Funciones de Módulo: Ejemplos, Usos

Q: ¿Qué es una función de módulo?

Una función de módulo, también conocida como valor absoluto, es una función que devuelve el valor absoluto de un número, es decir, su distancia al cero sin considerar el signo.

Q: ¿Cómo se representa la función de módulo?

La función de módulo se representa como |x|, donde x es el número del cual queremos obtener el valor absoluto.

Q: ¿Para qué se utiliza la función de módulo?

La función de módulo se utiliza para calcular distancias, medir magnitudes sin tener en cuenta la dirección y resolver problemas con números negativos.

Q: ¿Cuál es el resultado de la función de módulo?

El resultado de la función de módulo es siempre un número no negativo, es decir, un valor igual o mayor a cero.

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Pero, ¿cuál es el razonamiento que hay detrás de esto? Esto ocurre porque representa la distancia del cero a un Número x en la Recta Numérica.

La distancia de cero a 2 es 2, y la distancia de cero a -2 también es 2, por tanto $f (2) = | 2 | = 2$ y $f (- 2) = | - 2 | = 2$

Funciones módulo Función módulo recta numérica StudySmarter Función módulo en la recta numérica, Marilú García De Taylor - StudySmarter Originals

Por eso $| x |$ representa el valor de un número x sin tener en cuenta su signo.

Si tienes una expresión dentro de la función módulo, calcula el valor que hay dentro y luego encuentra la versión positiva del resultado.

Si tienes la función $f (x) = | x - 3 | + 1$ encuentra $f (- 2)$

$f (- 2) = | - 2 - 3 | + 1$

$f (- 2) = | - 5 | + 1 = 5 + 1 = 6$

Ecuación de las funciones módulo

La ecuación de una función módulo se denota de la siguiente manera:

f (x) = | x | = \{\begin{cases} x i f x \geq 0 \\ - x i f x < 0 \end{cases}

El dominio de una función módulo es el conjunto de todos los Números Reales, y el rango es el conjunto de todos los Números Reales mayores o iguales que cero. A partir de la ecuación, podemos decir que si el número dentro de la función módulo ya es positivo, lo dejas así, pero si el número es negativo, entonces el resultado será la versión positiva de ese número (como si multiplicaras el número negativo por -1).

Propiedades de las funciones módulo

Las propiedades de las funciones módulo son:

El módulo o valor absoluto de un número siempre dará un resultado positivo.

$| 4 | = 4, | - 5 | = 5$

El módulo de un número x dará el mismo resultado que el módulo de -x.

$| x | = | - x | = x$

$| 4 | = | - 4 | = 4$

El módulo del producto de dos valores a y b puede dividirse en el producto de dos valores de módulo distintos.

$| a x b | = | a | x | b |$

$| 2 (- 3) | = | 2 | \times | - 3 | | - 6 | = 2 x 3 6 = 6$

El módulo de la división de dos valores a y b puede dividirse en la división de dos valores de módulo distintos.

$| \frac{a}{b} | = \frac{| a |}{| b |}$

$| \frac{- 9}{3} | = \frac{| - 9 |}{| 3 |} | - 3 | = \frac{9}{3} 3 = 3$

El módulo de la suma o resta de dos valores, a y b, no puede dividirse en la suma o resta de dos valores de módulo distintos.

$| a \pm b | \neq | a | \pm | b |$

Suma:

| 1 + (- 2) | \neq | 1 | + | - 2 | | - 1 | \neq 1 + 2 1 \neq 3

Resta:

| 1 - (- 2) | \neq | 1 | - | - 2 | | 3 | \neq 1 - 2 3 \neq - 1

Al resolver ecuaciones, las funciones de módulo implican un paso extra:

Teniendo en cuenta que el valor de x dentro de una función módulo puede ser positivo o negativo, tienes que resolver la ecuación considerando ambos casos, por lo que obtendrás dos soluciones.

Para la ecuación $| 3 x - 2 | = 4$ podemos obtener 2 posibles soluciones, como se indica a continuación:

1) Solución 1:

3 x - 2 = 4 3 x = 4 + 2 3 x = 6 x = \frac{6}{3} x = 2

2) Solución 2:

- (3 x - 2) = 4 - 3 x + 2 = 4 - 3 x = 4 - 2 - 3 x = 2 x = \frac{- 2}{3}

¿Cómo se grafican las funciones módulo?

