Variación Inversa y Conjunta

Imagina que tu estatura viene determinada por la cantidad de alimentos que consumes diariamente. Significa que puedes proyectar una altura que desearías alcanzar mediante el consumo de una determinada cantidad de alimentos. A continuación, aprenderás cómo ocurre y se calcula mediante el concepto de variación.

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Si p varía proporcionalmente a q, expresa p en función de q si k es constante.

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Si 5 hombres tardan 4 días en desbrozar una parcela, ¿cuánto tardarían 10 hombres si el número de hombres es inversamente proporcional a la duración del desbroce?

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Si un globo se expande cuando aumenta el volumen de aire que se insufla en él, ¿qué tipo de relación existe entre el tamaño del globo y el volumen de aire?

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Si y varía inversamente a z, cuando y = 5, z = 3. Halla z cuando y = 4.

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t varía conjuntamente como r y d. Cuando t = 4, r = 3 y d = 2. Halla el valor de t para r = 8 y d = 6.

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La altura alcanzada por un alpinista es inversamente proporcional al peso extra que lleva sobre sus hombros. A una altura de 3 m sobre el suelo, tiene un peso de 40 kg, ¿a qué altura tendría un peso extra de 2 kg sobre él?

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m varía directamente como el cubo de n. Cuando m = 4, n = 3. Halla m cuando n = 6.

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q varía inversamente como la suma de t y s. Cuando q = 5, t = 2 y s = 3. Halla s cuando q = 2 y t = 5.

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Si una variable W aumenta cuando aumenta otra variable D, ¿qué tipo de relación es ésa?

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O varía inversamente como la mitad de L. Cuando O es 8, L es 24. Halla O cuando L es 40.

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Índice de temas

    ¿Qué es la variación?

    En Matemáticas, la variación nos indica la relación entre variables o cantidades. Dicha relación puede ser directa, inversa, conjunta o parcial.

    Variación directa

    Se produce cuando la relación entre dos variables se ve afectada de la misma manera. Esto significa que el aumento de una variable provoca el aumento de la otra. Asimismo, una disminución de una variable implicaría una disminución de la otra. La relación entre estas variables suele definirse mediante una constante k.

    Cuando se dice que p varía directamente como q, se expresa como:

    p α qp=kq

    Recuerda que k es la constante de relación también conocida como constante de proporcionalidad.

    Sabiendo que para todos los valores posibles de p y q, k nunca cambia (porque es constante) entonces:

    p1=kq1p2=kq2k=p1q1k=p2q2k=p1q1=p2q2p1q1=p2q2p1q2=p2q1

    Hay otras formas de expresar la variación directa como;

    "p varía proporcionalmente a q" o "p varía en la misma proporción que q".

    Dado que y varía directamente como z, y cuando y es 8, z es 4. Halla y cuando z es 14.

    Solución:

    y α zy=kzy=8 z=4

    Para hallar k, sustituye los valores de y y z en la ecuación

    8=k×4

    Haz que k sea el sujeto de la fórmula dividiendo ambos lados de la ecuación por 4. Así

    84=k×44k=2

    Ahora que k se ha resuelto y es igual a 2, podemos aplicar su valor en el segundo caso. Así

    y=? z=14y=kz

    Sustituye los valores conocidos;

    y=2×14y=28

    El radio de una galleta circular varía directamente como la raíz cuadrada de la longitud de un reloj. Cuando el perímetro de la galleta es de 44 cm, el reloj tiene una longitud de 49 cm. ¿Cuál es el perímetro de la galleta cuando la longitud del reloj es de 121 cm?

    Solución:

    Sea el radio de la galleta circular r

    Sea la longitud del reloj l

    A partir de la pregunta, nuestra relación es

    r α lr=kl

    Haz que k sea el sujeto de la fórmula

    k=rlk=r1l1=r2l2

    Tenemos que indicar nuestras variables

    r1 - Observa que tenemos dado el perímetro de la galleta. Podemos calcular el radio.

