raíces de números complejos

La frase "raíces cuadradas" es familiar, pero estoy seguro de que la frase "números complejos" es seguramente desconocida y da miedo. Las cosas que dan miedo pueden ser divertidas, a continuación aprenderás y te divertirás encontrando las raíces de los números complejos.

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    ¿En qué consiste el cálculo de las raíces de los números complejos?

    El cálculo de raíces de números complejos es el proceso de hallar las raíces (cuadradas, cúbicas, etc.) de números complejos de la forma

    a+bi

    donde, a es la componente real de los números complejos,

    b es la componente imaginaria del número complejo, e

    i is id="5121048" role="matemáticas" -1.

    Para recordar, es necesario que te recordemos qué son los números complejos antes de pasar a encontrar sus raíces.

    ¿Qué son los números complejos?

    Los números complejos son números que se expresan de la forma

    a+bi

    siendo a un número real y bi un valor imaginario que se utiliza para representar la raíz de valores negativos (por ejemplo -16, -5 etc.). Además, i representa a iota y a veces se representa por j, significando ambos -1.

    En Matemáticas, no existe una solución para encontrar las raíces de los números negativos, por eso surgió la idea de los números complejos, para profundizar en la solución de las raíces de los números negativos. Aquí, la raíz de un número negativo como -16 puede resolverse como

    -16=-1×16

    donde -1 se le da el valor i, entonces

    -16=i×16-16=i×4-16=4i

    Ten en cuenta que:

    i=-1i2=-12=-1×-1=-1i3=-13=-1×-1×-1=--1=-i

    Cálculo de la raíz cuadrada de números complejos

    Entre los cálculos de las raíces de números complejos, encontrar raíces cuadradas de números complejos puede lograrse con un enfoque más directo que la aplicación de una fórmula. El ejemplo siguiente te ayudará a hacerlo.

    Halla la raíz cuadrada de lo siguiente.

    3+4i

    Solución:

    El primer paso es igualar el número complejo al cuadrado de la ecuación general, por tanto,

    3+4i=(a+bi)2 3+4i=a2+2abi+b2i2i2=-13+4i=a2+2abi-b2

    Recuerda que todas las expresiones con i son expresiones imaginarias, por tanto, reordena las expresiones juntando los términos semejantes:

    3+4i=a2+2abi-b23+4i=a2-b2+2abi

    A ambos lados de la ecuación, tenemos expresiones reales e imaginarias. Iguala las expresiones basándote en componentes similares (es decir, real con real e imaginario con imaginario). Así, para la componente real tenemos

    3=a2-b2

    y para la componente imaginaria tenemos:

    4i=2abi4i2i=2abi2i24i12i=12abi12i2=aba=2b

    Sustituye el valor de a por2ben la ecuación, 3=a2-b2. Por tanto

    3=a2-b2a=2b3=(2b)2-b23=4b2-b2

    Multiplica por b2,

    3=4b2-b23×b2=b2×(4b2-b2)3b2=4-b4

    Sea

    x=b2

    Entonces

    3b2=4-b4x=b23x=4-x2x2+3x-4=0x2+4x-x-4=0(x2+4x)+(-x-4)=0x(x+4)-1(x+4)=0(x-1)(x+4)=0x= 1 or x=-4

    Por tanto, el valor de x es 1 ó -4. Recuerda que

    x=b2

    Por tanto

    x=b2x=b2b=x

    Esto significa que b es 1 o -4sabemos que -4 no es válida, pero existe una solución para 1. Por tanto, b es +1 o -1. Recuerda que:

    a=2b

    Por tanto

    a=2ba=21a=2

    o

    a=2ba=2-1a=-2

    Recuerda que:

    3+4i=(a+bi)2

    Sustituyendo los valores de a y b para obtener la raíz del número complejo, tenemos;

    3+4i=(a+bi)2 3+4i=(a+bi)2 3+4i=±(a+bi)3+4i=2+i

    o

    3+4i=-2-i

    Por tanto, la raíz cuadrada del número complejo3+4ies2+io-2-i.

