Suma de números naturales

¿Qué tienen que ver los números con los triángulos? ¿Y los cuadrados? Es comprensible, los números están por todas partes en las matemáticas, y la geometría -donde se incluyen los triángulos y los cuadrados- es una rama de las matemáticas. Pero lo que realmente quiero decir es que utilizando sólo y únicamente números, puedes formar patrones geométricos que se parecen a triángulos y cuadrados. Intrigante, ¿verdad?

Pruéablo tú mismo Regístrate gratis
Suma de números naturales Suma de números naturales

Crea materiales de aprendizaje sobre Suma de números naturales con nuestra app gratuita de aprendizaje!

  • Acceso instantáneo a millones de materiales de aprendizaje
  • Tarjetas de estudio, notas, exámenes de simulacro y más
  • Todo lo que necesitas para sobresalir en tus exámenes
Regístrate gratis

Millones de tarjetas didácticas para ayudarte a sobresalir en tus estudios.

Regístrate gratis

Convierte documentos en tarjetas de estudio gratis con IA.

Tarjetas de estudio
Índice de temas

    Y para echar más leña al fuego de la intriga, ¿qué tienen que ver estos patrones geométricos formados con números con las series?

    Este artículo abordará la suma de los primeros \(n\) números naturales, los primeros \(n\) números pares y los primeros \(n\) números impares.

    Series de términos positivos

    Hasta ahora has aprendido que las series son sumas, finitas o infinitas, de términos de secuencias. Las series que aprenderás aquí son series de términos positivos, es decir, la suma de los términos de secuencias formadas exclusivamente por términos positivos,

    \[ \suma_{r}^{}a_r = a_1+a_2+a_3+..., \]

    donde \(a_r\) es positivo para cada \(r\).

    A lo largo de este artículo, te proporcionaremos herramientas para hallar el valor exacto de series de términos positivos.

    Propiedades de la suma de muchos números positivos

    Una serie de términos positivos es un término matemático elegante para designar la suma de una secuencia de algunos o muchos números positivos.

    Intenta sumar lo siguiente, \[ 1+1+1+1+1+1+1+1+1. \]

    Fácil, ¿verdad? ¿Qué te parece esto?

    \[ \ suma_{r=1}^{8}1 .\]

    ¡Es lo mismo! La única diferencia es que se escribe con notación sigma.

    \[ \_suma_{r=1}^{8}1=1+1+1+1+1+1=8 .\]

    Puedes generalizar un poco más esta suma haciendo

    \[ \sum_{r=1}^{n}1=\underset{n\text{ times}}{\underbrace{1+1+1+\cdots+1}}=n. \]

    Esta es la primera suma que queremos que memorices. Te será muy útil para resolver otras sumas. Vamos a aplicarla a un ejemplo.

    Halla la suma de \(\sum_{k=1}^{n}3\).

    Solución

    \[ \año \sum_{k=1}^{n}3&=\underset{n\text{ times}}{\underbrace{3+3+\cdots+3}} \\ y=3,(conjunto{nombre{texto{veces}}{subrayado{1+1+1+1}}) y=3n. \fin \]

    Observa que podrías haber hecho lo siguiente

    \[ \suma_{k=1}^{n}3=\suma_{k=1}^{n}3veces 1=3\suma_{k=1}^{n}1=3veces n=3n.\]

    El último método de resolución es la aplicación de una regla que quizá ya conozcas:

    Regla de la Múltiple Constante. \(\suma_{r=1}^{n}kf(r)=k\suma_{r=1}^{n}f(r) \), donde \(k\) es una constante y \(f\) es una función de \(r\).

    En el caso del ejemplo, tras convertir \(3\) en \(3\ veces 1\), \(k=3\) y \(f(r)=1\).

    Para recordar las demás reglas de la notación sigma, vuelve a nuestro artículo sobre Series.

    Suma de los 100 primeros números naturales

    Abordemos ahora esta suma tan clásica

    \[ 1+2+3+4+5+\cdots+99+100\,. \]

    ¿Cuánto crees que es esta suma? ¿Cómo vas a abordarla? Lo primero, puedes escribir esta suma con notación sigma

    \[ \ suma_{r=1}^{100}r,. \]

    ¿Funcionarán aquí las reglas de la notación sigma? Parece que no nos servirán, y no lo hacen.

    Siguiente intento: si puedes encontrar una expresión algebraica para la secuencia

    \[ 1,2,3,4,5,\cdots,99,100,\]

    tal vez puedas resolverlo más adelante.

