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Graficar Funciones Trigonométricas

Q: ¿Qué son las funciones trigonométricas?

Las funciones trigonométricas son funciones que relacionan los ángulos de un triángulo con las longitudes de sus lados, como el seno, coseno y tangente.

Q: ¿Cómo se grafica una función seno?

Para graficar una función seno, se trazan los valores del seno de ángulos en un plano cartesiano, comenzando en el origen y repitiendo cada 360 grados.

Q: ¿Qué características tienen las gráficas de funciones trigonométricas?

Las gráficas de funciones trigonométricas son periódicas, tienen amplitud, periodo y fase. Oscilan entre un máximo y un mínimo.

Q: ¿Cuál es la diferencia entre las funciones seno y coseno en su gráfica?

La diferencia entre seno y coseno en su gráfica es una fase de 90 grados; la gráfica del coseno es igual a la del seno desplazada a la izquierda.

Sin duda, la mejor forma de comprender el comportamiento de las funciones trigonométricas es crear una representación visual de sus gráficas en el plano de coordenadas. Esto nos ayuda a identificar sus características clave y a analizar el impacto de estas características en el aspecto de cada gráfica. Sin embargo, ¿sabes qué pasos seguir para representar gráficamente funciones trigonométricas y sus funciones recíprocas? Si tu respuesta es negativa, no te preocupes, porque te guiaremos en el proceso.

Pruéablo tú mismo

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Last Updated: 01.01.1970
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En este artículo definiremos qué son las gráficas de las funciones trigonométricas, hablaremos de sus principales características y te mostraremos cómo representar gráficamente las funciones trigonométricas y sus funciones recíprocas mediante ejemplos prácticos.

Las gráficasde funciones trigonométricas son representaciones gráficas de funciones o razones definidas a partir de los lados y los ángulos de un triángulo rectángulo. Incluyen las funciones seno (sin), coseno (cos), tangente (tan), y sus correspondientes funciones recíprocas cosecante (csc), secante (sec) y cotangente (cot).

¿Cuáles son las características principales de las gráficas de las funciones trigonométricas?

Antes de proceder a representar gráficamente las funciones trigonométricas, debemos identificar algunas características clave de las mismas:

Amplitud

La amplitud de las funciones trigonométricas se refiere al factor de estiramiento vertical, que puedes calcular como el valor absoluto de la mitad de la diferencia entre su valor máximo y su valor mínimo.

La amplitud de las funciones $y = \sin θ$ y $y = \cos θ$ es $|\frac{1 - (- 1)}{2}| = 1$ .

Para las funciones de la forma $y = a \sin b θ$ o $y = a \cos b θ$ la amplitud es igual al valor absoluto de a.

$A m p l i t u d e = |a|$

Si tienes la función trigonométrica $y = 2 \sin θ$ la amplitud de la función es 2.

La gráfica de las funciones tangentes no tiene amplitud, ya que no tiene valor mínimo ni máximo.

Período

El periodo de las funciones trigonométricas es la distancia a lo largo del eje x desde el punto en que empieza el patrón hasta el punto en que vuelve a empezar.

El periodo del seno y el coseno es 2π o 360º.

Para las funciones de la forma $y = a \sin b θ$ o $y = a \cos b θ$ , b se conoce como factor de estiramiento horizontal, y puedes calcular el periodo de la siguiente manera:

$P e r i o d = \frac{2 π}{|b|} o r \frac{360 °}{|b|}$

Para funciones de la forma $y = a \tan b θ$ el periodo se calcula así:

$P e r i o d = \frac{π}{|b|} o r \frac{180 °}{|b|}$

Halla el periodo de las siguientes funciones trigonométricas:

$y = c o s \frac{π}{2} θ$

P e r i o d = \frac{2 π}{|b|} = \frac{2 π}{|\frac{π}{2}|} = \frac{2 π}{\frac{π}{2}} = \frac{4 π}{π} = 4

$y = \tan \frac{1}{3} θ$

P e r i o d = \frac{π}{|b|} = \frac{π}{|\frac{1}{3}|} = \frac{π}{\frac{1}{3}} = 3 π

Dominio y rango

El dominio y el rango de las principales funciones trigonométricas son los siguientes:

