Operaciones con Polinomios

Recordando el concepto de polinomio, sabemos que son expresiones en las que intervienen varios términos que contienen variables elevadas a una serie de exponentes enteros positivos, y además cada término puede estar multiplicado por coeficientes. Si tenemos dos polinomios o más, ¿podemos realizar operaciones aritméticas con ellos? La respuesta es sí. En este artículo te mostraremos los distintos métodos que puedes utilizar para conseguirlo.

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Índice de temas

    Lasoperaciones con polinomios comprenden todas las operaciones aritméticas que puedes realizar con polinomios, incluidas la suma, la resta, la multiplicación y la división.

    Ahora te mostraremos los distintos métodos disponibles para resolver operaciones aritméticas con polinomios.

    Sumar o restar polinomios

    Hay dos métodos diferentes que puedes utilizar para sumar o restar polinomios, que son el horizontal y el vertical.

    Método horizontal

    Para sumar polinomios horizontalmente, puedes utilizar la propiedad distributiva para combinar términos semejantes de modo que acabes con un solo término por cada exponente, así:

    Sumalos polinomios3x3 + 2x2 + 6x +5 yx4 + x2 + 3x +2.

    (3x3 + 2x2 + 6x +5) + (x4 - x2 + 3x +2) Al sumar polinomios no necesitamos utilizar paréntesis porque la suma no cambia los signos con la propiedad distributiva, así que podemos eliminar los paréntesis como se muestra a continuación. 3x3 + 2x2 + 6x +5 + x4 - x2 + 3x +2

    Ahora puedes combinar términos semejantes

    El polinomio resultante es

    x4 + 3x3 + x2 + 9x + 7

    Método vertical

    El método vertical consiste en apilar los polinomios uno sobre otro para que puedas ver más fácilmente los términos semejantes. En este caso, tienes que completar los términos que faltan suponiendo que tienen coeficiente cero (0):

    0x4 + 3x3 + 2x2 + 6x +5

    x4 + 0x3 - x2 + 3x +2 +

    x4 +3x3+ x2+ 9x +7

    Puedes ver que el resultado es el mismo que antes, pero este método te proporciona una forma más organizada de identificar los términos semejantes y evita confusiones.

    Para restar polinomios, puedes seguir los mismos métodos, pero recuerda tener cuidado con los signos. Para evitar errores al restar polinomios, cambia los signos de todos los términos del segundo polinomio, y luego suma términos iguales como antes.

    Cambiar los signos de todos los términos de un polinomio se llama hallar su inverso aditivo.

    Ahora restaremos los mismos polinomios que hemos utilizado en el ejemplo anterior:

    3x3 + 2x2 + 6x +5 x4 + x2 + 3x +2Resta los polinomios y .

    Método horizontal

    (3x3 + 2x2 + 6x +5) - (x4 - x2 + 3x +2)

    3x3 + 2x2 + 6x +5 - x4 + x2 - 3x -2 Cambia los signos de todos los términos del segundo polinomio.

    3x3 + 2x2 + 6x +5 - x4 + x2 - 3x -2 Combina los términos semejantes.

    -x4 + 3x3 + 3x2 + 3x +3

    Método vertical

    0x4 + 3x3 + 2x2 + 6x +5 0x4 + 3x3 + 2x2 + 6x +5 x4 + 0x3 - x2 + 3x +2 - -x4 - 0x3 + x2 - 3x -2 +Cambia los signos del segundo polinomio

    -x4+3x3+ 3x2+3x+3 Suma términos semejantes.

    Multiplicar polinomios

    Para multiplicar polinomios también puedes seguir un método horizontal y otro vertical. Aquí tienes un ejemplo de multiplicación de dos polinomios utilizando ambos métodos.

    Multiplica 2x2-3x+5 y (x+2) utilizando los métodos horizontal y vertical.

