Fórmulas del Ángulo Doble y del Medio Ángulo

¿Sabías que

Pruéablo tú mismo Regístrate gratis
Fórmulas del Ángulo Doble y del Medio Ángulo Fórmulas del Ángulo Doble y del Medio Ángulo

Crea materiales de aprendizaje sobre Fórmulas del Ángulo Doble y del Medio Ángulo con nuestra app gratuita de aprendizaje!

  • Acceso instantáneo a millones de materiales de aprendizaje
  • Tarjetas de estudio, notas, exámenes de simulacro y más
  • Todo lo que necesitas para sobresalir en tus exámenes
Regístrate gratis

Millones de tarjetas didácticas para ayudarte a sobresalir en tus estudios.

Regístrate gratis

Convierte documentos en tarjetas de estudio gratis con IA.

Tarjetas de estudio
Índice de temas

    sin2θ2sinθ

    y

    cosθ2cosθ2?

    En este artículo comprenderás qué ocurre cuando las identidades trigonométricas se duplican o se reducen a la mitad.

    Fórmulas de doble ángulo

    Las funciones trigonométricas se pueden duplicar, pero no del mismo modo que se duplican los números normales.

    Si tienes la expresión 3y y vas a duplicarla, es fácil multiplicar 3y por 2 para obtener 6y. Observa que sen30° es 0,5 y al duplicar el ángulo obtienes 60°, pero sen60° no te daría 1. Como las operaciones matemáticas normales multiplicarían 0,5 por 2 para dar 1, las identidades trigonométricas requerirían su propia fórmula para duplicar su función.

    Deducir la fórmula del doble ángulo para la función seno

    Vamos a buscar la fórmula para sen2θ. Observa que

    sin2θ=sin(θ+θ)

    Recuerda que

    sin(A+B)=sinAcosB+sinBcosA

    Tomando ahoraA=B=θ, obtenemos

    sin2θ=sinθcosθ+sinθcosθ =2sinθcosθ

    La fórmula del doble ángulo para la función seno viene dada por sin (2θ)=2 sinθ cosθ.

    Hallasin 60 °utilizando la fórmula del ángulo doble.

    Solución:

    Tenemos

    60°=2(30°)

    Por tanto,

    sin 60°=sin (2×30°) =2 sin 30°cos 30°

    pero,

    sin 30°=12, cos 30°=32

    entonces,

    sin 60°=2×12×32sin 60°=32

    Dado que90°<θ<180°halla sin 2θ si

    sinθ=45

    Solución:

    Tenemos sinθ en lo dado, pero para aplicar nuestra fórmula, necesitamos hallar cosθ.

    Recuerda que

    cos2θ+sin2θ=1

    por tanto,

    cos2θ=1-sin2θ=1-(45)2 =1-1625cos2θ=925

    Tomamos la raíz cuadrada de ambos lados para obtener

    cosθ=±35

    Observa que el rango del ángulo está entre 90° y 180°, lo que significa que θ está en el segundo cuadrante. El coseno de los ángulos en el segundo cuadrante tiene valores negativos. Por tanto,

    cosθ=-35

    Ahora tenemos que aplicar nuestra fórmula del doble ángulo,

    sin2θ=2sinθcosθ =2×45×(-35) =-2425

    Derivación de la fórmula del doble ángulo para la función Coseno

    Ahora desarrollaremos la fórmula del ángulo doble para la función coseno. Derivamos tres fórmulas iguales.

    Primero observamos que

    cos2θ=cos(θ+θ)

    Ahora, recuerda que

    cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB

    TomandoA=B=θ,obtenemos

    cos2θ= cos(θ+θ) = cosθcosθ-sinθsinθ = cos2θ-sin2θ

    Así, obtenemos la primera fórmula para cos 2θ,

    cos 2θ=cos2θ-sin2θ

    Recordemos ahora la identidad cos2θ+sin2θ=1por lo que tenemoscos2θ=1-sin2θ .

    Ahora la sustituimos por la fórmula obtenida paracos 2θ, para obtener

    cos2θ=1-sin2θ-sin2θ =1-2sin2θ

    Así, la segunda fórmula para cos 2θ es

    cos 2θ=1-2sin2θ

    De forma similar, tenemos sin2θ=1-cos2θ.