    Veamos tres enfoques, todos ellos muy interesantes, de este reto.

    Enfoque histórico

    Este enfoque no consiste en encontrar una expresión algebraica para la secuencia de los 100 primeros números naturales, sino un patrón que esté presente en ellos.

    Se cuenta que un día un profesor de matemáticas pidió a los alumnos de una clase que calcularan la suma de todos los números enteros del 1 al 100. Los alumnos cogieron sus pizarras y empezaron a trabajar en el reto.

    Al poco tiempo, un alumno se levanta y coloca su pizarra sobre el escritorio del profesor. Al cabo de un rato más, el escritorio del profesor está lleno de pizarras con las resoluciones de los alumnos.

    Ahora le tocaba al profesor comprobar la solución de cada alumno. Respuesta errónea tras respuesta errónea, llegó a la última pizarra, la del primer alumno que resolvió el reto en un santiamén. Era correcta, y se trataba de la respuesta del joven Carl Friedrich Gauss, que se convertiría en un gran matemático.

    He aquí lo que pensó. Gauss observó que sumando 1 a 100 daba 101, y 2 a 99 también daba 101, al igual que 3 a 98. Entonces observó que había 50 pares de números entre 1 y 100, incluidos, que sumados daban 101.

    \[ \underset{1+100=101}{\underbrace{1,\overset{2+99=101}{\overbrace{2,\underset{3+98=101}{\underbrace{3,\cdots,\overset{49+52=101}{\overbrace{49,\underset{50+51=101}{\underbrace{50,51}},52}},\cdots,98}},99}},100}} \]

    Por último, multiplicó la suma \(101\) por los pares \(50\), dando como resultado \(5050\), que era la respuesta al reto.

    Enfoque clásico

    Este es el enfoque habitual que se adopta en la escuela y consiste en observar que la secuencia

    \[ 1,2,3,4,\cdots, 99,100,\]

    es una sucesión aritmética de diferencia común 1.

    Recordando que el término general de una sucesión aritmética es

    \[ a_n=a_1+(n-1)d, \]

    donde \(a_n) es el \(n^{texto}}ésimo) término de la sucesión, \(a_1\) es el 1er término y \(d\) es la diferencia común, entonces para la sucesión anterior tendrás \( a_1=1, \, n=100, \, d=1 \) y

    \[ a_n=1+(n-1)\times1=n. \]

    Ahora toca recordar que la suma de los primeros \(n\) términos de una secuencia aritmética es

    \[ S_n={n más de 2}(a_1+a_n)={n más de 2}(1+n). \]

    En la suma que quieres calcular, \(n=100\) y \(a_n=a_{100}=100\). Entonces, introduciendo esto en la última fórmula tienes

    \[ S_{100}={100}(1+100)=50 veces 101=5050. \]

    ¿Ves cómo este método completamente algebraico coincide con el razonamiento del joven Carl Gauss? Incluso has acabado con los mismos números: \(50\) que es el par de números que suman \(101\). Interesante, ¿verdad?

    Planteamiento original

    Representemos los números con puntos. Así, el número 1 se representará con un punto -, el número 2 con dos puntos - -, y así sucesivamente. Teniendo esto en cuenta, te presentamos los números triangulares, figura 1.

    Suma de números naturales, Diagrama de números triangulares, StudySmarterFig. 1 - Números triangulares.

    Los números triangulares \(1, 3, 6, 10, ...\), forman una secuencia que denotaremos con \((t_n)\). Esto significa que \(t_1=1,t_2=3,t_3=6\), y así sucesivamente.

    Ahora observa que cada número triangular es igual a la suma de los primeros \(n\) números naturales. Por ejemplo

    \[ \begin{align} t_1&=1,\ t_2&=3=1+2, \ t_3&=6=1+2+3, \ t_4&=10=1+2+3+4. \fin{align} \]

    Esto significa entonces que \[t_n=1+2+3+\cdots+n-1+n,\]

    en particular, para \(n=100\), \[t_{100}=1+2+3+\cdots+99+100\, . \]

    Así pues, si puedes encontrar una expresión para el término general \(t_n\), también obtendrás una fórmula para la suma de los primeros \(n\) números naturales y, en particular, la suma de los primeros \(100\) números naturales. Y para conseguirlo, vamos a explorar algunas relaciones interesantes entre dos números triangulares consecutivos.

