Convexidad y Concavidad

Este artículo explorará la convexidad y la concavidad, tanto en funciones como en polígonos. Cuando hablamos de convexidad y concavidad, nos referimos a la forma de la curva o función. Ahora bien, convexidad y conc avidad parecen términos complicados. Sin embargo, aprenderemos que no son nada tan temibles: son simplemente una forma de describir el aspecto de una curva o función. Así que, sin más introducción, definamos qué son exactamente las funciones cóncavas y convexas.

Pruéablo tú mismo Regístrate gratis
Convexidad y Concavidad Convexidad y Concavidad

Crea materiales de aprendizaje sobre Convexidad y Concavidad con nuestra app gratuita de aprendizaje!

  • Acceso instantáneo a millones de materiales de aprendizaje
  • Tarjetas de estudio, notas, exámenes de simulacro y más
  • Todo lo que necesitas para sobresalir en tus exámenes
Regístrate gratis

Millones de tarjetas didácticas para ayudarte a sobresalir en tus estudios.

Regístrate gratis

Convierte documentos en tarjetas de estudio gratis con IA.

Tarjetas de estudio
Índice de temas

    ¿Qué es una función cóncava?

    En primer lugar, hablaremos de las funciones cóncavas.

    Una función cóncava es una función en la que un segmento recto entre dos puntos cualesquiera de la gráfica no se encuentra por encima de la curva de la gráfica. En otras palabras, la recta está siempre por debajo o sobre la curva.

    A continuación se muestra un ejemplo de función cóncava. Puedes ver que si elegimos dos puntos cualesquiera de la curva y trazamos un segmento de recta entre ellos, el segmento de recta siempre estará por debajo de la curva.

    Convexidad y concavidad, Ejemplo de función cóncava, StudySmarterEjemplo de función cóncava - StudySmarter Originals

    Aunque este ejemplo sólo utiliza dos puntos, para que una función sea cóncava la regla debe cumplirse para todas las combinaciones de puntos de esa función, en el intervalo dado.

    Cómo hallar la concavidad en una ecuación

    Para representar algebraicamente que una función es cóncava, se utiliza la siguiente ecuación:

    λx+(1-λ)yλf(x)+(1-λ)f(y)

    En otras palabras, supongamosxyyson dos puntos cualesquiera del eje x sobre los que se representa gráficamente la función.

    Antes de explicarlo con palabras, es importante entender queλx+(1-λ)yselecciona cualquier punto entre los puntosxyy. Del mismo modo λf(x)+(1-λ)f(y) selecciona cualquier punto entref(x)yf(y).

    La primera parte de la desigualdad halla el valor de la función de cualquier punto entrexyy. La segunda parte selecciona cualquier punto entre las funciones de x y y. Por tanto, lo que representa esta ecuación es que la función de cualquier punto entrexyyes mayor o igual que cualquier punto entre los puntosxyy.

    Observando la gráfica anterior, está claro que esto es cierto para esa gráfica, ya que las funciones de los puntos entre las coordenadas de intersección están por encima de las funciones entre ambas funciones, representadas por la ecuación lineal azul.

    Recuerda que λ son todos y cada uno de los números comprendidos entre uno y cero, de modo que se verifican todos los puntos y funciones entre los parámetros originales.

    ¿Qué es una función convexa?

    Una función convexa es una función en la que un segmento recto entre dos puntos cualesquiera de la gráfica no se encuentra por debajo de la curva de la gráfica, es decir, la recta está siempre por encima o en el mismo lugar que la curva de la función. Es lo contrario de una función cóncava.

    A continuación puedes ver un ejemplo:

    Convexidad y concavidad, Ejemplo de función convexa, StudySmarterEjemplo de función convexa - StudySmarter Originals

    Está claro que este tipo de función se opone a una función cóncava. Una recta entre dos puntos (que representan todas las funciones entre ambas funciones) está siempre por encima o al mismo nivel que la propia función.

    Cómo hallar la convexidad en una ecuación

    Como ambos tipos de funciones tienen parámetros similares, sus ecuaciones se parecen. Sólo tienen una diferencia esencial:

    λx+(1-λ)yλf(x)+(1-λ)f(y)

    Observa que el signo de desigualdad está invertido. Como todos los demás componentes son idénticos, esta función representa que cualquier punto entre las coordenadas seleccionadas es mayor o igual que cualquier punto de la función entre ambas coordenadas.

    ¿Puede una función ser a la vez cóncava y convexa?

