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En este artículo vamos a ver cómo sumar y restar Expresiones Racionales.
Suma y resta de expresiones racionales
Recuerda cómo sumar o restar fracciones. Como las expresiones racionales son esencialmente fracciones cuyo numerador y denominador son polinomios, podemos utilizar aquí el mismo concepto básico.
La regla de oro para sumar y restar fracciones
La regla de oro para sumar y restar fracciones es
Si las fracciones a sumar o restar tienen los mismos denominadores, basta con sumar o restar los numeradores correspondientes manteniendo constante el denominador.
Esto conduce esencialmente a dos tipos de casos de uso:
- Expresiones racionales con denominadores comunes
- Expresiones racionales con denominadores diferentes
Suma de expresiones racionales con denominadores comunes
Para sumar o restar expresiones con denominadores iguales, basta con sumar o restar (según el signo) los numeradores manteniendo constante el denominador común.
Evalúa
Solución
Dado que los denominadores son comunes, podemos sumar los numeradores manteniendo constante el denominador.
Evalúa
Solución
Como x2-2x+1 es divisible por (x-1), podemos simplificar aún más la expresión.
Ten cuidado de que el signo negativo se distribuya por todo el polinomio. Así que -(2x-1) = -2x+1. Hay que negar todos los términos del polinomio.
Suma de expresiones racionales con distintos denominadores
Si tenemos que realizar sumas o restas en expresiones con denominadores distintos, primero manipulamos las expresiones para que acaben teniendo los mismos denominadores.
Puedes seguir el siguiente procedimiento para sumar y restar fracciones con denominadores distintos:
Paso1: Sustituye el denominador de cada término por el mínimo común múltiplo (MCC ) de todos los denominadores.
Paso 2: Sustituye el numerador de cada término por.
Paso 3: Ahora que todos los denominadores son iguales, suma o resta los numeradores para obtener el numerador resultante sobre el denominador común.
Paso4 : Simplifica la expresión si es necesario.
Como la suma y la resta de polinomios con denominadores distintos implica calcular el MCP de los denominadores, que son polinomios, es necesario estar familiarizado con el cálculo del MCP de polinomios dados.
Hallar el mínimo común múltiplo de dos polinomios
El proceso de hallar el MCP de polinomios algebraicos no difiere del de hallar el MCP de un conjunto dado de números enteros. Antes de pasar a los ejemplos de suma y resta de polinomios con distintos denominadores, veamos primero un ejemplo de evaluación del MCP de 2 polinomios.
Halla el mcm de 15mn y 21np².
Solución:
Descompongamos los términos en sus factores primos y sus factores variables más pequeños.
15mn = 3×5×m×n
21np² = 3×7×n×p×p
Multiplica cada factor el mayor número de veces que aparezca en cualquiera de las factorizaciones.
LCM = 3×5×7×m×n×p×p
=105mnp²
Veamos ahora algunos ejemplos de suma y resta de expresiones racionales con denominadores distintos.
Evalúa
Solución
Evalúa
Solución
Evalúa
Solución
En este ejemplo, tenemos los siguientes polinomios en el denominador :
4x²-y² y 2x+y.
Ahora bien
4x²-y²=(2x+y)(2x-y)
Por tanto, el mcm de los denominadores es (2x+y)(2x-y) [o 4x²-y²].
Suma y resta de expresiones racionales - Puntos clave
- Una expresión racional es una fracción algebraica cuyo numerador y denominador son polinomios.
- Para sumar o restar expresiones con denominadores semejantes, basta con sumar o restar (según el signo) los numeradores, manteniendo constante el denominador común.
- Si tenemos que realizar sumas o restas en expresiones con denominadores distintos, primero manipulamos las expresiones para que acaben teniendo los mismos denominadores.
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