Graficar Funciones Trigonométricas

Sin duda, la mejor forma de comprender el comportamiento de las funciones trigonométricas es crear una representación visual de sus gráficas en el plano de coordenadas. Esto nos ayuda a identificar sus características clave y a analizar el impacto de estas características en el aspecto de cada gráfica. Sin embargo, ¿sabes qué pasos seguir para representar gráficamente funciones trigonométricas y sus funciones recíprocas? Si tu respuesta es negativa, no te preocupes, porque te guiaremos en el proceso.

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    En este artículo definiremos qué son las gráficas de las funciones trigonométricas, hablaremos de sus principales características y te mostraremos cómo representar gráficamente las funciones trigonométricas y sus funciones recíprocas mediante ejemplos prácticos.

    Las gráficasde funciones trigonométricas son representaciones gráficas de funciones o razones definidas a partir de los lados y los ángulos de un triángulo rectángulo. Incluyen las funciones seno (sin), coseno (cos), tangente (tan), y sus correspondientes funciones recíprocas cosecante (csc), secante (sec) y cotangente (cot).

    ¿Cuáles son las características principales de las gráficas de las funciones trigonométricas?

    Antes de proceder a representar gráficamente las funciones trigonométricas, debemos identificar algunas características clave de las mismas:

    Amplitud

    La amplitud de las funciones trigonométricas se refiere al factor de estiramiento vertical, que puedes calcular como el valor absoluto de la mitad de la diferencia entre su valor máximo y su valor mínimo.

    La amplitud de las funciones y=sin θ y y=cos θ es 1-(-1)2=1.

    Para las funciones de la forma y=a sin bθo y=a cos bθla amplitud es igual al valor absoluto de a.

    Amplitude=a

    Si tienes la función trigonométrica y=2 sinθla amplitud de la función es 2.

    La gráfica de las funciones tangentes no tiene amplitud, ya que no tiene valor mínimo ni máximo.

    Período

    El periodo de las funciones trigonométricas es la distancia a lo largo del eje x desde el punto en que empieza el patrón hasta el punto en que vuelve a empezar.

    El periodo del seno y el coseno es 2π o 360º.

    Para las funciones de la forma y=a sin bθo y=a cos bθ, b se conoce como factor de estiramiento horizontal, y puedes calcular el periodo de la siguiente manera:

    Period=2πb or 360°b

    Para funciones de la forma y=a tan bθel periodo se calcula así:

    Period=πb or 180°b

    Halla el periodo de las siguientes funciones trigonométricas:

    • y=cos π2θ
    Period=2πb=2ππ2=2ππ2=4ππ=4
    • y=tan 13θ
    Period=πb=π13=π13=3π

    Dominio y rango

    El dominio y el rango de las principales funciones trigonométricas son los siguientes:

    Función trigonométricaDominioRango
    SenoTodos los números reales-1y1
    CosenoTodos los números reales-1y1
    TangenteTodos los números reales, excepto2, where n=±1, ±3, ±5, ...Todos los números reales
    CosecanteTodos los números reales, excepto nπ, where n=0, ±1, ±2, ±3, ...(-, -1] [1, )
    SecanteTodos los números reales, excepto 2, where n=±1, ±3, ±5, ...(-, -1] [1, )
    CotangenteTodos los números reales, excepto nπ, where n=0, ±1, ±2, ±3, ...Todos los números reales

    Recuerda que todas las funciones trigonométricas son periódicas, porque sus valores se repiten una y otra vez tras un periodo determinado.

    ¿Cómo representar gráficamente las funciones trigonométricas?

    Para representar gráficamente las funciones trigonométricas puedes seguir estos pasos:

    • Si la función trigonométrica tiene la forma y=a sin bθ, y=a cos bθo y=a tan bθentonces identifica los valores de a y b, y calcula los valores de la amplitud y el periodo como se ha explicado anteriormente.

    • Crea una tabla de pares ordenados para los puntos que incluirás en la gráfica. El primer valor de los pares ordenados corresponderá al valor del ángulo θ, y los valores de y corresponderán al valor de la función trigonométrica para el ángulo θ, por ejemplo, sen θ, por lo que el par ordenado será (θ, sen θ). Los valores de θ pueden estar en grados o en radianes.

    Puedes utilizar el círculo unitario para calcular los valores del seno y el coseno de los ángulos más comunes. Lee sobre Funciones trigonométricas, si necesitas recapitular cómo hacerlo.

    • Traza unos cuantos puntos en el plano de coordenadas para completar al menos un período de la función trigonométrica.