    Sí, es posible. Esto se debe a que ambas funciones tienen un signo igual en la desigualdad. El ejemplo más común de esto es cualquier línea recta, ya que la función para un punto entre dos puntos cualesquiera coincidirá con la función equivalente entre ambas funciones.

    ¿Qué son los polígonos cóncavos?

    Un polígono cóncavo es cualquier forma geométrica en la que al menos un ángulo interno supera los 180 grados (o πradianes). Es decir, hay una línea que se dobla más en su interior que una línea recta.

    A continuación puedes ver un ejemplo de este tipo de forma:

    Convexidad y concavidad, ejemplo de polígono cóncavo, StudySmarterEjemplo de polígono cóncavo- StudySmarter Originals

    En la forma anterior, el ángulo EDC supera los 180 grados. Por tanto, se trata de una función cóncava.

    Hay una prueba visual que se puede hacer para comprobar si se trata de un polígono cóncavo: si una línea recta entre dos puntos cualesquiera dentro de un polígono sale fuera de la forma, esa forma es un polígono cóncavo. Por ejemplo, a continuación podemos ver que si trazamos el segmento de recta ECla línea se sale de la forma. Por tanto, el polígono es cóncavo.

    Convexidad y concavidad, Prueba visual del polígono cóncavo, StudySmarterPrueba visual del polígono cóncavo- StudySmarter Originals

    ¿Qué son los polígonos convexos?

    Un polígono convexo es todo polígono en el que ningún ángulo interno supera los 180 grados (π radianes), es decir, no hay ningún ángulo interno que se doble más que una línea recta. Recuerda que un polígono es una forma formada totalmente por segmentos de recta.

    Un ejemplo sería la siguiente forma:

    Convexidad y concavidad, ejemplo de polígono convexo, StudySmarterEjemplo de polígono convexo - StudySmarter Originals

    La prueba visual de los polígonos cóncavos puede invertirse para comprobar si se trata de un polígono convexo. Como este polígono no tiene dos puntos que creen un segmento que lo atraviese por fuera, esta forma geométrica es un polígono convexo.

    Diferencias entre concavidad y convexidad

    La principal diferencia entre concavidad y convexidad es el hecho de que los ángulos subtendidos en las formas convexas se curvan hacia fuera, mientras que los ángulos subtendidos en las formas cóncavas se curvan hacia dentro. Todo ello se basa en la existencia o no de un ángulo que supere los 180 grados.

    A continuación tienes otros ejemplos de polígonos cóncavos y convexos. A ver si puedes determinar si son cóncavos o convexos.

    Para los siguientes polígonos, determina si son cóncavos o convexos.

    Solución:

    Convexidad y Concavidad, Determinar concavidad o convexidad ejemplo 1, StudySmarterDeterminar la concavidad o convexidad ejemplo 1- StudySmarter Originals

    En la figura anterior, podemos ver que hay ángulos interiores que superan los 180 grados. Por ejemplo, el ángulo KJI supera los 180 grados. Por tanto, es cóncavo.

    Convexidad y Concavidad, Determinar concavidad o convexidad ejemplo 2, StudySmarterDeterminar la concavidad o convexidad ejemplo 2- StudySmarter Originals

    En este polígono vemos que también hay ángulos interiores que superan los 180 grados. Por ejemplo, el ángulo EDC supera los 180 grados. Por tanto, es cóncavo.

    Convexidad y Concavidad, Determinar concavidad o convexidad ejemplo 3, StudySmarterDeterminar la concavidad o convexidad ejemplo 3- StudySmarter Originals

    En el polígono anterior, podemos ver que no hay ángulos interiores que superen los 180 grados. Por tanto, es convexo.

    A continuación tienes otros ejemplos de funciones cóncavas y convexas. A ver si puedes determinar si son cóncavas o convexas.

    Para las siguientes funciones, determina si son cóncavas, convexas o ambas.

    Solución:

    Convexidad y Concavidad, Determinar la concavidad o convexidad de funciones ejemplo 1, StudySmarterDeterminar la concavidad o convexidad de funciones ejemplo 1- StudySmarter Originals

    En el ejemplo anterior, tenemos una función cúbica. Si trazáramos el segmento de recta desde el punto (0,3) al punto (1,6)se situaría por encima de la curva. Por tanto, esta función es convexa.

