Gráficas de Funciones Trigonométricas: Seno, Coseno

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Recordemos que cuando estudiamos las Razones Trigonométricas, examinamos las Funciones $\sin (x)$ , $\cos (x)$ y $\tan (x)$ . Una función trigonométrica es una función que relaciona el tamaño de un ángulo en un triángulo rectángulo con las longitudes de sus lados.

Propiedades de las gráficas trigonométricas

Hay tres gráficas que nos interesan cuando estudiamos las gráficas de las funciones trigonométricas: las gráficas de sen(x), cos(x) y tan(x). Para las matemáticas de GCSE, tienes que memorizar el aspecto de estas gráficas. Sin embargo, tienen algunas propiedades clave que las hacen bastante sencillas de dibujar. Empezaremos con la gráfica de $y = \sin (x)$ .

Gráfica de y=sin(x)

Gráficas de sen, cos y tan, Gráfica de sen(x) , Jordan Madge

Gráficas de la función trigonométrica- Gráfica de y=sin(x), Jordan Madge- StudySmarter Originals

Propiedades clave

Podemos ver que la gráfica de y=sin(x) tiene un valor máximo de 1 y un valor mínimo de -1. De ello podemos concluir que el valor de sin(x) sólo puede estar comprendido entre 1 y -1. Por tanto, si tenemos una ecuación donde $\sin (x) = 1.4$ la ecuación no tiene solución.
Los valores de x suben en intervalos de 90 grados yse repiten periódicamente en un ciclo de 360 grados. En otras palabras, después de cada 360 grados, observamos que la gráfica se repite.
En varios puntos, la gráfica es simétrica. Por ejemplo, tenemos simetría respecto a la recta $x = 90 °$ . Esto nos será útil más adelante cuando encontremos soluciones múltiples a las Ecuaciones trigonométricas.

Supongamos que $\sin (x) = 1$ . Observando la gráfica, podemos ver que $\sin (x) = 1$ en $x = - 270 °$ , $x = 90 °$ y $x = 450 °$ . Como la gráfica de $\sin (x)$ seguirá oscilando infinitamente, podríamos concluir de ello que la ecuación $\sin (x) = 1$ tiene un número infinito de soluciones. Si una ecuación trigonométrica tiene una solución, tendrá un Número infinito de soluciones y más adelante utilizaremos la propiedad de simetría para intentar encontrar dichas soluciones.

El nombre oficial de una gráfica que adopta la forma de una gráfica sinusoidal es onda sinusoidal. Muchas cosas adoptan naturalmente la forma de una onda sinusoidal, por ejemplo, el movimiento de los planetas alrededor del sol.

La gráfica de y=cos(x)

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Propiedades clave

Si no has prestado mucha atención en la última sección, puedes pensar que este gráfico es prácticamente igual que el gráfico de $\sin (x)$ . Sin embargo, si vuelves atrás y juegas a detectar las diferencias, te darás cuenta de que la gráfica de $\cos (x)$ no es más que la gráfica de $\sin (x)$ desplazada 90 grados a la izquierda.
Del mismo modo que $\sin (x)$ la gráfica de $\cos (x)$ también tiene un máximo en $1$ un mínimo en $- 1$ y también una propiedad de simetría. Sólo debemos recordar que la gráfica de $\cos (x)$ empieza en $1$ mientras que la gráfica de $\sin (x)$ empieza en $0$ .

La gráfica de y=tan(x)

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Propiedades clave

El gráfico de $\tan (x)$ tiene un aspecto bastante diferente al de $\cos (x)$ y $\sin (x)$ . Sin embargo, es similar en el sentido de que es periódica, y podemos ver que se repite cada $180$ grados.
La gráfica de $\tan (x)$ tiene unas cosas llamadas asíntotas, que son puntos hacia los que tiende la gráfica pero que nunca alcanza del todo. Se representan en la gráfica como líneas discontinuas. Podemos ver que la primera asíntota positiva aparece en $x = 90 °$ y luego se repiten cada $180$ grados.
A diferencia de $\cos (x)$ y $\sin (x)$ la gráfica de $\tan (x)$ no tiene un máximo o mínimo de más o menos $1$ sino que tiene un máximo y un mínimo de más o menos infinito. Por tanto, la ecuación $\tan (x) = 3.8$ puede resolverse para obtener un número infinito de valores reales de x.

Gráficas de funciones trigonométricas Métodos

Encontrar soluciones a ecuaciones trigonométricas

En el apartado anterior, hemos tratado brevemente el hecho de que si una ecuación trigonométrica tiene una solución, tendrá un número infinito de soluciones. En la sección siguiente, veremos cómo hallar soluciones múltiples a las ecuaciones trigonométricas.

