Sucesiones aritméticas

Tomemos la siguiente secuencia aritmética $2,4,6,8,10...$. Observa que al sumar 2 a cualquier término, obtendremos el término siguiente. Por tanto, la diferencia común entre cada dos términos sucesivos es 2.

Otro ejemplo es $5,8,11,14,...$ La diferencia entre cada dos términos consecutivos de esta secuencia es 3.

En la secuencia $5,8,11,14,17$el primer término es 5 porque es el primer número de la secuencia. El primer término se suele denotar por $a$.

Para la secuencia $2,4,6,8,...$ la diferencia común es 2 en toda la secuencia porque

$8-6=2,6-4=2,4-2=2$.

Se trata de una sucesión aritmética.

En la secuencia $,-1,2,4,8,10,...$ la diferencia común no es constante porque

$10-8=2,8-4=4,4-2=2,2-(-1)=2+1=3$

No es una sucesión aritmética.

Si el primer término de una sucesión aritmética es 6 y la diferencia común es 3, la sucesión será

$6,9,12,15,...$

Halla los tres términos siguientes de la secuencia aritmética que aparece a continuación.

$4,7,10,13,16,...$

Solución

En primer lugar, identificamos el primer término, que es 4.

A continuación, hallamos la diferencia común restando dos términos consecutivos de la secuencia.

$7-4=3,10-7=3$

Ahora que conocemos el primer término y la diferencia común, podemos hallar los tres términos siguientes de la secuencia sumando la diferencia común al último término de la secuencia.

El último término conocido de la sucesión es 16. Por tanto, sumaremos 3 a 16, para obtener

$16+3=19$

Debemos buscar los tres términos siguientes, por lo que haremos esto dos veces más. El último término ya no es 16, sino 19. Por tanto, sumaremos 3 a 19 para obtener

$19+3=22$

Ahora sumaremos 3 a 22 para obtener,

$22+3=25$

Así, los tres términos siguientes son 19, 22 y 25.

La secuencia aritmética será $4,7,10,13,16,19,22,25$,....

Halla los tres términos siguientes de la sucesión aritmética

$5,3,1,-1,-3,...$

Solución

Para resolverlo, debemos conocer el primer término y la diferencia común. El primer término es 5 y la diferencia común es -2.

Obtenemos la diferencia común restando dos números consecutivos de la secuencia para obtener la diferencia,

$3-5=-2,1-3=-2$.

Por tanto,

$d=-2$.

Para obtener los tres términos siguientes, sumaremos la diferencia común al último término.

El último término conocido es -3. Por tanto, el siguiente término será ,

$(-3)+(-2)=-5$.

Debemos obtener tres términos, así que repetiremos este paso dos veces más.

El último término es ahora -5. Por tanto, el siguiente término será,

$(-5)+(-2)=-7$.

El siguiente término será,

Los tres términos siguientes de la secuencia aritmética son, pues $-5,-7,-9$.

Por tanto, la secuencia aritmética es $5,3,1,-1,-3,-5,-7,-9$,....

Halla el tercer término de la secuencia aritmética siguiente,

$7,14,\_\_,28,35$.

Solución

Se nos pide que hallemos el tercer término de la sucesión. Utilizaremos la fórmula siguiente.

$a_n=a+(n-1)d$

Definamos todos los parámetros de la fórmula,

$$\begin{gathered} a_n=? \\ a=7(thefirsttermofthesequence) \\ n=3(becausewearelookingforthethirdterm) \\ d=7(because14-7=7,35-28=7) \end{gathered}$$

Ahora, sustituyamos en la fórmula,

$a_3=a_1+(3-1)d=7+(3-1)7=7+\left(2\right)7=7+14=21$

Por tanto, el tercer término es 21.

Encuentra los términos que faltan en la secuencia aritmética siguiente.

.$\_\_,\_\_,-20,-12,-4$

Solución

Se nos pide que encontremos los términos que faltan en la sucesión y, normalmente, para ello utilizamos el primer término de la sucesión. En este caso, el primer término es uno de los términos que faltan. ¿Cómo lo hacemos?

Primero hallaremos la diferencia común y pensaremos en una forma de utilizarla para hallar los términos que faltan.

Para obtener la diferencia común, restamos dos términos consecutivos.

$d=(-4)-(-12)=8$.

No podemos utilizar la fórmula que empleamos en los ejemplos anteriores debido a la ausencia del primer término. Así que busquemos un patrón que podamos seguir. Llamemos al primer término $x$ y el segundo como $y$.

Así la secuencia será

$x,y,-20,-12,-4$

La relación entre cada término es la diferencia común. Si hallas la diferencia entre dos términos consecutivos cualesquiera, obtendrás el mismo número.

Así, si

$(-20)-y=8;y-x=8$

Tomamos la primera ecuación,

$(-20)-y=8$

Resolveremos para y juntando los términos semejantes y convirtiéndola en el sujeto de la fórmula.

$y=-20-8=-28$

Esto significa que el segundo término es $-28$.

Recordemos, $y-x=8$ Ahora conocemos el valor de $y$ como $-28$por tanto

$$\begin{gathered} -28-x=8 \\ -x=8+28=36 \\ x=-36 \end{gathered}$$

Esto significa que el primer término es $-36$.

Por tanto, la secuencia es $-36,-28,-20,-12,-4$.

Halla el^17º término de la secuencia aritmética siguiente,

$2,8,14,20,26,...$.

Solución

Para hallar el^17º término de la sucesión, tendremos que utilizar la fórmula siguiente.

$a_n=a+(n-1)d$

$$\begin{gathered} a_n=? \\ a=2(thefirstterm) \\ n=17(becausewearelookingforthe17thterm) \end{gathered}$$

Vamos a hallar la diferencia común d.

$d=26-20=6$

Ahora hallaremos el^17º término,

$a_{17}=2+(17-1)6=2+\left(16\right)6=2+96=98$

El^17º término es 98.

Halla la suma de la sucesión aritmética $5,9,13,17,...$ hasta 10 términos.

Solución

En la pregunta se nos da el primer término, que es 5, pero no conocemos el último término. Pero sabemos que el número de términos es 10. La fórmula que hay que utilizar cuando no se conoce el último término es.

$S_n=\frac{n}{2}\left[2a+(n-1)d\right]$

$a=5,n=10$

La diferencia común es,

Ahora sustituiremos los valores en la fórmula, $S_n=\frac{10}{2}\left[2\left(5\right)+(10-1)4\right]=5\left[10+\left(9\right)4\right]=5\left[10+36\right]=5\left[46\right]=230$

La suma de los términos es 230.

Halla la suma de una progresión aritmética de 4 términos cuyo primer término es 4 y su último término es 19.

Solución

Aquí sabemos cuáles son el primer y el último término. La fórmula a utilizar en este caso es

$S_n=\frac{n}{2}\left[a+a_n\right]$

$n=4,a=4,a_4=19$

Ahora sustituiremos los valores en la fórmula,

$S_n=\frac{4}{2}\left[4+19\right]=2\left[23\right]=46$

La suma de los 4 términos es 46.