Para dibujar la gráfica de una función módulo tienes que sustituir los valores de x en $f (x) = | x |$ para obtener los valores correspondientes de y, como $y = f (x)$ . Obtendrás una tabla de valores de x e y que deberás representar en el plano de coordenadas. Sustituiremos los valores de x de -2 a 2.

x	y
-2	2
-1	1
0	0
1	1
2	2

Funciones módulo Gráfico de la función módulo StudySmarter

Gráfico de la función módulo, Marilú García De Taylor - StudySmarter Originals

Para dibujar la gráfica de la función módulo $y = | a x + b |$ tienes que dibujar $y = a x + b$ y reflejar en el eje x la parte de la recta que va por debajo del eje x.

Dibuja la gráfica de $y = | x - 1 |$ mostrando los puntos donde se cruzan con los ejes de coordenadas.

Ignorando el módulo, tienes que dibujar la gráfica de $y = x - 1$

Cuando $y = 0$ , $x = 1$

La recta cruza el eje x en (1, 0)

Cuando $x = 0$ , $y = - 1$

La recta cruza el eje y en (0, -1)

Dibuja la gráfica para $y = x - 1$ :

Funciones módulo Ejemplo de gráfica de función módulo StudySmarter Ejemplo de gráfica de función módulo, Marilú García De Taylor - StudySmarter Originals

Para los valores negativos de y, refleja en el eje x. En este caso, (0, -1) se convierte en (0, 1)

Funciones módulo Ejemplo de gráfica de función módulo StudySmarter Ejemplo de gráfica de función módulo, Marilú García De Taylor - StudySmarter Originals

Resolución de ecuaciones con funciones módulo

Cuando tengas una ecuación como $| 3 x - 1 | = 5$ puedes utilizar su gráfica para encontrar su solución siguiendo estos pasos:

Dibuja las gráficas de ambos lados de la ecuación por separado. En este caso $y = | 3 x - 1 |$ y $y = 5$

Funciones módulo Función módulo resolución de ecuaciones StudySmarter Resolución de ecuaciones con funciones módulo, Marilú García De Taylor - StudySmarter Originals

Identifica los puntos de intersección de las dos Gráficas. En este caso, A corresponde al punto de intersección entre y = 5 y la sección original de la gráfica de $| 3 x - 1 | = 3 x - 1$ y B representa la intersección entre $y = 5$ y la sección reflejada de la gráfica de $| 3 x - 1 | = - (3 x - 1)$ .
Encuentra ambas soluciones:

A: $3 x - 1 = 5$

$3 x = 5 + 1$

$3 x = 6$

$x = \frac{6}{3}$

$x = 2$

B: $- (3 x - 1) = 5$

$- 3 x + 1 = 5$

$- 3 x = 5 - 1$

$- 3 x = 4$

$x = \frac{- 4}{3}$

Resolución de inecuaciones con funciones módulo

Basándonos en el ejemplo anterior, ahora vamos a resolver la desigualdad $| 3 x - 1 | > 5$ . Tienes que proceder del mismo modo que antes para hallar los valores de x en los puntos de intersección A y B, que son $x = 2$ y $x = \frac{- 4}{3}$ .

Cuando tengas los puntos de intersección, puedes mirar la gráfica para identificar los valores de x que satisfacen la desigualdad $| 3 x - 1 | > 5$ .

Funciones módulo Función módulo resolución de inecuaciones StudySmarter Resolución de inecuaciones con funciones módulo, Marilú García De Taylor - StudySmarter Originals

La desigualdad es cierta cuando la gráfica de $y = | 3 x - 1 |$ está por encima de la gráfica de $y = 5$ esto ocurre cuando $x < \frac{- 4}{3}$ o $x > 2$ . En notación de conjuntos: ${x : x < \frac{- 4}{3}} \cup {x : x > 2}$

Inversa de una función módulo

La inversa de una función módulo no es una función, a menos que restrinjas su dominio para que pueda ser una función uno a uno. Para conseguirlo, tenemos que restringir su dominio a sólo una mitad de la gráfica. Puedes elegir cualquiera de las dos mitades si no se especifica en la pregunta.

Halla la inversa de la función $f (x) = | x + 1 |$

Funciones módulo Función módulo inversa StudySmarter Inversa de funciones módulo, Marilú García De Taylor - StudySmarter Originals

Restringiremos el dominio de la función sólo a la sección reflejada de la gráfica (a la izquierda de x = -1), que puede denotarse como $f (x) = - (x + 1)$ para $x \leq - 1$ . Ahora podemos hallar la inversa, porque esta sección de la gráfica es una función uno a uno.