    ¿Qué son las raíces de los números complejos en forma polar?

    Para deducir las raíces de los números complejos en forma polar, tendrías que entender cómo se expresan los números complejos en formas polares. Si lo entiendes bien, te resultará más fácil determinar las raíces de los números complejos en forma polar.

    Considera que Z es el número complejo a + bi, la distancia entre el origen y el punto Z se considera el módulo. Se representa como |Z| y es igual a la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de a y b.

    Z=a2+b2

    Se subtiende un ángulo θ entre el eje real positivo y la recta del módulo Z cuyo punto final está situado en el origen. θ se denomina argumento del módulo z.

    tanθ=baθ=tan-1ba

    Donde,

    -180°θ 180°-πθ π

    Raíces de números complejos Ilustración del módulo y el argumento de un número complejo StudySmarter Ilustración del módulo y del argumento de un número complejo - StudySmarter Originals

    A partir de la ilustración anterior, en la que b es el eje imaginario y a es el eje real positivo, podemos definir el número complejo Z en términos de su módulo |Z| y argumento θ como:

    a=|Z|cosθb=|Z|sinθZ=|Z|cosθ+|Z|sinθi

    Sin embargo, el módulo de un número complejo |Z| suele denominarse r con el argumento θ, lo que da lugar a la forma polar de un número complejo representado mediante (r,θ). Por tanto, el número complejo Z puede reescribirse en términos de su módulo r y argumento θ como:

    Z=|Z|cosθ+|Z|sinθiZ=rcosθ+rsinθiZ=r(cosθ+isinθ)

    Esta ecuación es la expresión de un número complejo en su forma polar.

    Expresa el número complejo Z=8+6i en forma polar.

    Solución:

    La forma polar de un número complejo se expresa mediante (r,θ). Para derivar ambos, en primer lugar, necesitamos hallar el módulo r, por tanto:

    r=ZZ=a2+b2r=a2+b2a=8b=6r=82+62r=64+36r=100r=10

    A continuación, necesitamos hallar el argumento, θ. Por tanto,

    θ=tan-1(ba)θ=tan-1(68)θ=tan-1(0.75)θ=36.87°

    Ahora que hemos deducido los valores del módulo y del argumento, podemos ponerlo en la ecuación de la forma polar, Así,

    Z=r(cosθ+isinθ)Z=10(cos(36.87°)+isin(36.87°))

    Fórmula de las raíces de los números complejos

    Para deducir una fórmula que pueda guiarte en el cálculo con éxito de las raíces de los números complejos, debes comprender la multiplicación de los números complejos en su forma polar. Por tanto, para dos números complejos, Z1 y Z2 expresados como:

    Z1=r1(cos(θ1)+isin(θ1))Z2=r2(cos(θ2)+isin(θ2))

    Entonces, el producto de Z1 y Z2 se convierte en:

    Z1×Z2=r1(cos(θ1)+isin(θ1))×r2(cos(θ2)+isin(θ2))Z1×Z2=r1×r2(cos(θ1)+isin(θ1))(cos(θ2)+isin(θ2))Z1×Z2=r1×r2(cosθ1cosθ2+icosθ2sinθ1+icosθ1sinθ2+i2sinθ1sinθ2)i2=-1Z1×Z2=r1×r2(cosθ1cosθ2+icosθ2sinθ1+icosθ1sinθ2-sinθ1sinθ2)Z1×Z2=r1×r2(cosθ1cosθ2-sinθ1sinθ+icosθ2sinθ1+icosθ1sinθ2)icosθ2sinθ1+icosθ1sinθ2=i(sinθ1cosθ2+sinθ2cosθ1)Z1×Z2=r1×r2(cosθ1cosθ2-sinθ1sinθ+i(sinθ1cosθ2+sinθ2cosθ1))cosθ1cosθ2-sinθ1sinθ=cos(θ1+θ2)sinθ1cosθ2+sinθ2cosθ1=sin(θ1+θ2)Z1×Z2=r1×r2(cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2))

    Nos detendremos únicamente en la multiplicación de los números complejos en sus formas polares, ya que sigue siendo más relevante para nosotros que las operaciones de división. Ahora que has visto lo que ocurre con la operación producto, ¿puedes imaginar cómo se obtienen las raíces? Antes de pasar a las raíces, veamos qué ocurre con los exponentes de las formas polares.

