Potencias fraccionarias

¿Sabes que las potencias o exponentes pueden no ser números enteros, sino fracciones? Sí, los exponentes también existen como fracciones y aquí hablaremos de ellos.

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    En este artículo veremos qué son las potencias fraccionarias, qué son las potencias fraccionarias negativas, sus reglas y ejemplos de aplicación.

    ¿Qué son las potencias de exponentes fraccionarios?

    Las potenciasfraccionarias o exponentes de fracciones son expresiones que están potenciadas por fracciones y tienen la forma xa/b.

    Estamos más familiarizados con los exponentes de números enteros de la forma xa. Como x ha sido potenciada por a, significa que x se multiplica por sí misma a veces. Sin embargo, cuando una fracción es una potencia o exponente, entonces, puedes estar encontrando la raíz de esa expresión. Esto implica que para un exponente fraccionario como x1/a, debes hallar la raíz a de x;

    x1a=xa.

    Resuelve para 2713.

    Solución

    2713=273=3×3×33=3

    Resuelve 3225

    Solución

    3225=(55)2 =(2×2×2×2×25)2 =22=4

    ¿Qué es la potencia fraccionaria de un número en forma decimal?

    La potencia de una fracción en forma decimal es un exponente que es una fracción que se expresa como decimal. Se presenta de la forma

    xa.b,

    donde a y b son dos dígitos y están separados por un punto decimal. Ahora se pueden reexpresar para que sean;

    a.b=ab10xa.b=xab10xab10=(x10)ab

    Recuerda que a y b son los dígitos que forman el número decimal a.b. Por ejemplo, considerando el número decimal 3,2, donde a y b serían 3 y 2, respectivamente. Veamos un ejemplo para aclararlo mejor.

    Resuelve 320.2.

    Solución

    320.2

    Recuerda que;

    xa.b=xab10

    Entonces;

    a=0 and b=2320.2=320210=32210=3212510=3215=325

    Recordando que 32=25tenemos

    325=255=2

    En conclusión,

    320.2=2

    ¿Qué son las potencias fraccionarias negativas?

    Las potencias fraccionarias negativas se producen cuando una expresión ha sido potenciada por una fracción negativa. Esto aparece en la forma x-a/b. Cuando esto ocurre, el recíproco de la expresión es potenciado por la fracción. Entonces se convierte en

    x-ab=1xab.

    Esto está en consonancia con la regla de los exponentes negativos, que establece que

    x-a=1xa.

    Las potencias fraccionarias negativas se encuentran entre las reglas de las potencias fraccionarias que se tratarán a continuación.

    Reglas de las potencias fraccionarias

    Estas reglas, una vez aplicadas, te permitirán resolver fácilmente problemas de exponentes fraccionarios. Sin embargo, antes de pasar a las reglas, ten en cuenta que las potencias fraccionarias se definen mediante la forma

    x1a=xa

    así como

    xab=(x1b)a x1b=xb(x1b)a=(xb)axab=(xb)a

    Conociendo esta definición, se deben aplicar las siguientes reglas.

    Regla 1: Cuando la base, por ejemplo x, se potencia por una fracción negativa, por ejemplo -abhalla la raíz b de x y potencia por a, luego halla el recíproco del resultado.

    x-ab=1(xb)a

    x-ab=1xabxab=(xb)a 1xab=1(xb)ax-ab=1(xb)a

    Resuelve 32-25.

    Solución

    Aplicando la regla 1,

    32-25=1(55)2 =1(2×2×2×2×25)2 =122=14

    Regla 2: Cuando la base es una fracción, por ejemplo xy , y está potenciada por una fracción negativa, por ejemplo -ab, halla la raíz b de yx y poténciala por a.

    (xy)-ab=(yxb)a

    (xy)-ab=1(xy)ab1(xy)ab=(yx)ab (yx)ab=(yxb)a (xy)-ab=(yxb)a

    Resuelve (64125)-23

    Solución

    Aplicando la regla 2,

    (64125)-23=(125643)2 =(5×5×54×4×43)2=(54)2 =2516=1916

    Regla 3: Cuando el producto de dos o más potencias fraccionarias en este caso, 1a y 1btienen la misma base, en este caso x, halla la raíz ab de x y potencia por la suma de b y a.

    x1a×x1b=(xab)(b+a)

    x1a×x1b=x(1a+1b)x(1a+1b)=x(b+aab)x(b+aab)=(xab)(b+a)x1a×x1b=(xab)(b+a)

    Resuelve 6412×6413.

