Integración de Funciones Trigonométricas

Veamos cómo integrar funciones trigonométricas como sen, cos y tan, así como funciones trigonométricas inversas como arcsin, arccos y arctan.

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Índice de temas

    ¿Cómo se integran las funciones trigonométricas?

    Cada función trigonométrica tiene su integral definida:

    Integral de sen(x)

    La integral de \(\sin{x}\) es \(-\cos{x} + c\). Usando la notación integral, \(\int{sin{x}}espacio dx\).

    Integral de cos(x)

    La integral de \(\cos{x}\) es \(\sin{x} + c\) o \(\int{\cos{x}} dx = \sin{x} + c\).

    Integral de tan(x)

    La integral de tan(x) es \(ln|cos{x}| + c\) o \(\int{\tan{x} dx} = ln|\cos{x}| + c\).

    Veamos la derivación de esto.

    Sabemos que \(\tan{x} = \frac {\sin{x}}{cos{x}}), así que podemos sustituirlo por la integral \(\int{\tan{x}} dx} = \int {\frac {\sin{x}}{cos{x}}dx}}.

    Para resolverlo, podemos utilizar la sustitución u = cos(x), de modo que \(\frac{du}{dx} = -\sin{x}\) y \(dx = -\frac{1}{\sin{x}} du\).

    Nuestra integral tendrá ahora este aspecto \(\int{\frac{\sin{x}}{u}}{\frac{1}{-\sin{x}}} du\)

    Podemos anular la \(\sin{x}\}) y obtener \(\int{-\frac{1}{u} du}\}).

    Sabemos que la integral de \( \frac{1}{x} = ln(x)\) por tanto, \(\int{-\frac{1}{u} du} = -ln(u) + c\) .

    Si volvemos a sustituir \(\cos{x}\), obtenemos \(\-ln \cdot \cos {x}\), que equivale a \(ln|\cos{x}|^{-1}\)

    \(|coscos{x}|^{-1} = \frac {1}{cos{x}} = \sec {x}\) por lo que \int{\tan{x} \space dx} = ln|\sec{x}| + c\)

    Halla la integral de \(x \sin{2x}\)

    Utilizaremos la integración por partes, dejando que \(u = x\) se cancele en \(\frac{du}{dx} = 1\).

    Por tanto, \(dv = \sin {2x} \espacio dx\) y \(v = \frac {-\cos{2x}}{2}), por la regla de la cadena inversa.

    \(\comenzar{alinear} \int{x \sin {(2x)} \space dx} = \frac {-x}{2} + \frac {1}{2} \int {\cos{(2x)} \space dx} \frac {-x}{2} \cos{(2x)} + \frac {1}{4} + c fin)

    ¿Cómo se integran las funciones trigonométricas al cuadrado?

    Para integrar funciones trigonométricas al cuadrado, como \(\sin^2{x}\), puedes utilizar las integrales de las funciones trigonométricas que acabas de determinar, y las identidades angulares dobles.

    Por ejemplo, para hallar \(\int{{sin^2{x} \space dx}\), puedes utilizar la identidad \(\cos{2x} = 1 - 2\sin^2{x}\).

    Si reordenamos esta expresión para hallar \(\sin^2{x}\), se obtiene \(\sin^2{x} = \frac{1}{2} - \frac {\cos{2x}}{2}\).

    Ahora podemos sustituir esto en nuestra integral:

    \(\int{sin^2{x} \dx} = \int {\frac{1}{2} -frac {cos{2x}} {2} \espacio dx})

    Sabemos que la integral de \(\cos{x}\) es \(\sin{x}\) por lo que la integral de \(\cos{2x}\) es \( \frac{1}{2} \sin {2x}\)

    Teniendo en cuenta el factor de \(\frac{1}{2}\), obtenemos

    \(\int{sin^2{x} \space dx} = \frac {1}{2}x - \frac {1}{4} \sin {2x} + c\)

    Halla \(\int{cos^2{x} \space dx}\)

    Utilizaremos las identidades \(\cos{2x} = \cos^2{x} - \sin^2{x}\) y \(\sin^2{x} = 1 - \cos^2{x}\)

    Reordenándolas y combinándolas, obtenemos \(\cos^2{x} = \frac {\cos{2x}}{2} + \frac {1}{2}\).

