Suma de números naturales

Series de términos positivos

Hasta ahora has aprendido que las series son sumas, finitas o infinitas, de términos de secuencias. Las series que aprenderás aquí son series de términos positivos, es decir, la suma de los términos de secuencias formadas exclusivamente por términos positivos,

\[ \suma_{r}^{}a_r = a_1+a_2+a_3+..., \]

donde \(a_r\) es positivo para cada \(r\).

A lo largo de este artículo, te proporcionaremos herramientas para hallar el valor exacto de series de términos positivos.

Propiedades de la suma de muchos números positivos

Una serie de términos positivos es un término matemático elegante para designar la suma de una secuencia de algunos o muchos números positivos.

Intenta sumar lo siguiente, \[ 1+1+1+1+1+1+1+1+1. \]

Fácil, ¿verdad? ¿Qué te parece esto?

\[ \ suma_{r=1}^{8}1 .\]

¡Es lo mismo! La única diferencia es que se escribe con notación sigma.

\[ \_suma_{r=1}^{8}1=1+1+1+1+1+1=8 .\]

Puedes generalizar un poco más esta suma haciendo

\[ \sum_{r=1}^{n}1=\underset{n\text{ times}}{\underbrace{1+1+1+\cdots+1}}=n. \]

Esta es la primera suma que queremos que memorices. Te será muy útil para resolver otras sumas. Vamos a aplicarla a un ejemplo.

El último método de resolución es la aplicación de una regla que quizá ya conozcas:

Regla de la Múltiple Constante. \(\suma_{r=1}^{n}kf(r)=k\suma_{r=1}^{n}f(r) \), donde \(k\) es una constante y \(f\) es una función de \(r\).

En el caso del ejemplo, tras convertir \(3\) en \(3\ veces 1\), \(k=3\) y \(f(r)=1\).

Para recordar las demás reglas de la notación sigma, vuelve a nuestro artículo sobre Series.

Suma de los 100 primeros números naturales

Abordemos ahora esta suma tan clásica

\[ 1+2+3+4+5+\cdots+99+100\,. \]

¿Cuánto crees que es esta suma? ¿Cómo vas a abordarla? Lo primero, puedes escribir esta suma con notación sigma

\[ \ suma_{r=1}^{100}r,. \]

¿Funcionarán aquí las reglas de la notación sigma? Parece que no nos servirán, y no lo hacen.

Siguiente intento: si puedes encontrar una expresión algebraica para la secuencia

\[ 1,2,3,4,5,\cdots,99,100,\]

tal vez puedas resolverlo más adelante.

Veamos tres enfoques, todos ellos muy interesantes, de este reto.

Enfoque histórico

Este enfoque no consiste en encontrar una expresión algebraica para la secuencia de los 100 primeros números naturales, sino un patrón que esté presente en ellos.

Se cuenta que un día un profesor de matemáticas pidió a los alumnos de una clase que calcularan la suma de todos los números enteros del 1 al 100. Los alumnos cogieron sus pizarras y empezaron a trabajar en el reto.

Al poco tiempo, un alumno se levanta y coloca su pizarra sobre el escritorio del profesor. Al cabo de un rato más, el escritorio del profesor está lleno de pizarras con las resoluciones de los alumnos.

Ahora le tocaba al profesor comprobar la solución de cada alumno. Respuesta errónea tras respuesta errónea, llegó a la última pizarra, la del primer alumno que resolvió el reto en un santiamén. Era correcta, y se trataba de la respuesta del joven Carl Friedrich Gauss, que se convertiría en un gran matemático.

He aquí lo que pensó. Gauss observó que sumando 1 a 100 daba 101, y 2 a 99 también daba 101, al igual que 3 a 98. Entonces observó que había 50 pares de números entre 1 y 100, incluidos, que sumados daban 101.

\[ \underset{1+100=101}{\underbrace{1,\overset{2+99=101}{\overbrace{2,\underset{3+98=101}{\underbrace{3,\cdots,\overset{49+52=101}{\overbrace{49,\underset{50+51=101}{\underbrace{50,51}},52}},\cdots,98}},99}},100}} \]

Por último, multiplicó la suma \(101\) por los pares \(50\), dando como resultado \(5050\), que era la respuesta al reto.

Enfoque clásico

Este es el enfoque habitual que se adopta en la escuela y consiste en observar que la secuencia

\[ 1,2,3,4,\cdots, 99,100,\]

es una sucesión aritmética de diferencia común 1.