    La diferencia entre dos números triangulares consecutivos es n

    Aquí explorarás el patrón que te permite obtener el siguiente número triangular a partir del anterior.

    Experimentando con los números triangulares anteriores, tienes

    • para \(n=2\), \( t_2=3\) que es lo mismo que \(t_1+2\);

    • para \( n=3\), \( t_3=6\) que es lo mismo que \(t_2+3\);

    • para \ (n=4\), \( t_4=10\) que es lo mismo que \(t_3+4\).

    Esto te lleva a la conclusión de que \[t_n=t_{n-1}+n,\] lo que reordenando, obtienes \[t_n-t_{n-1}=n,\].

    para todo número natural \(n\).

    La suma de dos números triangulares consecutivos es n2

    Vamos ahora a "transformar" triángulos en cuadrados. Vamos a convertir números triangulares en números cuadrados.

    Para simplificar, veamos la representación gráfica del número triangular 6, \(t_3\), y vayamos añadiendo puntos a esa representación hasta obtener un cuadrado, figura 2.

    Suma de números naturales, Dos números triangulares consecutivos forman un cuadrado n, StudySmarterFigura 2 - Dos números triangulares consecutivos forman un número cuadrado

    Observa que para obtener un cuadrado, sumamos al número triangular 6, \(t_3\), el número triangular 3, \(t_2\). Si intentas lo mismo con el número triangular 10, verás que para obtener un cuadrado, sumas al 10, \(t_4\) el número triangular 6, \(t_3\). Esto significa que la suma de dos números triangulares consecutivos es igual a un número cuadrado, es decir

    \[ t_n+t_{n-1}=n^2\, . \]

    La suma de 1 a 100

    Ahora aplicamos un poco de cálculo algebraico.

    Sabes que \(t_n-t_{n-1}=n\), que reorganizando también tienes

    \[t_{n-1}=t_n-n\, .\]

    Y esto lo aplicarás a la fórmula anterior,

    \[ \begin{align} t_n+t_{n-1}&=n^2 \ t_n+(t_n-n)&=n^2 \ t_n+t_n&=n^2 +n \ 2t_n&=n(n+1) \ t_n&={n+2}(1+n)\, . \fin{align} \]

    Ahora, sustituyendo \(n\) por \(100\) se obtiene

    \t_{100}={100 veces 2}(1+100)=50 veces 101=5050, .

    Suma de los n primeros números naturales: Fórmula

    A estas alturas, habrás comprendido que la fórmula que te permite calcular la suma de los primeros \(n\ ) números naturales es

    \[ \suma_{r=1}^{n}r={n más de 2}(n+1)\, . \]

    Y ésta es la segunda fórmula que queremos que memorices, porque te ayudará a resolver otras series. Veámoslo en los siguientes ejemplos.

    1. Halla la suma de los números naturales desde \(1\) hasta \(175\).

    2. Halla la suma de los números naturales desde \(15\) hasta \(225\).

    Solución

    1. Para hallar la suma de los números naturales desde \(1\) hasta \(175\), seguimos los siguientes pasos.

    Paso 1. Escribe la suma con notación sigma,

    \[ 1+2+3+\cdots+174+175=\suma_{r=1}^{175}r. \]

    Paso 2. Halla la suma utilizando el conocimiento de otras sumas conocidas.

    Esta suma es la suma de los primeros \(175\) números naturales, así que para usar la fórmula de la suma de los primeros \(n\) números naturales, sólo tienes que hacer \(n=175\).

    \suma_{r=1}^{175}r= {175}(175+1)=87,5 veces 176=15400.\}]

    2. Para hallar la suma de los números naturales desde \(15\) hasta \(225\), seguimos los pasos.

    Paso 1. Escribe la suma con notación sigma.

    \[ 15+16+17+\cdots+224+225=\suma_{r=15}^{225}r \].

    Paso 2. Halla la suma utilizando el conocimiento de otras sumas conocidas.