Dado que las ecuaciones trigonométricas pueden tener un número infinito de soluciones, necesitamos especificar un límite al enunciar las respuestas, para no emplear una cantidad infinita de tiempo en encontrar hasta la última solución. Este límite se expresará normalmente como un intervalo, por ejemplo $0 ° \leq x \leq 360 °$ o $- 180 ° \leq x \leq 180 °$ . Asegúrate de tener en cuenta este límite cuando respondas a las preguntas.

Gráficas de funciones trigonométricas Ejemplos

Encuentra las soluciones de $\sin (x) = 0.9$ , para el intervalo $0 ° \leq x \leq 360 °$ .

Solución:

El primer paso es dibujar la gráfica de $y = \sin (x)$ y de $y = 0.9$ en el mismo eje para el intervalo $0 ° \leq x \leq 360 °$ .

Gráficas de sen, cos y tan, Gráfica que muestra las soluciones de sen(x)=0,9 , Jordan Madge Gráficas de funciones trigonométricas- Gráfica que muestra las soluciones de sen(x)=0,9, Jordan Madge- StudySmarter Originals

Los puntos de intersección se han etiquetado en naranja como 1 y 2, éstas son las soluciones de las que buscamos encontrar los valores exactos.

El segundo paso consiste en hallar el valor exacto de la solución inicial. Esto se puede hacer escribiendo $\sin^{- 1} (0.9)$ en nuestra calculadora. Al hacerlo, obtenemos $x = 64.2 °$ . Ésta es claramente la primera solución etiquetada en el diagrama, ya que se encuentra entre $0 °$ y $90 °$ .

Es importante tener en cuenta que tu calculadora debe estar en modo grados cuando calcules valores trigonométricos, ya que estamos trabajando en grados. Si tu calculadora está en modo radianes, la respuesta puede variar y, por tanto, puedes obtener una respuesta incorrecta. Sabrás que tu calculadora está en modo grados cuando aparezca una pequeña D en la parte superior de la pantalla. Si ves una R o cualquier otra letra, está en el modo incorrecto y hay que cambiarla.

El siguiente paso es encontrar la otra solución utilizando la propiedad simétrica de la gráfica de sen(x). Si nos fijamos, la gráfica es simétrica sobre id="5231176" role="math" $x = 90 °$ . Por tanto, podemos hallar la segunda solución calculando la distancia entre $64.2 °$ y $90 °$ y sumando este valor a $90 °$ . Esto puede ilustrarse en el diagrama siguiente:

Gráficas de sen, cos y tan, Gráfica que muestra las soluciones de sen(x)=0,9 , Jordan Madge Gráficas de funciones trigonométricas - Gráfica de las soluciones de sen(x)=0,9, Jordan Madge - StudySmarter Originals

Como la distancia entre $64.2 °$ y $90 °$ es $25.8 °$ la segunda solución es id="5231177" role="math" $90 + 25.8 = 115.8 °$ . Por tanto, las dos soluciones de la ecuación $\sin (x) = 0.9$ en el intervalo $0 ° \leq x \leq 360 °$ son id="5231178" role="math" $x = 64.2 °$ y id="5231179" role="math" $x = 115.8 °$ .

Encuentra las soluciones de $\cos (x) = - 0.2$ para el intervalo $- 180 ° \leq x \leq 180 °$ .

Solución:

El primer paso es dibujar las gráficas de $y = \cos (x)$ y id="5231180" role="math" $y = - 0.2$ en los mismos ejes para el intervalo $- 180 ° \leq x \leq 180 °$ para que podamos ver las soluciones que intentamos encontrar.

Gráficas de sen, cos y tan, Gráfica que muestra las soluciones de cos(x)=-0,2 , Jordan Madge Gráficas de funciones trigonométricas- Gráfica que muestra las soluciones de cos(x)=-0,2, Jordan Madge- StudySmarter Originals

El siguiente paso es encontrar la solución inicial escribiendo $\cos^{- 1} (- 0.2)$ en nuestra calculadora. Obtenemos id="5231181" role="math" $x = 101.5 °$ . Claramente, ésta es la solución etiquetada como 2 en el diagrama, ya que es un poco mayor que id="5231186" role="math" $90 °$ pero menor que id="5231187" role="math" $180 °$ .

Ahora tenemos que encontrar la otra solución representada en el diagrama. Como la gráfica de $\cos (x)$ es simétrica respecto a la recta $x = 0$ podemos ver que la otra solución debe estar en id="5231182" role="math" $x = - 101.5 °$ . Por tanto, las dos soluciones de id="5231183" role="math" $\cos (x) = - 0.2$ en el intervalo $- 180 ° \leq x \leq 180 °$ son id="5231185" role="math" $x = 101.5 °$ y id="5231184" role="math" $x = - 101.5 °$ .

