Verificación de identidades trigonométricas

Comprueba que${\cot }^2\mathrm{\theta }-{\cos }^2\mathrm{\theta }={\cot }^2\theta {\cos }^2\mathrm{\theta }$ es una identidad coherente.

Solución:

Paso 1: Sumando ${\cos }^2\mathrm{\theta }$ en ambos lados de la ecuación, obtenemos

$$\begin{gathered} {\cot }^2\mathrm{\theta }={\cos }^2\mathrm{\theta }+{\cos }^2\mathrm{\theta }{\cot }^2\mathrm{\theta } \\ ={\cos }^2\mathrm{\theta }(1+{\cot }^2\mathrm{\theta }) \end{gathered}$$

Paso 2: Se observa que $1+{\cot }^2\mathrm{\theta }$ es una identidad fundamental, es decir

Paso3 : Sustituyendo esta identidad, obtenemos

${\cot }^2\mathrm{\theta }={\cos }^2\mathrm{\theta }{\mathrm{cosec}}^2\mathrm{\theta }$

Paso 4: Ahora, utilizaremos una identidad recíproca para la cosecante,$\mathrm{cosec\theta }=\frac{1}{\mathrm{sin\theta }}$ y elevando al cuadrado ambos lados, obtenemos

Paso 5: Sustituyendo la identidad anterior, obtenemos

${\cot }^2\mathrm{\theta }=\frac{{\cos }^2\mathrm{\theta }}{{\sin }^2\mathrm{\theta }}$

Paso 6: Ya sabemos que $\mathrm{cot\theta }=\frac{\mathrm{cos\theta }}{\mathrm{sin\theta }}$y elevándolo al cuadrado, se obtiene el paso anterior.

Por tanto, $LHS=RHS$. Así se verifica la identidad.

Verifica la identidad $\frac{1+\mathrm{cot\varphi }}{\mathrm{cosec\varphi }}=\mathrm{sin\varphi }+\mathrm{cos\varphi }$ donde $\mathrm{\varphi }$ está definida sobre el dominio apropiado.

Solución:

El LHS de la ecuación parece un poco complicado comparado con el RHS de la ecuación. Siempre es más fácil simplificar el lado más complicado de la ecuación. Así que simplifiquemos el LHS para obtener el RHS.

Paso 1: Escribiendo el denominador por separado, obtenemos

LHS =$\frac{1}{\mathrm{cosec\varphi }}+\frac{\mathrm{cot\varphi }}{\mathrm{cosec\varphi }}$

Paso 2: Utilizando la identidad recíproca

$\mathrm{sin\varphi }=\frac{1}{\mathrm{cosec\varphi }}$

obtenemos

LHS =$\mathrm{sin\varphi }+\frac{\mathrm{cot\varphi }}{\mathrm{cosec\varphi }}$

Paso 3 : Utilizando de nuevo la misma identidad, y $\cot \varphi =\frac{\mathrm{cos\varphi }}{\mathrm{sin\varphi }}$obtenemos

LHS =$\mathrm{sin\varphi }+\mathrm{cos\varphi }$

Así podemos ver que $LHS=RHS$.

Así queda demostrada la identidad.

Prueba que $\mathrm{sinx}=\frac{1}{\mathrm{cosecx}}$.

Solución:

Paso 1: Traza la gráfica del LHS, aquí es sinx, y su gráfica tiene el aspecto :

La gráfica de y=sinx, StudySmarter Originals

Paso 2: Traza la gráfica de$y=\frac{1}{\cos ecx}$frente a x, y su gráfica se parece a

La gráfica derecíproco de cosecx, StudySmarter Originals

Se puede observar que las gráficas anteriores son exactamente iguales y, por tanto, deducimos que $\sin x=\frac{1}{\cos ecx}$.

Demuestra que ${\cos }^4\mathrm{\theta }-{\sin }^4\mathrm{\theta }=\cos 2\mathrm{\theta }$ es una identidad trigonométrica válida.

Solución:

Paso 1: En este ejemplo concreto, el LHS parece más complicado. Por tanto, intentaremos simplificar el LHS para llegar al RHS.

Paso 2: El término${\cos }^4\mathrm{\theta }-{\sin }^4\mathrm{\theta }$ también puede escribirse como ${\left({\cos }^2\mathrm{\theta }\right)}^2-{\left({\sin }^2\mathrm{\theta }\right)}^2$ y ahora se puede escribir como producto de dos términos utilizando la identidad algebraica ${\mathrm{a}}^2-{\mathrm{b}}^2=\left(\mathrm{a}+\mathrm{b}\right)\left(\mathrm{a}-\mathrm{b}\right)$. Por tanto, tenemos:

${\left({\cos }^2\mathrm{\theta }\right)}^2-{\left({\sin }^2\mathrm{\theta }\right)}^2=\left({\cos }^2\mathrm{\theta }+{\sin }^2\mathrm{\theta }\right)\left({\cos }^2\mathrm{\theta }-{\sin }^2\mathrm{\theta }\right)$

Paso 3 : Ahora podemos aplicar la identidad pitagórica, ${\cos }^2\mathrm{\theta }+{\sin }^2\mathrm{\theta }=1$,

${\cos }^4\mathrm{\theta }-{\sin }^4\mathrm{\theta }={\cos }^2\mathrm{\theta }-{\sin }^2\mathrm{\theta }$

Paso 4 : Aplicando la fórmula del semiángulo $\cos 2\mathrm{\theta }={\cos }^2\mathrm{\theta }-{\sin }^2\mathrm{\theta }$obtenemos

${\cos }^4\mathrm{\theta }-{\sin }^4\mathrm{\theta }=\cos 2\mathrm{\theta }$

que es lo que se nos pide que demostremos.

Así pues, $LHS=RHS$.

¿Es $\left(1+\mathrm{sinx}\right)\left(1-\mathrm{sinx}\right)=\mathrm{cosx}$ una identidad trigonométrica válida?

Solución:

Paso 1: El LHS parece más complicado que el RHS, así que simplifiquemos el LHS y comprobemos si llegamos al RHS o no.

Paso2: Se puede ver que el LHS se puede simplificar utilizando la identidad algebraica.

$\left(\mathrm{a}+\mathrm{b}\right)\left(\mathrm{a}-\mathrm{b}\right)={\mathrm{a}}^2-{\mathrm{b}}^2$

Aplicando esta identidad respectivamente, obtenemos

$\left(1+\mathrm{sinx}\right)\left(1-\mathrm{sinx}\right)=1-{\sin }^2\mathrm{x}$

Paso3: Aplicando ahora la identidad pitagórica para el seno y el coseno, obtenemos

$1-{\sin }^2\mathrm{x}={\cos }^2\mathrm{x}$

que no puede simplificarse más.

Se observa que $LHS\ne RHS$ para cualquier valor de x. Pero para que una identidad sea válida, debe satisfacer cada valor para el que está definida la función.

Por tanto, la identidad trigonométrica dada es falsa.