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Resulta que esta curva se llama tratriz, que, si el trozo original de cuerda estaba orientado en la dirección del eje \( y-\), se traza mediante la ecuación
\[ x = \sech^{-1}{\frac{y}{a}} - \sqrt{a^2 - y^2}, \]
donde \( a \) es la longitud de la cadena.
Observarás la presencia de la función secante hiperbólica inversa en esta fórmula. Por tanto, para entender esta curva, primero debes comprender las funciones hiperbólicas inversas, y esto es lo que exploraremos en este artículo.
Fig. 1. Si sigues el extremo de un trozo recto de cuerda tirado desde el otro extremo, perpendicular a la línea original, se creará una traza.
Gráficas de funciones hiperbólicas inversas
Recuerda que si tenemos una función \(f\) tal que \(f(x) = y\), entonces la inversa de \(f\) es la función \(f^{-1}\) tal que \(f^{-1}(y) = x\). Esto es exactamente lo mismo que ocurre con las funciones hiperbólicas inversas.
Las funciones hiperbólicas inversas estándar son,
seno hiperbólico inverso: \(\sinh^{-1}{x} \),
coseno hiperbólico inverso: \( \cosh^{-1}{x} \),
tangente hiperbólica inversa: \( \tanh^{-1}{x} \).
Las funciones hiperbólicas recíprocas inversas son,
Secante hiperbólica inversa: \(\sec^-1}{x} \),
cosecante hiperbólica inversa: \( \csch^{-1}{x} \),
Cotangente hiperbólica inversa: \( \coth^-1}{x} \).
Recuerda que sólo puedes hallar una función inversa si esa función es uno a uno. Esto significa que cada valor del dominio de la función corresponde exactamente a un único valor del rango de la función. Aquí tienes los dominios y rangos de nuestras funciones hiperbólicas.
| Función | Dominio | Rango |
| \( y = \sinh{x} \) | \izquierda( -infty, \infty \derecha) \) | \(izquierda( -infty, \infty \derecha) \) |
| \(y=cosh{x}\) | \izquierda( -infty, \infty \ derecha) \) | \izquierda[ 1, \infty \derecha) \) |
| \(y=tanh{x}\) | \izquierda( -infty, \infty \derecha) \) | \(izquierda: -1, 1 derecha) |
| \(y=csch{x}\) | \(izquierda: -infty, 0, derecha: - izquierda: 0, infty, derecha: -) | \(izquierda: -infty, 0, derecha: -cup: izquierda: 0, infty, derecha: -cup) |
| \(y=\sec{x}\) | \izquierda( -infty, \infty \derecha) \) | \(izquierda (0, 1 derecha)) |
| \(y=\coth{x}\) | \(izquierda: -infty, 0, derecha: - izquierda: 0, infty, derecha: - izquierda: - izquierda: 0, infty, derecha: -) | \(izquierda: -infty, -1 derecha), copa: izquierda: 1, infty derecha) |
Recuerda que el dominio de una función es el conjunto de entradas válidas en la función, y el rango es el conjunto de todas las posibles salidas de la función.
El seno hiperbólicoinverso, la tangente, la cotangente y la cosecante son funciones uno a uno, por lo que sus inversas pueden hallarse sin necesidad de modificarlas.
Sin embargo,el coseno y la secante hiperbólicos no son uno a uno. Por eso, para hallar sus inversas, debes restringir el dominio de estas funciones para que sólo incluya valores positivos. Esto se debe a que son funciones pares, lo que significa que \( \cosh{(-x)} = \cosh{x} \), y \( \sech{(-x)} = \sech{(x)} \) para cualquier valor de \(x\). Por tanto, si sólo permites que las funciones tomen entradas que sean positivas, cada entrada tiene su propia salida única.
Como ocurre con cualquier función inversa, las gráficas de \( \sinh^{-1}{x} \), \( \cosh^{-1}{x} \) y \( \tanh^{-1}{x} \) son iguales que las gráficas de \( \sinh{x} \), \( \cosh{x} \) y \( \tanh{x} \), pero reflejadas en la recta \( y = x \).
Fig. 2. Las inversas de las funciones hiperbólicas seno, coseno y tangente son las rectas originales, reflejadas en la recta \( y = x \).
Puedes observar que el coseno inverso sólo aparece en el cuadrante positivo de la gráfica. Esto es el resultado de que el dominio está restringido, como se ha mencionado antes.