    Sabemos que, en general, los exponentes tendrían la forma Zn. Aparentemente, el exponente más sencillo de tratar en este caso es Z2. Seguro que estás de acuerdo:

    Z2=Z×Z

    Donde,

    Z1=Z2Z1×Z2=Z1×Z1Z1×Z1=Z12

    Además, esto funciona para el argumento, θ1 y θ2

    θ1=θ2

    Esto implica que:

    Z1×Z2=r1×r2(cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2))Z1=Z2θ1=θ2r1=r2Z12=Z1×Z1=r1×r1(cos(θ1+θ1)+isin(θ1+θ1))Z12=r12(cos(2θ1)+isin(2θ1))

    Por tanto, para el exponente de un número complejo, Zn, podemos decir,

    Z1n=r1n(cos(nθ1)+isin(nθ1))

    La fórmula anterior es lo que consideramos el Teorema de De Moivre. Lo discutiremos más adelante.

    Mientras tanto, nuestra búsqueda es determinar las raíces de los números complejos en su forma polar, no sus exponentes. No obstante, este teorema es útil porque nos ayuda a determinar las raíces. ¿Cómo?

    Curiosamente, como sabes que el exponente del número complejo Z tiene la forma Zn, las raíces de Z tendrían la forma Z1/n. Así, aplicando simplemente el teorema, podemos acercarnos mucho a completar nuestra tarea de hallar las raíces de los números complejos en su forma polar. Por tanto:

    Zn=rn(cos(nθ)+isin(nθ))Z1n=r1n(cos(θn)+isin(θn))

    Además, esta fórmula no puede ser eficaz, porque tratar con raíces implica tener en cuenta varios números más. En el círculo de abajo,

    Raíces de números complejos Una ilustración sobre las raíces de números complejos en un plano de coordenadas StudySmarterUna ilustración sobre las raíces de los números complejos en un plano de coordenadas, StudySmarter Originals

    Deducirías que la distancia entre raíces sucesivas viene dada por2πn radianes. Por tanto, para tener en cuenta otras raíces, las raíces de los números complejos se ajustaron efectivamente para que fueran

    Z1n=r1n(cos(θ+2kπn)+isin(θ+2kπn))

    donde k es 0, 1, 2, 3..., n-2, y n-1.

    Esto significa que las raíces de los números complejos en su forma polar se calculan utilizando la fórmula,

    Z1n=r1n(cos(θ+2kπn)+isin(θ+2kπn))

    Observa que los valores de los rangos k empiezan por 0 y acaban por n-1, porque cuando k es 0 tienes la primera raíz, mientras que cuando k es n-1, tienes la última raíz.

    ¿Cómo podemos utilizar el Teorema de De Moivre para resolver ecuaciones?

    Antes hemos mencionado el Teorema de De Moivre,

    Zn=rn(cos(nθ)+isin(nθ))

    Ahora aplicaremos el Teorema de de Moivre para determinar las raíces de los números complejos en su forma polar. Mientras tanto, el Teorema de de Moivre es aplicable a todos los números racionales y fracciones.

    Encuentra las raíces cuartas de la ecuación.

    Z4=256.

    Solución:

    En primer lugar, necesitamos expresar el número complejo en su forma polar. Pero para conseguirlo, hay que obtener el argumento θ. De acuerdo con el formato general:

    Z=a+bi

    Entonces

    256=256+0ir=2562+02=256θ=tan-1(0256)=π

    Como el argumento θ es π, entonces la forma polar del número complejo Z4 puede expresarse como,

    Z4=256(cos(π)+isin(π))

    Para hallar las raíces del número complejo en su forma polar aplicamos la fórmula:

    Z1n=r1n(cos(θ+2kπn)+isin(θ+2kπn))

    Como necesitamos hallar valores para Z y tenemos Z4, significa que tenemos cuatro raíces. Esto significa que tendrías que resolver las situaciones en las que k es 0, 1, 2 y 3.