    Así

    Perimeter = circumference of circle= 2πr=44 cm2×227×r1=44 cm44r17=44 cm

    Multiplica ambos lados de la ecuación por 7

    44r1=44 cm×7

    Divide ambos lados de la ecuación por 44

    r1=7 cmr2=?l1=49 cml2=121 cm

    Recuerda que

    r1l1=r2l2

    Sustituye los valores de nuestras variables en la ecuación

    749=r212177=r2111=r211

    Multiplica ambos lados de la ecuación por 11

    r2=11

    Ahora tenemos el radio, por lo que podemos calcular la circunferencia (perímetro) de la galleta. Así

    Perimeter=circumference =2πrPerimeter of cookie=2×227×11Perimeter of cookie=4847=6917Perimeter of cookie=6917cm

    Variación conjunta

    Se produce cuando una variable está relacionada con el producto de dos o más variables de la misma manera. En otras palabras, tiene lugar cuando una cantidad varía directamente como producto de dos o más cantidades. Con la constante de variación k, si b varía conjuntamente como c y d, entonces

    b α cdb=kcdk=bcdk=b1c1d1=b2c2d2

    t varía conjuntamente como g y v. Cuando t es 16, g es 2 y v es 5. Halla t cuando g es 3 y v es 8.

    Solución:

    t α gvt=kgv

    Haz que k sea el sujeto de la fórmula

    k=tgvt=16g=2v=5k=162×5k=1.6

    Entonces

    g=3v=8t=?t=kgvt=1.6×3×8t=38.4

    x varía conjuntamente como y y el cuadrado de z. Cuando x es 15, y es 6 y z es 2. Halla z cuando x es 18 e y es 9.

    Solución:

    x α yz2x=kyz2

    Haz que k sea el sujeto de la fórmula.

    k=xyz2k=x1y1z12=x2y2z22x1=15x2=18y1=6y2=9z1=2z2=?x1y1z12=x2y2z22

    Sustituye los valores de las variables en la ecuación

    156×22=189×z2156×4=189×z21524=189z2

    Simplifica ambos lados de la ecuación

    58=2z2

    Multiplica en cruz

    5×z2=2×85z2=16

    Divide ambos lados por 5

    z2=165z2=165z=45

    Racionaliza multiplicando el denominador y el numerador por 5

    z=455

    o

    1.79

    Variación inversa

    La variación inversa es una relación entre dos variables cuyos cambios se producen en sentido contrario. Esto significa que cuando una variable sube, la otra baja y viceversa.

    Cuando b varía inversamente a a

    b α 1ab=k×1ab=kak=bak=b1a1=b2a2b1a1=b2a2

    Si w es inversamente proporcional a u y w = 6 cuando u = 2. Halla w cuando u = 6.

    Solución:

    w α 1uw=kuk=wuw=6u=2k=6×2k=12

    Entonces

    u=6k=12w=kuw=126w=2

    La velocidad de un tren varía inversamente al tiempo que tarda. Cuando se mueve a 100 m/s tarda 10 segundos en recorrer una cierta distancia, ¿cuánto tardaría el tren en recorrer la misma distancia si se mueve a 150 m/s?

    Solución:

    Sea S la velocidad del tren y t el tiempo empleado por el tren.

    S α 1tS=ktk=Stk=S1t1=S2t2S1t1=S2t2S1=100S2=150t1=10t2=?

    Sustituye los valores en la ecuación

    S1t1=S2t2100×10=150×t21000=150t2

    Divide ambos lados por 150

    Divide both sides by 150t2=1000150t2=6.67 seconds

    ¿Cuál es la diferencia entre variación inversa y variación conjunta?

    Hay varias diferencias entre la variación conjunta y la variación inversa.

    1. La variación inversa muestra las relaciones entre dos variables, mientras que la variación conjunta muestra la relación entre más de dos variables.

    2. En la variación inversa, un aumento de una variable conllevaría una disminución de la otra. Sin embargo, en la variación conjunta, un aumento de la primera variable provocaría un aumento del producto de las variables restantes.

    Variación combinada

    La variación combinada se produce cuando una variable varía directamente a una o más variables y está inversamente relacionada con el resto.