    Sustituyendo el valor de sin2θ en la fórmula de cos 2θtenemos

    cos2θ=cos2θ-(1-cos2θ) =cos2θ-1+cos2θ =2cos2θ-1

    Así pues, la tercera fórmula de cos 2θ es

    cos 2θ=2 cos2θ-1

    Las fórmulas del doble ángulo para la función coseno vienen dadas por,

    cos 2θ=cos2θ-sin2θ =2 cos2θ-1 =1-2sin2θ

    Dado que 90°<θ< 180°halla cos 2θ si

    sinθ=45

    Solución:

    Método 1.

    La forma directa de hallar cos 2θ es utilizar la fórmula cos 2θ=1-2sin2θya que nos dan el valor de sinθ.

    Entonces,

    cos 2θ=1-2sin2θ =1-2452 =1-21625 =1-3225 = 25-3225 =-725

    Método 2.

    Podemos utilizar cualquiera de las otras fórmulas para hallar id="5120467" role="math" cos 2θutilizaremos id="5120468" role="math" cos 2θ=2cos2θ-1.Así pues, necesitamos encontrar cos θ.

    Recordemos que cos2θ+sin2θ=1por tanto

    cos2θ=1-sin2θ =1-452 =1-1625 =925

    Tomando la raíz cuadrada de ambos lados, obtenemos

    cosθ=±35

    Observa que 90°<θ<180°esto significa que θ está en el segundo cuadrante. El coseno de los ángulos del segundo cuadrante tiene valores negativos. Por tanto,

    cosθ=-35

    Por tanto, podemos aplicar nuestra fórmula

    cos2θ=2cos2θ-1 = 2-352-1 = 2×925-1 =1825-1 =-725

    Para 180°<θ<270°hallar cos 2θ cuando

    cosθ=-13

    Solución:

    Para resolver este problema, es más rápido utilizar la fórmulacos2θ=2cos2θ-1.

    Por tanto,

    cos2θ=2×-132-1 =2×19-1 =29-1 =-79

    Deducción de la fórmula del doble ángulo de la función tangente

    Vamos a desarrollar la fórmula del doble ángulo de la función tangente.

    Recordamos que

    tanθ=sinθcosθ

    y ,

    sin2θ=2sinθcosθ

    cos2θ=cos2θ-sin2θ

    por tanto,

    tan2θ=sin2θcos2θ

    Sustituyendo sin 2θ y cos 2θ por sus expresiones, obtenemos

    tan2θ=2sinθcosθcos2θ-sin2θ

    Para simplificarlo aún más, dividimos tanto el numerador como el denominador del lado derecho de la ecuación por cos2θpara obtener

    tan2θ=2sinθcosθcos2θcos2θ-sin2θcos2θ =2sinθcosθcos2θcos2θ-sin2θcos2θ =2tanθ1-tan2θ

    La fórmula del doble ángulo para la función tangente viene dada por,

    tan 2θ=2 tan θ1-tan2θ

    Dado que 90°<θ<180°, hallar tan 2θ si

    sin θ=45

    la solución:

    Tenemos que hallartan θlo que significa que primero tenemos que hallar cos θ.

    Recordemos que cos2θ+sin2θ=1por tanto cos2θ=1-sin2θ. Sustituyendo sin θ por su valor, obtenemos

    cos2θ=1-452 =1-1625 =925

    Sacamos la raíz cuadrada de ambos lados, para obtener

    cosθ=±35

    Observa que 90°<θ<180°esto significa que θ está en el segundo cuadrante. El coseno de los ángulos del segundo cuadrante tiene valores negativos. Por tanto, cosθ=-35.

    Por tanto,

    tanθ=sinθcosθ =45-35 =45×(-53) -43

    por tanto,

    tan2θ=2tanθ1-tan2θ =2×-431--432 =-831-169 =-83-79 =-83×-97 =247

    Derivación de las fórmulas de doble ángulo para las funciones secante, cosecante y cotangente

    Las funciones secante, cosecante y cotangente son las recíprocas del coseno, el seno y la tangente, respectivamente. Para obtener sus fórmulas de ángulo doble, basta con hallar la inversa multiplicativa de las fórmulas de ángulo doble correspondientes.