    Convexidad y Concavidad, Determinar la concavidad o convexidad de funciones ejemplo 2, StudySmarter

    Determinar la concavidad o convexidad de funciones ejemplo 2- StudySmarter Originals

    Ahora, arriba tenemos una función cuártica. Podemos ver que cualquier segmento de recta que se dibuje quedará por debajo de la curva. Por tanto, la función es cóncava.

    Convexidad y Concavidad, Determinar la concavidad o convexidad de funciones ejemplo 3, StudySmarterDeterminar la concavidad o convexidad de funciones ejemplo 3- StudySmarter Originals

    Por último, tenemos una recta. Cualquier segmento de recta se situará sobre ella, por lo que es cóncava y convexa.

    Convexidad y concavidad - Puntos clave

    • Ningún segmento creado por dos puntos cualesquiera de una función cóncava estará por encima de la propia función.
    • Ningún segmento creado por dos puntos cualesquiera de una Función Convexa estará por debajo de la propia función.
    • Una función puede ser a la vez Cóncava y Convexa (por ejemplo, una recta).
    • Un polígono Cóncavo tiene un ángulo interno mayor de 180 grados.
    • Un polígono Convexo no tiene ningún ángulo interno mayor de 180 grados.
    Preguntas frecuentes sobre Convexidad y Concavidad
    ¿Qué es la convexidad en matemáticas?
    La convexidad en matemáticas se refiere a una curva que siempre está por encima de cualquier línea recta que une dos puntos arbitrarios de la curva.
    ¿Qué es la concavidad en matemáticas?
    La concavidad se refiere a una curva que siempre está por debajo de cualquier línea recta que une dos puntos arbitrarios de la curva.
    ¿Cómo identificar si una función es convexa o cóncava?
    Identificar la convexidad o concavidad de una función implica analizar la segunda derivada; si es positiva, la función es convexa, si es negativa, es cóncava.
    ¿Cuál es la diferencia entre convexidad y concavidad?
    La diferencia radica en la curvatura: en la convexidad, la curva está por encima de la línea secante, y en la concavidad, está por debajo.

    Pon a prueba tus conocimientos con tarjetas de opción múltiple

    ¿Cuál de las siguientes sería una función convexa?

    ¿Cuál de las siguientes es una función cóncava?

    ¿Qué ecuación es a la vez cóncava y convexa?

    Siguiente

    Descubre materiales de aprendizaje con la aplicación gratuita StudySmarter

    Regístrate gratis
    1
    Acerca de StudySmarter

    StudySmarter es una compañía de tecnología educativa reconocida a nivel mundial, que ofrece una plataforma de aprendizaje integral diseñada para estudiantes de todas las edades y niveles educativos. Nuestra plataforma proporciona apoyo en el aprendizaje para una amplia gama de asignaturas, incluidas las STEM, Ciencias Sociales e Idiomas, y también ayuda a los estudiantes a dominar con éxito diversos exámenes y pruebas en todo el mundo, como GCSE, A Level, SAT, ACT, Abitur y más. Ofrecemos una extensa biblioteca de materiales de aprendizaje, incluidas tarjetas didácticas interactivas, soluciones completas de libros de texto y explicaciones detalladas. La tecnología avanzada y las herramientas que proporcionamos ayudan a los estudiantes a crear sus propios materiales de aprendizaje. El contenido de StudySmarter no solo es verificado por expertos, sino que también se actualiza regularmente para garantizar su precisión y relevancia.

    Aprende más
    Equipo editorial StudySmarter

    Equipo de profesores de Matemáticas

    • Tiempo de lectura de 8 minutos
    • Revisado por el equipo editorial de StudySmarter
    Guardar explicación Guardar explicación

    Guardar explicación

    Sign-up for free

    Regístrate para poder subrayar y tomar apuntes. Es 100% gratis.

    Únete a más de 22 millones de estudiantes que aprenden con nuestra app StudySmarter.

    La primera app de aprendizaje que realmente tiene todo lo que necesitas para superar tus exámenes en un solo lugar.

    • Tarjetas y cuestionarios
    • Asistente de Estudio con IA
    • Planificador de estudio
    • Exámenes simulados
    • Toma de notas inteligente
    Únete a más de 22 millones de estudiantes que aprenden con nuestra app StudySmarter.

    Consigue acceso ilimitado con una cuenta gratuita de StudySmarter.

    • Acceso instantáneo a millones de materiales de aprendizaje.
    • Tarjetas de estudio, notas, exámenes de simulacro, herramientas de AI y más.
    • Todo lo que necesitas para sobresalir en tus exámenes.
    Second Popup Banner