Ecuaciones Simultáneas: Tipos, Métodos

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Ejemplo de Gráfica de Ecuaciones Simultáneas StudySmarter Un ejemplo de gráfico de ecuaciones simultáneas, transom.org

El gráfico anterior muestra las ecuaciones simultáneas

1) $2 x + y = 5$

2) $x - y = 1$

Hay una solución que satisface ambas ecuaciones y puedes verla en el punto donde se cruzan las dos rectas. En realidad, ésta es una forma de resolver ecuaciones simultáneas, pero en esta guía te mostraremos formas mejores y más rápidas, ¡así que sigue leyendo!

Consulta nuestra guía Cómo resolver ecuaciones lineales si necesitas un repaso sobre la resolución de una incógnita, ya que nos basaremos en ella.

¿Por qué necesitamos ecuaciones simultáneas?

Si quieres resolver una ecuación con una sola incógnita, el proceso suele ser muy sencillo. Sin embargo, las cosas se complican cuando se introducen incógnitas adicionales. Considera la primera ecuación de antes:

$2 x + y = 5$

Puedes probar con distintos números y ver que una posible solución sería $x = 2, y = 1$ . Pero en realidad hay infinitas soluciones. ¡Piensa qué pasaría si x o y fueran Fracciones!

Necesitamos una segunda ecuación para identificar una solución única.

¿Cómo se resuelven las ecuaciones simultáneas?

Puedes resolver ecuaciones simultáneas de varias formas distintas. Te mostraremos las dos mejores formas, ya que son más rápidas que utilizar una gráfica como se ha mostrado antes. Cada forma puede ser más fácil dependiendo de la pregunta, y puede que una te resulte más natural, así que no dejes de probar las dos.

Resolución por eliminación

Una forma de resolver ecuaciones simultáneas es por eliminación. Puedes utilizar este método más fácilmente cuando la incógnita que quieres eliminar tiene el mismo coeficiente en cada ecuación, pero te mostraremos cómo utilizarlo también en otros casos.

Volvamos a nuestras ecuaciones originales:

$2 x + y = 5$

$x - y = 1$

Podemos ver que si sumamos cada lado de las dos ecuaciones, podremos eliminar fácilmente y. (Puedes sumar o restar las ecuaciones según la situación.) ¡Probemos!

$2 x + y + x - y = 3 x$

$5 + 1 = 6$

Esto nos deja con la ecuación única:

$3 x = 6$

$\Rightarrow x = 2$

Ahora podemos sustituirla en una de las ecuaciones originales para hallar y:

$2 - y = 1$

$\Rightarrow y = 1$

Por último, es importante que compruebes siempre tu trabajo sustituyendo estos valores en la otra ecuación. Esto es crucial para ayudarte a detectar los errores que puedas haber cometido.

$2 x + y = 5$

$2 (2) + 1 = 5$

Resuelve $x + 4 y = 11$ $x - y = 1$

Para empezar, puedes restar cada lado de una ecuación de la otra para eliminar la x;

$(x + 4 y) - (x - y) = 5 y$

$11 - 1 = 10$

Ahora puedes trabajar con las respuestas para formar una nueva ecuación que resuelva y;

$5 y = 10$

$y = 2$

Ahora puedes sustituir esta respuesta en una de las ecuaciones originales para resolver la x;

$x - y = 1$

$x - 2 = 1$

$x = 1 + 2 = 3$

Por último, no olvides comprobar tus respuestas sustituyéndolas en una de las ecuaciones;

$x + 4 y = 11$

$3 + 4 (2) = 11$

Solución por eliminación (coeficientes diferentes)

Veamos ahora un nuevo ejemplo:

1) $3 x + 2 y = 10$

2) $2 x + 3 y = 15$

En este ejemplo, utilizar la eliminación no es tan sencillo como antes. Tenemos que cambiar las ecuaciones de alguna manera para que los coeficientes sean los mismos. Podemos hacerlo siempre que realicemos la misma operación en ambos lados de la ecuación.