    Fórmula del doble ángulo para la secante

    Recordamos por la definición de la función secante que

    secθ=1cosθ por lo que sec 2θ=1cos 2θ

    pero a partir de la fórmula del doble ángulo para el coseno tenemos cos 2θ=cos2θ-sin2θ por tanto

    sec 2θ=1cos2θ-sin2θ

    Expresemos ahora sec 2θen términos de sec θ y csc θ.

    De hecho cos θ=1sec y csc θ=1sin θpor tanto tenemos

    sec 2θ=11sec θ2-1csc θ2 =11sec2θ-1csc2θ =1csc2θ-sec2θsec2θ csc2θ =sec2θ csc2θcsc2θ-sec2θ.

    La fórmula del ángulo doble para la función secante viene dada por,

    sec 2θ=sec2θ csc2θcsc2θ-sec2θ

    Fórmula del ángulo doble para la cosecante

    Recordamos por la definición de la función secante que

    csc θ=1sinθpor lo que csc 2θ=1sin 2θ

    pero a partir de la fórmula del doble ángulo para la función seno, tenemossin 2θ=2 sin θ cos θpor tanto

    csc 2θ=12sin θcos θ =12×1sin θ×1cos θ =12×csc θ ×sec θcsc 2θ=12csc θ sec θ

    La fórmula del doble ángulo para la función cosecante viene dada por,

    csc 2θ=12csc θ sec θ

    Fórmula del doble ángulo para la cotangente

    Recordamos por la definición de la función secante que

    cot θ=1tan θpor lo que cot 2θ=1tan 2θ

    Recordamos por la fórmula del doble ángulo para la función tangente que tan 2θ=2 tan θ1-tan2θtenemos

    cot 2θ=12 tan θ1-tan2θ =1-tan2θ2 tan θ

    La fórmula del ángulo doble para la función cotangente viene dada por,

    cot 2θ=1-tan2θ2 tan θ

    Dado que 90°<θ<180°, halla sec 2θ, csc 2θ y cot 2θ dado que

    sinθ=45

    Solución:

    Tenemos el valor de sinθ, pero para aplicar estas fórmulas, necesitamos hallar cosθ.

    Recordamos quecos2θ+sin2θ=1

    cos2θ=1-sin2θ=1-452=1-1625=925

    Por tanto,cosθ=±35pero como90°<θ<180°,asícosθ=-35.

    Así que

    sec θ=-53, csc θ=54

    Por lo tanto, tenemos

    sec 2θ=sec2θ csc2θcsc2θ-sec2θ=-532542542--532=259×25162516-259=625144225-400144=625-175=-257

    csc 2θ=1sin 2θ =12cosθsinθ=12-3545=1-2425=-2524cot2θ=1-tan2θ2tanθpero tan θ=sin θcos θ=45-35=-43por tanto tenemos cot2θ=1--4322-43=1-169-83=-79-83=-79×(-38)=724.

    Fórmulas del ángulo medio

    Las funciones trigonométricas pueden dividirse por la mitad, pero no del mismo modo que los números normales. Si tienes la expresión 6y y quieres reducirla a la mitad, es fácil multiplicar 6y por 0,5 para obtener 3y. Observa que sen30° es 0,5 y al dividir el ángulo por la mitad obtienes 15 grados, pero sen15° no te daría 0,25. Como las operaciones matemáticas normales multiplicarían 0,5 por 0,5 (la mitad) para dar 0,25, las identidades trigonométricas requerirían su propia fórmula para dividir por la mitad su función.

    Deducir la fórmula del semiángulo para el seno

    Para hallar sinθ2recordamos primero que

    cos2θ=1-2sin2θ

    Sea θ=2, por tanto

    cos2×ϕ2=1-2sin2ϕ2 cosϕ=1-2sin2ϕ2

    Para aislar sin2ϕ2, restamos 1 a ambos lados, para obtener

    coϕ-1=1-2sin2ϕ2-1-2sin2ϕ2=cos ϕ-1

    Dividimos ambos lados de la ecuación por -2, obtenemos

    sin2ϕ2=1-cosϕ2

    Tomando la raíz cuadrada de ambos lados de la ecuación, obtenemos

    sinϕ2=±1-cosϕ2

    La fórmula del semiángulo para la función seno viene dada por,

    sinϕ2=±1-cosϕ2

    Si sinθ=23y 90°<θ<180°, hallamos sinθ2.