    A continuación, podemos resolver esta integral.

    \(Comienzo) \int{{cos^2{x}} \dx} &= \frac {1}{2} \int {\cos{2x} + 1} \frac {1}{2}(\frac {\sin{2x}}{2} + x) + c, \text {utilizando la Regla de la Cadena inversa para} \seno {2x} \\ &= \frac {\sin{2x}}{4} + \frac {x}{2} + c fin).

    Integrar funciones trigonométricas inversas

    Las funciones trigonométricas inversas, como arcsin, arccos y arctan, no pueden integrarse directamente. Por tanto, utilizamos la integración por partes. Sabemos que \(\int{u \space dv} = uv - \int {v \space du}\), y como no podemos integrar la función trigonométrica inversa pero sí derivarla, dejamos que u = función trigonométrica inversa y v = 1. A continuación, se utiliza la fórmula de integración por partes para resolver la integral.

    Integral de arcsin(x)

    La integral de \(\arcsin{x}\) puede escribirse como \(\int{\arcsin{x}\cdot 1 \space dx}\).

    Por tanto, deja que \(u = \arcsin {x}, du = \frac {1}{sqrt{1-x^2}}, dv = 1, v =x\). .

    Usamos la fórmula de integración por partes y hallamos el \int {\arcsin{x} \space dx} = x \cdot \arcsin {x} - \int {\frac {x}{\sqrt{1-x^2}}. \space dx}).

    Sea \(w = 1 - x^2\). Por tanto, \(dw = -2x \space dx\).

    \(\int{arcsin{x} \dx} = x \cdot \arcsin{x} + \frac{1}{2} \int {-2x(1 - x^2)^-\frac{1}{2}} \space dx}\).

    Entonces, \(\int{{arcsin{x}} \space dx} = x \cdot \arcsin{x} + \frac{1}{2} \cdot \frac {(1-x^2)^{-\frac{1}{2} + 1}{-\frac{1}{2} + 1} = x \cdot \arcsin{x} + (1 - x^2)^{\frac{1}{2}}) .

    Por tanto, \(\int {\arcsin{x} \space dx} = x \cdot \arcsin{x} + \sqrt {1 - x^2} + c\).

    Integral de arccos(x)

    La integral de \(\arccos{x}\) puede escribirse como \(\int{\arccos{x}\cdot 1 \cdot dx}\). Utilizando la integración por partes, sea \(u = \arccos{x}, du = \frac {-1}{sqrt{1-x^2}}, dv = 1, v = x\) . Utilizando la fórmula de integración por partes, al encontrar que \(\int{\arccos{x} \space dx} = x \cdot \arccos {x} - \int{\frac{-x}{\sqrt{1}-x^2} \dx), o \(x \cdot \arccos{x} + \int{\frac{x}{cuadrado1-x^2} dx). A continuación, utilizamos la integración por sustitución, dejando que \(w = 1 - x^2\).

    Siguiendo el mismo método que para la integral de \(\arccosin{x}), encontramos que \(\int{arccos{x} \cdot dx} = x \cdot \arccos{x} - \sqrt{1-x^2} + c\).

    Integral de arctan(x)

    La integral de arctan(x) puede escribirse como \int {\arctan{x} \cdot 1 \space dx}\). Utilizando la integración por partes, que \(u = \arctan{x}, \space du = \frac{1}{1 + x^2}, \space dv = 1, \space v = x\). Utilizando la fórmula de integración por partes, hallamos que \(\int\arctan{x} \space dx = x \cdot \arctan{x} - \int {\frac{x}{1 + x^2} dx}\). Reconocemos esta integral como un logaritmo natural de \((1 + x^2)\), ya que, dejando que \(w = 1 + x^2\), \(dw = 2x\). Esto significa que el numerador \(x = \frac{1}{2} dw\).

    Por tanto, encontramos que \(\int{\arctan{x} \space dx} = x \space \arctan{x} - \frac{1}{2} ln|1 + x^2| + c\).

    Halla \(\int{{arctan{2x} \space dx}\)

    Tendremos que utilizar la integración por sustitución y por partes.

    Sea una nueva variable t = 2x.

    Por tanto, dt = 2 dx y \(\frac{dt}{2} = dx\).