    Solución

    Aplicando la regla 3,

    6412×6413=(64(2×3))(3+2) =(646)5=(2×2×2×2×2×26)5=25=32

    Regla 4: Cuando el producto de dos o más potencias fraccionarias, en este caso ma y nbtienen la misma base, en este caso x, halla la raíz ab de x y potencia por la suma de bm y an.

    xma×xnb=(xab)(bm+an)

    xma×xnb=x(ma+nb)x(ma+nb)=x(bm+anab)x(bm+anab)=(xab)(bm+an)xma×xnb=(xab)(bm+an)

    Resuelve 6432×6453

    Solución

    Aplicando la regla 4,

    6432×6453=(64(2×3))((3×3)+(2×5)) =(646)(9+10) =(646)14=(2×2×2×2×2×26)14=214=16384

    Regla 5: Cuando el cociente de dos potencias fraccionarias unitarias en este caso, 1a y 1btienen la misma base en este caso x, entonces halla la raíz ab de x y potencia por la diferencia de b y a.

    x1a÷x1b=(xab)(b-a)

    x1a÷x1b=x(1a-1b)x(1a-1b)=x(b-aab)x(b-aab)=(xab)(b-a)x1a÷x1b=(xab)(b-a)

    Resuelve 6412÷6413

    Solución

    Aplicando la regla 5,

    6412÷6413=(64(2×3))(3-2) =(646)1=(2×2×2×2×2×26)1=21=2

    Regla 6: Cuando el cociente de dos potencias fraccionarias en este caso, ma y nbtienen la misma base en este caso x, entonces halla la raíz ab de x y potencia por la diferencia de bm y an.

    xma÷xnb=(xab)(bm-an)

    xma÷xnb=x(ma-nb)x(ma-nb)=x(bm-anab)x(bm-anab)=(xab)(bm-an)xma÷xnb=(xab)(bm-an)

    Resuelve 6473÷6432.

    Solución

    Aplicando la regla 6,

    6473÷6432=(64(3×2))((2×7)-(3×3)) =(646)(14-9) =(646)5=(2×2×2×2×2×26)5=25=32

    Regla 7: Cuando el producto de dos potencias fraccionarias tiene bases diferentes en este caso x e y, pero con las mismas potencias en este caso 1aentonces halla la raíz a de xy.

    x1a×y1a=xya

    x1a×y1a=(x×y)1a (x×y)1a=(xy)1a (xy)1a=xyax1a×y1a=xya

    Resuelve 8114×1614.

    Solución

    Aplicando la regla 7,

    8114×1614=81×164=3×3×3×3×2×2×2×24=3×2=6

    Regla 8: Cuando el cociente de dos potencias fraccionarias tienen bases diferentes en este caso x e y, pero con las mismas potencias en este caso 1aentonces halla la raíz a de xy.

    x1a÷y1a=xya

    x1a÷y1a=(x÷y)1a (x÷y)1a=(xy)1a (xy)1a =xyax1a÷y1a=xya

    Resuelve 8114÷1614.

    Solución

    Aplicando la regla 8,

    8114÷1614=81164=3×3×3×32×2×2×24=32=112

    Resuelve lo siguiente;

    a. (343y6)-23

    b. 18012÷24512

    c. 514×12514

    Solución

    a.

    (343y6)-23

    Lo primero que hay que hacer es ver si puedes cambiar el número a la forma de exponente (índices).

    Observa que;

    343=73

    por tanto;

    (343y6)-23=(73y6)-23

    Recuerda que

    (xy)-ab==(yxb)a

    Entonces;

    (73y6)-23=(y673)23(y673)23=y(6×23)7(3×23)y(6×23)73×23=y(26×213)7(13×213)y(26×213)7(13×213)=(y2×2)7(1×2)(y2×2)7(1×2)=y472

    b.

    18012÷24512

    Recuerda que

    x1a÷y1a=xya

    Entonces

    18012÷24512=18024521802452=180245180245=180÷5245÷5180÷5245÷5=36493649=67

    c.

    514×12514

    Lo primero que hay que hacer es ver si puedes cambiar el número a forma de exponente (índices).

