Suma y Resta de Expresiones Racionales

Una expresión racional es una fracción algebraica cuyo numerador y denominador son polinomios, por ejemplo:

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    2x2-13x+4

    En este artículo vamos a ver cómo sumar y restar Expresiones Racionales.

    Suma y resta de expresiones racionales

    Recuerda cómo sumar o restar fracciones. Como las expresiones racionales son esencialmente fracciones cuyo numerador y denominador son polinomios, podemos utilizar aquí el mismo concepto básico.

    La regla de oro para sumar y restar fracciones

    La regla de oro para sumar y restar fracciones es

    Si las fracciones a sumar o restar tienen los mismos denominadores, basta con sumar o restar los numeradores correspondientes manteniendo constante el denominador.

    Esto conduce esencialmente a dos tipos de casos de uso:

    1. Expresiones racionales con denominadores comunes
    2. Expresiones racionales con denominadores diferentes

    Suma de expresiones racionales con denominadores comunes

    Para sumar o restar expresiones con denominadores iguales, basta con sumar o restar (según el signo) los numeradores manteniendo constante el denominador común.

    Evalúa

    2x35 + 9x35

    Solución

    Dado que los denominadores son comunes, podemos sumar los numeradores manteniendo constante el denominador.

    2x35 + 9x35=2x3+9x35=11x35

    Evalúa

    x2x-1-2x-1x-1

    Solución

    x2x-1-2x-1x-1=x2-(2x-1)x-1=x2-2x+1x-1

    Como x2-2x+1 es divisible por (x-1), podemos simplificar aún más la expresión.

    x2-2x+1x-1=(x-1)2x-1=x-1

    Ten cuidado de que el signo negativo se distribuya por todo el polinomio. Así que -(2x-1) = -2x+1. Hay que negar todos los términos del polinomio.

    Suma de expresiones racionales con distintos denominadores

    Si tenemos que realizar sumas o restas en expresiones con denominadores distintos, primero manipulamos las expresiones para que acaben teniendo los mismos denominadores.

    Puedes seguir el siguiente procedimiento para sumar y restar fracciones con denominadores distintos:

    Paso1: Sustituye el denominador de cada término por el mínimo común múltiplo (MCC ) de todos los denominadores.

    Paso 2: Sustituye el numerador de cada término por(original numerator) × LCM of denominatorsOriginal denominator.

    Paso 3: Ahora que todos los denominadores son iguales, suma o resta los numeradores para obtener el numerador resultante sobre el denominador común.

    Paso4 : Simplifica la expresión si es necesario.

    Como la suma y la resta de polinomios con denominadores distintos implica calcular el MCP de los denominadores, que son polinomios, es necesario estar familiarizado con el cálculo del MCP de polinomios dados.

    Hallar el mínimo común múltiplo de dos polinomios

    El proceso de hallar el MCP de polinomios algebraicos no difiere del de hallar el MCP de un conjunto dado de números enteros. Antes de pasar a los ejemplos de suma y resta de polinomios con distintos denominadores, veamos primero un ejemplo de evaluación del MCP de 2 polinomios.

    Halla el mcm de 15mn y 21np².

    Solución:

    Descompongamos los términos en sus factores primos y sus factores variables más pequeños.

    15mn = 3×5×m×n

    21np² = 3×7×n×p×p

    Multiplica cada factor el mayor número de veces que aparezca en cualquiera de las factorizaciones.

    LCM = 3×5×7×m×n×p×p

    =105mnp²

    Veamos ahora algunos ejemplos de suma y resta de expresiones racionales con denominadores distintos.

    Evalúa

    m+n2+2n+15

    Solución

    m+n2+2n+15= 2(m+n)+5(2n+1)10 (LCM of the denominators is 10)=2m+2n+10n+510=2m+12n+510

    Evalúa

    25a+112a-35a2

    Solución

    25a+112a-35a2=2a×25+a×11-352a2(LCM of denominators is 2a2)=50a+11a-352a2=61a-352a2

    Evalúa

    84x2-y2-32x+y

    Solución

    En este ejemplo, tenemos los siguientes polinomios en el denominador :

    4x²-y² y 2x+y.

    Ahora bien

    4x²-y²=(2x+y)(2x-y)

    Por tanto, el mcm de los denominadores es (2x+y)(2x-y) [o 4x²-y²].

    84x2-y2-32x+y=8 - (2x-y)3(2x+y)(2x-y)=8-6x+3y(2x+y)(2x-y)

    Suma y resta de expresiones racionales - Puntos clave

    • Una expresión racional es una fracción algebraica cuyo numerador y denominador son polinomios.
    • Para sumar o restar expresiones con denominadores semejantes, basta con sumar o restar (según el signo) los numeradores, manteniendo constante el denominador común.
    • Si tenemos que realizar sumas o restas en expresiones con denominadores distintos, primero manipulamos las expresiones para que acaben teniendo los mismos denominadores.
    Preguntas frecuentes sobre Suma y Resta de Expresiones Racionales
    ¿Qué son las expresiones racionales?
    Las expresiones racionales son fracciones algebraicas donde tanto el numerador como el denominador son polinomios.
    ¿Cómo se suman expresiones racionales?
    Para sumar expresiones racionales, primero encuentra un denominador común, luego ajusta los numeradores y suma.
    ¿Cómo se restan expresiones racionales?
    Para restar expresiones racionales, encuentra un denominador común, ajusta los numeradores y resta los numeradores.
    ¿Qué se debe hacer si los denominadores son diferentes?
    Si los denominadores son diferentes, encuentra el mínimo común múltiplo (mcm) de los denominadores para sumarlos o restarlos.

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