Determinantes de Matrices

¿Te has planteado alguna vez cómo averiguar si un sistema de ecuaciones simultáneas contiene una solución? Es posible que configures un sistema de ecuaciones para comparar ofertas sobre algo que quieres comprar para comparar varios factores entre las distintas opciones, pero ¿cómo compruebas si has configurado el sistema correctamente y si hay soluciones para comparar?

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    Puedes almacenar este sistema en una matriz y luego hallar el determinante de esta matriz para saber si tienes una solución disponible.

    Sigue leyendo para saber más sobre cómo funciona esto.

    ¿Qué es una matriz?

    Una matriz es una matriz utilizada para almacenar, mostrar y calcular datos. Los elementos internos se llaman elementos y la matriz tendrá \(m\) columnas y \(n\) filas.

    Para entender qué es un determinante y cómo aplicarlo, primero debemos entender qué es una matriz.

    Una matriz es una forma de mostrar información; por ejemplo, un sistema de ecuaciones simultáneas puede escribirse en forma de matriz, donde sus columnas son para una variable y sus filas son para sus ecuaciones. Las soluciones formarían entonces un vector columna. La notación matricial facilita las transformaciones y la resolución de conjuntos de datos, sobre todo cuando hay que resolver más de 2 ecuaciones.

    Pero, ¿cómo resolvemos una matriz? Ahí es donde entran en juego los determinantes: los utilizamos para resolver matrices.

    La notación matricial general es que \(m\) denota el número de columnas y \(n\) denota el número de filas. Los internos de la matriz pueden escribirse como:\[A_{m,n} = \begin{bmatrix}a_{1,1} & a_{1,2} & \cdots & a_{1,n} \\a_{2,1} & a_{2,2} & \cdots & a_{2,n} \\\a_{m,1} & a_{m,2} & \cdots & a_{m,n} \fin].

    Para más información y ejemplos, consulta nuestro artículo sobre Matrices básicas.

    \Ejemplo de matriz (2 veces 2) [A_{2,2}=comienzo{matriz}3&7\12&-3] fin{matriz}].

    \(2 veces 3) ejemplo de matriz [A_{2,3}=comienza{bmatriz}2&-4&19\11&23&5{final}].

    \(4\times 3\) matrix example\[A_{4,3}=\begin{bmatrix}2&8&4\\-2&-5&-3\\13&9&7\\-7&3&-2\end{bmatrix}\]

    Las matrices son una forma muy útil de mostrar y almacenar mucha información, y se utilizan mucho en matemáticas, física e ingeniería, en los niveles superiores de esas disciplinas.

    ¿Qué es un determinante?

    Ya conocemos los fundamentos generales de las matrices, pero ¿qué es un determinante y por qué es importante?

    El determinante es un valor que podemos averiguar para cualquier matriz cuadrada y que podemos utilizar para calcular la matriz inversa.

    Una matriz cuadrada es una matriz que tiene el mismo número de filas y columnas, \(m=n.\)

    Como puedes ver a continuación, las matrices cuadradas tienen igual número de filas y columnas para formar un cuadrado

    \(2\times 2\) ejemplo de matriz \[A_{2,2}=\in{bmatriz}3&7\\\12&-3\end{bmatriz}\}

    \Ejemplo de matriz invertible(3 veces 3) \[A_{3,3}=comienzo{matriz}1&2&3\4&5&6\7&8&9\final{matriz}].

    Una matriz invertible es una matriz para la que podemos encontrar otra matriz tal que su producto sea la matriz identidad \((I)\).

    Nuestra matriz inicial puede denotarse como \(A\) y la segunda matriz es la inversa de esta matriz, por lo que se denota como \(A^{-1}\). Esto da la identidad \[AA^{-1}=I. \\] Puedes pensar en las matrices inversas como los recíprocos del mundo de las matrices.

    El determinante también nos dice si una matriz es invertible. Demos el determinante de la matriz A como \(\det{A}.\)

    • Si el determinante de la matriz A viene dado como \(\det{A} = 0\) la matriz essingular y, por tanto, no tiene inversa. Esta matriz no tiene solución.
    • Si el determinante de la matriz A es \(\det{A} \neq 0\), la matriz es no singular y, por tanto, tiene inversa. Esta matriz tiene solución.

    Para más información y ejemplos sobre la inversión de una matriz, consulta nuestro artículo Invertir matrices.

    Determinante de una matriz de 2x2

    Ahora ya sabemos qué es un determinante y para qué sirve, pero aún tenemos que averiguar cómo funcionan.

    Empecemos por la forma más básica: el determinante de una matriz \ (2 veces 2). El método para calcular el determinante de una matriz \(2 veces 2) se explica básicamente multiplicando en cruz y restando después estos valores multiplicados.

