Sucesiones aritméticas

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    Una secuencia es un conjunto de elementos que se colocan consecutivamente. En matemáticas, tenemos la sucesión aritmética, la sucesión geométrica, la sucesión cuadrática y otras.

    En este artículo, aprenderemos más sobre las secuencias aritméticas.

    Definición de secuencia aritmética

    Una sucesión aritmética es un conjunto de números ordenados que tienen una diferencia común entre cada dos términos consecutivos.

    Cada número del conjunto de una secuencia se llama término.

    Una secuencia aritmética también se conoce como progresión aritmética.

    Tomemos la siguiente secuencia aritmética 2, 4, 6, 8, 10 .... Observa que al sumar 2 a cualquier término, obtendremos el término siguiente. Por tanto, la diferencia común entre cada dos términos sucesivos es 2.

    Otro ejemplo es 5, 8, 11, 14, ... La diferencia entre cada dos términos consecutivos de esta secuencia es 3.

    Términos de la secuencia aritmética

    Primer término

    El primer término de una secuencia aritmética es el primer elemento de la secuencia.

    En la secuencia 5, 8, 11, 14, 17el primer término es 5 porque es el primer número de la secuencia. El primer término se suele denotar por a.

    Diferencia común

    La diferencia común de una sucesión es la diferencia entre dos términos consecutivos de la sucesión aritmética.

    Es una constante y se obtiene restando dos términos consecutivos.

    Si sumas la diferencia común a uno de los términos, obtendrás el término siguiente. La diferencia común se suele denotar por d.

    No todas las secuencias son secuencias aritméticas. Tienes que identificar primero el tipo de secuencia que tienes antes de intentar resolverla. Y la forma de hacerlo es conociendo la diferencia común. Si la diferencia común es constante a lo largo de la secuencia, entonces se trata de una secuencia aritmética.

    Para la secuencia 2, 4, 6, 8,... la diferencia común es 2 en toda la secuencia porque

    8-6=2, 6-4=2, 4-2=2.

    Se trata de una sucesión aritmética.

    En la secuencia ,-1, 2, 4, 8, 10,... la diferencia común no es constante porque

    10-8=2, 8-4=4, 4-2=2, 2-(-1)=2+1=3

    No es una sucesión aritmética.

    El enésimo término

    El término enésimo de una secuencia aritmética se refiere a cualquier término de la secuencia.

    Viene dado por

    an=a+(n-1)d

    donde n es el índice del término.

    Para calcular a1sustituimos n por 1 en la expresión de any lo mismo para los demás términos de la sucesión.

    Otra forma de expresar una secuencia aritmética es

    a, a+d, a+2d, a+3d, ....

    donde a es el primer término

    d es la diferencia común.

    Esto significa que si conocemos el primer término de una secuencia aritmética y sabemos cuál debe ser la diferencia común, entonces podremos obtener todos los términos de la secuencia.

    Si el primer término de una sucesión aritmética es 6 y la diferencia común es 3, la sucesión será

    6, 9, 12, 15, ...

    Fórmula de la sucesión aritmética

    La fórmula de la sucesión aritmética viene dada por la fórmula del enésimo término de una sucesión aritmética. La fórmula es la siguiente.

    an = a + (n-1) d dondean es el enésimo término,

    aes el primer término,

    n es la posición del término,

    d es la diferencia común

    Esta fórmula es la fórmula general utilizada para hallar los términos de una sucesión aritmética.

    Ejemplos de secuencias aritméticas

    Halla los tres términos siguientes de la secuencia aritmética que aparece a continuación.

    4, 7, 10, 13, 16, ...

    Solución

    En primer lugar, identificamos el primer término, que es 4.

    A continuación, hallamos la diferencia común restando dos términos consecutivos de la secuencia.

    7-4=3, 10-7=3

    Entonces, la diferencia común es 3.

    Ahora que conocemos el primer término y la diferencia común, podemos hallar los tres términos siguientes de la secuencia sumando la diferencia común al último término de la secuencia.

