Análisis Funcional

Observar las funciones gráficamente siempre es útil cuando necesitamos analizar patrones y tendencias. ¿No estás de acuerdo? Los gráficos se utilizan mucho en muchas materias, como las finanzas, la ingeniería y la psicología. Cuando trazamos curvas en un plano cartesiano, por ejemplo, somos capaces de visualizar dónde la función puede llegar a una meseta o a un pico. Identificando tales comportamientos, podemos hacer predicciones y estimaciones para nuestra función dada. En este tema, nos introduciremos en un concepto llamado Análisis Funcional. Comencemos este tema con su definición.

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Índice de temas

    Análisis funcional Definición

    Elanálisis funcional es una rama de las matemáticas que estudia las funciones investigando el comportamiento de una función dada e identificando las relaciones e hipótesis que puedan surgir.

    A lo largo de este tema, sólo trataremos funciones reales en una variable. Al final de este artículo, deberás estar familiarizado con los siguientes conceptos:

    • Identificar el dominio y el rango de una función

    • Reconocer funciones pares e impares

    • Encontrar los intersticios x e y de una función

    ¿Qué es una función?

    Antes de sumergirnos en este tema, recordemos primero la definición de función.

    Una función es una expresión, también llamada regla, que define la relación entre una variable (entrada independiente) y otra variable (salida dependiente). Se suele denotar por y = f(x), donde x e y están relacionadas de tal forma que para cada valor de x, existe un único valor de y que obedece a la regla f.

    A continuación se muestra un ejemplo de función.

    Supongamos que tenemos la función f: definida por

    f(x)=x+2.

    Esto describe una función que toma un número, una entrada, y le suma 2. Por ejemplo, para una entrada x = 1, tenemos una salida f(1) = 3. Del mismo modo, para una entrada x = 4, tenemos una salida f(4) = 6.

    Dominio y rango

    Al trazar una función, es esencial conocer el "tamaño" de las variables. Esto se conoce como dominio y rango de una función. Estos dos términos se explican a continuación.

    El dominio de una función, f, es el conjunto de todos los valores para los que está definida la función. Los elementos del dominio se representan como una variable independiente, o valor de entrada, que no depende de ninguna otra cantidad, sino que varía libremente. A menudo se denota por x.

    El rango de una función es el conjunto de todos los valores resultantes que toma f, correspondientes a los valores de entrada de una función. Los elementos del rango dependen de los valores dentro del dominio y a veces se denominan valor de salida.

    La notación general para el dominio y el rango de una función es

    Domain(f)=x:xA, A

    y

    Range(f)={f(x):xDomain(f)}

    Observa que representa el conjunto de todos los valores reales que representa el intervalo (-,). He aquí una representación visual del dominio y el intervalo respecto a una función. Recuerda el ejemplo de la función f que habíamos introducido antes.

    Representación gráfica de un dominio, rango y función, StudySmarter Originals

    Representación gráfica de un dominio, un intervalo y una función, StudySmarter Originals

    Esta representación sugiere que una función funciona como una máquina que transforma elementos del dominio, las entradas, en elementos del codominio. Las salidas reales de esta "máquina de transformación" serán los elementos del dominio, las salidas.

    Hay muchos tipos de funciones a considerar en el ámbito de las matemáticas. Tenemos funciones polinómicas, funciones exponenciales, funciones trigonométricas, etc. En los siguientes apartados, resumiremos las fórmulas generales que se utilizan para hallar el dominio y el rango asociados de cada tipo de función (normalmente vistas en este temario).

    Dominio y rango de las funciones polinómicas

    En primer lugar, señalaremos los tres tipos de polinomios que utilizaremos a menudo a lo largo de este tema.

    1. funciones lineales f(x)=ax+b

    2. funciones cuadráticas, f(x)=ax2+bx+c

    3. funciones cúbicas, f(x)=ax3+bx2+cx+d

    El dominio de cualquier función polinómica es el conjunto de todos los números reales, IR.

    El ámbito de una función lineal y cúbica es también el conjunto de todos los números reales, IR.

    El rango de una función cuadrática de la formaf(x)=a(x-h)2+kes

    Range(f)={f(x)k, if a>0} o Range(f)={f(x)k, if a<0}.

