Contenidos de aprendizaje
Funciones
Descubra
Supón que tienes dos trozos de cuerda. Un trozo mide \(36\) pulgadas y el otro mide \(24\) pulgadas. Quieres cortar ambos trozos en tiras de igual longitud que sean lo más largas posible. ¿Cómo debes cortar los trozos?
Millones de tarjetas didácticas para ayudarte a sobresalir en tus estudios.
Regístrate gratis¿Qué es StudySmarter?
¿Cómo me ayuda StudySmarter a estudiar de manera más eficiente?
¿Dónde puedo encontrar más explicaciones como esta?
¿Qué tiene de especial las tarjetas didácticas de StudySmarter?
¿Puedo crear mi propio contenido en StudySmarter?
¿Cómo funciona la repetición espaciada en las tarjetas didácticas de StudySmarter?
¿Qué puedes hacer con las tarjetas didácticas en StudySmarter?
¿Es StudySmarter una plataforma de aprendizaje basada en la ciencia?
¿Cómo apoyan los planes de aprendizaje inteligentes de StudySmarter tu preparación para exámenes?
¿Puedes crear tus propios conjuntos de estudio en StudySmarter?
¿Qué es StudySmarter?
¿Cómo me ayuda StudySmarter a estudiar de manera más eficiente?
¿Dónde puedo encontrar más explicaciones como esta?
¿Qué tiene de especial las tarjetas didácticas de StudySmarter?
¿Puedo crear mi propio contenido en StudySmarter?
¿Cómo funciona la repetición espaciada en las tarjetas didácticas de StudySmarter?
¿Qué puedes hacer con las tarjetas didácticas en StudySmarter?
¿Es StudySmarter una plataforma de aprendizaje basada en la ciencia?
¿Cómo apoyan los planes de aprendizaje inteligentes de StudySmarter tu preparación para exámenes?
¿Puedes crear tus propios conjuntos de estudio en StudySmarter?
Review generated flashcards
Comienza a aprender o crea tus propias tarjetas de aprendizaje con IA
Equipo de profesores de Máximo Común Divisor
Puedes utilizar el concepto de máximo común divis or para resolver esto, porque estás dividiendo las longitudes de cuerda en trozos más pequeños (factores) de \(48\) y \(32\), y estás buscando la longitud más larga (mayor) posible que sea común a ambos trozos originales. Así, como el máximo común divisor de \(48\) y \(32\) es \(1\), debes cortar cada trozo de \(12\) pulgadas de largo.
Aquí estás utilizando el concepto del máximo común divisor para dividir algo en secciones más pequeñas. Hay muchas otras aplicaciones del máximo común divisor y este artículo te explicará qué es el máximo común divisor y dos métodos diferentes para hallarlo.
¿Qué es el máximo común divisor?
El máximo común divisor de un grupo de números enteros, a menudo abreviado como MCD, se define como el mayor número natural posible que divide a los números dados con cero como resto.
Para cubrir el caso en que ambos números enteros sean cero, se define \text{GCD}(0, 0)\ como \(0\).
El máximo común divisor tiene muchas aplicaciones prácticas, desde la simplificación de fracciones y la teoría de números hasta los algoritmos de cifrado.
El máximo común divisor (MCD) también se denomina máximo común divisor (MCD) o máximo común divisor (MCD).
Veamos un ejemplo rápido.
¿Qué es \( \text{GCD}(4, 12)\)?
Respuesta:
El GCD de \(4\) y \(12\) es \(4\), ya que \(4\) es el mayor número natural que divide a \(4\) y \(12\) a la vez.
Otro ejemplo rápido.
¿Qué es \(\text{GCD}(-36, 16)\)?
Responde:
Sabes que los divisores de \(-36\) son \(\pm 36, \pm 18, \pm 9, \pm 3, \pm 2, \pm 1\). Los divisores de \(16\) son \(16, 8, 4, 2, 1\). Recuerda que cuando eliges el MCD siempre tomas el mayor número natural que divide a ambos, por lo que el MCD siempre es un número positivo. Observando las listas de divisores, puedes ver entonces que \text{GCD}(-36, 16) = 2\).
¿Qué tipo de cosas son ciertas sobre el MCD?
Para los enteros \(a, b\) y \(c\), el MCD tiene las siguientes propiedades:
Propiedad de identidad: \(\text{GCD} (a,0)=|a|\\).
Propiedad conmutativa: \(\text{GCD} (a,b)=\text{GCD} (b,a)\).
La propiedad asociativa: \(\text{GCD} (a, \text{GCD} (b, c)) = \text{GCD} (\text{GCD} (a, b),c)\).
La propiedad distributiva: \(\text{GCD} (ab, ac) =a \text{GCD} (b,c)\).