    Esto significa que cuando esta variable aumenta otra variable aumenta y al mismo tiempo otras disminuyen. Por ejemplo, la velocidad varía directamente con la distancia pero inversamente con el tiempo. Esto significa que con un aumento de la velocidad se recorre más distancia pero se reduce el tiempo para llegar a esa distancia. Por tanto,

    s αdt

    Una cantidad p varía directamente como q e inversamente como r. Cuando p es 10, q es 5 y r es 3. Halla r cuando p es 3 y q es 4.

    Solución:

    Escribe la relación

    p α qrp=k(qr)p=10q=5r=310=k(53)

    Multiplicación cruzada

    30=5k305=5k5k=6

    Cuando p es 3 y q es 4

    p=k(qr)3=6(4r)3=24r

    Multiplicación cruzada

    3r=243r3=243r=8

    Ireti, Kohe y Finicky dirigen una empresa familiar basada en una relación combinada respecto a la proporción de sus ganancias individuales. La aportación de Ireti es directamente proporcional a la de Kohe, pero inversamente proporcional a la de Finicky; cuando Ireti aporta el 20%, Kohe aporta el 16%, mientras que Finicky aporta el 8%. ¿Qué porcentaje de los ingresos de Finicky se aportaría si Ireti y Kohe aportan el 10% y el 12% de sus ingresos respectivamente?

    Solución:

    Representemos I para Ireti, H para Kohe y F para Finicky. Así que

    I α HFI=k(HF)I=20H=16F=820=k(168)

    Multiplicación cruzada

    160=16k16k16=16016k=10

    Por tanto, cuando I sea 10, H sea 12, F sería

    10=10(12F)

    Multiplicación cruzada

    10F=12010F10=12010F=12

    Así, cuando Ireti y Kohe aportan el 10% y el 12% de sus ingresos respectivamente, Finicky aportaría el 12% de sus ingresos.

    Ejemplos reales de variación inversa y conjunta

    El concepto de variación es realmente muy comprensible cuando se relaciona con nuestras actividades cotidianas.

    El peso de la bolsa de Tom varía inversamente a la distancia que recorre por segundo. Cuando su equipaje pesa 100 N, recorre una distancia de 4 m por segundo. ¿Qué distancia recorrerá cada segundo si llevara un equipaje de 250 N?

    Solución:

    Sea w el peso y d la distancia recorrida cada segundo. A partir de la pregunta, la relación es

    wα1d

    Con nuestros valores sustituidos tenemos

    w=kd100=k41001=k4k=4×100k=400

    Ahora que hemos obtenido la constante k, podemos volver a sustituirla en la ecuación para hallar d cuando w es 250 N y k es 400

    w=kd250=400d2501=400d250d=400250d250=400250d=1.6 m

    Por tanto, Tom recorrerá 1,6 m cada segundo con su bolsa de 250 N.

    Esto explica por qué puede caminar o correr mucho más rápido cuando no lleva nada en comparación con cuando lleva una bolsa o cualquier tipo de carga.

    Variación inversa y conjunta - Puntos clave

    • La variación nos indica la relación entre variables o cantidades.

    • La variación directa se produce cuando la relación entre dos variables se ve afectada de la misma manera.

    • La variación conjunta se produce cuando una variable está relacionada con el producto de dos o más variables de la misma manera.

    • La variación inversa es una relación entre dos variables cuyos cambios se mueven en sentido contrario.

    • La variación combinada se produce cuando una variable varía directamente con una o más variables y se relaciona inversamente con el resto.

    Preguntas frecuentes sobre Variación Inversa y Conjunta
    ¿Qué es la variación inversa?
    La variación inversa ocurre cuando el producto de dos variables es constante. Si una aumenta, la otra disminuye.
    ¿Cuál es la fórmula de la variación inversa?
    La fórmula de la variación inversa es y = k/x, donde k es una constante.
    ¿Qué es la variación conjunta?
    La variación conjunta se da cuando una variable depende directamente de dos o más variables. Se puede expresar como y = kxz.
    ¿Cómo se resuelven problemas de variación conjunta?
    Para resolver problemas de variación conjunta, se identifican las variables y constantes implicadas y se utiliza la fórmula y = kxz para encontrar la solución.

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