    Por tanto;

    125=53514×12514=514×(53)14 514×(53)14=514×5(3×14)514×5(3×14)=514×534

    Recuerda que

    xma×xnb=(xab)(bm+an)

    Entonces

    514×534=(5(4×4))((4×1)+(4×3)(5(4×4))((4×1)+(4×3)=(516)16 (516)16=(5116)16 (5116)16=5(116×16)5(116×16)=5151=5

    o puedes resolver directamente a partir de este punto;

    514×5(3×14)=514×534514×534=5(14+34)5(14+34)=544544=5151=5

    Expansión binómica para potencias fraccionarias

    ¿Cómo se hace una expansión binomial para potencias fraccionarias?

    La expansión binomial para potencias fraccionarias se realiza simplemente aplicando la fórmula

    (1+a)n=1+na+n(n-1)2!a2+n(n-1)(n-2)3!a3+n(n-1)(n-2)(n-3)4!a4+...

    donde n es la potencia o exponente.

    Resuelve los 4 primeros términos de (8+2y)13.

    Solución

    (8+2y)13

    Asegúrate de factorizar o reexpresar la expresión llevando el exponente para que se ajuste a la forma ;

    (1+a).

    Así pues, tu plan es convertir (8 + 2y) en (1 + y). Para ello, factoriza 8 + 2y por 8. Tendrías

    (8+2y)==8(88+2y8)=8(1+y4)

    Sea

    y4=a

    Sustituye en la ecuación

    (8(1+a))13=813(1+a)13

    Recordando que 813=2tenemos entonces

    813(1+a)13=2(1+a)13

    Recuerda que

    (1+a)n=1+na+n(n-1)2!a2+n(n-1)(n-2)3!a3+n(n-1)(n-2)(n-3)4!a4+...

    Además, sólo nos interesan los 4 primeros términos, por tanto

    2(1+a)13=2[1+13a+13(13-1)2!a2+13(13-1)(13-2)3!a3+...]=2[1+13a-292×1a2+10273×2×1a3+...]=2[1+13a-19a2+581a3+...]

    Sustituye el valor real de a por ;

    a=y4

    por tanto

    2[1+13a-19a2+581a3+...]=2[1+13(y4)-19(y4)2+581(y4)3+...]=2[1+y12-y2144+5y3324+...]=2+y6-y272+5y3162+...

    Y así

    (8+2y)13=2+y6-y272+5y3162+...

    Más ejemplos de cálculo de potencias fraccionarias

    Algunos ejemplos más te permitirán comprender mejor las potencias fraccionarias.

    Si se eleva al cuadrado la raíz cúbica de un número y el resultado es 4. Halla el número.

    Solución

    Sea y el número desconocido. Entonces la raíz cúbica de un número, siendo y cuadrado y resultando 4 se expresa como (y13)2=4 .

    Observa que

    x(ab)c=xacb

    Entonces

    (y13)2=4 (y13)2=y23y23=4

    Toma el recíproco de las raíces de ambos lados. El recíproco de 23 es32por tanto;

    y23=4(y23)32=432y(23×32)=432

    Recuerda que

    xab=(xb)a

    Por tanto

    y(23×32)=y(23×32)=yy=432 y=(42)3 4=2y=23y=8

    Potencias fraccionarias - Puntos clave

    • Las potencias fraccionarias o exponentes de fracciones son expresiones potenciadas por fracciones y tienen la forma xa/b.
    • Las potencias fraccionarias negativas se dan cuando una expresión está potenciada por una fracción negativa.
    • La aplicación de las reglas de las potencias fraccionarias te permitirá resolver fácilmente problemas de exponentes fraccionarios.
    • La expansión binómica para potencias fraccionarias se realiza simplemente aplicando la fórmula;

      (1+a)n=1+na+n(n-1)2!a2+n(n-1)(n-2)3!a3+n(n-1)(n-2)(n-3)4!a4+...

    Preguntas frecuentes sobre Potencias fraccionarias
    ¿Qué son las potencias fraccionarias?
    Las potencias fraccionarias son aquellas donde el exponente es una fracción. Representan raíces de números.
    ¿Cómo se calculan las potencias fraccionarias?
    Se calculan tomando la raíz del denominador de la fracción y luego elevando al numerador.
    ¿Para qué se utilizan las potencias fraccionarias?
    Se utilizan para simplificar la escritura de raíces y en diversas propiedades en álgebra y cálculo.
    ¿Cuál es el resultado de una potencia fraccionaria negativa?
    Una potencia fraccionaria negativa indica el inverso de la raíz correspondiente.

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