    • Une los puntos con una curva suave y continua.

    Gráfica del seno

    El seno es la relación entre la longitud del lado opuesto del triángulo rectángulo y la longitud de la hipotenusa.

    La gráfica de una función seno y=sin θ tiene este aspecto:

    Gráfica de las funciones trigonométricas Gráfica del seno StudySmarterGráfica del seno, Marilú García De Taylor - StudySmarter Originals

    En esta gráfica podemos observar las características clave de la función seno:

    • La gráfica se repite cada 2π radianes o 360°.

    • El valor mínimo del seno es -1.

    • El valor máximo del seno es 1.

    • Esto significa que la amplitud de la gráfica es 1 y su periodo es 2π (o 360°).

    • La gráfica cruza el eje x en 0 y cada π radianes antes y después.

    • La función seno alcanza su valor máximo en π/2 y cada 2π antes y después.

    • La función seno alcanza su valor mínimo en 3π/2 y cada 2π antes y después.

    Representar gráficamente la función trigonométrica y=4 sin 2θ

    • Identifica los valores de a y b

    a=4, b=2

    • Calcula la amplitud y el periodo:

    Amplitude=a=4=4Period=2πb=2π2=2π2=π

    • Tabla de pares ordenados:
    θy=4 sin 2θ
    00
    π44
    π20
    3π4-4
    π0
    • Traza los puntos y únelos con una curva suave y continua:

    Gráfica de funciones trigonométricas Ejemplo de gráfica del seno StudySmarterEjemplo de gráfica del seno, Marilú García De Taylor - StudySmarter Originals

    Gráfica del coseno

    El coseno es el cociente de la longitud del lado adyacente del triángulo rectángulo sobre la longitud de la hipotenusa.

    La gráfica de la función coseno y=cos θes exactamente igual que la del seno, salvo que está desplazada hacia la izquierda π/2 radianes, como se muestra a continuación.

    Gráfica de funciones trigonométricas Gráfica del coseno StudySmarterGráfica del coseno, Marilú García De Taylor - StudySmarter Originals

    Observando esta gráfica, podemos determinar las características clave de la función coseno:

    • La gráfica se repite cada 2π radianes o 360°.

    • El valor mínimo del coseno es -1.

    • El valor máximo del coseno es 1.

    • Esto significa que la amplitud de la gráfica es 1 y su período es 2π (o 360°).

    • La gráfica cruza el eje x en π/2 y cada π radianes antes y después.

    • La función coseno alcanza su valor máximo en 0 y cada 2π antes y después.

    • La función coseno alcanza su valor mínimo en π y cada 2π antes y después.

    Representar gráficamente la función trigonométrica y=2 cos 12θ

    • Identifica los valores de a y b:
    a=2, b=12
    • Calcula la amplitud y el periodo:
    Amplitude=a=2=2Period=2πb=2π12=2π12=4π
    • Tabla de pares ordenados:

    θ

    y=2 cos 12θ
    02
    π0
    2π-2
    3π0
    4π2
    • Traza los puntos y únelos con una curva suave y continua:

    Graficación de funciones trigonométricas Ejemplo de gráfica de coseno StudySmarterEjemplo de gráfica del coseno, Marilú García De Taylor - StudySmarter Originals

    Gráfico de tangente

    La tangente es el cociente de la longitud del lado opuesto del triángulo rectángulo sobre la longitud del lado adyacente.

    La gráfica de la función tangente y=tan θtiene un aspecto algo distinto al de las funciones coseno y seno. No es una onda, sino una función discontinua, con asíntotas:

    Gráfica de las funciones trigonométricas Gráfica de la tangente StudySmarterGráfica de la tangente, Marilú García De Taylor - StudySmarter Originals

    Observando esta gráfica, podemos determinar las características clave de la función tangente:

    • El gráfico se repite cada π radianes o 180°.

    • No hay valor mínimo.

    • No tiene valor máximo.

    • Esto significa que la función tangente no tiene amplitud y su periodo es π (o 180°).

    • La gráfica cruza el eje x en 0 y cada π radianes antes y después.

    • La gráfica de la tangente tiene asíntotas, que son valores en los que la función no está definida.

    • Estas asíntotas están en π/2 y cada π antes y después.

