Resolver relaciones de recurrencia de segundo orden

La Técnica Característica de resolver relaciones de recurrencia de segundo orden es similar a la de resolver relaciones de recurrencia de primer orden. Consiste en derivar la función complementaria y luego encontrar una solución particular adecuada para resolver la forma cerrada de una relación de recurrencia de segundo orden dada. La sucesión de Fibonacci es una relación de recurrencia de segundo orden que puede resolverse mediante la técnica de la Característica para hallar su ecuación de forma cerrada.

Pruéablo tú mismo Regístrate gratis
Resolver relaciones de recurrencia de segundo orden Resolver relaciones de recurrencia de segundo orden

Crea materiales de aprendizaje sobre Resolver relaciones de recurrencia de segundo orden con nuestra app gratuita de aprendizaje!

  • Acceso instantáneo a millones de materiales de aprendizaje
  • Tarjetas de estudio, notas, exámenes de simulacro y más
  • Todo lo que necesitas para sobresalir en tus exámenes
Regístrate gratis

Millones de tarjetas didácticas para ayudarte a sobresalir en tus estudios.

Regístrate gratis
  • + Add tag
  • Immunology
  • Cell Biology
  • Mo

¿Cuál sería la forma de la solución particular de la relación de recurrencia \(u_{n+2}=u_{n+1}+5u_n+n^2+2n+1\1)?

Show Answer
  • + Add tag
  • Immunology
  • Cell Biology
  • Mo

¿Cuál es la forma correcta de la solución particular de la siguiente relación de recurrencia? \(u_n=3u_{n-1}+u_{n-2}+3\times 4^n\).

Show Answer
  • + Add tag
  • Immunology
  • Cell Biology
  • Mo

¿Cuál es el método utilizado para resolver las relaciones de recurrencia de segundo orden?

Show Answer
  • + Add tag
  • Immunology
  • Cell Biology
  • Mo

¿Cuántos valores iniciales/condiciones límite necesitas para resolver una relación de recurrencia de segundo orden?

Show Answer
  • + Add tag
  • Immunology
  • Cell Biology
  • Mo

¿Cómo hallas la ecuación reducida de una relación de recurrencia de la forma \(u_{n+2} =a_1u_{n+1}+a_2u_n+f(n)\)?

Show Answer
  • + Add tag
  • Immunology
  • Cell Biology
  • Mo

¿Qué término describe mejor la siguiente relación de recurrencia? \(u_{n+2}=2u_{n+1}+3u_n+4n+12\).

Show Answer
  • + Add tag
  • Immunology
  • Cell Biology
  • Mo

¿Qué forma tendría la solución particular de la siguiente relación de recurrencia? \(u_{n+2}=2u_{n+1}+u_n+1\).

Show Answer
  • + Add tag
  • Immunology
  • Cell Biology
  • Mo

¿Qué término describe mejor la siguiente relación de recurrencia? \(u_{n+2}=6u_{n+1}-9u_n\).

Show Answer
  • + Add tag
  • Immunology
  • Cell Biology
  • Mo

¿Qué término describe mejor la siguiente relación de recurrencia? \(u_{n+2}=2u_{n+1}+3u_n+n^2\).

Show Answer
  • + Add tag
  • Immunology
  • Cell Biology
  • Mo

¿Cuál de las siguientes es la forma correcta de la solución particular de la relación de recurrencia \(u_{n+2}=6u_{n+1}-9u_n\)?

Show Answer
  • + Add tag
  • Immunology
  • Cell Biology
  • Mo

¿Cuál sería la forma de la solución particular de la relación de recurrencia \(u_{n+2}=u_{n+1}+5u_n+n^2+2n+1\1)?

Show Answer
  • + Add tag
  • Immunology
  • Cell Biology
  • Mo

¿Cuál es la forma correcta de la solución particular de la siguiente relación de recurrencia? \(u_n=3u_{n-1}+u_{n-2}+3\times 4^n\).