Del mismo modo, observarás que \( \tanh^{-1}{x} \) sólo está definido para valores de \( x \) entre -1 y 1. Esto se debe a que para cualquier \(x\), \( \tanh{x} \) siempre está entre -1 y 1. Por tanto, su inversa sólo puede tomar valores de entrada en este intervalo.
Los dominios y rangos de las funciones hiperbólicas inversas estándar son:
| Función | Dominio | Rango |
| \( y = \sinh^{-1}{x} \) | \(\left( -\infty, \infty \right) \) | \izquierda( -infty, \infty \derecha) \) |
| \(y=cosh^{-1}{x}) | \(izquierda[ 1, \infty \ derecha) \) | \izquierda[ 0, \infty \ derecha) \) |
| \(y=tanh^{-1}{x}) | \(izquierda: -1, 1 derecha) | \izquierda( -infty, \infty \derecha) \) |
No confundas \( \sinh^{-1}{x} \) con \( \frac{1}{\sinh{x}} \), son dos funciones distintas. \( \frac{1}{sinh{x}} \) es la función hiperbólica recíproca de \(\sinh{x}), conocida como \( \csch{x} \), mientras que \( \sinh^-1}{x} \) es la función hiperbólica inversa de \(\sinh(x)\).
Gráficas de las funciones hiperbólicas recíprocas inversas
A continuación puedes ver las gráficas de las funciones hiperbólicas recíprocas inversas, \( \csch^-1}{x}\), \( \sech^-1}{x}\) y \(\coth^-1}{x}\).
Fig. 3. Las inversas de las funciones hiperbólicas recíprocas, secante, cosecante y cotangente hiperbólicas, son las gráficas originales reflejadas en la recta \( y = x \).
De nuevo, hay que restringir el dominio cuando se trabaja con la inversa de \( \sech{x}\), ya que se trata de una función muchos-a-uno, igual que su homóloga no recíproca \(\cosh{x}\). Los dominios y rangos de las funciones hiperbólicas recíprocas inversas son:
| Función | Dominio | Rango |
| \( y = \csch^{-1}{x}\) | \(\left( -\infty, 0 \right) \cup \left( 0, \infty \right) \) | \(izquierda: -infty, 0, derecha: -cup: izquierda: 0, infty, derecha: -cup) |
| \(y=\sech^{-1}{x}\) | \(izquierda 0, 1 derecha) | \izquierda( 0, 1 derecha)) |
| \(y=\coth^{-1}{x}\}) | \izquierda( -infty, -1 derecha) | \izquierda( 1, \infty \derecha) \) |
Fórmulas de las funciones hiperbólicas inversas
Igual que las funciones hiperbólicas estándar tienen formas exponenciales, las funciones hiperbólicas inversas tienen formas logarítmicas. Esto tiene sentido, dado que tomar el logaritmo natural de un número es la inversa de elevar ese número a la constante exponencial \( e \).
Las formas logarítmicas de las funciones hiperbólicas inversas, \( \sinh^{-1}{x}\}), \( \cosh^{-1}{x}\}) y \( \tanh^{-1}{x}\}) son,
\[ \inh^-1}{align} \sinh^-1}{x} & = \ln{izquierda(x + \sqrt{x^2 + 1} \derecha)}, \cosh^-1}{x} & = \ln{izquierda(x + \sqrt{x^2 - 1} \derecha)}, \tanh^-1}{x} & = \frac{1}{2} \izquierda( \frac{1+x}{1-x} \derecha) }. \fin \]
Fórmulas de funciones hiperbólicas recíprocas inversas
También existen formas logarítmicas de las funciones hiperbólicas recíprocas inversas \( \sech^-1}{x}\), \( \csch^-1}{x}\) y \( \coth^-1}{x}\). Éstas son,
\[ \begin{align} \sech^{-1}{x} & = \ln(\frac{1}{x} + \sqrt{\frac{1}{x^2} - 1} \right)}, \csch^{-1}{x} & = \ln{izquierda(\frac{1}{x} + \sqrt{\frac{1}{x^2} + 1} {derecha)}, \coth^{-1}{x} & = \frac{1}{2} \ln{\left(\frac{x+1}{x-1}\right)}. \fin \]
Ejemplos de funciones hiperbólicas inversas
Una pregunta habitual es demostrar una de las formas logarítmicas mostradas anteriormente. Para ello, es importante utilizar la forma exponencial de las funciones hiperbólicas estándar.