Veamos un ejemplo que aplique las propiedades.
Encuentra lo siguiente:
(a) \(\text{GCD} (-4,0) \)
(b) \(\texto{GCD} (10, 24, 35) \)
(c) \(\texto{GCD} ( 24, 36) \)
Responde:
(a) Utilizando la propiedad de identidad y la propiedad conmutativa,
\[\ncomienza{alinea} \text{GCD} (-4,0)&=\text{GCD} (0,-4)\\\} &=|-4| \\\\=4 .\end{align}\]
(b) Utilicemos la propiedad de asociación, que nos dice que
\[ \iniciar{alinear} \text{GCD} (10, 24, 35) &= \text{GCD} (10, \text{GCD} (24, 35)) &= \text{GCD} (\text{GCD} (10, 24),35).\end{align} \]
Empezando por la que parece más fácil, \( \text{GCD} (24, 35) = 1\). Así que
\[ \nterminar{alinear} \text{GCD} (10, 24, 35) &= \text{GCD} (10, \text{GCD} (24, 35)) &= \text{GCD} (1,24).&= 24. \fin \]
(c) Éste es un buen lugar para utilizar la Propiedad Distributiva, ya que tanto \(24\) como \(36\) son divisibles por \(2\). Es decir
\[ \año{comienzo{alineación} \text{GCD} (24, 36) &= \text{GCD} (2\cdot 12, 2\cdot 18) &= 2\cdot \text{GCD} (12, 18). \fin \]
Sabes que tanto \(12\) como \(18\) son divisibles por \(2\), así que puedes volver a usar la Propiedad Distributiva para obtener
\[ \año{comienzo{alineación} \text{GCD} (24, 36) &= 2\cdot \text{GCD} (12, 18) &= 2\cdot \text{GCD} (2\cdot 6, 2\cdot 9)&= 2\cdot 2\cdot \text{GCD} (6, 9) &= 4\cdot \text{GCD} (6, 9) .\end{align} \]
Pero ahora \(3\) divide tanto a \(6\) como a \(9\), así que puedes usar la Propiedad Distributiva una vez más para obtener
\[ \año{comienzo{alineación} \text{GCD} (24, 36) &= 4 \cdot \text{GCD} (6, 9) \cdot \text{GCD} (3\cdot 2, 3\cdot 3)&= 4\cdot 3 \cdot \text{GCD} (2, 3) \cdot \text{GCD} (2, 3) &= 12 \cdot \text{GCD} (2, 3) .\end{align} \]
Como \(\text{GCD} (2, 3) = 1 \) ahora puedes decir que
\[\text{GCD} (24, 36) = 12.\]
Fíjate en que, antes de hallar el DGC, necesitas saber qué divisores (o factores) tienen los números, sobre todo qué divisores comunes tienen. Recuerda que un factor de un número \(a\) es un número \(b\) que se divide en \(a\) sin resto.
Hay dos formas principales de hallar el Máximo Común Divisor (MCD):
hallando todos los divisores comunes (también llamado método del factor común); y
utilizando el algoritmo euclídeo.
En este método utilizas la inspección para escribir todos los divisores o factores de los números dados y eliges el mayor. Éste será tu máximo común divisor. Esto es más fácil de ver con un ejemplo.
Supongamos que queremos hallar el DGC de \(12, 46\) y \(78\).
Responde:
Por inspección, puedes enumerar todos los factores de los tres números:
Como el mayor número que aparece en las tres listas es \(2\), escribirías \(\text{GCD} (12,46,78)=2\).
Veamos otro ejemplo.
Halla el máximo común divisor de \(15\) y \(36\).
Responde:
Puedes empezar escribiendo todos los divisores de \(15\) y \(36\):
Ahora puedes ver que hay dos divisores comunes a \(15\) y \(36\): \(1\) y \(3\).
Elige el que sea mayor, así que \(3\) es el máximo común divisor de \(15\) y \(36\).
Ahora bien, para hallar el MCD de números mayores, el método de hallar los divisores comunes se convertirá en un proceso muy largo y tedioso. Por eso se utiliza el Algoritmo del Máximo Común Divisor, también conocido como Algoritmo Euclídeo.
El algoritmo euclídeo es un proceso computacional que calcula el MCD de dos números enteros positivos. Utiliza residuos para hallar el máximo común divisor entre los dos números.
Veamos primero el proceso de la división larga. Tomemos dos números enteros positivos, \(a\) y \(b\) tales que \(a>b\). La división euclídeaes un proceso para escribir \(a\) y \(b\) de la forma
\[a=qb+r\]
donde \(q\) es un entero positivo llamado cociente, y \(0\leq rresto.
Veamos un ejemplo rápido de división larga.