    Observa que esta suma no es la suma de los primeros \(225\) números naturales (del 1 al 225), porque empieza en 15. Pero lo que puedes hacer aquí es hallar la suma de los números del 1 al 225 y luego restar la suma del 1 al 14, y obtendrás la respuesta.

    \[[\N-empieza{{texto{(1)encuentra esta suma}}{\N-empieza{{texto{(2)resta esta suma}}{\N-empieza{1+2+3+\cdots+14}}+\N-empieza{{texto{(3)esta es la respuesta}}{\N-empieza{15+16+\cdots+224+225}}}}, \}]

    \[ \begin{align} &(1)\, \sum_{r=1}^{225}r={225 \ sobre 2}(225+1)=112,5\veces 226=25425, \ &(2)\, \sum_{r=1}^{15}r={15 \ sobre 2}(15+1)=7.5 veces 16=120, \ &(3)\, \suma_{r=15}^{225}r={suma_{r=1}^{225}r-{suma_{r=1}^{15}r=25425-120=25305. \fin \]

    En el segundo ejemplo, has visto una suma que no empieza en \(1\), sino en \(15\). Siempre que quieras saber la suma de una lista de números naturales que empieza en un número distinto de \(1,\) digamos \(k\), lo que debes hacer es considerar esa misma lista como si empezara en \(1\) y luego restar el exceso, desde \(1\) hasta \(k-1\). Resumimos esto en la siguiente regla,

    Regla. \(\suma_{r=k}^{n}f(r)=\suma_{r=1}^{n}f(r)-\suma_{r=1}^{k-1}f(r)\), donde \(k\) y \(n\) son números naturales, \(f) es una función de \(r\).

    Demostración de la suma de los n primeros números naturales

    Anteriormente has visto tres aproximaciones a la suma de los primeros n(100) números naturales. En dos de esas aproximaciones has visto la fórmula de la suma de los primeros \(n\) números naturales. Aquí te presentaremos una demostración formal de esa fórmula.

    Para simplificar la notación, aquí llamaremos a la suma de \(1\) a \(n\), \(S_n\), lo que significa \(S_n= \suma_{r=1}^{n}r\).

    Empezaremos escribiendo la suma de los primeros \(n\) números naturales desde \(1\) hasta \(n\) de dos formas,

    \[ \begin{align} S_n&=1+2+\cdots+n-1+n S_n&=n+n-1+\cdots+2+1 \end{align} \]

    A continuación, sumamos estas dos fórmulas,

    \[ \iniciar{alinear} S_n+S_n&=(1+n)+(2+n-1)+\cdots+(n-1+2)+(n+1) \\ 2S_n&=(n+1)+(n+1)+\cdots+(n+1)+(n+1) \end{align} \]

    Ahora tenemos que contar cuántos \((n+1)\) tenemos, y son \(n\),

    \[ \begin{align} 2S_n&=(n+1)+(n+1)+\cdots+(n+1)+(n+1)=n(n+1) \ S_n&={n+2}(n+1).\end{align} \]

    Suma de los n primeros números naturales pares

    Llegas ahora a la sección en la que aprenderás la tercera fórmula importante que debes memorizar, y tiene que ver con la suma de los primeros \(n\) números naturales pares. Tenemos la ventaja de que ya disponemos de la fórmula de la suma de los primeros \(n\) naturales, ya que será necesaria aquí.

    Así pues, la suma que quieres determinar es

    \[ 2+4+6+8+10+\cdots\, ,\]

    pero para los primeros \(n\) números pares.

    La secuencia de números pares tiene la expresión \((2n)\), donde \(n\) es un número natural. Entonces puedes completar la suma de los primeros \(n\) números pares como

    \[ 2+4+6+8+10+\cdots+2n\text{ o }\suma_{r=1}^{n}2r\]

    Ahora, aplicando la Regla Múltiple Constante de la notación sigma tienes

    \[ \suma_{r=1}^{n}2r=2\suma_{r=1}^{n}r=2\veces {n más de 2}(n+1)=n(n+1)\, .\]

    Veamos algunos ejemplos de aplicación de esta fórmula.

    1. Halla la suma de todos los números pares hasta \(150\), incluido.

    2. Halla la suma de los números pares entre \(5\) y \(255\).

    Solución

    1. Para hallar la suma de todos los números pares hasta \(150\), incluido, seguimos los siguientes pasos,

    Paso 1. Halla la cantidad de números pares hasta \(150\), incluido.

    Ahora tienes que hallar la suma de todos los números pares entre \(1\) y \(150\). A diferencia de la suma de todos los números desde \(1\) hasta \(150\), donde tienes un total de \(150\) números, aquí no conoces de antemano el número de números pares. Pero es bueno que conozcas el último número par de la suma, \(150\).