Función trigonométrica	Dominio	Rango
Seno	Todos los números reales	$- 1 \leq y \leq 1$
Coseno	Todos los números reales	$- 1 \leq y \leq 1$
Tangente	Todos los números reales, excepto $\frac{nπ}{2}, w h e r e n = \pm 1, \pm 3, \pm 5, . . .$	Todos los números reales
Cosecante	Todos los números reales, excepto $n π, where n = 0, \pm 1, \pm 2, \pm 3, . . .$	$(- \infty, - 1] \cup [1, \infty)$
Secante	Todos los números reales, excepto $\frac{nπ}{2}, w h e r e n = \pm 1, \pm 3, \pm 5, . . .$	$(- \infty, - 1] \cup [1, \infty)$
Cotangente	Todos los números reales, excepto $n π, where n = 0, \pm 1, \pm 2, \pm 3, . . .$	Todos los números reales

Recuerda que todas las funciones trigonométricas son periódicas, porque sus valores se repiten una y otra vez tras un periodo determinado.

¿Cómo representar gráficamente las funciones trigonométricas?

Para representar gráficamente las funciones trigonométricas puedes seguir estos pasos:

Si la función trigonométrica tiene la forma $y = a \sin b θ$ , $y = a \cos b θ$ o $y = a \tan b θ$ entonces identifica los valores de a y b, y calcula los valores de la amplitud y el periodo como se ha explicado anteriormente.
Crea una tabla de pares ordenados para los puntos que incluirás en la gráfica. El primer valor de los pares ordenados corresponderá al valor del ángulo θ, y los valores de y corresponderán al valor de la función trigonométrica para el ángulo θ, por ejemplo, sen θ, por lo que el par ordenado será (θ, sen θ). Los valores de θ pueden estar en grados o en radianes.

Puedes utilizar el círculo unitario para calcular los valores del seno y el coseno de los ángulos más comunes. Lee sobre Funciones trigonométricas, si necesitas recapitular cómo hacerlo.

Traza unos cuantos puntos en el plano de coordenadas para completar al menos un período de la función trigonométrica.
Une los puntos con una curva suave y continua.

Gráfica del seno

El seno es la relación entre la longitud del lado opuesto del triángulo rectángulo y la longitud de la hipotenusa.

La gráfica de una función seno $y = \sin θ$ tiene este aspecto:

Gráfica de las funciones trigonométricas Gráfica del seno StudySmarter Gráfica del seno, Marilú García De Taylor - StudySmarter Originals

En esta gráfica podemos observar las características clave de la función seno:

La gráfica se repite cada 2π radianes o 360°.
El valor mínimo del seno es -1.
El valor máximo del seno es 1.
Esto significa que la amplitud de la gráfica es 1 y su periodo es 2π (o 360°).
La gráfica cruza el eje x en 0 y cada π radianes antes y después.
La función seno alcanza su valor máximo en π/2 y cada 2π antes y después.
La función seno alcanza su valor mínimo en 3π/2 y cada 2π antes y después.

Representar gráficamente la función trigonométrica $y = 4 \sin 2 θ$

Identifica los valores de a y b

$a = 4, b = 2$

Calcula la amplitud y el periodo:

$A m p l i t u d e = |a| = |4| = 4 P e r i o d = \frac{2 π}{|b|} = \frac{2 π}{|2|} = \frac{2 π}{2} = π$

Tabla de pares ordenados:

θ	$y = 4 \sin 2 θ$
0	0
$\frac{π}{4}$	4
$\frac{π}{2}$	0
$\frac{3 π}{4}$	-4
$π$	0

Traza los puntos y únelos con una curva suave y continua:

Gráfica de funciones trigonométricas Ejemplo de gráfica del seno StudySmarter Ejemplo de gráfica del seno, Marilú García De Taylor - StudySmarter Originals

Gráfica del coseno

El coseno es el cociente de la longitud del lado adyacente del triángulo rectángulo sobre la longitud de la hipotenusa.

La gráfica de la función coseno $y = \cos θ$ es exactamente igual que la del seno, salvo que está desplazada hacia la izquierda π/2 radianes, como se muestra a continuación.