    Halla el dominio de la función f(x)=3x-1.

    Solución

    Se trata de una función lineal. Por tanto, el dominio y el rango de esta función es el conjunto de todos los números reales, IR. La gráfica se muestra a continuación.

    Ejemplo 1, Originales de StudySmarter

    Ejemplo 1, StudySmarter Originals

    Dominio y rango de las funciones de raíz cuadrada

    Para la función raíz cuadrada estándar, f(x)=xel dominio es el conjunto de todos los números reales, IR y el rango es f(x) ≥ 0.

    Para una función raíz cuadrada general de la forma f(x)=g(x)donde g(x) es una función de x, el dominio es el conjunto de funciones donde g(x) ≥ 0 y el rango es f(x) ≥ 0.

    Determina el dominio y el rango de la función f(x)=x-1.

    Solución

    El dominio es el conjunto de valores donde la componente dentro de la raíz cuadrada es mayor o igual que cero, o lo que es lo mismo,

    x-10x1Por tanto, el dominio es el conjunto de valores donde x es mayor o igual que 1. El rango es f(x) ≥ 0, para x ≥ 1. La gráfica se muestra a continuación.

    Ejemplo 2, Originales de StudySmarter

    Ejemplo 2, StudySmarter Originals

    Dominio y rango de las funciones de raíz cúbica

    Para cualquier función que contenga una raíz cúbica, ya sea la forma estándar f(x)=x3 o la forma general f(x)=g(x)3el dominio y el rango son el conjunto de todos los números reales, IR.

    ¿Cuál es el dominio y el rango de la función f(x)=2-x3.

    Solución

    El dominio y el rango de cualquier función raíz cúbica es el conjunto de todos los números reales, IR. Haciendo la gráfica de esta función, encontramos que el dominio y el rango satisfacen efectivamente al conjunto de todos los números reales, IR.

    Ejemplo 3, Originales de StudySmarter

    Ejemplo 3, StudySmarter Originals

    Dominio y rango de funciones exponenciales

    Para una función exponencial de la forma f(x)=axdonde a es un número real cualquiera, el dominio es el conjunto de todos los números reales, IR.

    El rango siempre dará valores reales positivos, es decir, f(x) > 0.

    Dada la gráfica de la función f(x)=ex que aparece a continuación, determina su dominio y su rango.

    Ejemplo 4, Originales de StudySmarter

    Ejemplo 4, StudySmarter Originals

    Solución

    Observando la gráfica anterior, encontramos que el dominio satisface al conjunto de todos los números reales. El rango es f(x) > 0.

    Dominio y rango de las funciones logarítmicas

    Para una función logarítmica de la forma f(x)=logaxdonde a es cualquier número real, el dominio es x > 0 mientras que el rango es el conjunto de todos los números reales.

    La función f(x)=logex también puede escribirse como f(x)=ln(x). También se conoce como función logaritmo natural. ¿Cuál es el dominio y el rango de esta función?

    Solución

    El dominio aquí es x > 0. El rango, en cambio, es el conjunto de todos los números reales, IR. La gráfica se muestra a continuación.

    Ejemplo 5, Originales de StudySmarter

    Ejemplo 5, StudySmarter Originals

    Dominio y rango de las funciones racionales

    Las funciones racionales son funciones que pueden representarse mediante una fracción racional. Generalmente se denota por f(x)=p(x)q(x)donde p y q son funciones polinómicas de x y q(x) 0.

    El dominio es el conjunto de todos los números reales excepto aquellos cuyo denominador es igual a cero, es decir {x|q(x)0}.

    El rango aquí es el mismo que el dominio de la inversa de esta función racional f o, dicho de otro modo, Range(f)=Domain(f-1).

    Dada la función f(x)=3-xx+5halla el dominio y el rango.