    Y sabiendo que la secuencia de números pares es \(2n\), puedes hallar el orden del número par \(150\) haciendo

    \[2n=150 \iff n={150 \over 2}=75.\}]

    Por tanto, \(150\) es el \(75^{texto}}ésimo) número par. Así que tienes \(75\) números pares para sumar y empezar por el primero, \(2\).

    Paso 2. Escribe la suma con notación sigma.

    \[ 2+4+\cdots+150=\sum_{r=1}^{75}2r.\]

    Paso 3. Halla la suma utilizando sumas conocidas.

    \[ \suma_{r=1}^{75}2r=75(75+1)=75 veces 76=5700. \]

    2. Para hallar la suma de los números pares entre \(5\) y \(255\), seguimos los pasos siguientes,

    Paso 1.Halla la cantidad de números pares entre \(5\) y \(255\).

    Al igual que en el ejemplo anterior, aquí la suma no empieza en 2, el primer número par. Pero el método de cálculo que realizarás será el mismo,

    Suma de números pares entre \(5\) y \(255\) = Suma de números pares hasta \(255\) - Suma de números pares hasta \(5\).

    Entonces, ¿cuántos números pares hay hasta \(255\)? El último número par de la lista es \(254\), así que ahora puedes hacer,

    \[ 2n=254 \iff n=127.\]

    ¿Y cuántos números pares hay, hasta \(5\)? El último número par es \(4\), que es el 2º número par.

    Paso 2. Escribe la suma en notación sigma.

    Observa que el 1er número par entre \(5\) y \(255\) es \(6\), que es el 3er número par, por lo que la suma que quieres hallar empieza en \(r=3.\)

    \[ 6+8+\cdots+252+254=\sum_{r=3}^{127}2r=\sum_{r=1}^{127}2r-\sum_{r=1}^{2}2r \]

    Paso 3. Halla la suma utilizando sumas conocidas.

    Utilizarás la fórmula de la suma de los primeros \(n\) números pares dos veces.

    \[ \begin{align} \suma_{r=3}^{127}2r&=suma_{r=1}^{127}2r-\suma_{r=1}^{2}2r \suma_{r=1}^{2}2r &=127 veces 128 - 2 veces 3 \suma_{r=1}^{127}2r &=16256-6 \suma_{r=1}^{2}2r. \fin \]

    Suma de los n primeros números naturales impares

    Ahora llegas a la sección en la que aprenderás la cuarta fórmula importante que debes memorizar, y tiene que ver con la suma de los primeros \(n\) números naturales impares. Esta fórmula se deduce fácilmente de la aplicación de sumas conocidas y de algunas otras reglas.

    Sabiendo que \((2n-1)\) es la sucesión de los números impares, donde \(2n-1\) es el \(n^{texto{ésimo}}) número impar, entonces

    \[ 1+3+5+7+9+\cdots+2n-1=\suma_{r=1}^{n}(2r-1) .\]

    Aplicando la Regla de la Diferencia de la notación sigma, tienes\[ \suma_{r=1}^{n}(2r-1)=\suma_{r=1}^{n}2r-\suma_{r=1}^{n}1.|].

    Ahora, aplica la fórmula de la suma de los primeros \(n\) números pares y la suma de \(n\) 1's

    \[ \begin{align} \suma_{r=1}^{n}2r-\suma_{r=1}^{n}1&=n(n+1)-n \&=n((n+1)-1) \&=n(n)=n^2. \fin{align} \]

    De nuevo, representemos los números como puntos; 1 con un punto -, 2 con dos puntos - -, así sucesivamente. Puedes formar cuadrados con los números impares, y eso explica visualmente por qué la suma de números impares es un número al cuadrado, figura 3.

    Suma de números naturales, Un número impar de puntos reorganizados forman un cuadrado, StudySmarterFig. 3 - Un número impar de puntos reorganizados forma un cuadrado.

    Veamos algunos ejemplos de aplicación de esta fórmula.

    1. Halla la suma de los primeros \(33\) números impares.

    2. Halla la suma para \(f(r)=3(4r-2)-5\).

    Solución

    1. Para hallar la suma de los primeros \(33\) números impares, seguimos los siguientes pasos,

    Paso 1. Escribe la suma en notación sigma,

    \[\sum_{r=1}^{33}(2r-1).\]

    Paso 2. Halla la suma utilizando la fórmula correspondiente,

    \[\sum_{r=1}^{33}(2r-1)=33^2=1089.\]

    2. Para hallar la suma de \(f(r)=3(4r-2)-5\), seguimos los pasos siguientes,

    Paso 1. Escribe la suma en notación sigma,

    \[\sum_{r=1}^{n}f(r)=\sum_{r=1}^{n}[3(4r-2)-5]. \]

    Paso 2. Halla la suma utilizando sumas y reglas conocidas.

