Variación Inversa y Conjunta

Dado que y varía directamente como z, y cuando y es 8, z es 4. Halla y cuando z es 14.

Solución:

$$\begin{gathered} y\alpha z \\ y=kz \\ y=8 \\ z=4 \end{gathered}$$

Para hallar k, sustituye los valores de y y z en la ecuación

$8=k\times 4$

Haz que k sea el sujeto de la fórmula dividiendo ambos lados de la ecuación por 4. Así

$$\begin{gathered} \frac{8}{4}=\frac{k\times 4}{4} \\ k=2 \end{gathered}$$

Ahora que k se ha resuelto y es igual a 2, podemos aplicar su valor en el segundo caso. Así

$$\begin{gathered} y=? \\ z=14 \\ y=kz \end{gathered}$$

Sustituye los valores conocidos;

$$\begin{gathered} y=2\times 14 \\ y=28 \end{gathered}$$

El radio de una galleta circular varía directamente como la raíz cuadrada de la longitud de un reloj. Cuando el perímetro de la galleta es de 44 cm, el reloj tiene una longitud de 49 cm. ¿Cuál es el perímetro de la galleta cuando la longitud del reloj es de 121 cm?

Solución:

Sea el radio de la galleta circular r

Sea la longitud del reloj l

A partir de la pregunta, nuestra relación es

$$\begin{gathered} r\alpha \sqrt{l} \\ r=k\sqrt{l} \end{gathered}$$

Haz que k sea el sujeto de la fórmula

$$\begin{gathered} k=\frac{r}{\sqrt{l}} \\ k=\frac{r_1}{\sqrt{l_1}}=\frac{r_2}{\sqrt{l_2}} \end{gathered}$$

Tenemos que indicar nuestras variables

_r1 - Observa que tenemos dado el perímetro de la galleta. Podemos calcular el radio.

Así

$$\begin{gathered} \mathrm{Perimeter}=\mathrm{circumference}\mathrm{of}\mathrm{circle}=2\pi r=44cm \\ 2\times \frac{22}{7}\times r_1=44cm \\ \frac{44r_1}{7}=44cm \end{gathered}$$

Multiplica ambos lados de la ecuación por 7

$44r_1=44cm\times 7$

Divide ambos lados de la ecuación por 44

$$\begin{gathered} r_1=7cm \\ {r}_2=? \\ {l}_1=49cm \\ {l}_2=121cm \end{gathered}$$

Recuerda que

$\frac{r_1}{\sqrt{l_1}}=\frac{r_2}{\sqrt{l_2}}$

Sustituye los valores de nuestras variables en la ecuación

$$\begin{gathered} \frac{7}{\sqrt{49}}=\frac{r_2}{\sqrt{121}} \\ \frac{7}{7}=\frac{r_2}{11} \\ 1=\frac{r_2}{11} \end{gathered}$$

Multiplica ambos lados de la ecuación por 11

$r_2=11$

Ahora tenemos el radio, por lo que podemos calcular la circunferencia (perímetro) de la galleta. Así

$$\begin{gathered} \mathrm{Perimeter}=\mathrm{circumference}=2\pi r \\ \mathrm{Perimeter}\mathrm{of}\mathrm{cookie}=2\times \frac{22}{7}\times 11 \\ \mathrm{Perimeter}\mathrm{of}\mathrm{cookie}=\frac{484}{7}=69\frac{1}{7} \\ \mathrm{Perimeter}\mathrm{of}\mathrm{cookie}=69\frac{1}{7}cm \end{gathered}$$

t varía conjuntamente como g y v. Cuando t es 16, g es 2 y v es 5. Halla t cuando g es 3 y v es 8.

Solución:

$$\begin{gathered} t\alpha gv \\ t=kgv \end{gathered}$$

Haz que k sea el sujeto de la fórmula

$$\begin{gathered} k=\frac{t}{gv} \\ t=16 \\ g=2 \\ v=5 \\ k=\frac{16}{2\times 5} \\ k=1.6 \end{gathered}$$

Entonces

$$\begin{gathered} g=3 \\ v=8 \\ t=? \\ t=kgv \\ t=1.6\times 3\times 8 \\ t=38.4 \end{gathered}$$

x varía conjuntamente como y y el cuadrado de z. Cuando x es 15, y es 6 y z es 2. Halla z cuando x es 18 e y es 9.

Solución:

$$\begin{gathered} x\alpha y{z}^2 \\ x=ky{z}^2 \end{gathered}$$

Haz que k sea el sujeto de la fórmula.

$$\begin{gathered} k=\frac{x}{y{z}^2} \\ k=\frac{x_1}{y_1{z_1}^2}=\frac{x_2}{y_2{z_2}^2} \\ {x}_1=15 \\ {x}_2=18 \\ {y}_1=6 \\ {y}_2=9 \\ {z}_1=2 \\ {z}_2=? \\ \frac{x_1}{y_1{z_1}^2}=\frac{x_2}{y_2{z_2}^2} \end{gathered}$$

Sustituye los valores de las variables en la ecuación

$$\begin{gathered} \frac{15}{6\times 2^2}=\frac{18}{9\times z^2} \\ \frac{15}{6\times 4}=\frac{18}{9\times z^2} \\ \frac{15}{24}=\frac{18}{9z^2} \end{gathered}$$

Simplifica ambos lados de la ecuación

$\frac{5}{8}=\frac{2}{z^2}$

Multiplica en cruz

$$\begin{gathered} 5\times z^2=2\times 8 \\ 5z^2=16 \end{gathered}$$

Divide ambos lados por 5

$$\begin{gathered} z^2=\frac{16}{5} \\ \sqrt{z^2}=\sqrt{\frac{16}{5}} \\ z=\frac{4}{\sqrt{5}} \end{gathered}$$

Racionaliza multiplicando el denominador y el numerador por $\sqrt{5}$

$z=\frac{4\sqrt{5}}{5}$

o

$\cong 1.79$

Si w es inversamente proporcional a u y w = 6 cuando u = 2. Halla w cuando u = 6.

