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- ¿Cómo se integran las funciones trigonométricas?
- Integral de sen(x)
- Integral de cos(x)
- Integral de tan(x)
- ¿Cómo se integran funciones trigonométricas al cuadrado?
- Integrar funciones trigonométricas inversas
- Integral de arcosin(x)
- Integral de arccos(x)
- Integral de arctan(x)
- Tabla resumen de integración de funciones trigonométricas
¿Cómo se integran las funciones trigonométricas?
Cada función trigonométrica tiene su integral definida:
Integral de sen(x)
La integral de \(\sin{x}\) es \(-\cos{x} + c\). Usando la notación integral, \(\int{sin{x}}espacio dx\).
Integral de cos(x)
La integral de \(\cos{x}\) es \(\sin{x} + c\) o \(\int{\cos{x}} dx = \sin{x} + c\).
Integral de tan(x)
La integral de tan(x) es \(ln|cos{x}| + c\) o \(\int{\tan{x} dx} = ln|\cos{x}| + c\).
Veamos la derivación de esto.
Sabemos que \(\tan{x} = \frac {\sin{x}}{cos{x}}), así que podemos sustituirlo por la integral \(\int{\tan{x}} dx} = \int {\frac {\sin{x}}{cos{x}}dx}}.
Para resolverlo, podemos utilizar la sustitución u = cos(x), de modo que \(\frac{du}{dx} = -\sin{x}\) y \(dx = -\frac{1}{\sin{x}} du\).
Nuestra integral tendrá ahora este aspecto \(\int{\frac{\sin{x}}{u}}{\frac{1}{-\sin{x}}} du\)
Podemos anular la \(\sin{x}\}) y obtener \(\int{-\frac{1}{u} du}\}).
Sabemos que la integral de \( \frac{1}{x} = ln(x)\) por tanto, \(\int{-\frac{1}{u} du} = -ln(u) + c\) .
Si volvemos a sustituir \(\cos{x}\), obtenemos \(\-ln \cdot \cos {x}\), que equivale a \(ln|\cos{x}|^{-1}\)
\(|coscos{x}|^{-1} = \frac {1}{cos{x}} = \sec {x}\) por lo que \int{\tan{x} \space dx} = ln|\sec{x}| + c\)Halla la integral de \(x \sin{2x}\)
Utilizaremos la integración por partes, dejando que \(u = x\) se cancele en \(\frac{du}{dx} = 1\).
Por tanto, \(dv = \sin {2x} \espacio dx\) y \(v = \frac {-\cos{2x}}{2}), por la regla de la cadena inversa.
\(\comenzar{alinear} \int{x \sin {(2x)} \space dx} = \frac {-x}{2} + \frac {1}{2} \int {\cos{(2x)} \space dx} \frac {-x}{2} \cos{(2x)} + \frac {1}{4} + c fin)
¿Cómo se integran las funciones trigonométricas al cuadrado?
Para integrar funciones trigonométricas al cuadrado, como \(\sin^2{x}\), puedes utilizar las integrales de las funciones trigonométricas que acabas de determinar, y las identidades angulares dobles.
Por ejemplo, para hallar \(\int{{sin^2{x} \space dx}\), puedes utilizar la identidad \(\cos{2x} = 1 - 2\sin^2{x}\).
Si reordenamos esta expresión para hallar \(\sin^2{x}\), se obtiene \(\sin^2{x} = \frac{1}{2} - \frac {\cos{2x}}{2}\).
Ahora podemos sustituir esto en nuestra integral:
\(\int{sin^2{x} \dx} = \int {\frac{1}{2} -frac {cos{2x}} {2} \espacio dx})
Sabemos que la integral de \(\cos{x}\) es \(\sin{x}\) por lo que la integral de \(\cos{2x}\) es \( \frac{1}{2} \sin {2x}\)
Teniendo en cuenta el factor de \(\frac{1}{2}\), obtenemos
\(\int{sin^2{x} \space dx} = \frac {1}{2}x - \frac {1}{4} \sin {2x} + c\)
Halla \(\int{cos^2{x} \space dx}\)
Utilizaremos las identidades \(\cos{2x} = \cos^2{x} - \sin^2{x}\) y \(\sin^2{x} = 1 - \cos^2{x}\)
Reordenándolas y combinándolas, obtenemos \(\cos^2{x} = \frac {\cos{2x}}{2} + \frac {1}{2}\).A continuación, podemos resolver esta integral.