    Solución

    Primero intentaremos hallar el dominio de esta función. Para hallar el valor excluido en el dominio de la función, iguala el denominador a cero y resuelve para x.

    x+5=0x=-5

    Así, el dominio es el conjunto de todos los números reales excepto x = -5, {x|x-5}. En otras palabras, la gráfica no está definida en x = -5. A continuación, vamos a hallar el rango evaluando la inversa de esta función. Sea y = f(x). Ahora, intercambiando la x y la y de nuestra función dada, obtenemos

    x=3-yy+5

    Resolviendo para y obtenemos

    x(y+5)=3-yxy+5x=3-yxy+y=3-5xy(x+1)=3-5xy=3-5xx+1

    Por tanto, la inversa de f es

    f-1(x)=3-5xx+1

    El valor excluido en el dominio de esta función inversa puede hallarse igualando el denominador a cero y resolviendo para x. Por tanto,

    x+1=0x=-1

    El dominio de esta función inversa es el conjunto de los números reales excepto x = -1. Sin embargo, en este caso, este dominio es el rango de nuestra función, f(x). Así pues, el rango de la función dada es {y|y-1}. La gráfica no está definida en y = -1. La gráfica se representa a continuación.

    Ejemplo 6, Originales de StudySmarter

    Ejemplo 6, StudySmarter Originals

    En la gráfica anterior, las rectas (en rojo) x = -5 e y = -1 representan la región para la que la función no está definida.

    Dominio y rango de las funciones trigonométricas

    Observa a continuación la gráfica de las funciones seno (línea verde) y coseno (línea azul), f(x) = sen(x) y f(x) = cos(x).

    Gráfico del seno y el coseno, StudySmarter Originals

    Gráfica del seno y del coseno, StudySmarter Originals

    Observa que el valor de las funciones oscila entre -1 y 1 y está definido para todos los números reales. Así, para cada función seno y coseno, el dominio es el conjunto de todos los números reales, R y el rango es -1 ≤ f(x) ≤ 1. El rango aquí también puede denotarse por [-1, 1].

    Funciones pares e impares

    Las funciones pares e impares son funciones que cumplen una determinada regla de simetría. Para comprobar si una función es par o impar, basta con sustituir x en la función dada y observar si cumple la condición de función par o impar, que estableceremos a continuación. Examinaremos estos dos tipos de funciones e identificaremos sus propiedades respectivas.

    Función par

    Una función f es par cuando

    f(-x)=f(x),

    para toda x en el dominio de la función.

    Geométricamente hablando, la gráfica de una función par es simétrica respecto al eje y, es decir, la función permanece invariable cuando se refleja sobre el eje y. Entre las propiedades de las funciones pares están:

    • La suma de dos funciones pares es par;

    • La diferencia entre dos funciones pares es par;

    • El producto de dos funciones pares es par;

    • El cociente de dos funciones pares es par;

    • La derivada de una función par es impar;

    • La composición de dos funciones pares es par;

    • La composición de una función par y una función impar es par.

    Veamos un ejemplo.

    Determina si la siguiente función es par.

    f(x)=x2+2

    Solución

    Sustituyamos -x en nuestra función como se indica a continuación.

    f(-x)=(-x)2+2 f(-x)=x2+2f(-x)=f(x)

    Como f(-x)=f(x)concluimos que esta función es par. La gráfica se muestra a continuación.

    Ejemplo 7, Originales de StudySmarter

    Ejemplo 7, StudySmarter Originals

    Observa cómo la curva se refleja alrededor del eje y.

    Función impar

    Una función f es impar cuando

    f(-x)=-f(x),

    para toda x en el dominio de la función.

    Para verlo geométricamente, la gráfica de una función impar tiene simetría rotacional respecto al origen. Esencialmente, la función permanece invariable cuando se gira 180o respecto al origen. A continuación se exponen las propiedades de las funciones impares:

    • La suma de dos funciones impares es impar;

    • La diferencia entre dos funciones impares es impar;

    • El producto de dos funciones impares es par;

    • El producto de una función par y una función impar es impar;

    • El cociente de dos funciones impares es par;

    • El cociente de una función par y una función impar es impar;

    • La derivada de una función impar es par;

    • La composición de dos funciones impares es impar.

    Aquí tienes un ejemplo.

    Comprueba si la siguiente función es impar.

    f(x)=x3-2x4

    Solución

    Introduciendo -x en nuestra función dada, tenemos

    f(-x)=(-x)3-2(-x)4f(-x)=-x3+2x4f(-x)=-x3-2x4f(-x)=-f(x)

    Como f(-x)=-f(x)deducimos que esta función es impar. A continuación se muestra un esquema de la gráfica.