    Solución:

    Como 90°<θ<180°, 45°<θ2<90°por tanto sin θ>0.por tanto,

    sinθ2=1-cosθ2

    Por tanto, para hallarsinθ2tenemos que hallar cosθ. Recordemos que

    cos2θ=1-sin2θcosθ=1-sin2θ

    Puesto que

    sinθ=23

    Entonces

    cosθ=1-(23)2cosθ=1-49cosθ=59=53

    Ahora podemos sustituir el valor de cosθ en nuestra ecuación

    sinθ2=1-cosθ2sinθ2=1-532sinθ2=3-532sinθ2=3-53×12sinθ2=3-56

    Derivación de la fórmula del semiángulo para el coseno

    Recuerda que

    cos2θ=2cos2θ-1

    Donde

    θ=2

    Por lo tanto

    cos(2×2)=(2×cos22)-1cos=(2×cos22)-1

    Suma 1 a ambos lados de la ecuación

    cos+1=(2×cos22)-1+1cos+1=2×cos22

    Divide ambos lados por 2

    cos+12=cos22

    Halla la raíz cuadrada de ambos lados de la ecuación

    cos+12=cos2

    Por tanto

    cosθ2=±cosθ+12

    Dado que

    sinθ=-34

    para 180°<θ<270°halla cosθ2.

    Solución:

    Para empezar, obtén el valor de cosθ.

    Observa que

    cos2θ=1-sin2θ

    Por tanto

    cos2θ=1-(-34)2 cos2θ=1-916cos2θ=716cosθ=±74

    Recuerda de la pregunta que θ cae dentro del tercer cuadrante, por lo que los valores del coseno serían negativos. Por tanto,

    cosθ=-74

    Observa antes

    cosθ2=±cosθ+12

    Así que sustituyendo el valor de cosθ obtenemos

    cosθ2=±1-742cosθ2=±4-742cosθ2=±4-74×12cosθ2=±4-78cosθ2=±4-722

    Multiplica la parte derecha de la ecuación por 22 (racionalización de surds)

    cosθ2=±4-722×22cosθ2=±8-274

    Ahora que θ se ha reducido a la mitad, las condiciones cambiarían también por

    180°<θ<270°

    Aquí los ángulos caen en el tercer cuadrante.

    Dividiendo por 2 tienes

    90°<θ2<135°

    θ2 cae en el segundo cuadrante y cosθ es negativo en el segundo cuadrante.

    cosθ2=-8-274

    Derivación de la fórmula del semiángulo para tangentes

    Sabiendo que

    tanθ=sinθcosθsinθ2=±1-cosθ2cosθ2=±cosθ+12

    Entonces

    tanθ2=1-cosθ2cosθ+12tanθ2=1-cosθ2cosθ+12tanθ2=1-cosθ2×2cosθ+1tanθ2=1-cosθcosθ+1

    Multiplica el lado derecho de la ecuación por cosθ+1cosθ+1 y tendrías

    tanθ2=1-cos2θcosθ+1

    Recuerda que

    1-cos2θ=sin2θ

    Entonces

    tanθ2=sin2θcosθ+1tanθ2=sinθcosθ+1

    Encuentra tan2 cuando tan=43.

    Solución:

    Con el valor dado, el opuesto y el adyacente son 4 y 3 respectivamente. Utilizando el teorema de Pitágoras llegaremos al valor de la hipotenusa.

    hypotenuse2=opposite2+adjacent2hypotenuse2=42+32hypotenuse2=25hypotenuse=5

    Ahora tenemos el valor de la hipotenusa, entonces

    sin=45cos=35

    Ahora puedes aplicar la fórmula

    tanθ2=sinθcosθ+1θ=tan2=sincos+1tan2=4535+1tan2=4585tan2=45×58tan2=12

    Deducción de la fórmula del semiángulo para la secante, la cosecante y la cotangente

    Como ya hemos dicho, la secante, la cosecante y la cotangente son las inversas del coseno, el seno y la tangente, respectivamente. Para obtener sus fórmulas de semiángulo, basta con hallar la inversa multiplicativa de las fórmulas de semiángulo correspondientes. Así, la fórmula del semiángulo de la secante pasa a ser

    secθ=1cosθcosθ2=±cosθ+12secθ2=±2cosθ+1

    la fórmula del semiángulo de la cosecante se convierte en:

    cosecθ=1sinθsinθ2=±1-cosθ2cosecθ2=±21-cosθ

    y la fórmula del semiángulo de la cotangente es:

    cotθ=1tanθtanθ2=sinθcosθ+1cotθ2=cosθ+1sinθ

    Esto es lo mismo que

    cotθ2=cosθ+1sinθcotθ2=cosθsinθ+1sinθcotθ2=cotθ+cosecθ

    Si secθ=1312encuentra los valores de secθ2, cosecθ2 y cotθ2.