    El último término conocido de la sucesión es 16. Por tanto, sumaremos 3 a 16, para obtener

    16 + 3 = 19

    Debemos buscar los tres términos siguientes, por lo que haremos esto dos veces más. El último término ya no es 16, sino 19. Por tanto, sumaremos 3 a 19 para obtener

    19 + 3 = 22

    Ahora sumaremos 3 a 22 para obtener,

    22 + 3 = 25

    Así, los tres términos siguientes son 19, 22 y 25.

    La secuencia aritmética será 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25,....

    Veamos otro ejemplo.

    Halla los tres términos siguientes de la sucesión aritmética

    5, 3, 1, -1, -3,...

    Solución

    Para resolverlo, debemos conocer el primer término y la diferencia común. El primer término es 5 y la diferencia común es -2.

    Obtenemos la diferencia común restando dos números consecutivos de la secuencia para obtener la diferencia,

    3-5=-2, 1-3=-2.

    Por tanto,

    d = -2.

    Para obtener los tres términos siguientes, sumaremos la diferencia común al último término.

    El último término conocido es -3. Por tanto, el siguiente término será ,

    (-3) + (-2) = -5.

    Debemos obtener tres términos, así que repetiremos este paso dos veces más.

    El último término es ahora -5. Por tanto, el siguiente término será,

    (-5) + (-2) = -7.

    El siguiente término será,

    (-7) + (-2) = -9.

    Los tres términos siguientes de la secuencia aritmética son, pues -5, -7, -9.

    Por tanto, la secuencia aritmética es 5, 3, 1, -1, -3, -5, -7, -9,....

    Hemos visto ejemplos en los que se te pide que encuentres los términos consecuentes de una secuencia aritmética. Habrá situaciones en las que se te pida encontrar un término concreto de una secuencia.

    Te pueden pedir que encuentres el término, el término o el 100º término de una sucesión.

    Para ello, tendrás que utilizar la siguiente fórmula,

    an = a + (n-1) d

    Veamos algunos ejemplos.

    Halla el tercer término de la secuencia aritmética siguiente,

    7, 14, __, 28, 35.

    Solución

    Se nos pide que hallemos el tercer término de la sucesión. Utilizaremos la fórmula siguiente.

    an = a + (n-1) d

    Definamos todos los parámetros de la fórmula,

    an = ?a = 7 (the first term of the sequence)n = 3 (because we are looking for the third term)d = 7 (because 14-7=7, 35-28=7)

    Ahora, sustituyamos en la fórmula,

    a3 = a1 + (3-1) d = 7 + (3-1) 7= 7 + (2) 7= 7 + 14 = 21

    Por tanto, el tercer término es 21.

    Encuentra los términos que faltan en la secuencia aritmética siguiente.

    .__, __, -20, -12, -4

    Solución

    Se nos pide que encontremos los términos que faltan en la sucesión y, normalmente, para ello utilizamos el primer término de la sucesión. En este caso, el primer término es uno de los términos que faltan. ¿Cómo lo hacemos?

    Primero hallaremos la diferencia común y pensaremos en una forma de utilizarla para hallar los términos que faltan.

    Para obtener la diferencia común, restamos dos términos consecutivos.

    d=(-4) - (-12) = 8.

    No podemos utilizar la fórmula que empleamos en los ejemplos anteriores debido a la ausencia del primer término. Así que busquemos un patrón que podamos seguir. Llamemos al primer término x y el segundo como y.

    Así la secuencia será

    x, y, -20, -12, -4

    La relación entre cada término es la diferencia común. Si hallas la diferencia entre dos términos consecutivos cualesquiera, obtendrás el mismo número.

    Así, si

    (-4) - (-12) = 8 ; (-12) - (-20) = 8.Entonces,

    (-20) - y = 8 ; y - x = 8

    Tomamos la primera ecuación,

    (-20) - y = 8

    Resolveremos para y juntando los términos semejantes y convirtiéndola en el sujeto de la fórmula.

    y = -20 - 8 =-28

    Esto significa que el segundo término es -28.

    Recordemos, y - x = 8 Ahora conocemos el valor de y como -28por tanto

    -28 - x = 8 -x=8+28=36 x=-36

    Esto significa que el primer término es -36.

    Por tanto, la secuencia es -36, -28, -20, -12, -4.

    Veamos otro ejemplo.

    Halla el17º término de la secuencia aritmética siguiente,

    2, 8, 14, 20, 26,....