Recordando que el término general de una sucesión aritmética es

\[ a_n=a_1+(n-1)d, \]

donde \(a_n) es el \(n^{texto}}ésimo) término de la sucesión, \(a_1\) es el 1er término y \(d\) es la diferencia común, entonces para la sucesión anterior tendrás \( a_1=1, \, n=100, \, d=1 \) y

\[ a_n=1+(n-1)\times1=n. \]

Ahora toca recordar que la suma de los primeros \(n\) términos de una secuencia aritmética es

\[ S_n={n más de 2}(a_1+a_n)={n más de 2}(1+n). \]

En la suma que quieres calcular, \(n=100\) y \(a_n=a_{100}=100\). Entonces, introduciendo esto en la última fórmula tienes

\[ S_{100}={100}(1+100)=50 veces 101=5050. \]

¿Ves cómo este método completamente algebraico coincide con el razonamiento del joven Carl Gauss? Incluso has acabado con los mismos números: \(50\) que es el par de números que suman \(101\). Interesante, ¿verdad?

Planteamiento original

Representemos los números con puntos. Así, el número 1 se representará con un punto -, el número 2 con dos puntos - -, y así sucesivamente. Teniendo esto en cuenta, te presentamos los números triangulares, figura 1.

Fig. 1 - Números triangulares.

Los números triangulares \(1, 3, 6, 10, ...\), forman una secuencia que denotaremos con \((t_n)\). Esto significa que \(t_1=1,t_2=3,t_3=6\), y así sucesivamente.

Ahora observa que cada número triangular es igual a la suma de los primeros \(n\) números naturales. Por ejemplo

\[ \begin{align} t_1&=1,\ t_2&=3=1+2, \ t_3&=6=1+2+3, \ t_4&=10=1+2+3+4. \fin{align} \]

Esto significa entonces que \[t_n=1+2+3+\cdots+n-1+n,\]

en particular, para \(n=100\), \[t_{100}=1+2+3+\cdots+99+100\, . \]

Así pues, si puedes encontrar una expresión para el término general \(t_n\), también obtendrás una fórmula para la suma de los primeros \(n\) números naturales y, en particular, la suma de los primeros \(100\) números naturales. Y para conseguirlo, vamos a explorar algunas relaciones interesantes entre dos números triangulares consecutivos.

La diferencia entre dos números triangulares consecutivos es n

Aquí explorarás el patrón que te permite obtener el siguiente número triangular a partir del anterior.

Experimentando con los números triangulares anteriores, tienes

• para \(n=2\), \( t_2=3\) que es lo mismo que \(t_1+2\);

• para \( n=3\), \( t_3=6\) que es lo mismo que \(t_2+3\);

• para \ (n=4\), \( t_4=10\) que es lo mismo que \(t_3+4\).

Esto te lleva a la conclusión de que \[t_n=t_{n-1}+n,\] lo que reordenando, obtienes \[t_n-t_{n-1}=n,\].

para todo número natural \(n\).

La suma de dos números triangulares consecutivos es ⁿ²

Vamos ahora a "transformar" triángulos en cuadrados. Vamos a convertir números triangulares en números cuadrados.

Para simplificar, veamos la representación gráfica del número triangular 6, \(t_3\), y vayamos añadiendo puntos a esa representación hasta obtener un cuadrado, figura 2.

Figura 2 - Dos números triangulares consecutivos forman un número cuadrado

Observa que para obtener un cuadrado, sumamos al número triangular 6, \(t_3\), el número triangular 3, \(t_2\). Si intentas lo mismo con el número triangular 10, verás que para obtener un cuadrado, sumas al 10, \(t_4\) el número triangular 6, \(t_3\). Esto significa que la suma de dos números triangulares consecutivos es igual a un número cuadrado, es decir

\[ t_n+t_{n-1}=n^2\, . \]

La suma de 1 a 100

Ahora aplicamos un poco de cálculo algebraico.

Sabes que \(t_n-t_{n-1}=n\), que reorganizando también tienes

\[t_{n-1}=t_n-n\, .\]

Y esto lo aplicarás a la fórmula anterior,

\[ \begin{align} t_n+t_{n-1}&=n^2 \ t_n+(t_n-n)&=n^2 \ t_n+t_n&=n^2 +n \ 2t_n&=n(n+1) \ t_n&={n+2}(1+n)\, . \fin{align} \]

Ahora, sustituyendo \(n\) por \(100\) se obtiene

\t_{100}={100 veces 2}(1+100)=50 veces 101=5050, .

Suma de los n primeros números naturales: Fórmula

A estas alturas, habrás comprendido que la fórmula que te permite calcular la suma de los primeros \(n\ ) números naturales es

\[ \suma_{r=1}^{n}r={n más de 2}(n+1)\, . \]

Y ésta es la segunda fórmula que queremos que memorices, porque te ayudará a resolver otras series. Veámoslo en los siguientes ejemplos.