Show Answer
  • + Add tag
  • Immunology
  • Cell Biology
  • Mo

¿Cuál es el método utilizado para resolver las relaciones de recurrencia de segundo orden?

Show Answer
  • + Add tag
  • Immunology
  • Cell Biology
  • Mo

¿Cuántos valores iniciales/condiciones límite necesitas para resolver una relación de recurrencia de segundo orden?

Show Answer
  • + Add tag
  • Immunology
  • Cell Biology
  • Mo

¿Cómo hallas la ecuación reducida de una relación de recurrencia de la forma \(u_{n+2} =a_1u_{n+1}+a_2u_n+f(n)\)?

Show Answer
  • + Add tag
  • Immunology
  • Cell Biology
  • Mo

¿Qué término describe mejor la siguiente relación de recurrencia? \(u_{n+2}=2u_{n+1}+3u_n+4n+12\).

Show Answer
  • + Add tag
  • Immunology
  • Cell Biology
  • Mo

¿Qué forma tendría la solución particular de la siguiente relación de recurrencia? \(u_{n+2}=2u_{n+1}+u_n+1\).

Show Answer
  • + Add tag
  • Immunology
  • Cell Biology
  • Mo

¿Qué término describe mejor la siguiente relación de recurrencia? \(u_{n+2}=6u_{n+1}-9u_n\).

Show Answer
  • + Add tag
  • Immunology
  • Cell Biology
  • Mo

¿Qué término describe mejor la siguiente relación de recurrencia? \(u_{n+2}=2u_{n+1}+3u_n+n^2\).

Show Answer
  • + Add tag
  • Immunology
  • Cell Biology
  • Mo

¿Cuál de las siguientes es la forma correcta de la solución particular de la relación de recurrencia \(u_{n+2}=6u_{n+1}-9u_n\)?

Show Answer

Convierte documentos en tarjetas de estudio gratis con IA.

Tarjetas de estudio
Índice de temas

    Significado de las relaciones de recurrencia de segundo orden

    Siempre que describas una relación de sucesos que requieran información de distintas posiciones temporales, estarás hablando de relaciones de recurrencia. Ahora bien, las relaciones de recurrencia de segundo orden son relaciones que requieren información dos pasos por detrás para obtener la información que deseas.

    Las relaciones de recurrencia de segundo orden son relaciones de recurrencia de la forma \[u_{n+2}=Au_{n+1}+B u_{n}+f(n),\] para todos los enteros \(n\) mayores que algún entero fijo, \(A\N) y \(B\N) son constantes y \(f(n)\Nes un polinomio.

    Ejemplos de relaciones de recurrencia de segundo orden son

    • \(u_{n+2}=2u_{n+1}-u_{n}+3\),
    • \(u_{n}=u_{n-1}-4u_{n-2}\),
    • \(u_{n+1}=-4u_{n}+7u_{n-1}+n^2\).

    Las relaciones de recurrencia de segundo orden se clasifican en relaciones de recurrencia homogéneas y no homogéneas.

    Relaciones de recurrencia de segundo orden homogéneas

    Las relaciones de segundo ordenhomogéneas son relaciones que sólo muestran una relación entre los términos de la secuencia en diferentes iteraciones.

    Las relaciones de recurrencia de segundo orden homogéneas son de la forma [u_{n+2}=Au_{n+1}+Bu_{n}] para todos los enteros \(n\) mayores que algún número entero fijo, \(A\N) y \(B\N) son constantes.

    Ejemplos de relaciones de recurrencia homogéneas de segundo orden son,

    • \(u_{n+2}=2u_{n+1}-u_{n}\),
    • \(u_{n}=u_{n-1}-4u_{n-2}\),
    • \(u_{n+1}=-4u_{n}+7u_{n-1}\).

    Relaciones de recurrencia de segundo orden no homogéneas

    Las relaciones de segundo orden no homogéneas son relaciones que muestran una relación entre los términos de la secuencia en distintas iteraciones que tienen un poco de información extra, generalmente un polinomio en términos de \(n\). De hecho, ésta es la definición general introducida en el primer párrafo de este artículo.