Demuestra que \[ \sinh^{-1}{x} = \ln{left(x + \sqrt{x^2 + 1} \right)}].
Solución
Primero, escribe \[ y = \sinh^{-1}{x}. \] Ahora, toma el seno hiperbólico de ambos lados para obtener, \[ \sinh{y} = x. \Escribe \( \sinh{y} \) en forma exponencial, \[ x = \sinh{y} = \frac{e^y - e^{-y}}{2}. \] A partir de aquí, puedes resolver \( y. \) Empieza multiplicando ambos lados por 2, y luego por \( e^y \),
\[ \begin{align} 2 x & = e^y - e^{-y} \ 2 x e^y & = e^{2y} - 1 \ 0 & = e^{2y} - 2x e^{y} - 1. \end{align} \]
Se trata de una cuadrática en \( e^y \). Se puede resolver utilizando la fórmula cuadrática:
\[ \begin{align} e^y & = \frac{-(-2x) \pm \sqrt{(-2x)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1)}{2 \cdot 1}. \\ & = \frac{2x \pm \sqrt{4x^2 + 4}{2} \\ & = \frac{2x \pm 2 \sqrt{x^2 + 1}{2} \\ & = x \pm \sqrt{x^2 + 1}. \fin{align} \]
Aquí puedes elegir entre más y menos. El logaritmo natural es indefinido para números menores que 0, así que si se toma el signo menos, es decir, \(x-\sqrt{x^2+1}\), siempre tenemos \( x < \sqrt{x^2}+1 \), y por tanto \(e^y=x-\sqrt{x^2+1}\) es indefinido. Por tanto, el signo más es la opción correcta,
\[ e^y = x + \sqrt{x^2 + 1}. \]
Por último, toma el logaritmo natural,
\[ y = \ln{izquierda(x + \sqrt{x^2 + 1}\derecha)}, \] y la demostración está completa.
También es importante saber manipular las funciones hiperbólicas para facilitar la pregunta, así como practicar la sustitución de números en las fórmulas logarítmicas.
Resuelve \( \cosh^{3}{x} - 3 \cosh{x} = 0 \), dando tu respuesta en forma logarítmica.
Solución
Primero, saca el factor común de \( \cosh{x} \),
\[ \begin{align} \cosh^{3}{x} - 3 \cosh{x} & = 0 \cosh{x} \left( \cosh^2{x} - 3 \right) & = 0. \end{align} \]
Para que esto sea cierto, debe ser que o bien \( \cosh{x} = 0 \), o bien \( \cosh^2{x} = 3 \implica \cosh{x} = \pm \sqrt{3}. \) Puedes ver en los gráficos anteriores que \( \cosh{x} \) nunca es inferior a 1. Por tanto, no puede ser que \( \cosh{x} = 0 \), o que \( \cosh{x} = -\sqrt{3} \). Por tanto, debe darse el caso de que
\[ \cosh{x} = \sqrt{3}. \]
Toma el coseno hiperbólico inverso de esto, para obtener
\[ x = \cosh^{-1}{\sqrt{3}}, \]
y, por último, escríbelo utilizando la fórmula logarítmica del coseno hiperbólico inverso,
\[ \begin{align} x & = \ln{left(3 + \sqrt{\sqrt{3}^2 - 1}\right)} \t \fin \]
Esta es la respuesta final.
Derivadas de funciones trigonométricas hiperbólicas inversas
Las derivadas de las funciones hiperbólicas inversas \( \sinh^{-1}{x} \), \(\cosh^{-1}{x} \) y \(\tanh^{-1}{x} \) son,
\[ inicio \frac{d}{dx} \sinh^1}{x} & = \frac{1}{cuadrado{1+x^2}}, \frac{d}{dx} \cosh^{-1}{x} & = \frac{1}{sqrt{x^2 - 1}}, \frac{d}{dx} \tanh^{-1}{x} & = \frac{1}{1-x^2}. \fin{align} \]
Aquí notarás un parecido con las derivadas de las funciones trigonométricas inversas.
Conocer todas las derivadas hiperbólicas y trigonométricas inversas te facilitará mucho la resolución de muchas integrales complicadas, ya que puedes utilizar la integración por sustitución con una función hiperbólica como sustitución. Para más información al respecto, consulta Integración de funciones hiperbólicas.