En el segundo ejemplo, has visto una suma que no empieza en \(1\), sino en \(15\). Siempre que quieras saber la suma de una lista de números naturales que empieza en un número distinto de \(1,\) digamos \(k\), lo que debes hacer es considerar esa misma lista como si empezara en \(1\) y luego restar el exceso, desde \(1\) hasta \(k-1\). Resumimos esto en la siguiente regla,

Regla. \(\suma_{r=k}^{n}f(r)=\suma_{r=1}^{n}f(r)-\suma_{r=1}^{k-1}f(r)\), donde \(k\) y \(n\) son números naturales, \(f) es una función de \(r\).

Demostración de la suma de los n primeros números naturales

Anteriormente has visto tres aproximaciones a la suma de los primeros n(100) números naturales. En dos de esas aproximaciones has visto la fórmula de la suma de los primeros \(n\) números naturales. Aquí te presentaremos una demostración formal de esa fórmula.

Para simplificar la notación, aquí llamaremos a la suma de \(1\) a \(n\), \(S_n\), lo que significa \(S_n= \suma_{r=1}^{n}r\).

Empezaremos escribiendo la suma de los primeros \(n\) números naturales desde \(1\) hasta \(n\) de dos formas,

\[ \begin{align} S_n&=1+2+\cdots+n-1+n S_n&=n+n-1+\cdots+2+1 \end{align} \]

A continuación, sumamos estas dos fórmulas,

\[ \iniciar{alinear} S_n+S_n&=(1+n)+(2+n-1)+\cdots+(n-1+2)+(n+1) \\ 2S_n&=(n+1)+(n+1)+\cdots+(n+1)+(n+1) \end{align} \]

Ahora tenemos que contar cuántos \((n+1)\) tenemos, y son \(n\),

\[ \begin{align} 2S_n&=(n+1)+(n+1)+\cdots+(n+1)+(n+1)=n(n+1) \ S_n&={n+2}(n+1).\end{align} \]

Suma de los n primeros números naturales pares

Llegas ahora a la sección en la que aprenderás la tercera fórmula importante que debes memorizar, y tiene que ver con la suma de los primeros \(n\) números naturales pares. Tenemos la ventaja de que ya disponemos de la fórmula de la suma de los primeros \(n\) naturales, ya que será necesaria aquí.

Así pues, la suma que quieres determinar es

\[ 2+4+6+8+10+\cdots\, ,\]

pero para los primeros \(n\) números pares.

La secuencia de números pares tiene la expresión \((2n)\), donde \(n\) es un número natural. Entonces puedes completar la suma de los primeros \(n\) números pares como

\[ 2+4+6+8+10+\cdots+2n\text{ o }\suma_{r=1}^{n}2r\]

Ahora, aplicando la Regla Múltiple Constante de la notación sigma tienes

\[ \suma_{r=1}^{n}2r=2\suma_{r=1}^{n}r=2\veces {n más de 2}(n+1)=n(n+1)\, .\]

Veamos algunos ejemplos de aplicación de esta fórmula.

Suma de los n primeros números naturales impares

Ahora llegas a la sección en la que aprenderás la cuarta fórmula importante que debes memorizar, y tiene que ver con la suma de los primeros \(n\) números naturales impares. Esta fórmula se deduce fácilmente de la aplicación de sumas conocidas y de algunas otras reglas.

Sabiendo que \((2n-1)\) es la sucesión de los números impares, donde \(2n-1\) es el \(n^{texto{ésimo}}) número impar, entonces

\[ 1+3+5+7+9+\cdots+2n-1=\suma_{r=1}^{n}(2r-1) .\]

Aplicando la Regla de la Diferencia de la notación sigma, tienes\[ \suma_{r=1}^{n}(2r-1)=\suma_{r=1}^{n}2r-\suma_{r=1}^{n}1.|].

Ahora, aplica la fórmula de la suma de los primeros \(n\) números pares y la suma de \(n\) 1's

\[ \begin{align} \suma_{r=1}^{n}2r-\suma_{r=1}^{n}1&=n(n+1)-n \&=n((n+1)-1) \&=n(n)=n^2. \fin{align} \]

Veamos algunos ejemplos de aplicación de esta fórmula.

Ejemplos de sumas de números naturales

Ahora que ya tienes todas las herramientas que queríamos que aprendieras aquí, vamos con más ejemplos de aplicación de este tema.

El primer ejemplo sirve de calentamiento.

El segundo ejemplo requiere todo tu ingenio en este tema.