Tomando los enteros \(44\) y \(17\) y realizando la división larga se obtiene
$$\begin{array}{r}2\phantom{)} \$ 17{overline{\smash{\big)}\$,44\phantom{)}}\$ \underline{-~\phantom(}0\phantom{-b)}\$ 44\phantom{)}\$ \underline{-~\phantom{()}34}\$ 10\phantom{)}\$end{array}$$.
Por tanto, 44 dividido por 17 da el cociente 2 con resto 10.
Así pues, si \(a=44\) y \(b=17\), al sustituir en la fórmula se obtiene
\[\begin{align} a&=qb+r \\a44&=2\cdot17+10. \end{align}\a].
Toma dos enteros positivos, \(a\) y \(b\) tales que \(a>b\). Para calcular el \(\texto{GCD} (a,b)\), los pasos del Algoritmo Euclídeo son:
Paso 1: Divide \(a\) entre \(b\) de modo que \(a=bq_1+r_1\) donde \(r_1\) es el resto cuando \(b\) se divide entre \(a\). Entonces
\[\text{GCD} (a,b)=\text{GCD} (b,r_1) .\]
Paso 2: Como \(b>r_1\), divide \(b\) entre \(r_1\) de modo que \(b=r_1q_2+r_2\). Entonces
\text{GCD} (b,r_1)=\text{GCD} (r_1,r_2).
Paso 3: Como \(r_1>r_2\), sabes que \(r_1=r_2q_3+r_3\). Es decir
\[\text{GCD} (r_1, r_2)=\text{GCD} (r_2, r_3).\]
Paso 4: Repite esto para los restos hasta que \(r_k=0\).
Paso 5: Entonces tienes
\[\inicio{alineación} \text{GCD} (a,b)&=\text{GCD} (b,r_1) \text{GCD} (r_1, r_2) \text{GCD} (r_1, r_2) \text{GCD} (r_{k-1}, r_k) \text{GCD} (r_{k-1},0) \text{GCD} (r_{k-1},0) \text{GCD} (r_{k-1}) . \end{align}\}]
Por tanto, el GCD es el último resto distinto de cero de la división euclídea. Por supuesto, la mejor forma de entenderlo es con algunos ejemplos.
Empecemos con uno en el que sabes que la respuesta debe ser \(1\), para que veas que el Algoritmo Euclídeo funciona.
Utiliza el Algoritmo Euclídeo para hallar el MCD de \(44\) y \(17\).
Contesta:
Paso 1: Como \(44>17\), divide \(44\) entre \(17\) de modo que \(44=17\cdot 2+10\) donde \(10\) es el resto al dividir \(44\) entre \(17\). Entonces
\[\text{GCD} (44,17)=\text{GCD} (17,10) .\\]
Paso 2: Ahora divide \(17\) entre \(10\), de modo que \(17=1 \cdot 10+7\). Así que
\[\text{GCD} (17,10)=\text{GCD} (10,7).\]
Paso 3: Ahora \(10=1\cdot 7+3\), así que
\[\text{GCD} (10,7)=\text{GCD} (7,3) .\\]
Paso 4: Aquí \(7=2\cdot 3+1\), así que
\[\text{GCD} (7, 3)=\text{GCD} (3, 1).\]
Paso 5: En este paso, \( 3=1\cdot 3\) sin resto. Por tanto, \(\text{GCD} (44,17)=1\).
Veamos otro ejemplo.
Halla el DGC de \(12\) y \(30\) utilizando el Algoritmo Euclídeo.
Contesta:
Como \(30 > 12\), \(a=30\) y \(b=12\) en el Algoritmo Euclídeo.
Paso 1: Ahora tienes que escribir \(a\) en la forma \(a=bq+r\), lo que te da \(30=(12\cdot 2)+6\).
Sabes que \(\text{GCD} (a, b) =\text{GCD} (b, r)\), por lo que
\[\text{GCD} (30, 12) = \text{GCD} (12, 6).\]
Paso 2: Ahora, deja que \(b=12\) y \(r_1=6\) y vuelve a realizar el mismo proceso. Es decir, \(12=(6\cdot 2)+0\).
Ahora \(r_1=6\) y \(r_2=0\), entonces
\[\text{GCD} (r_1,r_2)=\text{GCD} (6,0)=6 .\]
Paso 4: Espera, el algoritmo termina en cuanto obtienes un resto de \(0\), ¡que ya tienes! Eso significa que puedes saltarte el Paso 4.
Paso 5: Ahora ya sabes que
\[ \inicio{alineación} \text{GCD} (6,0) &=\text{GCD} (12,6) \\text{GCD} (30,12) \\\=6 . \fin].
Por tanto, el MCD de \(30\) y \(12\) es \(6\).