    Consideremos la siguiente matriz,\[A_{2,2} = \begin{bmatrix}a_{1,1} & a_{1,2} \\Esta es la notación que hemos utilizado antes, pero vamos a escribirla con elementos distintos para que la metodología sea más fácil de seguir. Por tanto,\[A_{2,2} = \begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}]Nuestro primer paso es multiplicar en cruz -multiplicamos arriba a la izquierda, abajo a la derecha y luego arriba a la derecha, abajo a la izquierda- y luego restamos la segunda multiplicación de la primera. Por tanto,\[\det{A}=ad-cb\]En nuestra notación original sería,\[\det{A}=a_{1,1}a_{2,2}-a_{1,2}a_{2,1}]Apliquemos ahora esto a un ejemplo.

    Halla el determinante de la matriz \(A\) que aparece a continuación y luego identifica si la matriz es invertible.\[A=\inicio{matriz}4&9\\-2&8\final{matriz}\].

    Solución

    Paso 1. Halla el determinante

    \[\begin{align} \det{A}&=ad-cb\\&=(4\cdot 8)-(9\cdot -2)\\&=32-(-18)\\&=50\end{align}\]

    Paso 2. Identifica si la matriz \(A\) es invertible

    \(\det{A} \neq 0\) por lo que la matriz \(A\) es no singular y como tal invertible.

    A continuación pasamos a aprender a hallar el determinante de una matriz \(3\ veces 3\).

    Determinante de una matriz de 3x3

    Ya hemos visto cómo hallar el determinante de una matriz \(2 veces 2\), pero también podemos encontrar matrices \(3 veces 3\) en Matemáticas Avanzadas, así que veamos ahora cómo hallar los determinantes de éstas.

    El proceso es algo más complejo que el del determinante de una matriz \(2 veces 2), pero sigue los mismos principios. Consideremos la matriz siguiente,\[A_{3,3}={bmatriz}a&b&c\d&e&f\g&h&i\final{matriz}]La forma de calcular su determinante es descomponerla en una serie de matrices \(2 veces 2).

    Para ello, recorremos la fila superior y multiplicamos cada uno de sus elementos por el determinantede su menor.

    Los menores de una matriz \ (3 veces 3) son los elementos que quedan si tachas la fila y la columna que proceden de tu elemento raíz.

    Digamos que nuestro elemento raíz para empezar es \(a\). El menor sería la matriz \(2 veces 2) que queda, si tachamos todos los valores horizontales y verticales de este elemento. El determinante de nuestra matriz \(3 veces 3) tiene en cuenta todos los menores de la fila superior y da como resultado la fórmula siguiente.\[\begin{align}\det{A}&=a\cdot \det{\begin{bmatrix}e&f\\h&i\end{bmatrix}}-b\cdot \det{\begin{bmatrix}d&f\\g&i\end{bmatrix}}+c\cdot \det{\begin{bmatrix}d&e\\g&h\end{bmatrix}} \\et& =a(ei-fh)-b(di-fg)+c(dh-eg)\end{align} \]

    Observa la convención de signos aquí con la fórmula del determinante: va \(+,-,+\).

    En el consejo anterior puedes ver que la convención de signos va \(+,-,+\). Éstos son los cofactores de la primera fila de una matriz \(3 veces 3).

    Aunque está un poco más allá del ámbito que se espera que trates aquí, hay cofactores para cada elemento de la matriz.

    Esto significa que también podríamos hallar el determinante de una matriz utilizando las filas 2 ó 3 como elementos raíz y tomar los menores a partir de ahí; sólo tendríamos que aplicar los cofactores correctos para hacerlo.

    Sin embargo, por ahora sólo tienes que preocuparte de la fila superior y de \(+,-,+\).

    Veamos ahora cómo aplicar esto a un ejemplo.

    Halla el determinante de la siguiente matriz.\[A_{3,3}={bmatrix}4&8&12\7&19&2\0&5&2\end{bmatrix}\].

    Solución

    Aplicamos nuestra fórmula para el determinante.\[\begin{align}\det{A}&=a(ei-fh)-b(di-fg)+c(dh-eg)\&=4[(19\cdot 2)-(2\cdot 5)]-8[(7\cdot 2)-(2\cdot 0)]+12[(7\cdot 5)-(19\cdot 0)]\\&=4[(38)-(10)]-8[(14)-(0)]+12[(35)-(0)]\\&=4(28)-8(14)+12(35)\\&=112-112+420\\&=420 \end{align}\]

    Pasamos ahora a conocer mejor el determinante de una matriz diagonal, después de definirlo.

    Determinante de una matriz diagonal

    Para calcular el determinante de una matriz diagonal, primero debemos entender qué es una matriz diagonal.

    Una matriz diagonal es una matriz que tiene todos los elementos no diagonales como 0. Esto no significa que los propios elementos diagonales no puedan tener el valor 0, sino que cualquier elemento no diagonal es 0.