    Primero, aplica la Regla de la Diferencia,

    \[\sum_{r=1}^{n}[3(4r-2)-5]=\sum_{r=1}^{n}3(4r-2)-\sum_{r=1}^{n}5.\]

    En segundo lugar, aplica la Regla Múltiple Constante y resuelve la segunda suma,

    \[\sum_{r=1}^{n}3(4r-2)-\sum_{r=1}^{n}5=3\sum_{r=1}^{n}(4r-2)-5n. \]

    En tercer lugar, simplifica un poco más la primera suma y aplica de nuevo la regla de los múltiplos constantes,

    \[3\sum_{r=1}^{n}2(2r-1)-5n=3\times 2\sum_{r=1}^{n}(2r-1)-5n. \]

    Por último, aplica la fórmula de la suma de los primeros \(n\) números impares y completa los cálculos,

    {\i1}[{\i}[{\i}[{\i}}comienza 3veces 2suma_{r=1}^{n}(2r-1)-5n&=6veces n^2-5n &=6n^2-5n &=n(6n-5). \fin{align} \]

    Ejemplos de sumas de números naturales

    Ahora que ya tienes todas las herramientas que queríamos que aprendieras aquí, vamos con más ejemplos de aplicación de este tema.

    El primer ejemplo sirve de calentamiento.

    Halla la suma de los primeros \(n\) múltiplos de \(5\).

    Solución

    Paso 1. Escribe la suma con notación sigma.

    La sucesión de los múltiplos de \(5\) es \((5n)\), para todo \(n\). Por tanto, \[\suma_{r=1}^{n}5r.\}].

    Paso 2. Halla la suma utilizando sumas y reglas conocidas.

    Primero, aplica la regla del múltiplo constante. \[\sum_{r=1}^{n}5r=5\sum_{r=1}^{n}r.\]

    A continuación, aplica la fórmula de la suma de los primeros \(n\) números naturales \[5\suma_{r=1}^{n}r=5{n{sobre 2}(n+1)={5{sobre 2}n(n+1). \]

    El segundo ejemplo requiere todo tu ingenio en este tema.

    La suma de los primeros \(n\) términos de una serie es \(2n^2+3n\).

    1. Demuestra que el \(n^{texto{ésimo}}) término viene dado por \(a_n=4n+1\).

    2. Find \(\sum_{r=1}^{n}(a_r+a_{r-2})\).

    Solución

    1. Si el término \(n^ésima) asociado a esa serie es \(a_n), entonces cuando hagas \(suma_{r=1}^{n}(4r+1) \) se supone que obtendrás la suma dada.

    Primero, aplica la regla de la suma.

    \[\sum_{r=1}^{n}(4r+1)=\sum_{r=1}^{n}4r+\sum_{r=1}^{n}1.\]

    A continuación, aplica la Regla Múltiple Constante y resuelve la segunda suma,

    \[\sum_{r=1}^{n}4r+\sum_{r=1}^{n}1=4\sum_{r=1}^{n}r+n.\]

    A continuación, aplica la fórmula de la suma de los primeros \(n\) números naturales y completa los cálculos,

    \[\Ncomienza{align} 4\suma_{r=1}^{n}r+n &=4{n\más de 2}(n+1)+n &=2n(n+1)+n &=2n^2+2n+n &=2n^2+3n. \end{align}\]

    2. Primero, halla qué es \(a_{n-2}\),

    \[ a_{n-2}=4(n-2)+1=4n-8+1=4n-7.\]

    En segundo lugar, halla qué es \(a_n+a_{n-2}\),

    \[ a_n+a_{n-2}=4n+1+4n-7=8n-6.\]

    En tercer lugar, halla la suma requerida,

    \[ \sum_{r=1}^{n}(a_r+a_{r-2})=\sum_{r=1}^{n}(8n-6).\]

    Aplica la Regla de la Diferencia seguida de la Regla Múltiple Constante,

    \[ \sum_{r=1}^{n}(8n-6)=\sum_{r=1}^{n}8n-\sum_{r=1}^{n}6=8\sum_{r=1}^{n}n-\sum_{r=1}^{n}6.\]