    Solución:

    Puesto que

    secθ=1312

    y

    secθ=1cosθ

    entonces,

    cosθ=1213

    Sabiendo que;

    sin2θ=1-cos2θsinθ=1-cos2θ

    Por tanto;

    sinθ=1-(1213)2sinθ=1-144169sinθ=25169sinθ=513

    Como se han hallado los valores de cosθ y de sinθ, es más fácil hallar los semiángulos de sec, cosec y cot. Así, el semiángulo de sec es

    secθ2=±2cosθ+1secθ2=21213+1secθ2=22513secθ2=2×1325secθ2=2625secθ2=265

    Para el semiángulo de cosec

    cosecθ2=±21-cosθcosecθ2=21-1213cosecθ2=2113cosecθ2=2×131cosecθ2=26

    Y para el semiángulo de cot

    cotθ2=cosθ+1sinθcotθ2=1213+1513cotθ2=2513513cotθ2=2513×135cotθ2=5

    Aplicaciones de las fórmulas del doble ángulo y del semiángulo

    Aquí tienes algunos ejemplos que muestran la aplicación de las fórmulas del doble ángulo y del semiángulo.

    Resuelve el para θ en

    sin(2θ)+4sinθ+2cosθ=-4

    Solución:

    Recuerda que

    sin2θ=2sinθcosθ

    Sustitúyelo en la ecuación. Por tanto,

    2sinθcosθ+4sinθ+2cosθ=-42sinθcosθ+4sinθ+2cosθ+4=0(2sinθcosθ+4sinθ)+(2cosθ+4)=02sinθ(cosθ+2)+2(cosθ+2)=0(2sinθ+2)(cosθ+2)=0

    Esto significa que

    2sinθ+2=02sinθ=-22sinθ2=-22sinθ=-1

    o

    cosθ+2=0cosθ=-2

    Ahora, para hallar θ, tenemos que hallar tanto arcsinθ como arccosθ. Por tanto,

    θ=sin-1-1θ=270°

    Sin embargo, -2 va más allá de los valores posibles para arccosθ. Por tanto

    cosθ=-2

    no es válido

    Así pues, el valor de θ es 270°.

    Si

    sinϕ=15

    encuentra

    cosϕ2

    Solución:

    Lo primero que hay que hacer es hallar el cosϕ. Sabiendo que

    cos2ϕ+sin2ϕ=1cos2ϕ=1-sin2ϕcosϕ=1-sin2ϕ

    Ahora, sustituye el valor de sinϕ para hallar cosϕ.

    cosϕ=1-sin2ϕcosϕ=1-15cosϕ=45cosϕ=25cosϕ=25×55cosϕ=255

    Recuerda que

    cosϕ2=±cosθ+12

    Por tanto

    cosϕ2=±255+12cosϕ2=±25+552cosϕ2=±25+55×12cosϕ2=±25+510

    Fórmulas del doble ángulo y del semiángulo - Puntos clave

    • Una función trigonométrica no puede dividirse por la mitad ni duplicarse utilizando métodos aritméticos normales. En su lugar, se necesitan algunas fórmulas para realizar tales operaciones.
    • Para duplicar el ángulo de las funciones seno:sin2θ=2sinθcosθ
    • Para duplicar el ángulo de las funciones coseno, se puede utilizar cualquiera de las siguientes fórmulas.cos2θ=cos2θ-sin2θ ocos2θ=1-2sin2θ o cos2θ=2cos2θ-1.
    • Para duplicar el ángulo de las funciones tangentes tan2θ=2tanθ1-tan2θ.
    • Para duplicar el ángulo de las funciones secantes: sec2θ=1cos2θ-sin2θ.
    • Doblar el ángulo de las funciones cosecantes: : cosec2θ=12sinθcosθ.
    • Doblar el ángulo de las funciones cotangentes: cot2θ=1-tan2θ2tanθ.
    • Para hallar el semiángulo de las funciones seno: : sinθ2=±1-cosθ2.
    • Para hallar el semiángulo de la función coseno utiliza: : cosθ2=±cosθ+12
    • Para hallar el semiángulo de las funciones tangentes utiliza: tanθ2=sinθcosθ+1.
    • Para hallar el semiángulo de las funciones secantes, utiliza :secθ2=±2cosθ+1.
    • Para hallar el semiángulo de las funciones cosecantes usa: :cosecθ2=±21-cosθ.
    • Para hallar el semiángulo de las funciones cotangentes, utiliza :cotθ2=cosθ+1sinθ.
    Fórmulas del Ángulo Doble y del Medio Ángulo Fórmulas del Ángulo Doble y del Medio Ángulo
    Aprende con 0 tarjetas de Fórmulas del Ángulo Doble y del Medio Ángulo en la aplicación StudySmarter gratis