    Método horizontal

    (2x2-3x+5)(x+2)=2x2(x+2)-3x(x+2)+5(x+2) =2x3+4x2-3x2-6x+5x+10 =2x3+x2-x+10

    Multiplica cada término del primer polinomio por el segundo polinomio (propiedad distributiva)

    Expande los paréntesis y combina los términos semejantes

    Método vertical

    2x2-3x+ 5× x+ 2

    ______________

    4x2-6x+10 Multiplica 2x2-3x+ 5 por 2

    2x3-3x2+5x Multiplica 2x2-3x+ 5 por x

    ______________

    2x3+ x2- x+10 Sumar términos semejantes

    Independientemente del método que utilices, ¡deberías obtener el mismo resultado!

    Dividir polinomios

    Para dividir polinomios puedes utilizar los métodos de la división larga o de la división sintética.

    Método de la división larga

    Aquí tienes un ejemplo de los pasos que debes seguir para dividir polinomios utilizando el método de la división larga.

    Dividex3+x2-36 porx-3 utilizando la división larga.

    Antes de empezar, tenemos que identificar cada parte de la división. x3+x2-36es el dividendo, (x-3)es el divisor, y el resultado se llama cociente. Lo que quede al final es el resto.

    Recuerda completar los términos que falten en el dividendo con el coeficiente cero, de modo que el polinomio quede en orden decreciente de exponentes.

    1. En primer lugar, divide el primer término del dividendox3 por el primer término del divisorxy luego pon el resultadox2 como primer término del cociente.
    2. Multiplica el primer término del cocientex2 por los dos términos del divisor, y coloca los resultados bajo el dividendo alineados con su exponente correspondiente.
    3. Resta los términos semejantes, teniendo cuidado con los signos.
    4. Baja el siguiente término del polinomio (dividendo).
    5. Repite los pasos 1 - 4 hasta que el grado de la expresión del resto sea menor que el del divisor.

    Polinomios Polinomios ejemplo de división StudySmarter

    Completa los términos que faltan con el coeficiente cero.

    Resta los términos semejantes.

    Baja 0x.

    Resta términos iguales.

    Baja -36.

    Resta términos iguales.

    El resto es cero.

    El resultado se puede expresar de la siguiente manera: x3+x2-36x-3=x2+4x+12.

    Método de división sintética

    Ahora resolveremos el mismo ejemplo anterior utilizando la división sintética.

    Divide x3+x2-36 por (x-3) utilizando la división sintética.

    Puedes utilizar la división sintética en este caso, porque el divisor x-3 es una expresión lineal (de grado 1).

    El Teorema del Resto afirma que si un polinomio f(x) se divide por (x-a)entonces el resto r=f(a). Por tanto, podemos resolver esta división evaluando el polinomio (dividendo) mediante sustitución sintética cuando x=3.

    Si necesitas refrescar cómo evaluar polinomios utilizando este método, consulta el artículo sobre Evaluación y representación gráfica de polinomios.

    • El divisor es (x-3)por lo que evaluamos el dividendo cuando x=3.

    Operaciones con polinomios Ejemplo de división sintética StudySmarter

    • Baja el coeficiente principal por debajo de la línea horizontal. Multiplica el coeficiente principal por el valor de x. Escribe el resultado de la multiplicación justo debajo del coeficiente siguiente. A continuación, suma los valores de la segunda columna teniendo en cuenta sus signos.

    Operaciones con polinomios Ejemplo de división sintética StudySmarter

    • Multiplica el resultado de la suma por el valor de x, y pon el resultado de la multiplicación justo debajo del coeficiente siguiente. A continuación, suma los valores teniendo en cuenta sus signos. Repite este paso para todos los coeficientes.

    Operaciones con polinomios Ejemplo de división sintética StudySmarter

    Operaciones con polinomios Ejemplo de división sintética StudySmarter

    El valor final por debajo de la línea horizontal será el valor de f(3).

    f(3)=0por lo que el resto de la división es cero (0).

    El resultado es : x3+x2-36x-3=x2+4x+12.

    El grado del polinomio del cociente será uno menos que el grado del polinomio del dividendo.

    Cómo factorizar polinomios

    Factorizar polinomios consiste en reescribir polinomios como producto de dos o más términos más sencillos. Debes abordar estos problemas de forma diferente, dependiendo del grado del polinomio y del coeficiente del término de mayor potencia:

    • Si el grado es 2 y el coeficiente de x2 es 1, basta con encontrar los factores que hacen que el polinomio sea igual a cero.