Encuentra las soluciones de $\tan (x) = 2.3$ para el intervalo $0 ° \leq x \leq 360 °$ .

Solución:

El primer paso, como siempre, es dibujar las gráficas $y = \tan (x)$ y id="5231188" role="math" $y = 2.3$ en los mismos ejes para el intervalo $0 ° \leq x \leq 360 °$ .

Gráficas de sen, cos y tan, Gráfica que muestra las soluciones de tan(x)=2,3 , Jordan Madge Gráficas de funciones trigonométricas- Gráfica que muestra las soluciones de tan(x)=2,3, Jordan Madge- StudySmarter Originals

Podemos ver que hay dos puntos de intersección y, por tanto, dos soluciones de $\tan (x) = 2.3$ . La primera solución se puede encontrar escribiendo id="5231189" role="math" $\tan^{- 1} (2.3)$ en nuestra calculadora. Al hacerlo, obtenemos id="5231190" role="math" $x = 66.5 °$ Ésta es claramente la primera solución, ya que se encuentra entre $0$ y $90$ grados.

La gráfica de $\tan (x)$ se repite periódicamente después de $180$ grados. Por tanto, podemos encontrar la siguiente solución sumando múltiplos 180 a la solución inicial. Así, la segunda solución está en id="5231193" role="math" $180 + 66.5 = 246.5 °$ . Por tanto, las dos soluciones de $\tan (x) = 2.3$ en el intervalo $0 ° \leq x \leq 360 °$ son id="5231191" role="math" $x = 66.5 °$ y id="5231192" role="math" $x = 246.5 °$ .

Las soluciones a cualquier ecuación en la que intervenga tan(x) se pueden encontrar añadiendo múltiplos de 180 a la solución inicial.

Encuentra las soluciones de $4 \tan (x) = 3$ para el intervalo $- 180 ° \leq x \leq 180 °$ .

Solución:

No podemos resolver esta ecuación en su forma actual. Primero tenemos que dividir ambos lados por $4$ para obtener $\tan (x)$ por sí mismo. Obtenemos $\tan (x) = \frac{3}{4}$ . Ahora podemos hallar la primera solución de la ecuación tomando el inverso de tan de ambos lados para obtener $x = \tan^{- 1} (\frac{3}{4}) = 36.9 °$ .

Ahora, como es tan, sabemos que las soluciones se pueden encontrar sumando o restando múltiplos de $180 °$ a la solución inicial. Por tanto, la siguiente solución estará en $36.9 + 180 = 216.9$ pero está fuera del intervalo. Podemos obtener otra solución restando $180 °$ de $36.9 °$ para obtener $- 143.1 °$ que está dentro del intervalo. Si restamos otro $180^{°}$ dará una solución fuera del intervalo, por lo que las dos soluciones a $4 \tan (x) = 3$ en el intervalo $- 180 ° \leq x \leq 180 °$ son $x = 36.9 °$ y $x = - 143.1 °$ .

Gráficas de funciones trigonométricas - Puntos clave

Hay tres gráficas que nos interesan al estudiar las gráficas de las funciones trigonométricas: las gráficas de sen(x), cos(x) y tan(x).
Las gráficas de sen(x) y cos(x) tienen un valor máximo de 1 y un valor mínimo de -1, la gráfica de tan(x) tiene un máximo y un mínimo de más o menos infinito.
La gráfica de cos(x) no es más que la gráfica de sen(x) desplazada 90 grados a la izquierda.
Las gráficas de sen(x) y cos(x) tienen propiedades de simetría que nos permiten encontrar varias soluciones al resolver ecuaciones.
En las ecuaciones en las que interviene tan(x), podemos obtener cada solución sumando múltiplos de 180 a cada solución.

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Preguntas frecuentes sobre Gráficas de Funciones Trigonométricas

¿Qué son las gráficas de funciones trigonométricas?

Las gráficas de funciones trigonométricas representan visualmente las funciones seno, coseno y tangente en un plano cartesiano.

¿Cómo se dibuja la gráfica de una función seno?

Para dibujar la gráfica de una función seno, se usa la fórmula y = sin(x) y se trazan sus valores a lo largo del eje x.

¿Cuál es la diferencia entre las gráficas de seno y coseno?

La diferencia principal es que la gráfica de coseno está desplazada a la izquierda por 90 grados (o π/2 radianes) en comparación con la de seno.

¿Cómo afecta la amplitud a las gráficas trigonométricas?

La amplitud determina el valor máximo y mínimo de la función; gráficamente, cambia la altura de las olas en las gráficas.

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