    Y completa el cálculo,

    \[ \begin{align} 8\suma_{r=1}^{n}n-\suma_{r=1}^{n}6 &=8{n+2}(n+1)-6n &= 4n(n+1)-6n &= 4n^2+4n-6n &=4n^2-2n &=2n(n-1). \fin{align} \]

    Suma de números naturales - Puntos clave

    • \(\suma_{r=1}^{n} 1=n\).
    • La fórmula de la suma de los primeros \(n\) números naturales es \(\suma_{r=1}^{n}r={n\más de 2}(n+1)\).
    • La fórmula de la suma de los primeros \(n\) números pares es \(\suma_{r=1}^{n}2r=n(n+1)\).
    • La fórmula de la suma de los primeros \(n\) números impares es \(\suma_{r=1}^{n}(2r-1)=n^2.\)
    • Una regla importante de la notación sigma que hay que utilizar cuando una suma no empieza en el primer número de la lista es \(\suma_{r=k}^{r=n}f(r)=\suma_{r=1}^{n}f(r)-\suma_{r=1}^{r=k-1}f(r)\, donde \(k\) y \(n\) son números naturales y \(f\) es una función de \(r\).
    Preguntas frecuentes sobre Suma de números naturales
    ¿Qué es la suma de números naturales?
    La suma de números naturales es la adición de números enteros positivos consecutivos como 1, 2, 3, etc.
    ¿Cuál es la fórmula para sumar números naturales?
    La fórmula para sumar los primeros n números naturales es n(n+1)/2.
    ¿Cómo se suma una serie de números naturales?
    Para sumar una serie de números naturales, se pueden agregar uno a uno o usar la fórmula n(n+1)/2.
    ¿Qué son los números naturales?
    Los números naturales son los números enteros positivos que usamos para contar: 1, 2, 3, etc.

    Pon a prueba tus conocimientos con tarjetas de opción múltiple

    La fórmula de la suma de los primeros \(N\) números naturales es ____.

    La fórmula de la suma de los primeros \ (N\) números pares es ____.

    Verdadero o Falso: La suma de los primeros \ (N\) números impares es \ (N^2\).

    Siguiente

    Descubre materiales de aprendizaje con la aplicación gratuita StudySmarter

    Regístrate gratis
    1
    Acerca de StudySmarter

    StudySmarter es una compañía de tecnología educativa reconocida a nivel mundial, que ofrece una plataforma de aprendizaje integral diseñada para estudiantes de todas las edades y niveles educativos. Nuestra plataforma proporciona apoyo en el aprendizaje para una amplia gama de asignaturas, incluidas las STEM, Ciencias Sociales e Idiomas, y también ayuda a los estudiantes a dominar con éxito diversos exámenes y pruebas en todo el mundo, como GCSE, A Level, SAT, ACT, Abitur y más. Ofrecemos una extensa biblioteca de materiales de aprendizaje, incluidas tarjetas didácticas interactivas, soluciones completas de libros de texto y explicaciones detalladas. La tecnología avanzada y las herramientas que proporcionamos ayudan a los estudiantes a crear sus propios materiales de aprendizaje. El contenido de StudySmarter no solo es verificado por expertos, sino que también se actualiza regularmente para garantizar su precisión y relevancia.

    Aprende más
    Equipo editorial StudySmarter

    Equipo de profesores de Matemáticas

    • Tiempo de lectura de 20 minutos
    • Revisado por el equipo editorial de StudySmarter
    Guardar explicación Guardar explicación

    Guardar explicación

    Sign-up for free

    Regístrate para poder subrayar y tomar apuntes. Es 100% gratis.

    Únete a más de 22 millones de estudiantes que aprenden con nuestra app StudySmarter.

    La primera app de aprendizaje que realmente tiene todo lo que necesitas para superar tus exámenes en un solo lugar.

    • Tarjetas y cuestionarios
    • Asistente de Estudio con IA
    • Planificador de estudio
    • Exámenes simulados
    • Toma de notas inteligente
    Únete a más de 22 millones de estudiantes que aprenden con nuestra app StudySmarter.

    Consigue acceso ilimitado con una cuenta gratuita de StudySmarter.

    • Acceso instantáneo a millones de materiales de aprendizaje.
    • Tarjetas de estudio, notas, exámenes de simulacro, herramientas de AI y más.
    • Todo lo que necesitas para sobresalir en tus exámenes.
    Second Popup Banner