Leyes de los logaritmos

Las leyes de los logaritmos son reglas que pueden aplicarse para simplificar y resolver ecuaciones logarítmicas complicadas. Al manipular logaritmos, es importante asegurarse de que todas las bases son iguales.

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Índice de temas

    Las leyes básicas de los logaritmos

    • Ley del producto (suma): \(\log_a(m) + \log_b(n) = \log_a(mn)\)

    • Ley del cociente: \(\log_a(m) - \log_b(n) = \log_a(\frac{m}{ n})\)

    • Ley de potencias: \(\log_a(x^b) = b\log_a(x)\)

    • Cambio de Ley: \(\log_a(x) = \frac{\log_b(x)}{\log_b(a)})

    La fórmula del cambio de ley está en el cuadernillo de fórmulas que te dan en el examen.

    • Otros logaritmos

      • Leyes recíprocas: \(\log_a(\frac{1}{x}) = \log(x^{-1}) = -\log(x)\)

      • Log de la base: \(\log_a(a)=1\)

      • Log de 1: \(\log_a(1) = 0\)

      • Aunque técnicamente es una ley de logaritmos, es importante recordar que los logaritmos pueden convertirse en exponenciales: \(\log_a(b) = x\) puede escribirse como \(a^x = b\).

    Ley de la prueba de troncos

    No es necesario poder demostrar cada ley de logaritmos para el examen, pero es importante comprender cada paso y por qué se produce.

    Ley del producto (suma)

    1. Si \(\log_x(a) = c\) y \(\log_x(b) = d\), entonces puedes reescribir los logaritmos como una función exponencial.

    Para \(\log_x(a) = c\), la base es

    x, el exponente es c, la respuesta a la exponencial es a.

    Por tanto, puede escribirse como \(x^c = a\)

    Para \(\log_x(b) = d\), la base es x, el exponente es d, y la respuesta de la exponencial es b.

    Por tanto, puede escribirse como \(x^d = b\)

    2. Así, utilizando nuestra regla exponencial (índices) de \(M^n \cdot M^n = M^{m+n}\),

    \(ab = (x^c)(x^d) = x^{c+d}\)

    \(ab = x^{c+d}\)

    3. Toma el logaritmo de ambos lados:

    \(\log_x(ab) = \log_x(x^{c+d})\)

    4. Como \(\log_x(x^{c+d})\) incluye tanto una exponencial con base x como un logaritmo con base x (\(\log_x(x^{c+d})\)), se anularán entre sí para convertirse sólo en c + d.

    \(log_x(x^{c+d}) = c +d \)

    \(log_x(ab) = c+d\)

    Este paso se debe a que los logaritmos y las exponenciales son funciones inversas entre sí. Piensa en cuando anulamos el +4 y el -4 en x +4 -4 = 10: es el mismo principio.

    5. Hemos definido c y d en la parte 1. \(\log_x(a) = c\) y \(\log_x(b) = d\)

    Por tanto, \(c +d = \log_x(a) + \log_x(b)\)

    \(\log_x(ab) = \log_x(a) + \log_x(b)\)

    Regla del cociente

    1. Si \(\log_x(a) = c\) y \(\log_x(b) = d\), entonces puedes reescribir los logaritmos como una función exponencial.

    For\(\log_x(a) = c\), la base es x, el exponente es c y la respuesta a la exponencial es a.

    Por tanto, puede escribirse como \(x^c = a\)

    Para \(\log_x(b) = d\), la base es x, el exponente es d, y la respuesta a la exponencial es b.

    Por tanto, puede escribirse como \(x^d = b\)

    2. Así, utilizando nuestras reglas exponenciales (índices) de \(\frac{M^m}{M^n} = M^{m-n}\),

    \(\frac{a}{b} = \frac{x^c}{x^d} = x^{c-d}\)

    \(\frac{a}{b} = x^{c-d}\})

    3. Toma el logaritmo de ambos lados.

    \(\log_x(\frac{a}{b}) = \log_x(x^{c-d})\)

    4. Como \(\log_x(x^{c-d})\) incluye tanto una exponencial con base x como un logaritmo con base x, se anularán entre sí para convertirse sólo en c - d.

    \(\log_x(x^{c-d}) = c-d\)

    \(\log_x(\frac{a}{b}) = c-d\)

    5. Hemos definido c y d en la parte 1, donde \(\log_x(a) = c\) y \(\log_x(b) = d\):

    \(c-d = \log_x(a) - \log_x(b)\)

    \(\log_x(\frac{a}{b}) = \log_x(a) - \log_x(b)\)

    Cambio de base

    1. Sea \(\log_a(x) = k\) donde la base es a,el exponente es k, y la respuesta a la exponencial = x .

    Por tanto, puede reescribirse como una exponencial: \(a^k = x\)

    2. Toma el logaritmo de ambos lados

    \(\log_b(a^k) = \log_b(x)\)

    3. Utiliza la regla de la potencia para simplificar

    \(\log_b(a^k) = k\log_b(a)\) que luego puedes volver a sustituir en la ecuación

    \(k\log_b(a) = \log_b(x)\)

