Métodos Iterativos

Resolver una ecuación mediante un método iterativo es llevar a cabo un proceso de aproximación a un valor. Se nos da un valor inicial aproximado, y luego nos volvemos cada vez más precisos. Esto nos acerca al valor real y es necesario cuando no tenemos una forma directa de resolver las raíces de la ecuación.

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    Utilización del método iterativo

    Se puede utilizar un método iterativo para encontrar un valor de x cuando f(x)=0. Para realizar esta iteración, primero tenemos que reordenar la función.

    La base de esto es que necesitamos reordenar f(x)=0 en x=g(x). Por tanto, tenemos que hacer x el sujeto de f(x)=0. Sin embargo, no importa si tenemos x términos restantes en el otro lado.

    Esto se debe a que podemos realizar xn+1=g(xn)es decir, tomamos nuestro valor de x y lo iteramos.

    Veamos a continuación dos ejemplos trabajados clave.

    Ejemplos prácticos de cálculo iterativo

    1. x2-3x-5=0

    a) Demuestra que x=3x+5.

    b) Utilizando la fórmula iterativa xn+1=3xn+5y dejando que x0=4encuentra los valores de x1,x2,x3. SOLUCIÓN: 1a) x2-3x-5=0x2=3x+5x=3x+51b)x0=4x1=3(4)+5x1=17=4.123105626x2=3(4.123105626)+5=4.167651242x3=3(4.167651242)+5=4.183653156

    Al iterar utilizamos todos los dígitos que nos ha dado nuestra calculadora para encontrar nuestro siguiente valor. Puedes hacerlo fácilmente utilizando el botón ANS de tu calculadora

    Veamos un ejemplo más difícil.

    2. f(x)=xe-x-x+3

    a) Demuestra que f(x)=0 puede reordenarse para formar x=-ln(1-3x).

    b) Utilizando la fórmula iterativa xn+1=-ln(1-3xn) y dejando quex0=-1.

    SOLUCIÓN:

    2a)

    xe-x-x+3=0xe-x=x-3e-x=1-3x-x=ln(1-3x)x=-ln(1-3x)2 B)x0=-1x1=-ln(1-3-1)x1=-ln(4)=-1.386294361x2=-ln(1-3-1.386294361)=-ln(3.164042561)=-1.151850501x3=-ln(1-3-1.151850501)=-ln(3.604504661)=-1.282184358

    ¿Cómo vemos los métodos iterativos en un gráfico?

    Los métodos iterativos consisten en acercarse cada vez más a la raíz de una ecuación. Los utilizamos cuando no podemos resolver directamente las ecuaciones con ningún otro método.

    Cuanto mayor sea el valor de n en xnmás cerca estaremos de la raíz de esta ecuación, ya que realizamos este proceso cada vez más veces.

    Podemos ver esto en una gráfica de dos formas: un diagrama de escalera o un diagrama de telaraña.

    Diagrama en escalera

    Un diagrama en escalera funciona para una función que converge directamente a una raíz, lo que significa que a partir de x0estamos aumentando o disminuyendo directamente hacia nuestra raíz con cada valor iterativo.

    Veamos nuestro ejemplo inicial f(x)=x2-3x-5.

    Nos centraremos únicamente en la raíz positiva (la de la derecha).

    Métodos iterativos Gráfico utilizado para el método iterativo StudySmarter

    Una gráfica de f(x)=x2-3x-5

    Sabemos por reordenación que x=3x+5cuandof(x)=0 . Por tanto, si trazamos las rectas y=x y y=3x+5la intersección es la raíz de esta ecuación.

    Métodos iterativos Resolución de la iteración de intersección StudySmarter

    La intersección entre las rectas y=x yy=3x+5

    Tracemos ahora nuestros puntos para x0,x1,x2 y x3.

    Valores x0,x1,x2,x3 marcados.

    Texto alternativo: Valores marcados en el gráfico.

    Esta es una versión más ampliada y podemos ver que estos puntos convergen lentamente hacia la intersección. Si añadimos algunas líneas, podemos ver nuestra escalera.

    Métodos iterativos Diagrama de escalera de iteración StudySmarter

    Un diagrama en escalera uniendo todos los puntos mencionados.

    Si continuamos y utilizamos más valores nos acercaremos cada vez más a esa intersección. En realidad, nunca llegaremos a ella, pero podemos conseguirla con una gran precisión.

    Diagramas de telaraña

    Un diagrama de telaraña se produce cuando convergemos en una raíz en más de una dirección, lo que significa que nuestros valores se vuelven tanto demasiado altos como demasiado bajos alrededor de la raíz.

    Nuestro segundo ejemplo f(x)=xe-x-x+3 lo demuestra. Nos centraremos en la raíz negativa, la de la izquierda.

    Métodos terativos Esquema gráfico para la iteración StudySmarterPie de foto

    Esquema de la gráfica f(x)=xe-x-x+3

    Una vez más, reordenando sabemos que x=-ln(1-3x)cuando f(x)=0. Por tanto, podemos trazar las rectas y=x y y=-ln(1-3x)y su intersección es la solución de la ecuación f(x)=0.

    Métodos iterativos Intersección entre líneas antes de la iteración. EstudiaMejor

    Intersección entre las líneas y=x y y=-ln(1-3x),

    Ahora vamos a trazar nuestros puntos para x0,x1,x2 y x3.

    Métodos iterativos Valores marcados en el gráfico StudySmarter

    Puntos x0,x1,x2,x3 marcados.

    Podemos ver claramente que estos puntos no están en orden. Por lo tanto, no tenemos una escalera, tenemos una telaraña y estamos convergiendo en el valor desde distintas direcciones. Esto es lo que parece

    Métodos Iterativos Diagrama de Cobweb Iteración EstudioSmarter

    Un diagrama de telaraña uniendo todos los puntos marcados.

    Podemos ver que es como una telaraña, y que converge hacia un valor a partir de valores mayores y menores que la intersección.

    Métodos iterativos - Puntos clave

    • Los métodos iterativos pueden utilizarse para encontrar soluciones a Ecuaciones que no podemos resolver de otra forma.
    • Nos proporcionan fórmulas para ayudarnos a converger en determinadas raíces de ecuaciones.
    • Podemos utilizar gráficos que nos ayuden a visualizar cómo las raíces son cada vez más exactas (cuanto más cerca de la intersección, más exacta es nuestra respuesta).
    • Un diagrama en escalera es aquel en el que nos movemos en una dirección hacia la intersección.
    • Un diagrama de telaraña es aquel en el que nos movemos alrededor de la intersección en más de una dirección.
    Preguntas frecuentes sobre Métodos Iterativos
    ¿Qué son los métodos iterativos en matemáticas?
    Los métodos iterativos son procedimientos repetitivos utilizados para aproximar soluciones de ecuaciones o sistemas de ecuaciones.
    ¿Cuál es la diferencia entre métodos iterativos y directos?
    Los métodos iterativos refinan progresivamente una solución aproximada, mientras que los métodos directos buscan una solución exacta en un número finito de pasos.
    ¿Cuáles son ejemplos de métodos iterativos?
    Ejemplos comunes son el método de Jacobi, método de Gauss-Seidel y método de relajación.
    ¿Cuándo se utilizan los métodos iterativos?
    Se utilizan especialmente para grandes sistemas lineales donde los métodos directos son impracticables debido a su complejidad computacional.

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