    Las relaciones de recurrencia de segundo orden no homogéneas son relaciones de recurrencia de la forma \[u_{n+2}=Au_{n+1}+B u_{n}+f(n),\] para todos los enteros \(n\) mayores que algún entero fijo, \(A\N) y \(B\N) son constantes y \(f(n)\} es un polinomio.

    Ejemplos de relaciones de recurrencia de segundo orden no homogéneas son,

    • \(u_{n+2}=2u_{n+1}-u_{n}+3\),
    • \(u_{n}=u_{n-1}-4u_{n-2}+n+1\),
    • \(u_{n+1}=9u_{n}+3u_{n-1}-7n^2\)

    Resolución de relaciones de recurrencia de segundo orden

    Al resolver una relación de recurrencia de segundo orden de la forma

    \[u_{n+2}=Au_{n+1}+B u_{n}+f(n),\]

    buscamos una expresión del término \(n^{texto{ésimo}}), que adopte la forma

    \[u_{n}=c(n)+p(n),\]

    donde \(c(n)\) es la función complementaria y \(p(n)\) es la función particular.

    El primer paso para resolver relaciones de recurrencia de segundo orden, es resolver su parte homogénea, también llamada ecuación reducida. Si ocultas \(f(n)\) llegarás a la parte homogénea de una relación de recurrencia,

    \[u_{n+2}=Au_{n+1}+B u_{n}, \]

    y para resolver esta parte tendrías que hallar lo que llamamos la función complementaria \(c(n).\)

    Ahora, para hallar la función complementaria, procedemos como sigue. Buscamos una expresión de la forma \(u_{n}=r^n\) donde \(u_{n}\) satisface

    \[u_{n+2}=Au_{n+1}+B u_{n}. \]

    Sustituyendo se llega a

    \[\begin{align} u_{n+2}&=Au_{n+1}+Bu_{n} \\ r^{n+2}&=Ar^{n+1}+Br^{n}\ r^2-Ar-B&=0\end{align}\]

    \(r^2-Ar-B=0\) se llama ecuación característica y el número de soluciones que tenga determinará la forma general de la función complementaria \(c(n).\)

    Distinguimos tres casos para la ecuación característica \(r^2-Ar-B=0.\)

    • Si \(r^2-Ar-B=0\) tiene dos soluciones reales distintas \(r_1\) y \(r_2\), entonces \[u_n=Cr_{1}^n+Dr_{2}^n,\] para unas constantes \(C\) y \(D\).
    • Si \(r^2-Ar-B=0\) tiene una raíz doble \(r\), entonces \[u_n=Cr^n+Dnr^n.\].
    • Si \(r^2-Ar-B=0\) tiene dos raíces complejas \(z_1\) y \(z_2\), entonces \[u_n=C z_1^n+Dz_2^n,\] para unas constantes \(C\) y \(D\).

    En cuanto a la solución particular \(p(n)\), toma la forma del polinomio \(f(n).\)

    Ahora, ¡hagamos el trabajo y recapitulemos los pasos del cálculo!

    Paso 1. Halla la ecuación reducida estableciendo \(f(n)=0\).

    Para las relaciones de recurrencia homogéneas, la ecuación reducida es la misma que la ecuación de la relación de recurrencia. Esto te da una ecuación de la forma \(u_{n+2}=Au_{n+1}+Bu_{n}\).

    Paso 2. Encuentra la ecuación característica y resuelve para \(r\).

    Paso 3. Halla la función complementaria utilizando los valores de \(r\).