    Factor x2 + 5x + 6 = 0.

    Encuentra los factores de 6 que al multiplicarlos sean igual a +6 y al sumarlos sean igual a +5. En este caso, los factores que cumplen los requisitos son 2 y 3.

    (x + 2)(x + 3) = 0

    Ahora, para encontrar las soluciones que hacen que la ecuación anterior sea igual a cero, tenemos que considerar la propiedad del producto cero.

    La propiedad del producto cero establece que si a·b=0entonces a=0o b=0 o ambos.

    Por tanto, tenemos que hacer que cada factor de (x + 2)(x + 3) = 0 igual a cero, y resolver para x.

    x + 2 = 0 x + 3=0x + 2 -2= -2 x + 3-3=-3x=-2 x=-3

    Las dos soluciones son x=-2 y x=-3.

    • Si el grado es 2 y el coeficiente de x2 no es 1: Aquí tienes que seguir algunos pasos más:

    Factoriza 2x2+13x+15=0.

    1. Multiplica el coeficiente de x2 y la constante.

    2×15=30

    2. Encuentra los factores de 30.

    Si el signo de la constante es positivo, tienes que encontrar los factores de 30 que dan el coeficiente de x cuando se suman. Si el signo de la constante es negativo, tienes que incluir los factores de 30 que dan el coeficiente de x cuando se restan.

    30
    130
    215
    310
    56

    Los factores de 30 que dan 13 al sumarlos son 3 y 10.

    3. Copia el2x2 término y la constante como en el polinomio original, y entre estos términos, añade los factores hallados en el paso anterior.

    2x2+3x+10x+15=0

    4. Factoriza agrupando los dos primeros términos 2x2+3x y los dos últimos términos10x+15.

    2x2+3x+10x+15=0 Saca los factores comunes de ambos grupos.

    x2x+3+5(2x+3)=0 Ahora que los términos entre paréntesis coinciden, saca(2x+3)como factor común.2x+3x+5=0

    Haz que cada factor en 2x+3x+5=0 igual a cero, y resuelve para x.

    2x + 3 = 0 x + 5=02x + 3 -3= -3 x + 5-5=-52x=-3 x=-52x2=-32x=-32

    Las dos soluciones son x=-32 y x=-5.
    • Si el grado es mayor que 2: En este caso, puede que tengas que sacar los factores comunes, si es posible, y también utilizar el factor por agrupación.

    Factor 6x3+11x2+4x=0.

    6x3+11x2+4x=0 x es un factor común.

    x(6x2+11x+4)=0

    Sigue ahora los pasos del caso anterior cuando el grado sea 2, y el coeficiente dex2 no es 1.

    6×4=24

    24
    124
    212
    38
    46

    Los factores de 24 que dan 11 al sumarlos son 3 y 8.

    x(6x2+3x+8x+4)= 0 Ahora factoriza agrupando la expresión dentro del paréntesis.

    x(3x(2x+1)+4(2x+1))=0

    x((2x+1)(3x+4))=0

    Haz que cada factor de x((2x+1)(3x+4))=0 igual a cero, y resuelve para x.

    x=0 2x+1=0 3x+4=0 2x + 1 -1= -1 3x + 4-4=-4 2x=-1 3x=-4 2x2=-12 3x3=-43 x=-12 x=-43

    Las soluciones sonx=0, x=-12y-43.

    ¿Cómo se simplifican los polinomios?

    Para simplificar expresiones algebraicas fraccionarias que contengan polinomios, tienes que factorizar el numerador y el denominador, y luego cancelar los factores comunes.

    Simplifica las siguientes fracciones:

    • x+43x-13x-1=x+43x-13x-1=x+4 Anula el factor común (3x-1).
    • x2+x-12(x-3) Factoriza el numerador.

    x2+x-12(x-3)=x-3x+4x-3=x+4 Anula el factor común (x-3).