    Por tanto, cuando k es 0

    Z1n=r1n(cos(θ+2kπn)+isin(θ+2kπn))k=0θ=πZ4=256(cos(π)+isin(π))(Z4)14=25614(cos(π+2(0)(π)4)+isin(π+2(0)(π)4))Z=4(cosπ4+isinπ4)

    Ésta es la primera raíz del número complejo.

    Para resolver la segunda raíz, resolvemos k como 1, por lo tanto

    Z1n=r1n(cos(θ+2kπn)+isin(θ+2kπn))k=1θ=πZ4=256(cos(π)+isin(π))(Z4)14=25614(cos(π+2(1)(π)4)+isin(π+2(1)(π)4))Z=4(cos3π4+isin3π4)

    Ésta es la segunda raíz del número complejo.

    Para resolver la tercera raíz, resolvemos k como 2, por tanto,

    Z1n=r1n(cos(θ+2kπn)+isin(θ+2kπn))k=2θ=πZ4=256(cos(π)+isin(π))(Z4)14=25614(cos(π+2(2)(π)4)+isin(π+2(2)(π)4))Z=4(cos5π4+isin5π4)

    Ésta es la tercera raíz del número complejo.

    Para resolver la cuarta o última raíz, resolvemos k como 3, por tanto,

    Z1n=r1n(cos(θ+2kπn)+isin(θ+2kπn))k=3θ=πZ4=256(cos(π)+isin(π))(Z4)14=25614(cos(π+2(3)(π)4)+isin(π+2(3)(π)4))Z=4(cos7π4+isin7π4)

    Ésta es la última raíz del número complejo.

    Así pues, nuestras raíces son

    z=4(cosπ4+isinπ4), z=4(cos3π4+isin3π4)z=4(cos5π4+isin5π4),z=4(cos7π4+isin7π4)

    Observa que, las raíces de ecuaciones en forma de zn=1se denominan raíces de la unidad.

    Más ejemplos sobre raíces de números complejos

    Para comprender las raíces de los números complejos, serían útiles algunos ejemplos más.

    Halla la tercera raíz de 8 en forma rectangular.

    Solución:

    Lo primero que hay que hacer es expresar 8 en la forma general de los números complejos.

    z=a+bi

    Así,

    z=8+0i

    Para derivar sus raíces, necesitamos hallar los valores de r y θ. Así,

    r=a2+b2r=82+02r=82r=8θ=tan-1(08)θ=tan-10θ=0 or π

    Ahora que tenemos valores para r y θ, podemos hallar la raíz en la forma polar. Por tanto, tenemos que aplicar nuestra fórmula para los valores k 0, 1 y 2.

    Z1n=r1n(cos(θ+2kπn)+isin(θ+2kπn))k=0r=8n=3θ=πZ13=813(cos(π+2(0)(π)3)+isin(π+2(0)(π)3))Z13=2(cos(π3)+isin(π3))k=1Z13=813(cos(π+2(1)(π)3)+isin(π+2(1)(π)3Z13=2(cos(3π3)+isin(3π3))Z13=2(cosπ+isinπ)k=2Z13=813(cos(π+2(2)(π)3)+isin(π+2(2)(π)3Z13=2(cos(5π3)+isin(5π3))

    Las raíces que hemos obtenido (las respuestas en negrita) están en las formas polares; para convertirlas a las formas rectangulares, tenemos que encontrar los valores del coseno y el seno e introducirlos. Por tanto,

    Z13=2(cos(π3)+isin(π3))If we consider θ=0°,Z13=2(cos(0°)+isin(0°))Z13=2(1+0i)Z13=2

