Ecuaciones de Rectas en 3D

Vectores de posición y dirección

Un vector es un objeto matemático que tiene dirección y magnitud. Pueden escribirse de dos formas:

• Forma de vector columna: \( \ inicio{bmatriz} x \ y \ z \ fin{bmatriz}. \)

• Forma de vector unitario: \( x \vec{i} + y \vec{j} + z \vec{k}. \)

Fig. 1. Un vector puede considerarse como una flecha que apunta de un lugar a otro.

Un vector de posición es un vector que representa un punto en el espacio, como las coordenadas, mientras que un vector de dirección representa un movimiento. Si te mueves por un vector de dirección desde el origen, llegarás al punto de su correspondiente vector de posición.

Los vectores se pueden sumar y restar sumando o restando sus componentes individuales. En forma de columna, eso significa sumar las primeras entradas de cada vector por la primera entrada del nuevo vector, y sumar las segundas entradas de cada vector por la segunda entrada del nuevo vector, y así sucesivamente. En forma de vector unitario, esto sólo significa sumar y restar los términos semejantes como harías con cualquier otra ecuación algebraica.

Los vectores también pueden multiplicarse por escalares, multiplicando cada uno de los componentes individuales por el escalar. Para un vector columna, basta con multiplicar cada entrada por el escalar. Para un vector en forma de vector unitario, basta con expandir los paréntesis de la forma habitual. Para más información, consulta Vectores principales.

Ecuación paramétrica de una recta en 3D

Las ecuaciones paramétricas de una recta en 3 dimensiones son:\[ \begin{align} x & = a_1 + t b_1 \\ y & = a_2 + t b_2 \ z & = a_3 + t b_3 \end{align} \]

donde

\[ \ inicio{bmatriz} a_1 \ a_2 \ a_3 \fin{bmatriz} \]

es el vector de posición de un punto de la recta, y

\[\ inicio{matriz} b_1 \ b_2 \ b_3 \fin{matriz} \] es el vector de dirección de la recta.

es el vector de dirección de la recta, y \(t\) es una variable escalar.

A partir de esta definición paramétrica, puede obtenerse la forma vectorial de una recta en 3D.

Ecuación vectorial de una recta en 3D

Si defines

\[ \vec{r} = \begin{bmatrix} x \ y\\ z\nd{bmatrix}, \vec{a} = \begin{bmatrix} a_1 \ a_2 \a_3 \end{bmatrix}, \vec{b} = \begin{bmatrix} b_1 \ b_2 \\\ b_3 \end{bmatrix}. \]

entonces la forma paramétrica puede escribirse en una simple ecuación vectorial, conocida como la forma vectorial de una línea en 3D:

\[ \vec{r} = \vec{a} + t \vec{b}, \]

que puede escribirse en forma de vector columna como

\[ \begin{bmatrix} x \\ y\\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_1\a_2\a_3 \end{bmatrix} + t \begin{bmatrix} b_1 \b_2 \b_3 \end{bmatrix}. \]

Ecuación cartesiana de una recta en 3D

También existe una Ecuación cartesiana para una recta en 3 dimensiones. Con los mismos parámetros que para la definición paramétrica, la Ecuación cartesiana para una recta en 3 dimensiones es:

\[ \frac{ x - a_1}{b_1} = \frac{y-a_2}{b_2} = \frac{z-a_3}{b_3}. \]

Esta fórmula sólo funciona si las componentes del vector de dirección son distintas de cero.

Ecuación de una recta en 3D que pasa por dos puntos

Dados dos puntos \( \vec{a} \) y \( \vec{b}, \) la forma vectorial de una recta entre ellos será:

\[ \vec{r} = \vec{a} + t (\vec{a} - \vec{b}). \]

Esto se debe a que el vector de dirección entre dos vectores de posición es la resta de uno de los vectores respecto al otro. No importa qué vector utilices como vector de posición, ni en qué orden hagas la resta para el lado del vector de dirección. Lo único que afectará es qué valores de \(t\) corresponden a qué puntos de la recta.

Líneas oblicuas, paralelas e intersecantes

En el espacio 2D, si dos líneas distintas no se cruzan, deben ser paralelas. En el espacio 3D, es posible que las rectas no paralelas tampoco se crucen: estas rectas se denominan rectas oblicuas.

Fig. 2. Estas 2 rectas no se cruzan, pero tampoco son paralelas. Esto significa que son oblicuas.

Arriba tienes un ejemplo de rectas oblicuas. Dos rectas en 3D serán paralelas si sus vectores de dirección son múltiplos escalares entre sí.

Fig. 3. Estas rectas no se cruzan, pero van en la misma dirección, por lo que deben ser paralelas.

Para ver si las rectas se cruzan, puedes establecerlas como iguales entre sí, lo que da tres ecuaciones simultáneas en dos variables. Si todas estas ecuaciones se resuelven para los mismos valores, las rectas se intersecan. Si hay contradicciones, las rectas no se intersecan y deben ser paralelas o sesgadas.

Fig. 4. Estas rectas se cruzan.

Veamos algunos ejemplos, en los que debes determinar si las rectas son oblicuas, paralelas o se intersecan. El primer ejemplo muestra las rectas en forma euclídea.

El siguiente ejemplo te dará las rectas en forma vectorial.

Veamos un último ejemplo de una pregunta como ésta, esta vez con la recta en forma paramétrica.

Ecuación de una recta paralela al eje \(x\)-en 3D

Para crear una recta paralela al eje \(x\)-, necesitas un vector de dirección paralelo al eje \(x\)-. Se trata simplemente del vector unitario estándar, \(\vec{i},\) Por tanto, para cualquier vector de posición \( \vec{a},\) la ecuación vectorial de una recta que pase por \(\vec{a}) y sea paralela al eje \(x)-es:

\[ \vec{r} = \vec{a} + t \vec{i}.\]

Las ecuaciones paramétricas de esta recta serán:

\[ \begin{align} x & = a_1 + t \ y & = a_2 \ z & = a_3. \fin \]

Como las componentes \(y \) y \(z\) del vector de dirección son \(0\), no existe forma cartesiana de esta recta.

Ecuación de una recta paralela al eje \(z\)-en 3D

Encontrar una recta paralela al eje \(z)-en 3D funciona exactamente igual que con la recta paralela al eje \(x\)-del apartado anterior, pero sustituyendo \(\vec{i}\) por \(\vec{k}. \Por tanto, para cualquier vector de posición \( \vec{a},\) la ecuación vectorial de una recta que pasa por \(\vec{a}\) y es paralela al eje \(z\)-es:

\[ \vec{r} = \vec{a} + t \vec{k}.\]

Las ecuaciones paramétricas de esta línea serán:

\[ \begin{align} x& = a_1 \ y & = a_2 \ z& = a_3+t. \fin \]

Como las componentes \(x \) y \(y\) del vector de dirección son \(0\), no hay forma cartesiana de esta recta.