\(Comienzo) \int{{cos^2{x}} \dx} &= \frac {1}{2} \int {\cos{2x} + 1} \frac {1}{2}(\frac {\sin{2x}}{2} + x) + c, \text {utilizando la Regla de la Cadena inversa para} \seno {2x} \\ &= \frac {\sin{2x}}{4} + \frac {x}{2} + c fin).
Integrar funciones trigonométricas inversas
Las funciones trigonométricas inversas, como arcsin, arccos y arctan, no pueden integrarse directamente. Por tanto, utilizamos la integración por partes. Sabemos que \(\int{u \space dv} = uv - \int {v \space du}\), y como no podemos integrar la función trigonométrica inversa pero sí derivarla, dejamos que u = función trigonométrica inversa y v = 1. A continuación, se utiliza la fórmula de integración por partes para resolver la integral.
Integral de arcsin(x)
La integral de \(\arcsin{x}\) puede escribirse como \(\int{\arcsin{x}\cdot 1 \space dx}\).
Por tanto, deja que \(u = \arcsin {x}, du = \frac {1}{sqrt{1-x^2}}, dv = 1, v =x\). .
Usamos la fórmula de integración por partes y hallamos el \int {\arcsin{x} \space dx} = x \cdot \arcsin {x} - \int {\frac {x}{\sqrt{1-x^2}}. \space dx}).
Sea \(w = 1 - x^2\). Por tanto, \(dw = -2x \space dx\).
\(\int{arcsin{x} \dx} = x \cdot \arcsin{x} + \frac{1}{2} \int {-2x(1 - x^2)^-\frac{1}{2}} \space dx}\).
Entonces, \(\int{{arcsin{x}} \space dx} = x \cdot \arcsin{x} + \frac{1}{2} \cdot \frac {(1-x^2)^{-\frac{1}{2} + 1}{-\frac{1}{2} + 1} = x \cdot \arcsin{x} + (1 - x^2)^{\frac{1}{2}}) .
Por tanto, \(\int {\arcsin{x} \space dx} = x \cdot \arcsin{x} + \sqrt {1 - x^2} + c\).
Integral de arccos(x)
La integral de \(\arccos{x}\) puede escribirse como \(\int{\arccos{x}\cdot 1 \cdot dx}\). Utilizando la integración por partes, sea \(u = \arccos{x}, du = \frac {-1}{sqrt{1-x^2}}, dv = 1, v = x\) . Utilizando la fórmula de integración por partes, al encontrar que \(\int{\arccos{x} \space dx} = x \cdot \arccos {x} - \int{\frac{-x}{\sqrt{1}-x^2} \dx), o \(x \cdot \arccos{x} + \int{\frac{x}{cuadrado1-x^2} dx). A continuación, utilizamos la integración por sustitución, dejando que \(w = 1 - x^2\).
Siguiendo el mismo método que para la integral de \(\arccosin{x}), encontramos que \(\int{arccos{x} \cdot dx} = x \cdot \arccos{x} - \sqrt{1-x^2} + c\).
Integral de arctan(x)
La integral de arctan(x) puede escribirse como \int {\arctan{x} \cdot 1 \space dx}\). Utilizando la integración por partes, que \(u = \arctan{x}, \space du = \frac{1}{1 + x^2}, \space dv = 1, \space v = x\). Utilizando la fórmula de integración por partes, hallamos que \(\int\arctan{x} \space dx = x \cdot \arctan{x} - \int {\frac{x}{1 + x^2} dx}\). Reconocemos esta integral como un logaritmo natural de \((1 + x^2)\), ya que, dejando que \(w = 1 + x^2\), \(dw = 2x\). Esto significa que el numerador \(x = \frac{1}{2} dw\).