    Tenemos 14,000 tarjetas de estudio sobre paisajes dinámicos.

    Regístrate con email

    ¿Ya tienes una cuenta? Iniciar sesión

    Preguntas frecuentes sobre Fórmulas del Ángulo Doble y del Medio Ángulo
    ¿Qué es la fórmula del ángulo doble?
    La fórmula del ángulo doble permite encontrar senos y cosenos de doble de un ángulo: sen(2θ) = 2sen(θ)cos(θ) y cos(2θ) = cos²(θ) - sen²(θ).
    ¿Para qué se usan las fórmulas del ángulo doble?
    Las fórmulas del ángulo doble se usan para simplificar ecuaciones trigonométricas y resolver problemas de geometría y física.
    ¿Cómo se calcula la fórmula del medio ángulo?
    Para calcular el medio ángulo se usan: sen(θ/2) = ±√((1 - cos(θ))/2) y cos(θ/2) = ±√((1 + cos(θ))/2).
    ¿Qué aplicaciones tienen las fórmulas del medio ángulo?
    Las fórmulas del medio ángulo se aplican en integrales trigonométricas y al simplificar expresiones trigonométricas complejas.

    Descubre materiales de aprendizaje con la aplicación gratuita StudySmarter

    Regístrate gratis
    1
    Acerca de StudySmarter

    StudySmarter es una compañía de tecnología educativa reconocida a nivel mundial, que ofrece una plataforma de aprendizaje integral diseñada para estudiantes de todas las edades y niveles educativos. Nuestra plataforma proporciona apoyo en el aprendizaje para una amplia gama de asignaturas, incluidas las STEM, Ciencias Sociales e Idiomas, y también ayuda a los estudiantes a dominar con éxito diversos exámenes y pruebas en todo el mundo, como GCSE, A Level, SAT, ACT, Abitur y más. Ofrecemos una extensa biblioteca de materiales de aprendizaje, incluidas tarjetas didácticas interactivas, soluciones completas de libros de texto y explicaciones detalladas. La tecnología avanzada y las herramientas que proporcionamos ayudan a los estudiantes a crear sus propios materiales de aprendizaje. El contenido de StudySmarter no solo es verificado por expertos, sino que también se actualiza regularmente para garantizar su precisión y relevancia.

    Aprende más
    Equipo editorial StudySmarter

    Equipo de profesores de Matemáticas

    • Tiempo de lectura de 13 minutos
    • Revisado por el equipo editorial de StudySmarter
    Guardar explicación Guardar explicación

    Guardar explicación

    Sign-up for free

    Regístrate para poder subrayar y tomar apuntes. Es 100% gratis.

    Únete a más de 22 millones de estudiantes que aprenden con nuestra app StudySmarter.

    La primera app de aprendizaje que realmente tiene todo lo que necesitas para superar tus exámenes en un solo lugar.

    • Tarjetas y cuestionarios
    • Asistente de Estudio con IA
    • Planificador de estudio
    • Exámenes simulados
    • Toma de notas inteligente
    Únete a más de 22 millones de estudiantes que aprenden con nuestra app StudySmarter.

    Consigue acceso ilimitado con una cuenta gratuita de StudySmarter.

    • Acceso instantáneo a millones de materiales de aprendizaje.
    • Tarjetas de estudio, notas, exámenes de simulacro, herramientas de AI y más.
    • Todo lo que necesitas para sobresalir en tus exámenes.
    Second Popup Banner