Gráfica de funciones trigonométricas Gráfica del coseno StudySmarter Gráfica del coseno, Marilú García De Taylor - StudySmarter Originals

Observando esta gráfica, podemos determinar las características clave de la función coseno:

La gráfica se repite cada 2π radianes o 360°.
El valor mínimo del coseno es -1.
El valor máximo del coseno es 1.
Esto significa que la amplitud de la gráfica es 1 y su período es 2π (o 360°).
La gráfica cruza el eje x en π/2 y cada π radianes antes y después.
La función coseno alcanza su valor máximo en 0 y cada 2π antes y después.
La función coseno alcanza su valor mínimo en π y cada 2π antes y después.

Representar gráficamente la función trigonométrica $y = 2 \cos \frac{1}{2} θ$

Identifica los valores de a y b:

$a = 2, b = \frac{1}{2}$

Calcula la amplitud y el periodo:

A m p l i t u d e = |a| = |2| = 2 P e r i o d = \frac{2 π}{|b|} = \frac{2 π}{|\frac{1}{2}|} = \frac{2 π}{\frac{1}{2}} = 4 π

Tabla de pares ordenados:

θ	$y = 2 \cos \frac{1}{2} θ$
0	2
$π$	0
$2 π$	-2
$3 π$	0
$4 π$	2

Traza los puntos y únelos con una curva suave y continua:

Graficación de funciones trigonométricas Ejemplo de gráfica de coseno StudySmarter Ejemplo de gráfica del coseno, Marilú García De Taylor - StudySmarter Originals

Gráfico de tangente

La tangente es el cociente de la longitud del lado opuesto del triángulo rectángulo sobre la longitud del lado adyacente.

La gráfica de la función tangente $y = \tan θ$ tiene un aspecto algo distinto al de las funciones coseno y seno. No es una onda, sino una función discontinua, con asíntotas:

Gráfica de las funciones trigonométricas Gráfica de la tangente StudySmarter Gráfica de la tangente, Marilú García De Taylor - StudySmarter Originals

Observando esta gráfica, podemos determinar las características clave de la función tangente:

El gráfico se repite cada π radianes o 180°.
No hay valor mínimo.
No tiene valor máximo.
Esto significa que la función tangente no tiene amplitud y su periodo es π (o 180°).
La gráfica cruza el eje x en 0 y cada π radianes antes y después.
La gráfica de la tangente tiene asíntotas, que son valores en los que la función no está definida.
Estas asíntotas están en π/2 y cada π antes y después.

La tangente de un ángulo también se puede hallar con esta fórmula:

$\tan θ = \frac{\sin θ}{\cos θ}$

Representar gráficamente la función trigonométrica $y = \frac{3}{4} \tan θ$

Identifica los valores de a y b:

a = \frac{3}{4}, b = 1

Calcula la amplitud y el periodo:

Las funciones tangentes no tienen amplitud.

P e r i o d = \frac{π}{|b|} = \frac{π}{|1|} = \frac{π}{1} = π

Tabla de pares ordenados:
θ $y = \frac{3}{4} \tan θ$
$- \frac{π}{2}$ indefinido(asíntota)
$- \frac{π}{4}$ $- \frac{3}{4}$
0 0
$\frac{π}{4}$ $\frac{3}{4}$
$\frac{π}{2}$ indefinido(asíntota)

Traza los puntos y conéctalos:

Graficación de funciones trigonométricas Ejemplo de gráfica tangente StudySmarter Ejemplo de gráfica tangente, Marilú García De Taylor - StudySmarter Originals

¿Cuáles son las gráficas de las funciones trigonométricas recíprocas?

A cada función trigonométrica le corresponde una función recíproca:

Lacosecante es la recíproca del seno.
Lasecante es la recíproca del coseno.
Lacotangente es la recíproca de la tangente.

Para representar gráficamente las funciones trigonométricas recíprocas puedes proceder como sigue:

Gráfica de la cosecante

La gráfica de la función cosecante $y = c s c θ$ se puede obtener así:

Grafica primero la función seno correspondiente, para utilizarla como guía.
Dibuja asíntotas verticales en todos los puntos donde la función seno intercepte el eje x.
La gráfica de la cosecante tocará a la función seno en su valor máximo y mínimo. A partir de esos puntos, dibuja la reflexión de la función seno, que se aproxima pero nunca toca las asíntotas verticales y se extiende hasta el infinito positivo y negativo.

