Análisis Funcional

¿Qué es una función?

Antes de sumergirnos en este tema, recordemos primero la definición de función.

A continuación se muestra un ejemplo de función.

Dominio y rango

Al trazar una función, es esencial conocer el "tamaño" de las variables. Esto se conoce como dominio y rango de una función. Estos dos términos se explican a continuación.

Observa que $\mathrm{ℝ}$ representa el conjunto de todos los valores reales que representa el intervalo $(-\infty ,\infty )$. He aquí una representación visual del dominio y el intervalo respecto a una función. Recuerda el ejemplo de la función f que habíamos introducido antes.

Representación gráfica de un dominio, un intervalo y una función, StudySmarter Originals

Esta representación sugiere que una función funciona como una máquina que transforma elementos del dominio, las entradas, en elementos del codominio. Las salidas reales de esta "máquina de transformación" serán los elementos del dominio, las salidas.

Hay muchos tipos de funciones a considerar en el ámbito de las matemáticas. Tenemos funciones polinómicas, funciones exponenciales, funciones trigonométricas, etc. En los siguientes apartados, resumiremos las fórmulas generales que se utilizan para hallar el dominio y el rango asociados de cada tipo de función (normalmente vistas en este temario).

Dominio y rango de las funciones polinómicas

En primer lugar, señalaremos los tres tipos de polinomios que utilizaremos a menudo a lo largo de este tema.

1. funciones lineales $f\left(x\right)=ax+b$

2. funciones cuadráticas, $f\left(x\right)=a{x}^2+bx+c$

3. funciones cúbicas, $f\left(x\right)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$

El dominio de cualquier función polinómica es el conjunto de todos los números reales, IR.

El ámbito de una función lineal y cúbica es también el conjunto de todos los números reales, IR.

El rango de una función cuadrática de la forma$f\left(x\right)=a{(x-h)}^2+k$es

$Range\left(f\right)=\left\{f\right(x)\ge k,ifa>0\}$ o $Range\left(f\right)=\left\{f\right(x)\le k,ifa<0\}$.

Dominio y rango de las funciones de raíz cuadrada

Para la función raíz cuadrada estándar, $f\left(x\right)=\sqrt{x}$el dominio es el conjunto de todos los números reales, IR y el rango es f(x) ≥ 0.

Para una función raíz cuadrada general de la forma $f\left(x\right)=\sqrt{g\left(x\right)}$donde g(x) es una función de x, el dominio es el conjunto de funciones donde g(x) ≥ 0 y el rango es f(x) ≥ 0.

Dominio y rango de las funciones de raíz cúbica

Para cualquier función que contenga una raíz cúbica, ya sea la forma estándar $f\left(x\right)=\sqrt[3]{x}$ o la forma general $f\left(x\right)=\sqrt[3]{g\left(x\right)}$el dominio y el rango son el conjunto de todos los números reales, IR.

Dominio y rango de funciones exponenciales

Para una función exponencial de la forma $f\left(x\right)=a^x$donde a es un número real cualquiera, el dominio es el conjunto de todos los números reales, IR.

El rango siempre dará valores reales positivos, es decir, f(x) > 0.

Dominio y rango de las funciones logarítmicas

Para una función logarítmica de la forma $f\left(x\right)={\log }_{a}x$donde a es cualquier número real, el dominio es x > 0 mientras que el rango es el conjunto de todos los números reales.

Dominio y rango de las funciones racionales

El dominio es el conjunto de todos los números reales excepto aquellos cuyo denominador es igual a cero, es decir $\{x\in \mathrm{ℝ}|q\left(x\right)\ne 0\}$.

El rango aquí es el mismo que el dominio de la inversa de esta función racional f o, dicho de otro modo, $Range\left(f\right)=Domain\left(f^{-1}\right)$.

Dominio y rango de las funciones trigonométricas

Observa a continuación la gráfica de las funciones seno (línea verde) y coseno (línea azul), f(x) = sen(x) y f(x) = cos(x).