Por tanto, encontramos que \(\int{\arctan{x} \space dx} = x \space \arctan{x} - \frac{1}{2} ln|1 + x^2| + c\).
Halla \(\int{{arctan{2x} \space dx}\)
Tendremos que utilizar la integración por sustitución y por partes.
Sea una nueva variable t = 2x.
Por tanto, dt = 2 dx y \(\frac{dt}{2} = dx\).
Sustituyendo esto en la integral, obtenemos
\(\int{arctan{t} \cdot \frac {dt}{2}} = \frac{1}{2} \int {\arctan{t}} \cdot 1 \cdot dt})
Ahora utilizaremos la integración por partes, dejando que
\(u = \arctan{t}, \space du = \frac {1}{1 + t^2} dt, \space dv = 1dt, \space v = t\)
Utilizando la fórmula de integración por partes, obtenemos
\(t \cdot \arctan{t} - \int{frac{t}{1 + t^2} dt} &= \frac{1}{2} t \cdot \arctan{t} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \int {\frac{2t}{1 + t^2} dt} \\ &= \frac{1}{2} t \cdot \arctan{t} - \frac{1}{4} ln|1 + t^2| \end{align}\).
Como dejamos que t = 2x, volvemos a sustituir x. Por tanto,
Integrar\(\cos^3{x} \sin{x}\) con respecto a x.
Utilizaremos la integración por sustitución.
\(\int{cos^3{x}} \seno{x} \espacio dx} = \int{(\cos{x})^3 \sin{x} \espacio dx}).
Dejando que \(u = \cos{x}, \espacio \frac{du}{dx} = -\sin{x}\) . Por tanto, sustituyendo los valores de u por los de x, obtenemos \(\begin{align} \int{u^3(\frac{-du}{dx})dx} &= - \int{u^3du} \ &= - \frac {u^4}{4} +c \end{align}\)
A continuación, sustituimos los valores de u por los de x.
Por tanto, \(\int{cos^3{x} \sin{x} \space dx} = - \frac {\cos^4{x}{4}+ c\)
Tabla resumen de integración de funciones trigonométricas
| Función trigonométrica | Notación integral | Solución integral |
| \(\sin{x}\) | \(int{sin{x}}espacio dx\) | \(-coscos{x} + c) |
| \(-coscos{x}) | \(int/cos/x espacio dx) | \(seno de x + c) |
| \(Tan{x}) | \(intint = tan = x = espacio dx) | \(ln + c) |
| \(arcsin{x}) | \INT (arcsin{x} espacio dx) | \(x \cdot \arcsin{x} + \sqrt {1 - x^2} + c\). |
| \(\arccos{x}\) | \(\int{arccos{x} \cdot dx}\) | \(x \cdot \arccos{x} - \sqrt{1-x^2} + c\) |
| \(arctan{x}) | \(\int{arctan{x}\espacio dx}\) | \(x \space \arctan{x} - \frac{1}{2} ln|1 + x^2| + c\) |
Tabla 1. Integración de funciones trigonométricas.
Integración de funciones trigonométricas - Puntos clave
- \(\int{sin{x} \espacio dx} = - \cos{x} + c\)
- \(INTENCIÓN DE LOS COSTOS DE LA X EN EL ESPACIO DX = SIN EX + C)
- \(Intintestán{x} espacio dx} = n|sec{x}| + c)
- Podemos utilizar la regla de la cadena cuando la variable entre paréntesis es más compleja que x, por ejemplo, \(\int{\sin{2x} \space dx = \frac {-1}{2} \cos{2x} + c\), ya que hemos dividido por la derivada de los paréntesis.
- Podemos utilizar y reordenar identidades angulares dobles, como \(\cos{2x} = 2 \cos^2{x} - 1\) cuando nos dan una función trigonométrica al cuadrado.
- Al calcular integrales de funciones trigonométricas inversas, utilizamos la integración por partes, mediante la fórmula \(int{u \space dv} = uv - \int{v \space du}\), y dejando que u = función trigonométrica inversa, y dv = 1.
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