Operaciones con Polinomios

Sumalos polinomios$3x^3+2x^2+6x+5$ y$x^4+x^2+3x+2$.

El polinomio resultante es

$0x^4+3x^3+2x^2+6x+5$

$x^4+0x^3-x^2+3x+2$ +

$\mathbf{}{\mathit{x}}^{\mathbf{4}}\mathbf{}\mathbf{+}\mathbf{3}{\mathit{x}}^{\mathbf{3}}\mathbf{+}\mathbf{}\mathbf{}{\mathit{x}}^{\mathbf{2}}\mathbf{+}\mathbf{}\mathbf{9}\mathit{x}\mathbf{}\mathbf{+}\mathbf{7}$

$3x^3+2x^2+6x+5$ $x^4+x^2+3x+2$Resta los polinomios y .

Método horizontal

$(3x^3+2x^2+6x+5)-(x^4-x^2+3x+2)$

$3x^3+2x^2+6x+5-x^4+x^2-3x-2$ Cambia los signos de todos los términos del segundo polinomio.

$3x^3+\mathbf{2}{\mathit{x}}^{\mathbf{2}}+\mathbf{6}\mathit{x}+\mathbf{5}-x^4+{\mathit{x}}^{\mathbf{2}}-\mathbf{3}\mathit{x}-\mathbf{2}$ Combina los términos semejantes.

$\mathbf{-}{\mathit{x}}^{\mathbf{4}}\mathbf{}\mathbf{+}\mathbf{}\mathbf{3}{\mathit{x}}^{\mathbf{3}}\mathbf{}\mathbf{+}\mathbf{}\mathbf{3}{\mathit{x}}^{\mathbf{2}}\mathbf{}\mathbf{+}\mathbf{}\mathbf{3}\mathit{x}\mathbf{}\mathbf{+}\mathbf{3}$

Método vertical

$\mathbf{-}{\mathit{x}}^{\mathbf{4}}\mathbf{+}\mathbf{3}{\mathit{x}}^{\mathbf{3}}\mathbf{+}\mathbf{}\mathbf{3}{\mathit{x}}^{\mathbf{2}}\mathbf{+}\mathbf{3}\mathit{x}\mathbf{+}\mathbf{3}$ Suma términos semejantes.

Multiplica $2x^2-3x+5$ y $(x+2)$ utilizando los métodos horizontal y vertical.

Método horizontal

Multiplica cada término del primer polinomio por el segundo polinomio (propiedad distributiva)

Expande los paréntesis y combina los términos semejantes

Método vertical

______________

$4x^2-6x+10$ Multiplica $2x^2-3x+5$ por $2$

$2x^3-3x^2+5x$ Multiplica $2x^2-3x+5$ por $x$

______________

$\mathbf{2}{\mathit{x}}^{\mathbf{3}}\mathbf{+}\mathbf{}{\mathit{x}}^{\mathbf{2}}\mathbf{-}\mathbf{}\mathit{x}\mathbf{+}\mathbf{10}$ Sumar términos semejantes

Divide$x^3+x^2-36$ por$\left(x-3\right)$ utilizando la división larga.

Antes de empezar, tenemos que identificar cada parte de la división. $x^3+x^2-36$es el dividendo, $(x-3)$es el divisor, y el resultado se llama cociente. Lo que quede al final es el resto.

1. En primer lugar, divide el primer término del dividendo$x^3$ por el primer término del divisor$x$y luego pon el resultado$x^2$ como primer término del cociente.
2. Multiplica el primer término del cociente$x^2$ por los dos términos del divisor, y coloca los resultados bajo el dividendo alineados con su exponente correspondiente.
3. Resta los términos semejantes, teniendo cuidado con los signos.
4. Baja el siguiente término del polinomio (dividendo).
5. Repite los pasos 1 - 4 hasta que el grado de la expresión del resto sea menor que el del divisor.

Completa los términos que faltan con el coeficiente cero.

Resta los términos semejantes.

Baja 0x.

Resta términos iguales.

Baja -36.

Resta términos iguales.

El resto es cero.

El resultado se puede expresar de la siguiente manera: $\frac{x^3+x^2-36}{x-3}=x^2+4x+12$.