Parece que podemos obtener el mismo coeficiente de y multiplicando la primera ecuación por 3 y la segunda por 2. Vamos a intentarlo:

1) $9 x + 6 y = 30$

2) $4 x + 6 y = 30$

Ahora podemos restarlas para eliminar y, y luego sustituir x por nuestra respuesta como antes:

$9 x + 6 y - 4 x - 6 y = 5 x$

$30 - 30 = 0$

$\Rightarrow 5 x = 0$

$\Rightarrow x = 0$

$2 (0) + 3 y = 15$

$\Rightarrow y = 5$

compruébalo:

$3 x + 2 y = 10$

$3 (0) + 2 (5) = 10$

Resuelve $4 x + 2 y = 44$ $7 x + 4 y = 83$

Para ello primero tienes que hacer que dos de los coeficientes sean iguales, para ello podemos multiplicar la primera ecuación por 2, lo que nos da estas ecuaciones;

$8 x + 4 y = 88$

$7 x + 4 y = 83$

Ahora puedes restar una ecuación de la otra para eliminar y y resolver para x;

$8 x + 4 y - 7 x - 4 y = x$

$88 - 83 = 5$

$x = 5$

Ahora puedes introducir la x en una de las ecuaciones para resolver la y;

$4 x + 2 y = 44$

$4 (5) + 2 y = 44$

$20 + 2 y = 44$

$y = \frac{24}{2}$

$y = 12$

No olvides que es posible comprobar tus respuestas sustituyendo ambas respuestas en la ecuación y comprobando que funciona;

$4 (5) + 2 (12) = 44$

Resolución por sustitución

Hay otra forma de abordar la primera serie de ecuaciones: la sustitución. Recuerda que en los ejemplos anteriores, una vez hallado un valor, podemos sustituirlo en la ecuación para hallar el otro. Este método implica la misma técnica, pero en un punto diferente del proceso.

1) $5 x + y = 28$

2) $y = 2 x$

Para utilizar el método de sustitución, puedes empezar sustituyendo la ecuación 2 en la y de la ecuación 1 para ayudarte a encontrar x;

$5 x + y = 28$

$5 x + 2 x = 28$

$x = \frac{28}{7}$

$x = 4$

Ahora puedes sustituir 4 en una de las ecuaciones para hallar y;

$y = 2 x$

$y = 2 (4)$

$y = 8$

1) $2 x + y = 5$

2) $x - y = 1$

En este caso tenemos que reordenar la ecuación 2 para obtenerla en términos de y, haciendo esto podremos sustituirla en la ecuación 1 y resolver para x;

3) $y = x - 1$

4) $2 x + (x - 1) = 5$

$\Rightarrow 3 x - 1 = 5$

$\Rightarrow 3 x = 6$

$\Rightarrow x = 2$

El último paso sigue siendo el mismo: simplemente utilizamos este valor en la segunda ecuación, lo que nos da y = 1 como antes. A continuación, ¡asegúrate de comprobar tu respuesta!

¿Cómo se resuelven las ecuaciones simultáneas con una cuadrática?

Para resolver ecuaciones simultáneas con una cuadrática, nos basamos en el método de sustitución anterior.

1) $y - 3 x = 6$

2) $y = x^{2} + 2 x$

En una gráfica, estas ecuaciones tendrían el siguiente aspecto:

Ejemplo Trabajado Ecuaciones Simultáneas StudySmarter

Ejemplo trabajado, transom.org

Lo primero que tenemos que hacer en este caso es reordenar la primera ecuación. La clave está en hacer que ambas sean iguales a y, (es decir, iguales a la misma cosa), porque eso significa que podemos hacer que ambas sean iguales entre sí.

3) $y = 3 x + 6$

$\Rightarrow x^{2} + 2 x = 3 x + 6$

$\Rightarrow x^{2} - x - 6 = 0$

Ahora tenemos una ecuación cuadrática que puedes resolver utilizando el método que prefieras. En este ejemplo vamos a utilizar la factorización. (Si necesitas practicar un poco, consulta nuestro artículo sobre Factorización de expresiones cuadráticas).