    Sustituyendo esto en la integral, obtenemos

    \(\int{arctan{t} \cdot \frac {dt}{2}} = \frac{1}{2} \int {\arctan{t}} \cdot 1 \cdot dt})

    Ahora utilizaremos la integración por partes, dejando que

    \(u = \arctan{t}, \space du = \frac {1}{1 + t^2} dt, \space dv = 1dt, \space v = t\)

    Utilizando la fórmula de integración por partes, obtenemos

    \(t \cdot \arctan{t} - \int{frac{t}{1 + t^2} dt} &= \frac{1}{2} t \cdot \arctan{t} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \int {\frac{2t}{1 + t^2} dt} \\ &= \frac{1}{2} t \cdot \arctan{t} - \frac{1}{4} ln|1 + t^2| \end{align}\).

    Como dejamos que t = 2x, volvemos a sustituir x. Por tanto,

    Integrar\(\cos^3{x} \sin{x}\) con respecto a x.

    Utilizaremos la integración por sustitución.

    \(\int{cos^3{x}} \seno{x} \espacio dx} = \int{(\cos{x})^3 \sin{x} \espacio dx}).

    Dejando que \(u = \cos{x}, \espacio \frac{du}{dx} = -\sin{x}\) . Por tanto, sustituyendo los valores de u por los de x, obtenemos \(\begin{align} \int{u^3(\frac{-du}{dx})dx} &= - \int{u^3du} \ &= - \frac {u^4}{4} +c \end{align}\)

    A continuación, sustituimos los valores de u por los de x.

    Por tanto, \(\int{cos^3{x} \sin{x} \space dx} = - \frac {\cos^4{x}{4}+ c\)

    Tabla resumen de integración de funciones trigonométricas

    Función trigonométricaNotación integralSolución integral
    \(\sin{x}\)\(int{sin{x}}espacio dx\)\(-coscos{x} + c)
    \(-coscos{x}) \(int/cos/x espacio dx)\(seno de x + c)
    \(Tan{x})\(intint = tan = x = espacio dx) \(ln + c)
    \(arcsin{x})

    \INT (arcsin{x} espacio dx)

    \(x \cdot \arcsin{x} + \sqrt {1 - x^2} + c\).
    \(\arccos{x}\)\(\int{arccos{x} \cdot dx}\)\(x \cdot \arccos{x} - \sqrt{1-x^2} + c\)
    \(arctan{x})\(\int{arctan{x}\espacio dx}\)\(x \space \arctan{x} - \frac{1}{2} ln|1 + x^2| + c\)

    Tabla 1. Integración de funciones trigonométricas.

    Integración de funciones trigonométricas - Puntos clave

    • \(\int{sin{x} \espacio dx} = - \cos{x} + c\)
    • \(INTENCIÓN DE LOS COSTOS DE LA X EN EL ESPACIO DX = SIN EX + C)
    • \(Intintestán{x} espacio dx} = n|sec{x}| + c)
    • Podemos utilizar la regla de la cadena cuando la variable entre paréntesis es más compleja que x, por ejemplo, \(\int{\sin{2x} \space dx = \frac {-1}{2} \cos{2x} + c\), ya que hemos dividido por la derivada de los paréntesis.
    • Podemos utilizar y reordenar identidades angulares dobles, como \(\cos{2x} = 2 \cos^2{x} - 1\) cuando nos dan una función trigonométrica al cuadrado.
    • Al calcular integrales de funciones trigonométricas inversas, utilizamos la integración por partes, mediante la fórmula \(int{u \space dv} = uv - \int{v \space du}\), y dejando que u = función trigonométrica inversa, y dv = 1.
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    Preguntas frecuentes sobre Integración de Funciones Trigonométricas
    ¿Qué es la integración de funciones trigonométricas?
    La integración de funciones trigonométricas es el proceso de hallar la integral de expresiones que contienen funciones como seno, coseno y tangente.
    ¿Cómo se integra el seno?
    Para integrar el seno, ∫sin(x)dx, se obtiene -cos(x) + C.
    ¿Cuál es la integral de coseno?
    La integral de coseno, ∫cos(x)dx, es sin(x) + C.
    ¿Qué técnicas se utilizan para integrar funciones trigonométricas?
    Para integrar funciones trigonométricas, se usan técnicas como sustitución trigonométrica y fracciones parciales.

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