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¿Qué es el número Pi?
El número pi es un número irracional representado por la letra griega (\(\pi\), pronunciado /paɪ/). Un número irracional no es más que un número con un número infinito de decimales. Pi representa el cociente entre la circunferencia de un círculo y su diámetro.
Fig. 1. Diagrama que muestra la relación entre la circunferencia de un círculo y su diámetro
Como \(\pi\) es un número irracional, es imposible conocer cada dígito de \(\pi\). Sin embargo, los matemáticos han calculado unos 82 billones de dígitos decimales de este número. Se suele aproximar a 3,14 o 3,1416.
El número pi también recibe el nombre de constante de Arquímedes porque fue él quien observó la relevancia de \(\pi\) en la geometría y calculó su aproximación en el sigloIII a.C.
¿Cómo calculó Arquímedes el número Pi?
El matemático griego Arquímedes es considerado el descubridor del número \(\pi\). En el año 250 a.C., fue capaz de calcular hasta dos decimales de \(\pi\) mediante aproximación. ¿Cómo lo consiguió?
En un círculo , \(\pi\) corresponde exactamente a la mitad de la circunferencia (C) del círculo.
\(\pi = \frac{C}{d}\)
Arquímedes dibujó un círculo unitario, es decir, un círculo con un radio de \(r = 1\) o un diámetro de \(d = 2\). Dentro y fuera de este círculo unitario, Arquímedes dibujó un hexágono regular, cuyo perímetro pudo calcular.
Fig. 2. Método de aproximación para calcular \(\pi\) con el Círculo Unitario y hexágonos.
La circunferencia C del círculo es, pues, mayor que el perímetro del hexágono interior, pero menor que el del hexágono exterior.
Arquímedes pudo aplicar la relación que hemos mencionado antes, de que en el círculo unitario \(\pi = \frac {C}{2}\), añadiendo a ello los perímetros conocidos de ambos hexágonos, de modo que pudo determinar un límite inferior y superior para el número \( \pi\).
\(\frac {P_hexágono interior}{2} < \pi < \frac {P_hexágono exterior}{2})
\(3 < \pi < 3,464101615\)
P es el símbolo del perímetro.
Para obtener una mejor aproximación al número \(\pi\), Arquímedes dividió los lados de los hexágonos originales para hacer un dodecágono (12 lados), luego un icositetrágono (24 lados) y así sucesivamente hasta llegar a un eneacontaxágono (96 lados).
De este modo, pudo determinar los siguientes límites de \(\pi\):
\(3,1408450 < \pi < 3,1428571\)
¿Qué son los múltiplos de Pi?
En primer lugar, entendamos qué se entiende por múltiplos de un número.
El múltiplo de unnúmero es el producto obtenido al multiplicar ese número por un número entero (un número entero, es decir, un número sin decimales). Se puede decir que son las tablas de multiplicar de ese número.
Veamos un ejemplo de múltiplos de un número.
Algunos de los múltiplos de \( 2 \) son \( 2 \), \( 4 \), \( 6 \), \( 8 \) y así sucesivamente. Se obtienen multiplicando \( 2 \) por enteros positivos.
Pi es un número, por lo que puede multiplicarse por otros números, incluidos los enteros. Por tanto, hallar los múltiplos de pi se hace igual que hallar los múltiplos de cualquier número.
A partir de la definición de múltiplos de un número y de \(\pi\) dada anteriormente, ahora sabemos lo que significan los múltiplos de pi.
Múltiplos de \(\pi\) es el producto que se obtiene al multiplicar \(\pi\) por un número entero.
Múltiplos impares de Pi
Veamos qué ocurre cuando multiplicas \( \pi \) por un número impar.
Los múltiplos impares de \( \pi \) son todos los múltiplos de \( \pi \) obtenidos al multiplicar \( \pi \) por números impares.
Los números impares son números que no son divisibles por 2. Algunos ejemplos son \( 1 \), \( 3 \), \( 5 \), \( 7 \), \( 9 \), etc.
A partir de la definición anterior, vemos que para encontrar los múltiplos impares de \( \pi \), tendrás que multiplicar \( \pi \) por un número impar. Al hacerlo, puede que no sea necesario multiplicar por el valor numérico de \( \pi \). Puedes utilizar simplemente el símbolo y tratarlo como álgebra. Mira el ejemplo siguiente.
Algunos múltiplos impares de \(\pi \) son:
\[ \begin{align} \pi \cdot 1 &= \pi, \pi \cdot 3 &= 3\pi , \pi \cdot 5 &= 5\pi , \pi \dots \end{align} \]
¡y la lista continúa!
Puedes ver que los múltiplos impares se obtienen multiplicando \(\pi \) por números impares.