Gráfica de las funciones trigonométricas Gráfica de la cosecante StudySmarter Gráfica de la cosecante, Marilú García De Taylor - StudySmarter Originals

La gráfica de la función cosecante tiene el mismo periodo que la gráfica del seno, que es 2π o 360°, y no tiene amplitud.

Gráfica de la función trigonométrica recíproca $y = 2 c s c θ$

$a = 2, b = 1$
No tiene amplitud
$P e r i o d = \frac{2 π}{|b|} = \frac{2 π}{|1|} = \frac{2 π}{1} = 2 π$

Graficación de funciones trigonométricas Ejemplo de gráfica cosecante StudySmarter Ejemplo de gráfica cosecante, Marilú García De Taylor - StudySmarter Originals

Gráfica de la secante

Para representar gráficamente la función secante $y = s e c θ$ puedes seguir los mismos pasos que antes, pero utilizando como guía la función coseno correspondiente. La gráfica de la secante tiene este aspecto:

Gráfica de funciones trigonométricas Gráfica secante StudySmarter Gráfico secante, Marilú García De Taylor - StudySmarter Originals

La gráfica de la función secante tiene el mismo periodo que la gráfica del coseno, que es 2π o 360°, y tampoco tiene amplitud.

Grafica la función trigonométrica recíproca $y = \frac{1}{2} s e c 2 θ$

$a = \frac{1}{2}, b = 2$
Sin amplitud
$P e r i o d = \frac{2 π}{|b|} = \frac{2 π}{|2|} = \frac{2 π}{2} = π$

Graficar funciones trigonométricas Ejemplo de gráfica secante StudySmarter Ejemplo de gráfica secante, Marilú García De Taylor - StudySmarter Originals

Gráfica de la cotangente

La gráfica de la cotangente es muy parecida a la gráfica de la tangente, pero en lugar de ser una función creciente, la cotangente es una función decreciente. La gráfica de la cotangente tendrá asíntotas en todos los puntos donde la función tangente intercepte el eje x.

Gráfica de las funciones trigonométricas Gráfica de la cotangente StudySmarter Gráfica de la cotangente, Marilú García De Taylor - StudySmarter Originals

El período de la gráfica de la cotangente es el mismo que el período de la gráfica de la tangente, π radianes o 180°, y tampoco tiene amplitud.

Grafica la función trigonométrica recíproca $y = 3 c o t θ$

$a = 3, b = 1$
Sin amplitud
$P e r i o d = \frac{π}{|b|} = \frac{π}{|1|} = \frac{π}{1} = π$

Graficación de funciones trigonométricas Ejemplo de gráfica de cotangente StudySmarter Ejemplo de gráfica de cotangente, Marilú García De Taylor - StudySmarter Originals

¿Cuáles son las gráficas de las funciones trigonométricas inversas?

Las funciones trigonométricas inversas se refieren a las funciones arcoseno, arcocoseno y arctangente, que también pueden escribirse como $S {in}^{- 1}, C {os}^{- 1}$ y $T {an}^{- 1}$ . Estas funciones hacen lo contrario que las funciones seno, coseno y tangente, lo que significa que devuelven un ángulo cuando les introducimos un valor sen, cos o tan.

Recuerda que la inversa de una función se obtiene intercambiando x e y, es decir, x se convierte en y e y se convierte en x.

La inversa de $y = \sin x$ es $x = \sin y$ y puedes ver su gráfica a continuación:

Gráfica de las funciones trigonométricas Inversa de la gráfica del seno StudySmarter Gráfica de la inversa del seno, Marilú García De Taylor - StudySmarter Originals

Sin embargo, para que las inversas de las funciones trigonométricas se conviertan en funciones, necesitamos restringir su dominio. De lo contrario, las inversas no son funciones porque no superan la prueba de la recta vertical. Los valores de los dominios restringidos de las funciones trigonométricas se conocen como valores principales, y para identificar que estas funciones tienen un dominio restringido, utilizamos mayúsculas:

Función trigonométrica	Notación de dominio restringido	Valores principales
Seno	$y = S i n x$	$- \frac{π}{2} \leq x \leq \frac{π}{2}$
Coseno	$y = C o s x$	$0 \leq x \leq π$
Tangente	$y = T a n x$	$- \frac{π}{2} < x < \frac{π}{2}$

