia de números viene dada como \(T_n=T_{n-1}+n\), así que con un valor inicial de \(T_0=0\) podemos obtener el mismo resultado:
\[\begin{align} T_0&=0 \_T_1&=T_{0}+1=0+1=1 \_T_2&=T_{1}+2=1+2=3 \_T_3&=T_{2}+3=3+3=6 \_T_4&=T_{3}+4=6+4=10 \_T_5&=T_{4}+5=10+5=15. \end{align}\]
Una característica interesante de los números triangulares es que, si sumas números triangulares consecutivos, obtendrás una secuencia de números cuadrados como la siguiente:
\T_0+T_1+T_1+T_1+T_1+T_1+T_1+T_1+T_1. T_0+T_1&=0+1=1\tiempos1=1^2=S_1 \ T_1+T_2&=1+3=4=2\tiempos2=2^2=S_2 \ T_2+T_3&=3+6=9=3\times3=3^2=S_3 \ T_3+T_4&=6+10=16=4\times4=4^2=S_4 \ T_4+T_5&=10+15=25=5\times5=5^2=S_5 \text{ etc.} \end{align}\]
Números cúbicos
Fig. 3. Números cúbicos.
La fórmula general de los números cúbicos es \(C_n=n^3\). Los cinco primeros términos de la secuencia de los números cúbicos a vienen dados por:
\[\begin{align} C_0&=0^3=0 \\ C_1&=1^3=1 \ C_2&=2^3=8 \ C_3&=3^3=27 \ C_4&=4^3=64. \end{align}\]
La suma de los primeros \(n\) números cúbicos es igual al cuadrado de su suma:
$$C_1+C_2+\ldots+C_n=1^3+2^3+\ldots+n^3=(1+2+\ldots+n)^2.$$
Alternativamente, puedes utilizar la siguiente fórmula para la suma de los primeros \(n\) números cúbicos
$$suma_{k=1}^{n} k^3= \frac{n^2(n+1)^2}{4},$$
que se ha derivado de los números triangulares, \(T_n=\suma_{k=1}^{n} k=\frac{n(n+1)}{2}\). La suma de los primeros \(n\) números cúbicos es igual al cuadrado del \(n^ésimo) número triangular, como sigue
$$\sum_{k=1}^{n} k^3=\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2=\frac{n^2(n+1)^2}{4}.$$
Secuencias aritméticas y fórmulas recursivas
Otro tipo importante de secuencia especial es la secuencia aritmética. Se trata de secuencias en las que existe una diferencia común que permanece constante entre dos términos consecutivos cualesquiera. Tendrás que ser capaz de identificar secuencias aritméticas observando la diferencia entre términos y encontrar la fórmula recursiva correspondiente.
Una secuencia aritmética es aquella en la que hay una diferencia constante entre términos.
Veamos un ejemplo:
$${4, 10, 16, 22, 28, \ldots\}.$$
Esta secuencia es un ejemplo de secuencia aritmética, ya que existe una diferencia común de \(6\) entre cada uno de los términos consecutivos.
Supongamos que te dan el término \(n^ésimo) y la diferencia común de una secuencia aritmética, entonces puedes hallar el siguiente término de la secuencia, \(a_{n+1}\) utilizando la fórmula recursiva de una secuencia aritmética.
La fórmula recursiva de una sucesión aritmética viene dada por \(a_{n+1}=a_n+d.\) Donde \(a_{n+1}) es el \((n+1)^ésimo} \) de la secuencia, \(a_n\) es el término \(n^ésimo) y \(d\) es la diferencia común.
Ejemplos de secuencias aritméticas y fórmulas recursivas
Exploremos ahora algunos ejemplos.
Tomemos la secuencia de números \(\{18, 15, 12, 9, \ldots\}.\} Es un ejemplo de secuencia aritmética.
Puedes hallar la diferencia común restando el término \(n^ésimo) de la secuencia por el término anterior, de la siguiente manera:
$$a_{n}-a_{n-1}=d.$$
En este caso
\N[\Ncomienza{alinear} a_2-a_1&=15-18=-3 \N a_3-a_2&=12-15=-3 \N a_4-a_3&=9-12=-3. \end{align}\]
Por tanto, la diferencia común es \(d=-3\).
Por tanto, utilizando la fórmula anterior, la fórmula recursiva de esta secuencia aritmética es
$$a_n=a_{n-1}-3.$$
Halla la fórmula recursiva de la secuencia aritmética \(\ {0,6, 0,45, 0,3, 0,15, 0, \ldots\}).
Solución:
Primero tienes que hallar la diferencia común.
\[\begin{align} a_{n}-a_{n-1}&=d \ a_2-a_1&=0,45-0,6 \ d&=-0,15. \end{align}\]
Por tanto, la diferencia común es \(d=-0,15\).
Utilizando la fórmula recursiva de la secuencia aritmética dada anteriormente, tienes que
\a_n&=a_{n-1}+d a_n&=a_{n-1}-0,15. \end{align}]
Por tanto, la fórmula recursiva de esta secuencia aritmética es
$$a_n=a_{n-1}-0.15.$$
Recursión y secuencias especiales - Puntos clave
- Las secuencias recursivas son secuencias en las que los términos anteriores dados, definen los términos de la secuencia.
- Para la recursividad siempre se necesitan dos datos: el primer término de la secuencia y la regla patrón que te da los términos siguientes.
- Las secuencias que no siguen un patrón simple y regular, como las secuencias aritméticas o las secuencias geométricas, se llaman secuencias especiales.
- Ejemplos de secuencias especiales son la secuencia de Fibonacci, los números triangulares, los números cúbicos y los números cuadrados.
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