Gráfica del seno y del coseno, StudySmarter Originals

Observa que el valor de las funciones oscila entre -1 y 1 y está definido para todos los números reales. Así, para cada función seno y coseno, el dominio es el conjunto de todos los números reales, R y el rango es -1 ≤ f(x) ≤ 1. El rango aquí también puede denotarse por [-1, 1].

Funciones pares e impares

Las funciones pares e impares son funciones que cumplen una determinada regla de simetría. Para comprobar si una función es par o impar, basta con sustituir x en la función dada y observar si cumple la condición de función par o impar, que estableceremos a continuación. Examinaremos estos dos tipos de funciones e identificaremos sus propiedades respectivas.

Función par

Geométricamente hablando, la gráfica de una función par es simétrica respecto al eje y, es decir, la función permanece invariable cuando se refleja sobre el eje y. Entre las propiedades de las funciones pares están:

• La suma de dos funciones pares es par;

• La diferencia entre dos funciones pares es par;

• El producto de dos funciones pares es par;

• El cociente de dos funciones pares es par;

• La derivada de una función par es impar;

• La composición de dos funciones pares es par;

• La composición de una función par y una función impar es par.

Veamos un ejemplo.

Función impar

Para verlo geométricamente, la gráfica de una función impar tiene simetría rotacional respecto al origen. Esencialmente, la función permanece invariable cuando se gira ^180o respecto al origen. A continuación se exponen las propiedades de las funciones impares:

• La suma de dos funciones impares es impar;

• La diferencia entre dos funciones impares es impar;

• El producto de dos funciones impares es par;

• El producto de una función par y una función impar es impar;

• El cociente de dos funciones impares es par;

• El cociente de una función par y una función impar es impar;

• La derivada de una función impar es par;

• La composición de dos funciones impares es impar.

Aquí tienes un ejemplo.

¿Puede una función ser par e impar a la vez?

Sólo hay una función que cumpla este criterio, que es la función constante que es idénticamente cero, f(x) = 0. El dominio y el rango son el conjunto de todos los números reales, IR.

También es posible que tengamos funciones que no sean ni pares ni impares. He aquí un ejemplo que lo demuestra.

Funciones periódicas

Las funciones periódicas se utilizan para describir funciones trigonométricas, en particular debido a la presencia de oscilaciones y ondas en sus gráficas.

Una función que no es periódica se denomina aperiódica. He aquí un ejemplo de ese tipo de función.

Puntos de intercepción

Los puntos de intercepción de una función son los puntos en los que la función cruza los ejes de la gráfica. A continuación se muestra un ejemplo explícito de los dos puntos de intercepción que hay que tener en cuenta al representar gráficamente funciones en dos dimensiones.

Los puntos de intersección son importantes para deducir el cambio de signo de la curva de una función dada. Veamos un ejemplo.

Puntos de intersección

Supongamos que nos dan un par de funciones, f y g. Nos dicen que encontremos el punto o puntos en los que se encuentran las dos funciones. Esto se llama punto de intersección. Se define a continuación.

El valor o valores exactos de los puntos de intersección se pueden hallar resolviendo algebraicamente la expresión anterior. A continuación tienes un ejemplo que lo demuestra.

Otros componentes para el trazado de gráficas

Hasta ahora hemos visto la información básica necesaria para dibujar la gráfica de una función dada. En los siguientes temas de esta sección, conoceremos otros elementos fundamentales que pueden ser útiles a la hora de trazar gráficas de funciones. Esto incluye

• Encontrar los límites de una función.

• Identificar asíntotas. Esto se explica en el tema Asíntotas

• Localizar los puntos máximo y mínimo de una curva. Esto se explica aquí: Máximos y Mínimos

• Utilizar derivadas para encontrar puntos críticos y puntos de flexión. Puedes encontrar una descripción detallada de este tema aquí: Encontrar máximos y mínimos mediante derivadas

Si nos familiarizamos con estos métodos, dibujar gráficos puede ser mucho más sencillo y preciso.