    Repetiríamos los mismos valores de k que 1 y 2, pero en los casos siguientes, el primer ángulo es 0° porque la primera raíz está situada en el eje x positivo y como tal el ángulo formado (θ) es 0° que es el argumento, pero las siguientes raíces tienen ángulos mayores que 0° y se derivarían con2kπndonde π es 180°. Por tanto

    k=1Z13=813(cos(θ+2(1)(π)3)+isin(θ+2(1)(π)3)Z13=2(cos(0°+2(1)(180°)3)+isin(0°+2(1)(180°)3)Z13=2(cos(120°)+isin(120°)cos(120°)=-12sin(120°)=32Z13=2(-12+32i)Z13=-1+3ik=2Z13=813(cos(θ+2(2)(π)3)+isin(θ+2(2)(π)3)Z13=2(cos(0°+2(2)(180°)3)+isin(0°+2(2)(180°)3)Z13=2(cos(240°)+isin(240°)cos(240°)=-12sin(240°)=-32Z13=2(-12-32i)Z13=-1-3i

    Por tanto, las raíces complejas de 8 son 2, -1+3i y -1-3i.

    Halla las raíces cuartas del número complejo en su forma polar:

    -8+83i

    Solución:

    Para obtener sus raíces, necesitamos hallar los valores de r y θ. Por tanto,

    r=a2+b2r=(-8)2+(83)2r=64+192r=256r=16θ=tan-1(83-8)θ=tan-1(-3)θ=120°

    Ahora que tenemos valores para r y θ, podemos hallar la raíz en la forma polar. Por tanto, vamos a aplicar nuestra fórmula para los valores k 0, 1, 2 y 3. Así,

    Z1n=r1n(cos(θ+2kπn)+isin(θ+2kπn))k=0r=16n=4θ=120°π=180°Z14=1614(cos(120°+2(0)(π)4)+isin(120°+2(0)(π)4))Z14=2(cos(120°4)+isin(120°4))Z14=2(cos30°+isin30°)k=1Z14=1614(cos(120°+2(1)(180°)4)+isin(120°+2(1)(180°)4)Z14=2(cos(480°4)+isin(480°4))Z14=2(cos120°+isin120°)k=2Z14=1614(cos(120°+2(2)(180°)4)+isin(120°+2(2)(180°)4)Z14=2(cos(840°4)+isin(840°4))Z14=2(cos210°+isin210°)k=3Z14=1614(cos(120°+2(3)(180°)4)+isin(120°+2(3)(180°)4)Z14=2(cos(1200°4)+isin(1200°4))Z14=2(cos300°+isin300°)

    Las raíces en negrita son las cuatro raíces del número complejo -8+83i en sus formas polares.

    Raíces de números complejos - Puntos clave

    • El cálculo de raíces de números complejos es el proceso de hallar las raíces (cuadradas, cúbicas, etc.) de números complejos en forma:

      a+bi

    • Hallar raíces cuadradas de números complejos puede lograrse con un enfoque más directo que la aplicación de una fórmula.
    • Los números complejos Z pueden reescribirse en términos de su módulo r y argumento θ como,

      Z=r(cosθ+isinθ)

    • Para derivar una fórmula que pueda guiarte en el cálculo satisfactorio de las raíces de los números complejos, debes comprender la multiplicación de los números complejos en su forma polar.
    • El Teorema de De Moivre viene dado como,Z1n=r1n(cos(nθ1)+isin(nθ1))
    • La raíz de los números complejos se calcula con:Z1n=r1n(cos(θ+2kπn)+isin(θ+2kπn))

    Preguntas frecuentes sobre raíces de números complejos
    ¿Qué son las raíces de números complejos?
    Las raíces de números complejos son soluciones a ecuaciones polinómicas en el campo complejo, implicando tanto magnitudes como ángulos.
    ¿Cómo se calculan las raíces de un número complejo?
    Para calcular raíces de números complejos, conviértelos a forma polar y usa la fórmula del teorema de De Moivre.
    ¿Cuántas raíces tiene un número complejo?
    Un número complejo tiene tantas raíces como el grado n de la raíz; por ejemplo, la raíz cúbica tiene 3 raíces.
    ¿Qué aplicaciones tienen las raíces de números complejos?
    Las raíces de números complejos tienen aplicaciones en ingeniería, física y teoría de señales, entre otros campos.

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