    Ejemplo 8, Originales de StudySmarter

    Ejemplo 8, StudySmarter Originals

    Observa cómo la curva se refleja alrededor del origen.

    ¿Puede una función ser par e impar a la vez?

    Sólo hay una función que cumpla este criterio, que es la función constante que es idénticamente cero, f(x) = 0. El dominio y el rango son el conjunto de todos los números reales, IR.

    Observa que la suma de una función par y una función impar no es ni par ni impar, a menos que una de las funciones sea igual a cero en un dominio dado.

    También es posible que tengamos funciones que no sean ni pares ni impares. He aquí un ejemplo que lo demuestra.

    Observa la siguiente función.

    f(x)=2x2+3x

    Si sustituimos -x en esta función vemos que obtenemos una función completamente distinta, ya que

    f(-x)=2(-x)2+3(-x)f(-x)=2x2-3x

    Trazando la gráfica de f(x), observa que la gráfica no tiene reflexión sobre el eje y ni simetría rotacional sobre el origen. Esto significa que la gráfica no es ni par ni impar.

    Ejemplo 9, Originales de StudySmarter

    Ejemplo 9, StudySmarter Originals

    Funciones periódicas

    Las funciones periódicas se utilizan para describir funciones trigonométricas, en particular debido a la presencia de oscilaciones y ondas en sus gráficas.

    Una función periódica es una función que se repite a intervalos regulares (o periodos). Una función, f es periódica, P si

    f(x+P)=f(x),

    para todos los valores de x en el dominio de la función. Aquí P0 es una constante.

    Una función que no es periódica se denomina aperiódica. He aquí un ejemplo de ese tipo de función.

    Volvamos a nuestra función seno del apartado anterior.

    Ejemplo 10, Originales de StudySmarter

    Ejemplo 10, Originales de StudySmarter

    Observa ahora la gráfica anterior. La función se repite en intervalos de longitud la función seno es periódica con periodo P=2π ya que

    sin(x+2π)=sin(x)

    para todos los valores de x.

    Puntos de intercepción

    Los puntos de intercepción de una función son los puntos en los que la función cruza los ejes de la gráfica. A continuación se muestra un ejemplo explícito de los dos puntos de intercepción que hay que tener en cuenta al representar gráficamente funciones en dos dimensiones.

    La intersección x es un punto en el que la función f cruza el eje x. Para hallar la intersección x, basta con resolver f(x) = 0.

    La intersección y es un punto en el que la función f cruza el eje y. Para hallar las intersecciones y, sustituye x = 0 por f(x).

    Los puntos de intersección son importantes para deducir el cambio de signo de la curva de una función dada. Veamos un ejemplo.

    Dada la función siguiente, halla sus intersecciones x e y.

    f(x)=x2-7x-8

    Solución

    Empezaremos por hallar los intersticios x. Para ello, igualaremos la función a cero, f(x) = 0.

    x2-7x-8=0

    Factorizando esta expresión, obtenemos

    (x-8)(x+1)=0

    Utilizando ahora la Propiedad del Producto Cero y resolviendo para x, obtenemos

    x-8=0x=8x+1=0x=-1

    Así pues, los intersticios x son x = -1 y x = 8. Busquemos ahora la intersección y. Sustituyendo x = 0 en nuestra función obtenemos

    f(0)=(0)2-7(0)-8=-8

    Por tanto, la intersección y es y = -8. La gráfica se muestra a continuación.

    Ejemplo 11, Originales de StudySmarter

    Ejemplo 11, StudySmarter Originals

    Observa que entre las intersecciones x, x = -1 y x = 8, la función cae por debajo del eje x, lo que significa que el rango en este dominio es negativo. Sin embargo, el rango antes de x = -1 y después de x = 8 son positivos.

    Puntos de intersección

    Supongamos que nos dan un par de funciones, f y g. Nos dicen que encontremos el punto o puntos en los que se encuentran las dos funciones. Esto se llama punto de intersección. Se define a continuación.

    Supongamos que tenemos dos funciones definidas por f y g. El(los) punto(s) de intersección de estas dos gráficas es(son) el(los) valor(es) de x para el(los) cual(es)

    f(x)=g(x).

