Prueba por contradicción

Ejemplo 1: Demostración de una cantidad infinita de números primos

Demuestra por contradicción que hay una cantidad infinita de números primos.

Solución:

El primer paso es suponer que la afirmación es falsa, que el número de primos es finito. Digamos que sólo hay n números primos, y los etiquetamos de _p1 a _pn.

Si hay infinitos números primos, entonces cualquier número debería ser divisible por al menos uno de estos números.

Construye P, donde multiplicamos todos los números primos juntos y añadimos 1, véase más arriba \(P = p_1p_2 ... p_n +1\). Entonces vemos que ningún primo dividirá a este número, ya que cada uno de los primos divide a P-1, y para que un número divida tanto a P como a P-1, la única posibilidad es uno, que no es primo. Esto significa que P es un número primo, y como \(P > p_i \text{ para todo } p_i\), esto significa que hay un nuevo primo, lo que significa que ahora tenemos una contradicción. Esto significa que debe haber un número infinito de números primos. QED

Ejemplo 2: Prueba de que 2 es irracional

Demuestra por contradicción que \(\sqrt{2}\) es irracional.

Solución:

Supongamos que \(\sqrt{2}\) es racional. Esto significa que podemos escribir \(\sqrt{2} = \frac{a}{b}\), con \(a, b \en \mathbb{Z}, b ≠ 0, gcd (a, b) = 1\). (Nota: gcd significa máximo común divisor). Esto significa que \(\frac{a}{b}\) es una fracción en sus términos más bajos. Ten en cuenta que esto significa que a y b no pueden ser pares, ya que entonces podríamos cancelar un factor de 2.

Si \(\sqrt2 = \frac{a}{b}\), entonces \(2 = \frac{a^2}{b^2}\), que se reordena a \(a^2 = 2b^2\). Esto significa que a² es par, lo que implica que a también es par.

(Esta afirmación se comprueba fácilmente. Si un número es par, podemos escribirlo como 2k, siendo k un número entero. Al cuadrado es igual a 4k², que también es par. Si un número es impar, podemos escribirlo como \(2k + 1. (2k + 1)^2 = 4k^2 + 4k + 1 = 2 (2k^2 + 2k) +1\), que es impar. Por tanto, si a² es par, también debe serlo a).

Esto significa que podemos sustituir a por 2c, ya que a debe ser par. El valor de c no tiene importancia, pero debe ser un número entero.

Entonces, si \(a^2 = 2b^2\), tenemos \(4c^2 = 2b^2 \Derecha b^2 = 2c^2\). Siguiendo el mismo argumento anterior, esto significa que b² es par y, a su vez, b es par. Así, podemos escribir \(b = 2d, d \en \mathbb{z}\). Esto significa que gcd (a, b) = gcd (2c, 2d) ≠ 1. (Como el gcd será un mínimo de 2). Esto significa que no habrá una fracción en sus términos más bajos, y por tanto una contradicción.

Ahora podemos concluir que \(\sqrt2\) es irracional. QED

Ejemplo 3:

Demuestra que no hay números enteros a y b tales que

\(10a + 15b = 1\).

Solución:

Supongamos que podemos encontrar enteros a y b que satisfagan dicha ecuación. Entonces podemos dividir ambos lados por 5 para dar \(2a + 3b = \frac{1}{5}\). Si a y b son números enteros, y multiplicamos cada uno por otro número entero (2 y 3 respectivamente, en este caso), y luego los sumamos, no hay forma posible de que resulte una fracción, que es lo que exige la condición anterior. Esto nos lleva a una contradicción.

Por tanto, no hay números enteros a y b tales que \(10a + 15b = 1\).

Ejemplo 4:

Utiliza la prueba por contradicción para demostrar que la suma de un número racional y un número irracional es irracional.

Solución:

Supongamos que la suma de un número racional y un número irracional es racional. Sea a el número racional y b el irracional, y su suma sea a + b. Como a es racional, podemos escribirlo como \(a = \frac{c}{d}\), donde d ≠ 0, y d y c enteros, en los términos más bajos posibles. Como a + b es racional, podemos escribir \(a + b = \frac{e}{f}\), e, f ∈ ℤ, f ≠ 0, y la fracción en sus términos más bajos. Entonces podemos escribir \(\frac{c}{d} + b = \frac{e}{f}\). Esto implica \frac(b= \frac{e}{f}-\frac{c}{d} = \frac{de-cf}{fd}). Como \(de-cf\) es un número entero, y fd también es un número entero, esto implica que b podría escribirse como un número racional, lo cual es una contradicción. Por tanto, la suma de un número racional y un número irracional es irracional.