    Raíces reales y distintas \ (r_{1}\}) y \ (r_{2}\}) \(c(n)=Cr_{1}^{n}+D r_{2}^{n}\)
    Raíces reales repetidas \ (r_{1}=r_{2}=r\)\(c(n)=Cr^{n}+Dnr^{n}\)
    Raíces complejas \(r_1=z_1\) y \(r_{2}=z_2\)\(c(n)=C z_1^n+D z_2^n \)

    Paso 4. Encuentra la forma general de la solución particular y sustituye \(p(n)=u_{n}\) en la ecuación original y resuelve las incógnitas.

    Paso 5. Utilizando el valor inicial dado en la pregunta, halla el valor de \(C\) y \(D\).

    Los ejemplos siempre son una buena idea para entender el tema, así que ¡allá vamos!

    Ejemplo de resolución de una relación de recurrencia de segundo orden no homogénea con raíces reales distintas

    Resuelve la relación de recurrencia \ (u_{n+2}=2u_{n+1}+3u_{n}+4n+12\) con los valores iniciales \(u_{1}=-1\) y \(u_{2}=16\).

    Solución

    Paso 1. Halla la ecuación reducida estableciendo \(f(n)=0\), para obtener

    $$u_{n+2}=2u_{n+1}+3u_n.$$

    Paso 2. Halla la ecuación característica y resuelve para \(r\).

    La ecuación característica viene dada por \(r^2-2r-3=0,\) resolviéndola obtenemos \(r_1=-1\) y \(r_2=3.\)

    Paso 3. Encuentra la función complementaria \(c(n).\)

    \[c(n)=Cr_1^{n}+Dr_2^{n}=C(-1)^n+D 3^n\]

    Paso 4. Encuentra la forma de la solución particular y sustituye \(p(n)=u_{n}\) en la ecuación original y resuelve las incógnitas.

    Como \(f(n)=4n+12\), la solución particular tiene la forma \(p(n)=an+b\).

    Establece \(p(n)=u_n=an+b\), por tanto, \(p(n+1)=u_{n+1}=a(n+1)+b\)) y \(p(n+2)=u_{n+2}=a(n+2)+b\).

    Sustituyéndolos en la ecuación original obtenemos

    \[\in{align} u_{n+2}&=2u_{n+1}+3u_n+4n+12 \a(n+2)+b&=2(a(n+1)+b)+3(an+b)+4n+12 \a+2a+b&=2an+2a+2b+3an+3b+4n+12 \end{align}\a].

    Para resolver \(a\) y \(b\), comparas coeficientes.

    Comparando los coeficientes de \(n\) se obtiene

    \[a&=2a+3a+4 \ a&=-1 \end{align}\]

    Comparando los términos constantes se obtiene

    \[\begin{align} 2a+b&=2a+2b+3b+12 \\\b b&=-3 \end{align}]

    Por tanto, la solución particular es \(p(n)=-n-3.\)

    Por tanto, la solución general es \(u_n=C(-1)^n+D3^{n}-n-3.\\)

    Paso 5. Utilizando los valores iniciales dados en la pregunta, halla los valores de \(C\) y \(D\).

    Como los valores iniciales son \(u_{1}=-1\) y \(u_{2}=16\), tenemos

    \[\begin{align} u_1=-1&=C(-1)+D(3)-1-3 \\ -C+3D&=3\end{align}]

    \[\begin{align} u_2=16&=C(-1)^2+3^2D-2-3 \\ C+9D&=21 \end{align}\]

    Resolviendo las ecuaciones anteriores simultáneamente obtenemos, \(C=3\) y \(D=2\).

    Por tanto, la solución es la ecuación de forma cerrada

    $$u_n=3 veces (-1)^n+2 veces 3^n -n-3.$$

    Ejemplo de solución de una relación de recurrencia homogénea de segundo orden con raíces repetidas

    Resuelve la relación de recurrencia \(u_{n+2}=6u_{n+1}-9u_{n}) con los valores iniciales \(u_{1}=1\) y \(u_{2}=4\).

    Solución

    Paso 1. Halla la ecuación reducida.

    Como se trata de una ecuación homogénea, tenemos $$u_{n+2}=6u_{n+1}-9u_{n}.$$

    Paso 2. Halla la ecuación característica y resuelve para \(r\).