    • x2+3x+2x2+5x+4 Factoriza el numerador y el denominador.

    x2+3x+2x2+5x+4=x+1x+2x+1(x+4)=x+2x+4 Anula el factor común (x+1).

    • 2x2+7x+6(x-5)(x+2) Factoriza el numerador.

    2×6=12

    12
    112
    26
    34
    43

    Los factores de 12 que dan 7 al sumarlos son 3 y 4.

    2x2+3x+4x+6=0 Ahora factoriza agrupando y saca los factores comunes.

    x(2x+3)+2(2x+3)=0

    (2x+3)(x+2)=0

    Volviendo a la fracción

    2x2+7x+6(x-5)(x+2)=2x+3x+2x-5x+2=2x+3x-5 Anulando el factor común(x+2).

    Cómo utilizar el teorema del factor con polinomios

    El teorema del factor puede utilizarse para acelerar el proceso de factorización. Establece que si sustituyes un valor p en una función polinómica f(x) y da cero como resultado f(p) = 0, entonces puedes decir que (x - p) es un factor de f(x).

    Es especialmente útil en el caso de polinomios cúbicos, y puedes proceder como sigue:

    • Puedes sustituir valores en f(x) hasta que encuentres un valor que haga que f(p) = 0.

    • Divide f(x) entre (x - p), ya que el resto será cero.

    • Escribe f(x) como (x-p)(ax2 +bx + c)

    • Factoriza el factor cuadrático restante para escribir f(x) como el producto de tres factores lineales.

    • Demuestra que(x - 1) es un factor de 4x3 - 3x2 - 1.

    f(1) = 4(1)3 - 3(1)2 - 1

    f(1) = 4 - 3 - 1

    f(1) = 0 (x - 1) es efectivamente un factor de 4x3 - 3x2 - 1

    • Demuestra que(x - 1) es un factor de x3 + 6x2 +5x - 12.

    f(1) = 13 + 6(1)2 +5(1) - 12

    f(1) = 1 + 6 +5 - 12

    f(1) = 12 - 12

    f(1) = 0

    Divide f (x) por (x - p)

    Polinomios Polinomios Teorema del factor de división StudySmarter

    Escribe f (x) como (x-p)(ax2 +bx + c)

    x3 + 6x2 +5x - 12= (x - 1)( x2 + 7x + 12) Factoriza la cuadrática restante

    = (x - 1)( x + 3)(x + 4)

    Haz que cada factor de (x - 1)( x + 3)(x + 4)=0 igual a cero, y resuelve para x.

    x-1=0 x+3=0 x+4=0x-1+1=1 x+3-3=-3 x + 4-4=-4x=1 x=-3 x=-4

    Las soluciones son x=1, x=-3y x=-4.

    Operaciones con polinomios - Puntos clave

    • Para sumar, restar y dividir expresiones polinómicas, completa los términos que falten suponiendo que tienen coeficiente cero.
    • Para sumar, restar y multiplicar polinomios, puedes seguir los métodos horizontal o vertical.
    • Para dividir polinomios, puedes utilizar los métodos de división larga o división sintética.
    • La factorización de polinomios consiste en reescribirlos como producto de dos o más términos más sencillos.
    • Para simplificar expresiones algebraicas fraccionarias que contengan polinomios, factoriza el numerador y el denominador, y luego cancela los factores comunes.
    • El teorema del factor puede utilizarse para acelerar el proceso de factorización, especialmente en el caso de polinomios cúbicos.
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    Preguntas frecuentes sobre Operaciones con Polinomios
    ¿Qué es un polinomio?
    Un polinomio es una expresión algebraica compuesta por variables, coeficientes y exponentes no negativos sumados entre sí.
    ¿Cómo se suman polinomios?
    Para sumar polinomios, se combinan los términos semejantes, es decir, aquellos que tienen las mismas variables y exponentes.
    ¿Cómo se multiplican polinomios?
    Para multiplicar polinomios, se usa la propiedad distributiva, multiplicando cada término de un polinomio por cada término del otro y sumando los resultados.
    ¿Qué es el grado de un polinomio?
    El grado de un polinomio es el exponente más alto de sus términos cuando la expresión está simplificada.

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