Resolviendo ecuaciones lineales

Resuelve la ecuación$3x+2=0$.

Solución

$3x+2=0$

Se simplifica cada lado de la ecuación, se consigue el paso 1.

Paso2: Agrupa los términos semejantes restando 2 a cada lado de la ecuación

$3x+2-2=0-2$

$3x=-2$

Paso3: Divide cada lado por 3

$\frac{3x}{3}=\frac{-2}{3}$

$x=\frac{-2}{3}$

Paso 4: Ahora podemos evaluarla para ver si es cierta. La ecuación significa que todo lo que hay en el lado izquierdo debe ser igual a lo que hay en el derecho. Por tanto, todo lo que hay en el lado izquierdo de la ecuación debe ser igual a 0. Ahora sustituiremos la solución en la ecuación.

$$\begin{gathered} 3x+2=0 \\ 3\left(\frac{-2}{3}\right)+2=0 \end{gathered}$$

Ahora dividiremos 3 fuera del paréntesis por el 3 como denominador, y tendremos 1 cada uno.

$-2+2=0$

$0=0$

Vemos aquí que la solución que tenemos es verdadera.

Resuelve la ecuación $x+7=18$.

Solución

Se simplifica cada lado de la ecuación, se consigue el paso 1.

Paso2 y 3: Agrupa los términos semejantes restando 7 a cada lado de la ecuación.

$x+7-7=18-7$

$x=11$

Paso 4: Ahora podemos evaluarla para ver si es cierta. La ecuación significa que todo lo que hay en el lado izquierdo debe ser igual a lo que hay en el derecho. Por tanto, si sumamos x a 7, deberíamos tener 18

$x+7=18$

$x=11$

$11+7=18$

Esto significa que nuestra ecuación es cierta.

Resuelve x e y dadas las ecuaciones $2x+5y=20$ y $3x+5y=12$.

Solución

$\left\{\begin{array}{l}2x+5y=20\\ 3x+5y=12\end{array}\right.$

Hagamos que y sea el sujeto de la primera ecuación restando 2x a cada lado de la ecuación.

$2x-2x+5y=20-2x$

Ahora sustituiremos este valor de y en la segunda ecuación

$3x+5y=12$

Ahora sustituiremos este valor de x en cualquiera de las ecuaciones para hallar y. Utilizaremos la primera.

$2x+5y=20$

Suma 16 a cada lado de la ecuación para que 5y quede solo en ese lado de la ecuación

$16-16+5y=20+16$

Divide entre 5 para hallar y

$\frac{5y}{5}=\frac{36}{5}$

$y=\frac{36}{5}$

Resuelve la ecuación

$\left\{\begin{array}{l}y-2x=2\\ -x=-y-1\end{array}\right.$

Solución

Como ya hemos dicho, querremos representar ambas ecuaciones en el plano de coordenadas. Empezaremos por hallar la intersección y la pendiente de cada recta. Esto significa que, para cada ecuación, la reescribiremos en la forma pendiente-intersección. La forma pendiente-intersección viene dada por

$y=mx+b$

donde m es la pendiente

b es la intersección y

x es el valor x en el plano de coordenadas

y es el valor y en el plano de coordenadas

$y-2x=2$ [Ecuación 1]

$y=2x+2$

Esto significa que

$m=2$

$y-intercept=2$

$-x=-y-1$ [Ecuación 2]

$y=x-1$

Esto significa que

$m=1$

$y-intercept=-1$

Ambas ecuaciones en la forma pendiente-intersección vienen dadas por;

$\left\{\begin{array}{l}y=2x+2\\ y=x-1\end{array}\right.$

Hallemos el valor ysuponiendo dos valores en el eje x. Recuerda que dos puntos son suficientes para obtener una recta. Dados dos valores en el eje x, utilizaremos 1 y 2, ¿cuál es y cuando x = 1? ¿Y qué es y cuando x = 2?

La solución a estas dos preguntas debería darnos las rectas de ambas ecuaciones.

Empecemos por la ecuación 1,

$y=2x+2$.

Sustituye 1 en la ecuación suponiendo que x = 1,

$y=2\left(1\right)+2$

$y=4$

Cuando $x=1$, $y=4$.

Sustituye 2 en la ecuación suponiendo que x = 2,

$y=2\left(2\right)+2$

$y=6$

Cuando $x=2$, $y=6$.

Ahora tenemos dos puntos para representar la ecuación 1.

Gráfica de la recta y = 2x + 2 - StudySmarter Originals

Lo mismo haremos para la Ecuación 2,

$y=x-1$.

Sustituye 1 en la ecuación suponiendo que x = 1,

$y=1-1$

$y=0$

Cuando $x=1$, $y=0$.

Sustituye 2 en la ecuación suponiendo que x = 2,

$y=2-1$

$y=1$

Cuando $x=2$, $y=1$.

Grafiquemos estos puntos y tracemos la recta en el mismo plano de coordenadas.

Gráfica de las ecuaciones y = 2x + 2 e y = x - 1, StudySmarter Originals

El punto que ambos interceptan es la solución del problema, (-3, -4).

Esto significa que

$x=-3$

$y=-4$

Ahora podemos evaluarlo para ver si es cierto. Trabajar con ecuaciones significa que todo lo que hay en el lado izquierdo debe ser igual a lo que hay en el derecho. Como aquí tenemos dos ecuaciones, comprobaremos ambas. Empecemos por la primera.

$y-2x=2$

Sustituiremos los valores que acabamos de encontrar en la ecuación

$-4-2(-3)=2$

Como ambos valores negativos se multiplican entre sí, el resultado pasa a ser positivo.

$-4+6=2$

$2=2$.

Vemos aquí que se cumple la primera ecuación. Podemos seguir adelante y hacer lo mismo con la segunda ecuación.

$-x=-y-1$

Sustituye los valores que acabamos de encontrar en la ecuación

$-(-3)=-(-4)-1$

Si los valores negativos se multiplican entre sí, el resultado será positivo.

$3=4-1$

$3=3$

Aquí nos damos cuenta de que la solución satisface ambas ecuaciones, por lo tanto, la solución es correcta.