    La ecuación característica viene dada por

    \[r^2-6r-9=0\]].

    Por tanto, \(r_1=r_2=r=3.\)

    Paso 3. Halla la función complementaria.

    Como tenemos raíces repetidas, la función complementaria viene dada por,

    \[\begin{align} c(n)&= Cr^n+Dnr^n=C\times 3^n+D n\times 3^n \end{align}\]

    Paso 4. Como \(f(n)=0\) no hay solución particular.

    Por tanto, la solución general es \(u_{n}=(C+Dn)\times3^{n}\).

    Paso 5. Utilizando los valores iniciales dados, hallamos los valores de \(C\) y \(D\).

    Como \(u_{1}=1\) y \ (u_{2}=4\), tenemos

    \[\begin{align} u_1&=1=3(C+D)=3C+3D\\ u_{2}&=4=9(C+2D)=9C+18D\end{align}\]

    Resolviendo simultáneamente se obtiene

    $$C=\frac{2}{9}, D=\frac{1}{9}.$$ Por lo tanto,

    $$ u_{n}=\left(\frac{2}{9}+\frac{n}{9}\right)\times3^{n}.$$

    Ejemplo de resolución de una relación de recurrencia homogénea de segundo orden con raíces complejas

    Resuelve la relación de recurrencia \(u_{n+2}=8u_{n+1}-41u_{n}) con los valores iniciales \(u_{1}=24\) y \(u_{2}=-54\).

    Solución

    Paso 1. Halla la ecuación reducida.

    Como se trata de una ecuación homogénea, tenemos $$u_{n+2}=8u_{n+1}-41u_n.$$

    Paso 2. Encuentra la ecuación característica y resuelve para \(r\).

    La ecuación característica viene dada por \[r^2-8r-41=0,\] por tanto \(r_1=z_1=4+5i\) y \(r_2=z_2=4-5i\).

    Paso 3. Halla la función complementaria.

    \[\begin{align} c(n)&=Cz_{1}^{n}+Dz_{2}^{n} \\ &=C(4+5i)^n+D(4-5i)^n. \end{align}\]

    Paso 4. Encuentra la solución particular.

    Como \(f(n)=0\), no hay solución particular.

    Ahora tenemos una solución general, \(u_n=C(4+5i)^n+D(4-5i)^n\).

    Paso 5. Utilizandolos valores iniciales dados en la pregunta, halla los valores de \(C\) y \(D.\)

    Como los valores iniciales son \(u_{1}=24\) y \(u_{2}=-54\), tenemos

    \[\begin{align}u_1&=24=C(4+5i)+D(4-5i)\\ u_2&=-54=C(4+5i)^2+D(4-5i)^2 \end{align}\]

    Resolviendo simultáneamente, se obtiene \(C=3\) y \(D=3\).