    La tangente de un ángulo también se puede hallar con esta fórmula:

    tan θ=sin θcos θ

    Representar gráficamente la función trigonométrica y=34 tan θ

    • Identifica los valores de a y b:
    a=34, b=1

    • Calcula la amplitud y el periodo:
    Las funciones tangentes no tienen amplitud. Period=πb=π1=π1=π
    • Tabla de pares ordenados:
      θy=34 tan θ
      -π2indefinido(asíntota)
      -π4-34
      00
      π434
      π2indefinido(asíntota)
    • Traza los puntos y conéctalos:

    Graficación de funciones trigonométricas Ejemplo de gráfica tangente StudySmarterEjemplo de gráfica tangente, Marilú García De Taylor - StudySmarter Originals

    ¿Cuáles son las gráficas de las funciones trigonométricas recíprocas?

    A cada función trigonométrica le corresponde una función recíproca:

    • Lacosecante es la recíproca del seno.
    • Lasecante es la recíproca del coseno.
    • Lacotangente es la recíproca de la tangente.

    Para representar gráficamente las funciones trigonométricas recíprocas puedes proceder como sigue:

    Gráfica de la cosecante

    La gráfica de la función cosecante y=csc θ se puede obtener así:

    • Grafica primero la función seno correspondiente, para utilizarla como guía.
    • Dibuja asíntotas verticales en todos los puntos donde la función seno intercepte el eje x.
    • La gráfica de la cosecante tocará a la función seno en su valor máximo y mínimo. A partir de esos puntos, dibuja la reflexión de la función seno, que se aproxima pero nunca toca las asíntotas verticales y se extiende hasta el infinito positivo y negativo.

    Gráfica de las funciones trigonométricas Gráfica de la cosecante StudySmarterGráfica de la cosecante, Marilú García De Taylor - StudySmarter Originals

    La gráfica de la función cosecante tiene el mismo periodo que la gráfica del seno, que es 2π o 360°, y no tiene amplitud.

    Gráfica de la función trigonométrica recíproca y=2 csc θ

    • a=2, b=1
    • No tiene amplitud
    • Period=2πb=2π1=2π1=2π

    Graficación de funciones trigonométricas Ejemplo de gráfica cosecante StudySmarterEjemplo de gráfica cosecante, Marilú García De Taylor - StudySmarter Originals

    Gráfica de la secante

    Para representar gráficamente la función secante y=sec θ puedes seguir los mismos pasos que antes, pero utilizando como guía la función coseno correspondiente. La gráfica de la secante tiene este aspecto:

    Gráfica de funciones trigonométricas Gráfica secante StudySmarterGráfico secante, Marilú García De Taylor - StudySmarter Originals

    La gráfica de la función secante tiene el mismo periodo que la gráfica del coseno, que es 2π o 360°, y tampoco tiene amplitud.

    Grafica la función trigonométrica recíproca y=12 sec 2θ

    • a=12, b=2
    • Sin amplitud
    • Period=2πb=2π2=2π2=π

    Graficar funciones trigonométricas Ejemplo de gráfica secante StudySmarterEjemplo de gráfica secante, Marilú García De Taylor - StudySmarter Originals

    Gráfica de la cotangente

    La gráfica de la cotangente es muy parecida a la gráfica de la tangente, pero en lugar de ser una función creciente, la cotangente es una función decreciente. La gráfica de la cotangente tendrá asíntotas en todos los puntos donde la función tangente intercepte el eje x.

    Gráfica de las funciones trigonométricas Gráfica de la cotangente StudySmarterGráfica de la cotangente, Marilú García De Taylor - StudySmarter Originals

    El período de la gráfica de la cotangente es el mismo que el período de la gráfica de la tangente, π radianes o 180°, y tampoco tiene amplitud.

    Grafica la función trigonométrica recíproca y=3 cot θ

    • a=3, b=1
    • Sin amplitud
    • Period=πb=π1=π1=π

    Graficación de funciones trigonométricas Ejemplo de gráfica de cotangente StudySmarterEjemplo de gráfica de cotangente, Marilú García De Taylor - StudySmarter Originals

    ¿Cuáles son las gráficas de las funciones trigonométricas inversas?

    Las funciones trigonométricas inversas se refieren a las funciones arcoseno, arcocoseno y arctangente, que también pueden escribirse como Sin-1, Cos-1 y Tan-1. Estas funciones hacen lo contrario que las funciones seno, coseno y tangente, lo que significa que devuelven un ángulo cuando les introducimos un valor sen, cos o tan.

    Recuerda que la inversa de una función se obtiene intercambiando x e y, es decir, x se convierte en y e y se convierte en x.