Divide $x^3+x^2-36$ por $(x-3)$ utilizando la división sintética.

• El divisor es $(x-3)$por lo que evaluamos el dividendo cuando $x=3$.

• Baja el coeficiente principal por debajo de la línea horizontal. Multiplica el coeficiente principal por el valor de x. Escribe el resultado de la multiplicación justo debajo del coeficiente siguiente. A continuación, suma los valores de la segunda columna teniendo en cuenta sus signos.

• Multiplica el resultado de la suma por el valor de x, y pon el resultado de la multiplicación justo debajo del coeficiente siguiente. A continuación, suma los valores teniendo en cuenta sus signos. Repite este paso para todos los coeficientes.

El valor final por debajo de la línea horizontal será el valor de $f\left(3\right)$.

$f\left(3\right)=0$por lo que el resto de la división es cero (0).

El resultado es : $\frac{x^3+x^2-36}{x-3}=x^2+4x+12$.

Factor $x^2+5x+6=0$.

Encuentra los factores de 6 que al multiplicarlos sean igual a +6 y al sumarlos sean igual a +5. En este caso, los factores que cumplen los requisitos son 2 y 3.

$(x+2)(x+3)=0$

Ahora, para encontrar las soluciones que hacen que la ecuación anterior sea igual a cero, tenemos que considerar la propiedad del producto cero.

Por tanto, tenemos que hacer que cada factor de $(x+2)(x+3)=0$ igual a cero, y resolver para x.

$$\begin{gathered} x+2=0x+3=0 \\ x+2\mathbf{-}\mathbf{2}=\mathbf{-}\mathbf{2}x+3\mathbf{-}\mathbf{3}=\mathbf{-}\mathbf{3} \\ \boxed{\mathbf{x}\mathbf{=}\mathbf{-}\mathbf{2}}\boxed{\mathbf{x}\mathbf{=}\mathbf{-}\mathbf{3}} \end{gathered}$$

Factoriza $2x^2+13x+15=0$.

1. Multiplica el coeficiente de $x^2$ y la constante.

$2\times 15=30$

2. Encuentra los factores de 30.

Los factores de 30 que dan 13 al sumarlos son 3 y 10.

3. Copia el$2x^2$ término y la constante como en el polinomio original, y entre estos términos, añade los factores hallados en el paso anterior.

$2x^2+3x+10x+15=0$

$2x^2+3x+10x+15=0$ Saca los factores comunes de ambos grupos.

Haz que cada factor en $\left(2x+3\right)\left(x+5\right)=0$ igual a cero, y resuelve para x.

$$\begin{gathered} 2x+3=0x+5=0 \\ 2x+3\mathbf{-}\mathbf{3}=\mathbf{-}\mathbf{3}x+5\mathbf{-}\mathbf{5}=\mathbf{-}\mathbf{5} \\ 2x=-3\boxed{\mathbf{x}\mathbf{=}\mathbf{-}\mathbf{5}} \\ \frac{\cancel{2}x}{\cancel{2}}=\frac{-3}{2} \\ \boxed{\mathbf{x}\mathbf{=}\mathbf{-}\frac{\mathbf{3}}{\mathbf{2}}} \end{gathered}$$

Factor $6x^3+11x^2+4x=0$.

$x(6x^2+11x+4)=0$

Sigue ahora los pasos del caso anterior cuando el grado sea 2, y el coeficiente de$x^2$ no es 1.

$6\times 4=24$

Los factores de 24 que dan 11 al sumarlos son 3 y 8.

$x(6x^2+3x+8x+4)=0$ Ahora factoriza agrupando la expresión dentro del paréntesis.