    Solución

    Para hallar el17º término de la sucesión, tendremos que utilizar la fórmula siguiente.

    an = a + (n-1) d

    an = ?a = 2 (the first term)n = 17 (because we are looking for the 17th term)

    Vamos a hallar la diferencia común d.

    d = 26 - 20 = 6

    Ahora hallaremos el17º término,

    a17 = 2 + (17-1) 6 = 2 + (16) 6 = 2 + 96 = 98

    El17º término es 98.

    Fórmula de la suma de secuencias aritméticas

    Sea ann sea una secuencia aritmética denotada por a1, a2, a3, ......., an,....

    La suma de los n primeros términos será la suma de cada término de la siguiente manera,

    Sn = a1 + a2 + a3 + ..... + an.

    Si el número de términos de la sucesión es tanto que no puedes sumarlos o no conoces el valor de todos los términos, necesitarás una fórmula para poder obtener la suma.

    Hay dos fórmulas que se utilizan para resolver la suma de una media aritmética. La primera fórmula viene dada por

    Sn = n2 2a + (n-1) d

    donde Snes la suma de la secuencia aritmética,

    n es el número de términos de la secuencia,

    a es el primer término,

    d es la diferencia común.

    Esta fórmula se utiliza cuando no se conoce el último término de la sucesión.

    La otra fórmula viene dada por

    Sn = n2 a + an

    donde Snes la suma de la sucesión,

    n es el número de términos de la sucesión,

    a es el primer término,

    an es el último término,

    Esta fórmula se utiliza cuando se conoce el último término. Veamos algunos ejemplos.

    Halla la suma de la sucesión aritmética 5, 9, 13, 17, ... hasta 10 términos.

    Solución

    En la pregunta se nos da el primer término, que es 5, pero no conocemos el último término. Pero sabemos que el número de términos es 10. La fórmula que hay que utilizar cuando no se conoce el último término es.

    Sn = n2 2a + (n-1) d

    a = 5, n = 10

    La diferencia común es,

    d = 9 - 5 = 4

    Ahora sustituiremos los valores en la fórmula, Sn = 102 2(5) + (10-1) 4= 5 10 + (9) 4 = 5 10 + 36 = 5 46= 230

    La suma de los términos es 230.

    Veamos otro ejemplo.

    Halla la suma de una progresión aritmética de 4 términos cuyo primer término es 4 y su último término es 19.

    Solución

    Aquí sabemos cuáles son el primer y el último término. La fórmula a utilizar en este caso es

    Sn = n2 a + an

    n = 4, a = 4, a4 = 19

    Ahora sustituiremos los valores en la fórmula,

    Sn = 42 4 + 19 = 2 23 = 46

    La suma de los 4 términos es 46.

    Secuencias aritméticas - Puntos clave

    • Una secuencia aritmética es un conjunto de números en el que la diferencia entre cada término es la misma, es decir, es constante.
    • La diferencia común de una secuencia aritmética es la diferencia entre los términos de la secuencia aritmética. Es una constante y se obtiene restando dos términos consecutivos. Sumando la diferencia común a uno de los términos obtendremos el término siguiente. La diferencia común se denota por d.
    • La fórmula general utilizada para hallar los términos de una sucesión aritmética es an = a1 + (n-1) d.
    • Para hallar la suma de los n primeros términos de una sucesión aritmética, utilizamos una de las fórmulas, Sn = n2 2a + (n-1) d o Sn = n2 a + an.
    Preguntas frecuentes sobre Sucesiones aritméticas
    ¿Qué es una sucesión aritmética?
    Una sucesión aritmética es una serie de números donde cada término se obtiene sumando una cantidad fija al anterior.
    ¿Cómo se encuentra el término general de una sucesión aritmética?
    Se usa la fórmula: an = a1 + (n-1)d, donde an es el término general, a1 es el primer término, y d es la diferencia común.
    ¿Cuál es la suma de una sucesión aritmética?
    La suma de los primeros n términos de una sucesión aritmética se calcula con: S = n/2 * (a1 + an).
    ¿Qué es la diferencia común en una sucesión aritmética?
    La diferencia común es el número constante que se suma a cada término para obtener el siguiente término en la sucesión.

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