Gráfico arcoseno

El arcoseno es la función inversa del seno. La inversa de $y = S i n x$ se define como $x = S i n^{- 1} y$ o $x = A r c \sin y$ . El dominio de la función arcoseno serán todos los números reales de -1 a 1, y su rango es el conjunto de medidas de ángulos de $- \frac{π}{2} \leq y \leq \frac{π}{2}$ . La gráfica de la función arcoseno tiene este aspecto:

Gráfica de funciones trigonométricas Gráfica del arcoseno StudySmarter Gráfica del arcoseno, Marilú García De Taylor - StudySmarter Originals

Gráfico del arcocoseno

El arcocoseno es la inversa de la función coseno. La inversa de $y = C o s x$ se define como $x = C o s^{- 1} y$ o $x = A r c \cos y$ . El dominio de la función arcocoseno será también todos los números reales de -1 a 1, y su rango es el conjunto de medidas de ángulo de $0 \leq y \leq π$ . La gráfica de la función arcocoseno se muestra a continuación:

Gráfica de las funciones trigonométricas Gráfica del arcocoseno StudySmarter Gráfico del arcocoseno, Marilú García De Taylor - StudySmarter Originals

Gráfico de la arctangente

Laarctangente es la inversa de la función tangente. La inversa de $y = T a n x$ se define como $x = T a n^{- 1} y$ o $x = A r c \tan y$ . El dominio de la función arctangente serán todos los números reales, y su rango es el conjunto de medidas de ángulo entre $- \frac{π}{2} < y < \frac{π}{2}$ . La gráfica de la arctangente tiene este aspecto:

Gráfica de las funciones trigonométricas Gráfica de la arctangente StudySmarter Gráfico de la arctangente, Marilú García De Taylor - StudySmarter Originals

Si graficamos todas las funciones inversas juntas, quedan así:

Gráficas de funciones trigonométricas Gráficas de arcosenos, arcocosenos y arctangentes StudySmarter Gráficas del arcoseno, arcocoseno y arctangente juntas, Marilú García De Taylor - StudySmarter Originals

Consulta el artículo Funciones trigonométricas inversas para saber más sobre este tema.

Gráficas de funciones trigonométricas - Puntos clave

Las gráficas de las funciones trigonométricas son representaciones gráficas de funciones o razones definidas a partir de los lados y los ángulos de un triángulo rectángulo.
Las características clave de las funciones trigonométricas son: amplitud, periodo, dominio y rango.
La amplitud de las funciones trigonométricas se refiere al factor de estiramiento vertical, que puedes calcular como el valor absoluto de la mitad de la diferencia entre su valor máximo y su valor mínimo.
El periodo de las funciones trigonométricas es la distancia a lo largo del eje x desde donde empieza el patrón, hasta el punto donde vuelve a empezar.
Cada función trigonométrica tiene su correspondiente función recíproca. La cosecante es la recíproca del seno, la secante es la recíproca del coseno y la cotangente es la recíproca de la tangente.
Las funciones trigonométricas inversas arcoseno, arcocoseno y arctangente hacen lo contrario que las funciones seno, coseno y tangente, lo que significa que devuelven un ángulo cuando les introducimos un valor sen, cos o tan.

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Preguntas frecuentes sobre Graficar Funciones Trigonométricas

¿Qué son las funciones trigonométricas?

Las funciones trigonométricas son funciones que relacionan los ángulos de un triángulo con las longitudes de sus lados, como el seno, coseno y tangente.

¿Cómo se grafica una función seno?

Para graficar una función seno, se trazan los valores del seno de ángulos en un plano cartesiano, comenzando en el origen y repitiendo cada 360 grados.

¿Qué características tienen las gráficas de funciones trigonométricas?

Las gráficas de funciones trigonométricas son periódicas, tienen amplitud, periodo y fase. Oscilan entre un máximo y un mínimo.

¿Cuál es la diferencia entre las funciones seno y coseno en su gráfica?

La diferencia entre seno y coseno en su gráfica es una fase de 90 grados; la gráfica del coseno es igual a la del seno desplazada a la izquierda.

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