    La inversa de y=sin x es x=sin yy puedes ver su gráfica a continuación:

    Gráfica de las funciones trigonométricas Inversa de la gráfica del seno StudySmarterGráfica de la inversa del seno, Marilú García De Taylor - StudySmarter Originals

    Sin embargo, para que las inversas de las funciones trigonométricas se conviertan en funciones, necesitamos restringir su dominio. De lo contrario, las inversas no son funciones porque no superan la prueba de la recta vertical. Los valores de los dominios restringidos de las funciones trigonométricas se conocen como valores principales, y para identificar que estas funciones tienen un dominio restringido, utilizamos mayúsculas:

    Función trigonométricaNotación de dominio restringidoValores principales
    Senoy=Sin x-π2xπ2
    Cosenoy=Cos x0xπ
    Tangentey=Tan x-π2<x<π2

    Gráfico arcoseno

    El arcoseno es la función inversa del seno. La inversa de y=Sin x se define como x=Sin-1 y o x=Arcsin y. El dominio de la función arcoseno serán todos los números reales de -1 a 1, y su rango es el conjunto de medidas de ángulos de -π2yπ2. La gráfica de la función arcoseno tiene este aspecto:

    Gráfica de funciones trigonométricas Gráfica del arcoseno StudySmarterGráfica del arcoseno, Marilú García De Taylor - StudySmarter Originals

    Gráfico del arcocoseno

    El arcocoseno es la inversa de la función coseno. La inversa de y=Cos x se define como x=Cos-1 y o x=Arccos y. El dominio de la función arcocoseno será también todos los números reales de -1 a 1, y su rango es el conjunto de medidas de ángulo de 0yπ. La gráfica de la función arcocoseno se muestra a continuación:

    Gráfica de las funciones trigonométricas Gráfica del arcocoseno StudySmarterGráfico del arcocoseno, Marilú García De Taylor - StudySmarter Originals

    Gráfico de la arctangente

    Laarctangente es la inversa de la función tangente. La inversa de y=Tan x se define comox=Tan-1 y o x=Arctan y. El dominio de la función arctangente serán todos los números reales, y su rango es el conjunto de medidas de ángulo entre -π2<y<π2. La gráfica de la arctangente tiene este aspecto:

    Gráfica de las funciones trigonométricas Gráfica de la arctangente StudySmarterGráfico de la arctangente, Marilú García De Taylor - StudySmarter Originals

    Si graficamos todas las funciones inversas juntas, quedan así:

    Gráficas de funciones trigonométricas Gráficas de arcosenos, arcocosenos y arctangentes StudySmarterGráficas del arcoseno, arcocoseno y arctangente juntas, Marilú García De Taylor - StudySmarter Originals

    Consulta el artículo Funciones trigonométricas inversas para saber más sobre este tema.

    Gráficas de funciones trigonométricas - Puntos clave

    • Las gráficas de las funciones trigonométricas son representaciones gráficas de funciones o razones definidas a partir de los lados y los ángulos de un triángulo rectángulo.
    • Las características clave de las funciones trigonométricas son: amplitud, periodo, dominio y rango.
    • La amplitud de las funciones trigonométricas se refiere al factor de estiramiento vertical, que puedes calcular como el valor absoluto de la mitad de la diferencia entre su valor máximo y su valor mínimo.
    • El periodo de las funciones trigonométricas es la distancia a lo largo del eje x desde donde empieza el patrón, hasta el punto donde vuelve a empezar.
    • Cada función trigonométrica tiene su correspondiente función recíproca. La cosecante es la recíproca del seno, la secante es la recíproca del coseno y la cotangente es la recíproca de la tangente.
    • Las funciones trigonométricas inversas arcoseno, arcocoseno y arctangente hacen lo contrario que las funciones seno, coseno y tangente, lo que significa que devuelven un ángulo cuando les introducimos un valor sen, cos o tan.
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    Preguntas frecuentes sobre Graficar Funciones Trigonométricas
    ¿Qué son las funciones trigonométricas?
    Las funciones trigonométricas son funciones que relacionan los ángulos de un triángulo con las longitudes de sus lados, como el seno, coseno y tangente.
    ¿Cómo se grafica una función seno?
    Para graficar una función seno, se trazan los valores del seno de ángulos en un plano cartesiano, comenzando en el origen y repitiendo cada 360 grados.
    ¿Qué características tienen las gráficas de funciones trigonométricas?
    Las gráficas de funciones trigonométricas son periódicas, tienen amplitud, periodo y fase. Oscilan entre un máximo y un mínimo.
    ¿Cuál es la diferencia entre las funciones seno y coseno en su gráfica?
    La diferencia entre seno y coseno en su gráfica es una fase de 90 grados; la gráfica del coseno es igual a la del seno desplazada a la izquierda.

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