Múltiplos pares de Pi
¿Y si multiplicamos \( \pi \) por un número par?
Los múltiplos pares de \( \pi \) son todos los múltiplos de \( \pi \) que se obtienen de multiplicar \( \pi \ ) por números pares.
Los números pares son números divisibles por dos. Se pueden dividir en dos pares o partes iguales. Ejemplos: \( 2 \), \( 4 \), \( 6 \), \( 8 \), \( 10 \) ......
A partir de las definiciones anteriores, vemos que para hallar los múltiplos pares de \( \pi \), tendrás que multiplicar por un número par. Al hacer esto, puede que no sea necesario utilizar la aproximación numérica de \( \pi \). Puedes utilizar simplemente el símbolo y tratarlo como álgebra. Echa un vistazo al siguiente ejemplo.
Algunos múltiplos pares de \(\pi \) son
\[ \begin{align} \pi \cdot 2 &= 2\pi , \pi \cdot 4 &= 4\pi , \pi \cdot 6 &= 6\pi ,\pi \dots \end{align}\].
Puedes ver que los múltiplos pares se obtienen multiplicando \(\pi \) por números pares.
Múltiplos de Pi en decimales
A veces querrás un valor aproximado al multiplicar por \( \pi \) en lugar del exacto. Aquí vas a utilizar el valor numérico de \( \pi \) para hallar sus múltiplos. El propio valor aproximado de \( \pi \) es un número decimal, por lo que hallar sus múltiplos de esta forma dará como resultado un número decimal.
También puedes encontrar los múltiplos pares o impares de \( \pi \) en decimal. Sólo tienes que identificar los múltiplos pares o impares. El ejemplo siguiente muestra cómo obtener los múltiplos de \(\pi \).
Algunos múltiplos decimales de la aproximación de \(\pi \) son
\[ \\begin{array}{lll} \pi \cdot 1 & \approx 3,142 \cdot 1 &= 3,142 , \pi \cdot 2 & \approx 3,142 \cdot 2 &= 6,284, \pi \cdot 3 & \approx 3,142 \cdot 3 & = 9,426 .\end{array} {lll} \]
Múltiplos de Pi/4
El significado de este número tan concreto, Pi/4, a menudo escrito \(\frac{\pi}{4}\), proviene del uso de \(\pi\) en trigonometría.Recuerda que \(\pi\) es siempre el resultado de dividir la circunferencia C de un círculo por su diámetro d (\(\pi = \frac{C}{d}\)). Por tanto, \(C = d\pi\). En un círculo unitario, d = 2: \(C = 2\pi\). Por tanto, \(C = d\pi\). En una circunferencia unitaria, d = 2: \(C = 2\pi\).
Al medir el grado de un ángulo mediante \(\pi\), hablamos de radianes en lugar de grados. Una circunferencia completa mide 360º, y también \(2\pi\). Por tanto, \(360^\circ \equiv 2\pi\).
Por tanto, \(180^\circ \equiv \pi, \quad 90^\circ \equiv \frac{\pi}{2} \quad y \quad 45^\circ \equiv \frac{\pi}{4}\).
Pi/4 es una fracción y, por tanto, es posible hallar sus múltiplos como hallarías los múltiplos de una fracción. Todo lo que tienes que hacer es multiplicar por enteros.
Veamos los cinco primeros múltiplos de \(\frac{\pi}{4} \).
Los cinco primeros múltiplos de \( \frac{\pi}{4} \) son:
\(\frac{pi} {4} \frac{pi} {4} \frac{pi} {4} \a \frac{\pi} {4} \1 &= \frac{pi}{4} \equiv 45^\\circ, \frac{\pi}{4} \cdot 2 &= \frac{pi}{2} \equiv 90^\\circ, \frac{\pi}{4} \cdot 3 &= \frac{3\pi}{4} \equiv 135^\\circ, \\\frac{\pi}{4} \Punto 4 = Equiv. 180 Circ. \cdot 5 &= \frac{5\pi}{4} \225^circ. \fin \)
También puedes hallar múltiplos de \(\frac{\pi}{2} \), \(\frac{\pi}{3} \), \(\frac{\pi}{6} \) y cualquier otra fracción en términos de \( \pi \) exactamente igual que en el ejemplo anterior.
Ejemplos de múltiplos de Pi
Veamos algunos ejemplos de múltiplos de \( \pi \).
¿Cuáles son los cinco primeros múltiplos de \( \pi \)?
Solución.