$x\left(3x\right(2x+1)+4(2x+1\left)\right)=0$

$x\left(\right(2x+1\left)\right(3x+4\left)\right)=0$

Haz que cada factor de $x\left(\right(2x+1\left)\right(3x+4\left)\right)=0$ igual a cero, y resuelve para x.

$$\begin{gathered} \boxed{\mathbf{x}\mathbf{=}\mathbf{0}}2x+1=03x+4=0 \\ 2x+1\mathbf{-}\mathbf{1}=\mathbf{-}\mathbf{1}3x+4\mathbf{-}\mathbf{4}=\mathbf{-}\mathbf{4} \\ 2x=-13x=-4 \\ \frac{\cancel{2}x}{\cancel{2}}=\frac{-1}{2}\frac{\cancel{3}x}{\cancel{3}}=\frac{-4}{3} \\ \boxed{\mathbf{x}\mathbf{=}\mathbf{-}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}\boxed{\mathbf{x}\mathbf{=}\mathbf{-}\frac{\mathbf{4}}{\mathbf{3}}} \end{gathered}$$

Las soluciones son$x=0,x=\frac{-1}{2}$y$-\frac{4}{3}$.

Simplifica las siguientes fracciones:

• $\frac{\left(x+4\right)\left(3x-1\right)}{\left(3x-1\right)}=\frac{\left(x+4\right)\cancel{\left(3x-1\right)}}{\cancel{\left(3x-1\right)}}=x+4$ Anula el factor común $(3x-1)$.

• $\frac{x^2+x-12}{(x-3)}$ Factoriza el numerador.

$\frac{x^2+x-12}{(x-3)}=\frac{\cancel{\left(x-3\right)}\left(x+4\right)}{\cancel{\left(x-3\right)}}=x+4$ Anula el factor común $(x-3)$.

• $\frac{x^2+3x+2}{x^2+5x+4}$ Factoriza el numerador y el denominador.

$\frac{x^2+3x+2}{x^2+5x+4}=\frac{\cancel{\left(x+1\right)}\left(x+2\right)}{\cancel{\left(x+1\right)}(x+4)}=\frac{x+2}{x+4}$ Anula el factor común $(x+1)$.

• $\frac{2x^2+7x+6}{(x-5)(x+2)}$ Factoriza el numerador.

$2\times 6=12$

Los factores de 12 que dan 7 al sumarlos son 3 y 4.

$2x^2+3x+4x+6=0$ Ahora factoriza agrupando y saca los factores comunes.

$x(2x+3)+2(2x+3)=0$

$(2x+3)(x+2)=0$

Volviendo a la fracción

$\frac{2x^2+7x+6}{(x-5)(x+2)}=\frac{\left(2x+3\right)\cancel{\left(x+2\right)}}{\left(x-5\right)\cancel{\left(x+2\right)}}=\frac{2x+3}{x-5}$ Anulando el factor común$(x+2)$.

• Demuestra que$(x-1)$ es un factor de $4x^3-3x^2-1$.

$f\left(1\right)=4{\left(1\right)}^3-3{\left(1\right)}^2-1$

$f\left(1\right)=4-3-1$

$f\left(1\right)=0$ $(x-1)$ es efectivamente un factor de $4x^3-3x^2-1$

• Demuestra que$(x-1)$ es un factor de $x^3+6x^2+5x-12$.

$f\left(1\right)=1^3+6{\left(1\right)}^2+5\left(1\right)-12$

$f\left(1\right)=1+6+5-12$

$f\left(1\right)=12-12$

$f\left(1\right)=0$

Divide f (x) por (x - p)

Escribe f (x) como $(x-p)(a{x}^2+bx+c)$

$x^3+6x^2+5x-12=(x-1)(x^2+7x+12)$ Factoriza la cuadrática restante

$=(x-1)(x+3)(x+4)$

Haz que cada factor de $(x-1)(x+3)(x+4)=0$ igual a cero, y resuelve para x.

$$\begin{gathered} x-1=0x+3=0x+4=0 \\ x-1\mathbf{+}\mathbf{1}=\mathbf{1}x+3\mathbf{-}\mathbf{3}=\mathbf{-}\mathbf{3}x+4\mathbf{-}\mathbf{4}=\mathbf{-}\mathbf{4} \\ \boxed{\mathbf{x}\mathbf{=}\mathbf{1}}\mathbf{}\boxed{\mathbf{x}\mathbf{=}\mathbf{-}\mathbf{3}}\boxed{\mathbf{x}\mathbf{=}\mathbf{-}\mathbf{4}} \end{gathered}$$

Las soluciones son $x=1$, $x=-3$y $x=-4$.