¡Ya has visto ejemplos en los que has hallado el DGC de tres números! Recuerda que utilizabas
la Propiedad Asociativa:
\[\text{GCD} (a, \text{GCD} (b, c)) = \text{GCD} (\text{GCD} (a, b),c) .\]
Si quieres, puedes utilizar el Algoritmo Euclídeo para hallar el MCD de dos de los números y luego volver a utilizarlo para hallar el MCD de los tres.
Halla el máximo común divisor de \(32\), \(254\) y \(372\).
Respuesta:
Primero utilizarías el Algoritmo Euclídeo para hallar \(\text{GCD} (32,254) = 2\). Luego puedes volver a utilizar el Algoritmo Euclídeo para ver que \(\text{GCD} (2,372) =2\).
Entonces, por la Propiedad Asociativa
\[ \año{comienzo{alineación} \text{GCD} (32, 254, 372) &=\text{GCD} (\text{GCD} (32,254), 372) \\ &=texto{GCD} (2,372)&=2 . \fin].
¿Te preguntarás qué pasa con el MCD de los polinomios?
Hallar el MCD de dos polinomios es muy parecido a hallar el MCD de dos números. Requiere la factorización de polinomios y, a veces, la división larga de polinomios. Para más información sobre estos temas, consulta Operaciones con polinomios y Factorización de polinomios.
Propiedad de identidad: \(\text{GCD} (a,0)=|a|\\).
Propiedad Conmutativa: \(\text{GCD} (a,b)=\text{GCD} (b,a)\).
La propiedad asociativa: \(\text{GCD} (a, \text{GCD} (b, c)) = \text{GCD} (\text{GCD} (a, b),c)\).
La propiedad distributiva: \(\text{GCD} (ab, ac) =a \text{GCD} (b,c)\).
Regístrate gratis para acceder a todas nuestras tarjetas.
En StudySmarter, has creado una plataforma de aprendizaje que atiende a millones de estudiantes. Conoce a las personas que trabajan arduamente para ofrecer contenido basado en hechos y garantizar que esté verificado.
Lily Hulatt es una especialista en contenido digital con más de tres años de experiencia en estrategia de contenido y diseño curricular. Obtuvo su doctorado en Literatura Inglesa en la Universidad de Durham en 2022, enseñó en el Departamento de Estudios Ingleses de la Universidad de Durham y ha contribuido a varias publicaciones. Lily se especializa en Literatura Inglesa, Lengua Inglesa, Historia y Filosofía.
Conoce a Lily
Gabriel Freitas es un ingeniero en inteligencia artificial con una sólida experiencia en desarrollo de software, algoritmos de aprendizaje automático e IA generativa, incluidas aplicaciones de grandes modelos de lenguaje (LLM). Graduado en Ingeniería Eléctrica de la Universidad de São Paulo, actualmente cursa una maestría en Ingeniería Informática en la Universidad de Campinas, especializándose en temas de aprendizaje automático. Gabriel tiene una sólida formación en ingeniería de software y ha trabajado en proyectos que involucran visión por computadora, IA integrada y aplicaciones LLM.
Conoce a Gabriel Gabriel
StudySmarter es una compañía de tecnología educativa reconocida a nivel mundial, que ofrece una plataforma de aprendizaje integral diseñada para estudiantes de todas las edades y niveles educativos. Nuestra plataforma proporciona apoyo en el aprendizaje para una amplia gama de asignaturas, incluidas las STEM, Ciencias Sociales e Idiomas, y también ayuda a los estudiantes a dominar con éxito diversos exámenes y pruebas en todo el mundo, como GCSE, A Level, SAT, ACT, Abitur y más. Ofrecemos una extensa biblioteca de materiales de aprendizaje, incluidas tarjetas didácticas interactivas, soluciones completas de libros de texto y explicaciones detalladas. La tecnología avanzada y las herramientas que proporcionamos ayudan a los estudiantes a crear sus propios materiales de aprendizaje. El contenido de StudySmarter no solo es verificado por expertos, sino que también se actualiza regularmente para garantizar su precisión y relevancia.
Aprende másGuarda las explicaciones en tu espacio personalizado y accede a ellas en cualquier momento y lugar.
Regístrate con email Regístrate con AppleAl registrarte aceptas los Términos y condiciones y la Política de privacidad de StudySmarter.
¿Ya tienes una cuenta? Iniciar sesión
Regístrate para poder subrayar y tomar apuntes. Es 100% gratis.
Resumenes 
Flashcards 
StudySmarter AI 
Apuntes 
Plan de estudios 
Sets de estudio 
Repeticion espaciada 
Exámenes 
Magazine 
Hacer carrera 
Formacion Profesional 
Mobile App