Sigue los pasos para hallar la inversa de una función:

Sustituye f (x) por y

$f (x) = - (x + 1)$

$y = - (x + 1)$

Intercambia x e y, y resuelve para y

x = - (y + 1)

$x = - y - 1$

$y = - x - 1$

$f^{- 1} (x) = - x - 1$ Esta es la función inversa de $f (x) = | x + 1 |$

El dominio de la función inversa es el rango de la función original, que es $y \geq 0$ . Por tanto, el dominio de la función inversa $f^{- 1} (x) = - x - 1$ es $x \geq 0$ .

¿Cómo se diferencia una función módulo?

Para hallar la derivada de la función módulo, tenemos que volver a mirar la ecuación de una función módulo:

f (x) = | x | = \{\begin{cases} x i f x \geq 0 \\ - x i f x < 0 \end{cases}

Sabemos que $\frac{d}{d x} x = 1$ por lo que podemos decir lo siguiente

\frac{d}{d x} (| x |) = \{\begin{cases} 1 & i f x > 0 \\ - 1 & i f x < 0 \\ N o t d e f i n e d & i f x = 0 \end{cases}

En general $\frac{d}{d x} (| x |) = \frac{x}{| x |}$ para todos los valores de x distintos de $x = 0$

Si sustituimos algunos valores de x en la ecuación anterior, veremos que las afirmaciones de la función a trozos anterior son ciertas:

$\frac{d}{d x} (| - 1 |) = \frac{- 1}{| - 1 |} = \frac{- 1}{1} = - 1$

$\frac{d}{d x} (| 0 |) = \frac{0}{| 0 |} = \frac{0}{0} = u n d e f i n e d$

$\frac{d}{d x} (| 1 |) = \frac{1}{| 1 |} = \frac{1}{1} = 1$

¿Cómo se integra una función módulo?

Para hallar la integral de una función módulo, podemos proceder como sigue:

Sabemos que la función módulo se define así,

f (x) = | x | = \{\begin{cases} x i f x \geq 0 \\ - x i f x < 0 \end{cases}

Por tanto, tenemos que calcular las integrales de x y -x.

Recuerda que x tiene un exponente de 1 ( $x = x^{1}$ )

\int | x | d x = \{\begin{cases} \int x^{1} d x & i f x \geq 0 \\ \int - x^{1} d x & i f x < 0 \end{cases}

Utiliza la fórmula de integración: $\int x^{n} d x = \frac{x^{n + 1}}{n + 1} + c$

\int | x | d x = \{\begin{cases} \frac{1}{2} x^{2} + c & i f x \geq 0 \\ - (\frac{1}{2} x^{2}) + c & i f x < 0 \end{cases}

Funciones módulo - Puntos clave

El módulo de un número x será el mismo número, pero positivo.
El módulo de un número x representa la distancia del cero a ese número x en la recta numérica.
Para dibujar la gráfica de la función módulo $y = | a x + b |$ tienes que dibujar $y = a x + b$ y reflejar en el eje x la parte de la recta que va por debajo del eje x.
Dibujar las gráficas de ecuaciones o inecuaciones en las que intervienen funciones módulo puede ayudar a resolverlas, encontrando las coordenadas x de los puntos de intersección de las dos gráficas.
La inversa de una función módulo no es una función, a menos que restrinjas su dominio a sólo la mitad de la gráfica, de modo que pueda ser una función uno a uno.
Al hallar la derivada y la integral de una función módulo, habrá dos soluciones posibles, considerando cuando $f (x) = | x | = x$ (para $x \geq 0$ ) y cuando $f (x) = | x | = - x$ (para $x < 0$ ).

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Preguntas frecuentes sobre Funciones de Módulo

¿Qué es una función de módulo?

Una función de módulo, también conocida como valor absoluto, es una función que devuelve el valor absoluto de un número, es decir, su distancia al cero sin considerar el signo.

¿Cómo se representa la función de módulo?

La función de módulo se representa como |x|, donde x es el número del cual queremos obtener el valor absoluto.

¿Para qué se utiliza la función de módulo?

La función de módulo se utiliza para calcular distancias, medir magnitudes sin tener en cuenta la dirección y resolver problemas con números negativos.

¿Cuál es el resultado de la función de módulo?

El resultado de la función de módulo es siempre un número no negativo, es decir, un valor igual o mayor a cero.

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