Derivadas de funciones hiperbólicas recíprocas inversas
Las derivadas delas funciones hiperbólicas recíprocas inversas \( \sech^-1}{x} \), \( \csch^-1}{x} \) y \( \coth^-1}{x} \) son,
\[ \begin{align} \frac{d}{dx} \& = \frac{-1}{x \sqrt{1 - x^2}}, \frac{d}{dx} \csch^{-1}{x} & = \frac{-1}{|x||sqrt{1+x^2}}, \frac{d}{dx} \coth^{-1}{x} & = \frac{1}{1-x^2}. \fin{align} \]
Puedes observar que las derivadas de la tangente hiperbólica y de la cotangente hiperbólica parecen ser iguales. Esto es normal, ya que están definidas en dominios distintos. La tangente hiperbólica y su derivada se definen en \( |x| < 1 \), mientras que la cotangente hiperbólica y su derivada se definen en \( |x| > 1 \).
Funciones hiperbólicas inversas de números complejos
Las funciones hiperbólicas de los números complejos no son algo que tengas que considerar en el curso de Matemáticas Avanzadas, pero puede ser interesante estudiarlas. Para recapitular sobre los números complejos, consulta Números complejos básicos.
Si has estudiado las raíces de la unidad, sabrás que un número puede tener varias raíces en el plano complejo, por ejemplo, \( 16^{\frac{1}{4}} \) podría ser \( 2, 2i , -2 \) o \( -2i.\) Para más información, consulta Raíces de la unidad.
Del mismo modo, en el primer ejemplo del subapartado "Ejemplos de funciones hiperbólicas inversas", resuelves para \(e^y\). Sin embargo, en el plano complejo, \(e^y\) tendrá múltiples soluciones cuando resuelvas para \(y.\) Por tanto, las funciones hiperbólicas inversas serán funciones multivaluadas en el plano complejo.
Es habitual definir un valor principal de estas funciones, como forma de hacerlas de valor único. Los valores principales habituales de las funciones hiperbólicas inversas estándar son,
\[ \begin{align} \& = \ln{izquierda(z + \sqrt{z^2 + 1} \derecha)}, \cosh^{-1}{z} & = \ln{izquierda(z + \sqrt{z^2 - 1} \derecha)}, \tanh^{-1}{z} & = \frac{1}{2} \izquierda( \frac{1+z}{1-z} \derecha) }. \fin \]
Puedes observar que son las mismas fórmulas que las formas logarítmicas de las funciones hiperbólicas inversas sobre los números reales, pero sustituyendo \( x\) por \( z. \)
Funciones hiperbólicas inversas - Puntos clave
- Debido al rango de las funciones hiperbólicas, no todas las funciones hiperbólicas inversas están definidas en toda la recta real. En concreto
- \( \sinh^{-1}{x} \) tiene dominio \( \mathbb{R} \) y rango \( \mathbb{R}. \)
- \tiene dominio (x: x = 1) y rango (f(x): f(x) = 0).
- \tiene dominio (x: -1 < x < 1) y rango (mathbb{R} .\)
- Igual que las funciones hiperbólicas estándar pueden escribirse en forma exponencial, las funciones hiperbólicas inversas pueden escribirse en forma logarítmica. Éstas son, \[ \begin{align} \Sinh^1}{x} & = Izq.(x + cuociclo{x^2 + 1} {derecha)}, Cosh^1}{x} & = Izq.(x + cuociclo{x^2 - 1} {derecha)}, Tanh^1}{x} & = Fracción{1}{2} {derecha)}, Tanh^1}{x} & = Fracción{1}{2} {derecha)}, Tanh^1}{x} & = Fracción{1}{2} {derecha)}. \izquierda( \frac{1+x}{1-x} \derecha) }. \fin \]
- Para demostrar las formas logarítmicas de las funciones hiperbólicas inversas, debes invertir la función para que esté en términos de una función hiperbólica estándar, y luego resolver para \(y \).
- Las derivadas de las funciones hiperbólicas inversas pueden ser muy útiles para resolver integrales complicadas. Estas derivadas son, \[ \begin{align} \frac{d}{dx} \sinh^{-1}{x} & = \frac{1}{qrt{1+x^2}}, \frac{d}{dx} \cosh^{-1}{x} & = \frac{1}{sqrt{x^2 - 1}}, \frac{d}{dx} \tanh^{-1}{x} & = \frac{1}{1-x^2}. \fin{align} \]
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