    Tiene la forma de,\}[A=\begin{bmatrix}a_{1,1} & 0 &0& \cdots & 0 \\\0 & a_{2,2} & 0&\cdots & 0 \\\0&0&a_{3,3}&\cdots &0\dots & \dots & \dots & \ddots & \vdots \0 & 0 &0& \cdots & a_{m,n} \fin{bmatrix}]

    El determinante de una matriz diagonal se puede hallar multiplicando los elementos diagonales.

    El determinante de una matriz diagonal es el producto de los elementos diagonales. Por tanto,\[\det{A}=a_{1,1}\cdot a_{2,2}\cdot a_{3,3}\cdot \cdot \cdots \cdot \cdot a_{m,n}].

    Si los elementos diagonales no son todos valores distintos de cero, entonces la matriz no puede ser no singular, ya que un producto con un \(0\) en siempre devolverá una solución de \(0\) y, como hemos visto anteriormente, esto hace que la matriz sea singular y no invertible.

    Veámoslo con un ejemplo.

    Find \(\det{A}\), where,\[A_{5,5}=\begin{bmatrix}13&0&0&0&0\\0&-6&0&0&0\\0&0&7&0&0\\0&0&0&-1&0\\0&0&0&0&3\end{bmatrix}\]

    Solución

    Sabemos que el determinante de una matriz diagonal es el producto de los elementos diagonales. \[\begin{align} \det{A}&=a_{1,1}\cdot a_{2,2}\cdot a_{3,3}\cdot a_{4,4}\cdot a_{5,5}&=(13)\cdot (-6)\cdot (7)\cdot (-1)\cdot (3)\cdot&=1638.\end{align}]

    ¿Podemos calcular el determinante de una matriz inversa? La respuesta es: ¡SÍ!

    Determinante de una matriz inversa

    Nuestra última matriz a considerar al estudiar los determinantes es la matriz inversa.

    Para que exista la matriz inversa, sabemos que la matriz original debe haber tenido un determinante con valor distinto de cero. También hemos comparado antes la matriz inversa con un recíproco de la matriz original, lo que volverá a entrar en juego aquí.

    El determinantede una matriz inversa es igual al inverso o recíproco de la matriz original. En términos matemáticos, esto significa que el determinante de una matriz inversa tiene la siguiente forma,\[\det{A^{-1}}=\frac{1}{\det{A}}.\].

    Veamos el siguiente ejemplo.

    Toma la matriz \(A\) siguiente y averigua si es invertible. Si la matriz \(A\) es invertible, halla el determinante de esa matriz inversa.

    \[A=\begin{bmatrix}6&2\\12&9\end{bmatrix}\]

    Solución

    Paso 1. Halla el determinante de \(A\)

    \[\begin{align} \det{A}&=ad-cb\\&=(6\cdot 9)-(12\cdot 2)\\&=54-24\\&=30\end{align}\]

    Paso 2. Identifica si la matriz \(A\) es invertible

    \(\det{A} \neq 0\) por lo que la matriz \(A\) es no singular y como tal invertible.

    Paso 3. Halla el determinante de la matriz inversa

    \[\begin{align}\det{A^{-1}}&=\frac{1}{\det{A}}\\&=\frac{1}{30}. \fin].

    Determinante de una matriz - Puntos clave

    • El determinante de una matriz (2 veces 2) viene dado por,\[\det{A}=ad-bc\].
    • El determinante de una matriz (3 veces 3) utiliza los elementos de la fila superior y el determinante de sus respectivos menores para calcular el determinante. Viene dado por,\N[\Ninicio{alineación}\det{A}&=a\cdot \det{inicio{bmatriz}e&fi\end{bmatrix}}-b\cdot \det{\begin{bmatrix}d&f\\g&i\end{bmatrix}}+c\cdot \det{\begin{bmatrix}d&e\\g&h\end{bmatrix}} \\et& =a(ei-fh)-b(di-fg)+c(dh-eg)\end{align} \]
    • El determinante de una matriz diagonal es el producto de todos los elementos diagonales, que son los únicos que pueden ser distintos de cero. Viene dado por, \[\det{A}=a_{1,1}\cdot a_{2,2}\cdot a_{3,3}\cdot \cquad \cdots \cquad \cdot a_{m,n}].
    • El determinante de una matriz inversa es el inverso del determinante de la matriz original. Viene dado por: \[\det{A^{-1}}=\frac{1}{\det{A}}].
    Preguntas frecuentes sobre Determinantes de Matrices
    ¿Qué es un determinante de una matriz?
    Un determinante de una matriz es un número que se calcula a partir de sus elementos y tiene propiedades útiles en álgebra lineal.
    ¿Cómo se calcula el determinante de una matriz 2x2?
    El determinante de una matriz 2x2 se calcula como ad - bc, donde la matriz es [[a, b], [c, d]].
    ¿Para qué sirve el determinante de una matriz?
    El determinante se usa para determinar la invertibilidad de una matriz y en la solución de sistemas de ecuaciones lineales.
    ¿Qué significa que el determinante sea cero?
    Si el determinante de una matriz es cero, significa que la matriz no es invertible y su rango es menor al máximo.

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