$x^{2} - x - 6 = 0$

$\Rightarrow (x - 3) (x + 2)$

$\Rightarrow x = 3 o r x = - 2$

Como puedes ver, tenemos dos valores posibles para x. Esto significa que tenemos que volver a sustituir cada uno de ellos para encontrar dos pares de soluciones para nuestras ecuaciones simultáneas:

1) $y = 3 (3) + 6 = 15$ o 1) $y = 3 (- 2) + 6 = 0$

Esto nos da los pares

$x = 3, y = 15$ o $x = - 2, y = 0$

comprobar:

2) $y = x^{2} + 2 x$

$y = {(3)}^{2} + 2 (3) = 9 + 6 = 15$

$y = {(- 2)}^{2} + 2 (- 2) = 4 - 4 = 0$

En este ejemplo, teníamos dos soluciones, pero es importante recordar que no tiene por qué haber dos. Podría haber una o incluso ninguna, igual que cuando resuelves una ecuación cuadrática por sí sola. Por ejemplo, piensa en cuántas soluciones habría en la gráfica que se muestra a continuación:

Gráfico Ejemplo Ecuaciones Simultáneas StudySmarter

Ejemplo de gráfico con soluciones múltiples, transom.org

¿Cómo formar tus propias ecuaciones simultáneas?

Para formar tus propias ecuaciones simultáneas, puede que necesites interpretar un texto. Algunas preguntas tienen más palabras y requieren pensar un poco para construir las ecuaciones antes de resolverlas.

Ali compra 2 toffees y 3 gumballs. Bea compra 3 caramelos y 2 chicles. El total de Ali asciende a 0,10 ¤ y Bea paga 0,15 ¤. ¿Cuánto cuestan los toffees y las gominolas?

Primero tenemos que identificar las variables. En este caso son los toffees y las bolas de chicle. Podemos ver que 2 toffees y 3 gumballs cuestan 10 peniques, y 3 toffees y 2 gumballs cuestan 15 peniques. Con esta información podemos escribir las siguientes ecuaciones, en las que g representa las bolas de chicle y t representa los caramelos:

1) $3 g + 2 t = 10$

2) $2 g + 3 t = 15$

Como ves, se trata de uno de los conjuntos de ecuaciones simultáneas de antes.

Ecuaciones simultáneas - Puntos clave

Las ecuaciones simultáneas nos permiten encontrar soluciones únicas.
El método gráfico consiste en dibujar cada ecuación en una gráfica y la solución es el punto donde se cruzan las rectas.
El método de eliminación consiste en eliminar una incógnita sumando o restando las ecuaciones y, a continuación, resolver la incógnita restante.
El método de sustitución consiste en reordenar una ecuación para que esté en términos de una incógnita, y luego sustituirla en la otra para resolver la incógnita restante.
Puedes resolver ecuaciones simultáneas cuadráticas reordenando la ecuación lineal y haciéndola igual a la cuadrática para construir una ecuación cuadrática y resolverla utilizando el método que prefieras. Recuerda que a menudo hay varias soluciones.

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Preguntas frecuentes sobre Ecuaciones Simultáneas

¿Qué son las ecuaciones simultáneas?

Las ecuaciones simultáneas son un conjunto de ecuaciones que se resuelven juntas, tienen múltiples variables y comparten soluciones comunes.

¿Cómo se resuelven las ecuaciones simultáneas?

Se resuelven utilizando métodos como la sustitución, igualación o el método gráfico.

¿Qué es el método de sustitución?

El método de sustitución implica despejar una variable en una ecuación y luego sustituirla en la otra para encontrar la solución.

¿Para qué sirven las ecuaciones simultáneas?

Sirven para encontrar valores precisos de variables que satisfacen múltiples condiciones al mismo tiempo.

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