    El valor o valores exactos de los puntos de intersección se pueden hallar resolviendo algebraicamente la expresión anterior. A continuación tienes un ejemplo que lo demuestra.

    Dadas las funciones f (en azul) y g (en rojo) que aparecen a continuación.

    f(x)=x2-xg(x)=2x+1

    Deduce sus puntos de intersección. Ambas funciones están representadas en la misma gráfica.

    Ejemplo 12, StudySmarter Originals

    Ejemplo 12, StudySmarter Originals

    Solución

    Observando la gráfica anterior, vemos que hay dos puntos de intersección para este par de funciones. Tenemos que igualar f(x) = g(x) y resolver por x para hallar las coordenadas x de estos puntos de intersección.

    f(x)=g(x)x2-x=2x+1x2-x-2-1=0x2-3x-1=0

    Observa que no podemos factorizar la ecuación en la última línea anterior. Para resolver para x, tenemos que utilizar la Fórmula Cuadrática.

    x=-b±b2-4ac2ax=-(-3)±(-3)2-4(1)(-1)2(1)x=3±9+42x=3±132

    Así, tenemos dos valores de x, a saber x=3-132 and x=3+132. Dejaremos nuestra solución en esta forma radical.

    Para hallar las coordenadas y correspondientes, simplemente sustituimos estos valores de x hallados en cualquiera de las funciones dadas, f o g. Para simplificar, utilizaremos la función g para hallar nuestros valores de y

    g3-132=23-132+1=3-13+1=4-13g3-132=4-13

    y

    g3+132=23+132+1=3+13+1=4+13g3+132=4+13

    Por tanto, los puntos de intersección son

    3-132, 4-13 and 3+132, 4+13

    Otros componentes para el trazado de gráficas

    Hasta ahora hemos visto la información básica necesaria para dibujar la gráfica de una función dada. En los siguientes temas de esta sección, conoceremos otros elementos fundamentales que pueden ser útiles a la hora de trazar gráficas de funciones. Esto incluye

    • Encontrar los límites de una función.

    • Identificar asíntotas. Esto se explica en el tema Asíntotas

    • Localizar los puntos máximo y mínimo de una curva. Esto se explica aquí: Máximos y Mínimos

    • Utilizar derivadas para encontrar puntos críticos y puntos de flexión. Puedes encontrar una descripción detallada de este tema aquí: Encontrar máximos y mínimos mediante derivadas

    Si nos familiarizamos con estos métodos, dibujar gráficos puede ser mucho más sencillo y preciso.

    Análisis funcional - Puntos clave

    • El tema del análisis funcional examina las funciones investigando sus comportamientos y tendencias.
    • El dominio de una función es el conjunto de todos los valores para los que está definida la función.
    • El rango de una función es el conjunto de todos los valores resultantes que toma f, en función del dominio.
    • Una función es par cuando f(-x)=f(x)para todo x.
    • Una función es impar cuando f(-x)=-f(x)para todo x.
    • Una función es periódica sif(x+P)=f(x)para todo x.
    • La intersección x es un punto donde la función cruza el eje x, f(x) = 0.
    • La intersección y es un punto en el que la función cruza el eje y, f(0).
    • El punto de intersección de dos gráficas es el valor de x dondef(x)=g(x).

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    Preguntas frecuentes sobre Análisis Funcional
    ¿Qué es el Análisis Funcional en matemáticas?
    El Análisis Funcional es una rama de las matemáticas que estudia espacios vectoriales y operadores lineales que actúan sobre ellos, con el objetivo de generalizar conceptos del análisis clásico.
    ¿Cuáles son los principales temas del Análisis Funcional?
    Algunos de los temas principales incluyen espacios normados, espacios de Hilbert, operadores lineales, y teoría espectral.
    ¿Para qué sirve el Análisis Funcional?
    El Análisis Funcional es fundamental en estudios avanzados de matemáticas, física, ingeniería, y economía, especialmente en problemas relacionados con ecuaciones diferenciales y optimización.
    ¿Cuál es la diferencia entre Análisis Funcional y Álgebra Lineal?
    El Análisis Funcional se centra en el estudio de espacios vectoriales infinitodimensionales y los operadores lineales en estos espacios, mientras que el Álgebra Lineal se enfoca en espacios de dimensión finita.

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