Solución:

$$\begin{gathered} w\alpha \frac{1}{u} \\ w=\frac{k}{u} \\ k=wu \\ w=6 \\ u=2 \\ k=6\times 2 \\ k=12 \end{gathered}$$

Entonces

$$\begin{gathered} u=6 \\ k=12 \\ w=\frac{k}{u} \\ w=\frac{12}{6} \\ w=2 \end{gathered}$$

La velocidad de un tren varía inversamente al tiempo que tarda. Cuando se mueve a 100 m/s tarda 10 segundos en recorrer una cierta distancia, ¿cuánto tardaría el tren en recorrer la misma distancia si se mueve a 150 m/s?

Solución:

Sea S la velocidad del tren y t el tiempo empleado por el tren.

$$\begin{gathered} S\alpha \frac{1}{t} \\ S=\frac{k}{t} \\ k=St \\ k=S_1{t}_1=S_2{t}_2 \\ {S}_1{t}_1=S_2{t}_2 \\ {S}_1=100 \\ {S}_2=150 \\ {t}_1=10 \\ {t}_2=? \end{gathered}$$

Sustituye los valores en la ecuación

$$\begin{gathered} S_1{t}_1=S_2{t}_2 \\ 100\times 10=150\times t_2 \\ 1000=150t_2 \end{gathered}$$

Divide ambos lados por 150

$$\begin{gathered} \mathrm{Divide}\mathrm{both}\mathrm{sides}\mathrm{by}150 \\ {t}_2=\frac{1000}{150} \\ {t}_2=6.67\mathrm{seconds} \end{gathered}$$

Una cantidad p varía directamente como q e inversamente como r. Cuando p es 10, q es 5 y r es 3. Halla r cuando p es 3 y q es 4.

Solución:

Escribe la relación

$$\begin{gathered} p\alpha \frac{q}{r} \\ p=k\left(\frac{q}{r}\right) \\ p=10 \\ q=5 \\ r=3 \\ 10=k\left(\frac{5}{3}\right) \end{gathered}$$

Multiplicación cruzada

$$\begin{gathered} 30=5k \\ \frac{30}{5}=\frac{5k}{5} \\ k=6 \end{gathered}$$

Cuando p es 3 y q es 4

$$\begin{gathered} p=k\left(\frac{q}{r}\right) \\ 3=6\left(\frac{4}{r}\right) \\ 3=\frac{24}{r} \end{gathered}$$

Multiplicación cruzada

$$\begin{gathered} 3r=24 \\ \frac{3r}{3}=\frac{24}{3} \\ r=8 \end{gathered}$$

Ireti, Kohe y Finicky dirigen una empresa familiar basada en una relación combinada respecto a la proporción de sus ganancias individuales. La aportación de Ireti es directamente proporcional a la de Kohe, pero inversamente proporcional a la de Finicky; cuando Ireti aporta el 20%, Kohe aporta el 16%, mientras que Finicky aporta el 8%. ¿Qué porcentaje de los ingresos de Finicky se aportaría si Ireti y Kohe aportan el 10% y el 12% de sus ingresos respectivamente?

Solución:

Representemos I para Ireti, H para Kohe y F para Finicky. Así que

$$\begin{gathered} I\alpha \frac{H}{F} \\ I=k\left(\frac{H}{F}\right) \\ I=20 \\ H=16 \\ F=8 \\ 20=k\left(\frac{16}{8}\right) \end{gathered}$$

Multiplicación cruzada

$$\begin{gathered} 160=16k \\ \frac{16k}{16}=\frac{160}{16} \\ k=10 \end{gathered}$$

Por tanto, cuando I sea 10, H sea 12, F sería

$10=10\left(\frac{12}{F}\right)$

Multiplicación cruzada

$$\begin{gathered} 10F=120 \\ \frac{10F}{10}=\frac{120}{10} \\ F=12 \end{gathered}$$

Así, cuando Ireti y Kohe aportan el 10% y el 12% de sus ingresos respectivamente, Finicky aportaría el 12% de sus ingresos.

El peso de la bolsa de Tom varía inversamente a la distancia que recorre por segundo. Cuando su equipaje pesa 100 N, recorre una distancia de 4 m por segundo. ¿Qué distancia recorrerá cada segundo si llevara un equipaje de 250 N?

Solución:

Sea w el peso y d la distancia recorrida cada segundo. A partir de la pregunta, la relación es

$w\alpha \frac{1}{d}$

Con nuestros valores sustituidos tenemos

$$\begin{gathered} w=\frac{k}{d} \\ 100=\frac{k}{4} \\ \xcancel{\frac{100}{1}=\frac{k}{4}} \\ k=4\times 100 \\ k=400 \end{gathered}$$

Ahora que hemos obtenido la constante k, podemos volver a sustituirla en la ecuación para hallar d cuando w es 250 N y k es 400

$$\begin{gathered} w=\frac{k}{d} \\ 250=\frac{400}{d} \\ \xcancel{\frac{250}{1}=\frac{400}{d}} \\ 250d=400 \\ \frac{250d}{250}=\frac{400}{250} \\ d=1.6m \end{gathered}$$

Por tanto, Tom recorrerá 1,6 m cada segundo con su bolsa de 250 N.