    4. Reorganiza para obtener k por sí solo dividiendo por k \ (\log_b(a)\)

    \(k = \frac{\log_b(x)}{\log_b(a)}\)

    5. Como k ya está definido, puede sustituirse en la ecuaciónk\(\log_a(x)\)

    \(\log_a(x) = \frac{\log_b(x)}{\log_b(a)}\)

    Derecho recíproco

    1. \(\log_a(\frac{1}{x})\) puede escribirse como \(\log_a(x^{-1})\) utilizando nuestras reglas exponenciales con negativos.
    2. Puedes utilizar la regla del logaritmo de potencia para bajar el -1, de modo que \(\log_a(x^{-1})\) se convierte en \(-\log_a(x)\).

    Log de la base

    1. Establece \(\log_a(a)=x\) donde la base es a, el exponente es x, y la respuesta de la exponencial es a. Por tanto, se puede escribir como\(a^x = a\).
    2. Según las reglas exponenciales, si la respuesta de una exponencial es igual a la base, entonces el exponente debe ser 1.

    Log de 1

    1. Establece \(\log_a1=x\) donde la base es a, el exponente es x, y la respuesta de la exponencial es 1. Por tanto, se puede escribir como\(a^x = 1\).
    2. Según las reglas exponenciales, si la respuesta de una exponencial es 1, entonces el exponente debe ser 0.

    Simplificar y resolver utilizando las leyes de los logaritmos

    Aquí veremos algunos ejemplos de simplificación de una serie de leyes logarítmicas.

    Simplificación y resolución mediante la ley 1 logarítmica

    Mostrar log (6) + log (4) = log (24)-log)

    \Muestra log (6) + log (4) = log (6) = log (24)

    Resuelve φ(φlog (14) - φlog (7))

    \Resuelve Λ(2) = Λ(2) = 0,301 (3 s.f)

    Simplifica 【log(9)】, mantén la forma exacta

    \Simplifica φ(2log(9) = φlog(9)^2 = φlog(81)^2).

    Resuelve \(2\log(2\cdot 3)\)

    \(2\log(2\cdot 3) = \log(2\cdot 3)^2 = \log(6)^2 = \log(36) = 1,56 (3 s.f)\)

    Simplificar y resolver utilizando leyes logarítmicas múltiples

    Puede ser útil utilizar reglas que simplifiquen logaritmos individuales antes de hacer la simplificación de leyes logarítmicas múltiples.

    Resuelve \(3\log(4) - \log(8)\)

    \(\log(4)^3 = \log(64)\log(64) - \log(8) = \log(\frac{64}{8}) = \log(8) = 0,903 (3 s.f)\)

    Simplifica \(\log_4(4x^2)\)

    \(\log_4(4) + \log_4(x^2)1+ 2\log_4x\)

    Demuestra \(x = 1 \pm i\sqrt{8}\) donde \(2\log_2(x+3) - log_2(x) = 3\)

    1. Utilizando la regla de la potencia, \(2\log_2(x+3) = \log_2(x+3)^2\).

    Por tanto, \(\log_2(x+3)^2 - \log_2(x) = 3\)

    2. Usando la regla del cociente, \(\frac{\log_2(x+3)^2}{\log_2(x)} = 3\)

    3. Cuando quieras eliminar el logaritmo, tienes que convertirlo en exponencial. Esto funciona de la misma manera que lo normal, sólo tienes que asegurarte de etiquetar cada parte.

    La base es 2; el exponente es 3; la respuesta a la exponencial es \(\frac{(x+3)^2}{x}\)

    \(2^3 = \frac{(x+3)^2}{x})

    4. Resuélvela como una ecuación normal

    \(8 = \frac{(x+3)^2}{x})

    \(8x = (x+3)^2\})

    \(0 = x^2 -2x+9\)

    Usando la fórmula obtenemos, \(x = 1 \pm i\sqrt{8}\)

    Leyes de los logaritmos - Puntos clave

    • Las cuatro leyes principales con las que debes familiarizarte son la ley del producto, la ley del cociente, la ley del cambio de base y la regla de la potencia.
    • La ley recíproca, el logaritmo de una base y el logaritmo de 1 son logaritmos más especializados: sólo pueden utilizarse en contextos específicos.
    Preguntas frecuentes sobre Leyes de los logaritmos
    ¿Qué es un logaritmo?
    Un logaritmo es el exponente al cual hay que elevar una base para obtener un número dado.
    ¿Cuáles son las propiedades de los logaritmos?
    Las propiedades incluyen: log(a*b) = log(a) + log(b), log(a/b) = log(a) - log(b), y log(a^b) = b*log(a).
    ¿Para qué se usan los logaritmos?
    Los logaritmos se usan para simplificar cálculos, especialmente en multiplicaciones y divisiones de números grandes, y en el análisis de crecimiento exponencial.
    ¿Qué es la base de un logaritmo?
    La base de un logaritmo es el número que se eleva a una potencia para obtener determinado valor. Por ejemplo, en log base 10 de 100, la base es 10.

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