    Por tanto, la solución es la ecuación de forma cerrada

    $$u_n=3(4+5i)^n+3(4-5i)^n.$$

    Relación de recurrencia de segundo orden - Puntos clave

    • Las relaciones de recurrencia de segundo orden son aquellas en las que cada término de la secuencia es función de los dos anteriores y tienen la forma \(u_{n+2}=Au_{n+1}+Bu_{n}+f(n)\) donde \(f(n)\) es un polinomio y \(A\) y \(B\) son constantes.
    • Las relaciones de recurrencia de segundo orden se denominan homogéneas si \(f(n)=0\) y no homogéneas en caso contrario.
    • Resolver relaciones de recurrencia de segundo orden implica encontrar la solución de forma cerrada.
    • El método que utilizamos para resolver estas relaciones de recurrencia se denomina Técnica Característica y se resume en los siguientes pasos,
      • Paso 1. Encuentra la ecuación reducida estableciendo \(f(n)=0\).
      • Paso 2. Halla la ecuación característica y resuelve para \(r\).
      • Paso 3. Halla la función complementaria.
      • Paso 4. Encuentra la solución particular y sustituye \(p(n)=u_{n}\) en la ecuación original y resuelve la incógnita.
      • Paso 5. Ahora que tienes una forma general para la solución, utiliza los valores iniciales dados en la pregunta para hallar las incógnitas restantes.
    Preguntas frecuentes sobre Resolver relaciones de recurrencia de segundo orden
    ¿Qué es una relación de recurrencia de segundo orden?
    Una relación de recurrencia de segundo orden es una secuencia de números en la que cada término depende de los dos términos anteriores.
    ¿Cómo resolver una relación de recurrencia de segundo orden?
    Se resuelve encontrando la solución de la ecuación característica asociada y utilizando las condiciones iniciales.
    ¿Cuáles son ejemplos de relaciones de recurrencia de segundo orden?
    Ejemplos incluyen la secuencia de Fibonacci y las secuencias de números característicos en polinomios.
    ¿Qué son las condiciones iniciales en una relación de recurrencia de segundo orden?
    Las condiciones iniciales son los valores dados para los primeros dos términos de la secuencia, necesarios para encontrar la solución específica.

    Pon a prueba tus conocimientos con tarjetas de opción múltiple

    ¿Cuál es la forma correcta de la solución particular de la siguiente relación de recurrencia? \(u_n=3u_{n-1}+u_{n-2}+3\times 4^n\).

    ¿Qué término describe mejor la siguiente relación de recurrencia? \(u_{n+2}=2u_{n+1}+3u_n+4n+12\).

    ¿Qué término describe mejor la siguiente relación de recurrencia? \(u_{n+2}=6u_{n+1}-9u_n\).

    Siguiente

    Descubre materiales de aprendizaje con la aplicación gratuita StudySmarter

    Regístrate gratis
    1
    Acerca de StudySmarter

    StudySmarter es una compañía de tecnología educativa reconocida a nivel mundial, que ofrece una plataforma de aprendizaje integral diseñada para estudiantes de todas las edades y niveles educativos. Nuestra plataforma proporciona apoyo en el aprendizaje para una amplia gama de asignaturas, incluidas las STEM, Ciencias Sociales e Idiomas, y también ayuda a los estudiantes a dominar con éxito diversos exámenes y pruebas en todo el mundo, como GCSE, A Level, SAT, ACT, Abitur y más. Ofrecemos una extensa biblioteca de materiales de aprendizaje, incluidas tarjetas didácticas interactivas, soluciones completas de libros de texto y explicaciones detalladas. La tecnología avanzada y las herramientas que proporcionamos ayudan a los estudiantes a crear sus propios materiales de aprendizaje. El contenido de StudySmarter no solo es verificado por expertos, sino que también se actualiza regularmente para garantizar su precisión y relevancia.

    Aprende más
    Equipo editorial StudySmarter

    Equipo de profesores de Matemáticas

    • Tiempo de lectura de 11 minutos
    • Revisado por el equipo editorial de StudySmarter
    Guardar explicación Guardar explicación

    Guardar explicación

    Sign-up for free

    Regístrate para poder subrayar y tomar apuntes. Es 100% gratis.

    Únete a más de 22 millones de estudiantes que aprenden con nuestra app StudySmarter.

    La primera app de aprendizaje que realmente tiene todo lo que necesitas para superar tus exámenes en un solo lugar.

    • Tarjetas y cuestionarios
    • Asistente de Estudio con IA
    • Planificador de estudio
    • Exámenes simulados
    • Toma de notas inteligente
    Únete a más de 22 millones de estudiantes que aprenden con nuestra app StudySmarter.

    Consigue acceso ilimitado con una cuenta gratuita de StudySmarter.

    • Acceso instantáneo a millones de materiales de aprendizaje.
    • Tarjetas de estudio, notas, exámenes de simulacro, herramientas de AI y más.
    • Todo lo que necesitas para sobresalir en tus exámenes.
    Second Popup Banner