Para obtener los cinco primeros múltiplos de \( \pi \), multiplicaremos \( \pi \) por los enteros \( 1 \), \( 2 \), \( 3 \), \( 4 \) y \( 5 \).
\[ \begin{align} \pi \cdot 1 & = \pi \\\pi \cdot 2 & = 2\pi \\\pi \cdot 3 & = 3\pi \\pi \cdot 4 & = 4\pi \\pi \cdot 5 & = 5\pi \ \end{align} \]
Por tanto, los cinco primeros múltiplos son \(\pi \), \(2\pi \), \(3\pi \), \(4\pi \) y \(5\pi \). Observa que los cinco primeros múltiplos de \( \pi \) incluyen múltiplos pares e impares.
Veamos otro ejemplo.
¿Cuáles son los tres primeros múltiplos impares de \( \pi \)?
Solución.
Para obtener los tres primeros múltiplos impares de \( \pi \), multiplicas \( \pi \) por \( 1 \), \( 3 \) y \( 5 \) que son números impares.
\[ \begin{align} \pi \cdot 1 & = \pi \\ \pi \cdot 3 & = 3\pi \\ \pi \cdot 5 & = 5\pi \\ \end{align} \]
Por tanto, los tres primeros múltiplos impares son \(\pi \), \(3\pi \) y \(5\pi \).
Veamos otro ejemplo.
Enumera algunos de los múltiplos de \( \pi \) en decimales.
Solución.
Para obtener algunos de los múltiplos de \( \pi \) en decimales, tendrás que multiplicar por el valor numérico de \( \pi \) que es aproximadamente \( 3,142 \).
\[ \begin{align} \pi \cdot 1 & \approx 3,142 \\ \pi \cdot 2 & \approx 6,284 \ \pi \cdot 3 & \approx 9.426 Pi Punto 4 y Aprox. 12,568 Pi Punto 5 y Aprox. 15,71 Pi Punto 6 y Aprox. 18,852 end {align} \]
Por tanto, algunos de los múltiplos de \( \pi \) en decimales son: \( 3,142 \), \( 6,284 \), \( 9,426 \), \( 15,71 \) y \( 18,852 \) \(puntos \)
Veamos un ejemplo de los múltiplos pares de \(\pi \).
Enumera los cuatro primeros múltiplos pares de \ ( \frac{\pi}{4} \).
Solución.
Para hallar los múltiplos pares de \( \frac{\pi}{4} \), tendremos que multiplicar por \( 2 \), \( 4 \), \( 6 \) y \( 8 \), que son todos números pares.
\[ \begin{align} \4. \cdot 2 & = \frac{\pi}{2} \ \frac {\pi}{4} \Punto 4 y = IPi Frac IP4 \cdot 6 & = \frac{3\pi}{2} \ \frac{\pi}{4} \cdot 8 &= 2\pi \cdot \end{align} \]
Por tanto, los primeros \( 4 \) múltiplos pares son: \( \frac{\pi}{2} \), \( \pi \), \( \frac{3\pi}{2} \) y \( 2\pi \).
Veamos un ejemplo más.
Enumera algunos múltiplos de \( \frac{\pi}{2} \).
Solución.
Algunos de los múltiplos de \( \frac{\pi}{2} \) son:
\[ \begin{align} \frac{\pi}{2} \1 &= \frac{\pi}{2} \\ \frac{pi}{2} \Punto 2 &= IPi Frac IPi 2 \cdot 3 &= \frac{3\pi}{2} \ \frac{\pi}{2} \Punto 4 &= 2 p.p. \cdot 5 &= \frac{5\pi}{2} \ \frac{\pi}{2} \Punto 6 &= 3 p.p. \Punto 7 &= 7pi2 \\ fin{align} \]
Por tanto, algunos de los múltiplos de \( \frac{{pi}{2} \) son: \( \frac {\pi} {2} \), \( \pi \), \( \frac {3\pi} {2} \), \( 2\pi \), \( \frac {5\pi} {2} \), \( 3\pi \), \( \frac {7\pi} {2} \) ..... ¡y la lista continúa!
Múltiplos de pi - Puntos clave
- Múltiplos de \( \pi \) es el producto que se obtiene al multiplicar pi por un número entero.
- Los múltiplos impares de \( \pi \) son todos los múltiplos de \( \pi \) que se obtienen de multiplicar \( \pi \) por números impares.
- Cuando multiplicas \( \pi \) por un número impar, el resultado es un múltiplo impar de \( \pi \) .
- Los múltiplos pares de \( \pi \) son todos los múltiplos de \( \pi \) que se obtienen de multiplicar \( \pi \) por números pares.
- Cuando multiplicas \( \pi \) por un número par, el resultado es un múltiplo par de \( \pi \).
- Las aproximaciones de \( \pi \) son \( \frac{22}{7}\) y \( 3,14159 \).
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